continuación, con la ayuda de un goniómetro, medimos el ángulo que forma PQ con la horizontal, siendo de 25º. Encontrar la altura buscada. 22.

Transcripción

1 1. Calcular la altura de una torre si su sombra mide 13 mts cuando los rayos del Sol forman un ángulo de 45º con el suelo. 2. En un triángulo isósceles, el lado desigual mide 10 cm. y los ángulos iguales miden 70º. Calcular su área y perímetro. 3. Calcular la longitud de un arco de circunferencia de dos radianes de ángulo de una circunferencia de 5 cm de radio. 4. La distancia a las primeras nubes se llama altura del cielo. En un aeródromo, un observador mira un rayo de luz lanzado verticalmente por un foco, y ve la nube que lo refleja con un ángulo de elevación de 72º. La distancia entre el observador y el foco es de 150 mts. Calcula la distancia del cielo. 5. En trozo de carretera, la inclinación es de 6º. Cuánto sube la carretera en 42 mts medidos sobre el plano inclinado. 6. Si las puntas de las ramas de un compás distan 6 25 cm y cada rama mide 11 5 cm. Qué ángulo forman dichas ramas. 7. Tres barras iguales de 54 dm juntas en un extremo forman un trípode. Hallar la longitud de un lado del triángulo formado por sus pies, cuando el ángulo formado entre cada dos barras es de 63º Dos circunferencias coplanarias de radios respectivos de 4 cm y 6 cm, tienen sus centros distantes 12 cm. Calcular la inclinación sobre la línea de los centros de una tangente común exterior y de una tangente común interior. 9. Calcular los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 12 cm. y 8 cm. 10. En un terreno horizontal se ve una torre desde un punto A bajo un ángulo de 30º. Aproximándose a la torre 20 mts llegamos a otro punto B desde el cual se ve la torre bajo un ángulo de 45º. Calcular la altura de la torre. 11. Calcular el perímetro de un octógono inscrito en una circunferencia de radio 4 cm. 12. Las diagonales de un rectángulo miden 16 cm y se cortan formando un ángulo de 50º. Determinar su perímetro. 13. En una circunferencia de 7 cm de radio trazamos unas cuerda de 9 cm. Qué ángulo central abarca dicha cuerda. 14. Resolver el triángulo rectángulo de hipotenusa 17, y de cateto Resolver el triángulo: a = 27, B = 52, C = 74º. 16. Los ángulos de un triángulo forman una progresión aritmética de diferencia 40º. El lado menor mide 2 cm Cuánto miden los otros lados? 17. Tres pueblos A,B,C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB = 6 Km. y,bc = 9 Km. y el ángulo formado por AB y BC es de 130º Cuánto dista PPY- C? 18. Dos aviones salen de un mismo punto en direcciones que forman un ángulo de 15º. Suponiendo que han marchado en línea recta y uno ha recorrido 230 Km. y el otro 342 Km.. Qué distancia los separa? 19. Dos fuerzas de 20 y 15 Kp, forman entre si un ángulo de 1261, actuando sobre un mismo punto. Hallar el valor de su resultante y el ángulo que forma con la fuerza mayor. 20. Siendo a, b, y c la hipotenusa y los catetos respectivamente de un triángulo rectángulo y A, B, C los ángulos opuestos correspondientes, calcular los lados y ángulos desconocidos de los triángulos rectángulos siguientes: a. a = 30 cm, c = 10 cm b. a = 25 cm, b = 5 cm c. b = 15 cm, c = 8cm d. b = 20 cm, c = 6 cm e. a = 50 cm B = 26º f. a = 30 cm, B = 30º g. c = 10 cm, C = 37º h. c = 9 cm, C = 60º i. c = 40 cm, B = 75º j. b = 1 cm, C = 1º 21. Para encontrar la altura de una torre que tiene de cúspide el punto P, medimos la distancia que existe desde su base hasta un cierto punto Q del suelo, siendo esta de 120 mts. A 1

2 continuación, con la ayuda de un goniómetro, medimos el ángulo que forma PQ con la horizontal, siendo de 25º. Encontrar la altura buscada. 22. Se quiere calcular la altura de un balcón de cierto castillo respecto el nivel terrestre, pero, al existir una fosa alrededor, no se puede acceder hasta la base del castillo. Se coloca una cuerda tensa desde el balcón hasta un punto P de tierra, y se mide el ángulo que forma la cuerda con el suelo siendo de 42º, a continuación se mide la longitud de la cuerda que resulta ser de 15 mts. Calcular la altura buscada. 23. Como medir la altura de un edificio, en el que su pie es inaccesible, así como su terraza, para lo cual tendremos que obrar de la manera siguiente: Nos situaremos en un punto P de tierra, y mediremos el ángulo que forma PQ con el suelo, que es de 60º, a continuación, nos alejaremos 16 mts del edificio hasta el punto R, midiendo el nuevo ángulo que forma RQ con el suelo, que es ahora de 45º. Encuentra la altura buscada. 24. Una estatua se encuentra encima de un pedestal de 5 mts de altura. Si nosotros estamos a 20 mts de la base de al pedestal, las visuales a los extremos superiores superior e inferior de la estatua forman un ángulo de 6º. Calcula la altura de la estatua. 25. Estamos en punto P y se quiere encontrar la distancia hasta otro punto Q, pero al existir una casa entre ambos puntos, procedemos a lo siguiente: nos desplazamos a otro punto R situado a 30 mts de P, desde el que se puede observar los dos puntos P y Q, y medimos el ángulo PRQ resultando ser de 90º. A continuación, nos desplazamos a otro punto S alineado con R y P, que dista 20 mts de R, y medimos el ángulo RSQ, siendo éste de 60º. Calcula la distancia PQ. 26. Calcular la altura de una cometa conociendo la longitud del hilo, 100 mts, y que éste forma un ángulo con el suelo de 70º. 27. La base de un triángulo isósceles mide 10 mts, y uno de los ángulos iguales es de 70º. Encontrar el área del triángulo. 28. Calcular la medida de uno de los dos lados de un triángulo isósceles, sabiendo que la altura correspondiente al lado desigual mide 20 cm, y que el ángulo desigual mide 34º. 29. Encontrar el ángulo desigual de un triángulo isósceles, conociendo que el lado desigual y la altura correspondiente miden lo mismo. 30. Encontrar el ángulo que forman las diagonales de un rectángulo, si un lado mide 20 cm y una diagonal 50cm. 31. Encontrar la base y la altura de un rectángulo de área 4 3 cm 2, sabiendo que el ángulo que forma la base y la diagonal es de 30º. 32. Encontrar el área de un rombo, si un ángulo es de 120º, y la diagonal opuesta a éste mide 30 cm. 33. Calcular los ángulos de un rombo, conociendo que una de sus diagonales mide cuatro veces la otra. 34. La altura de un triángulo mide 4 cm, y divide a la base en dos segmentos de 3 y 5 cm. Encontrar los tres ángulos del triángulo. 35. La altura de un triángulo divide a este en dos triángulos rectángulos, cuyas áreas difieren en 80 cm 2. Los ángulos contiguos a la base del triángulo inicial miden 45º y 35º. Encontrar la longitud de la altura. 36. Calcular el área de un triángulo conociendo que dos de sus lados miden 10 y 20 cm, y que el ángulo comprendido entre ambos es de 30º. 37. En un triángulo ABC se traza la altura y la mediana correspondiente al vértice A, a las que corresponden los puntos D y E del lado opuesto. Calcular los lados y los ángulos del triángulo ABC, sabiendo que AD mide 10cm, y que los ángulos AED y ABD miden 60º y 45º respectivamente. 38. Encontrar el área de un pentágono regular de 20 cm de lado. 39. Calcular el área de un octógono regular de 40 cm de apotema. 2

3 40. Calcular el área de un trapecio rectangular, si sus bases miden 20 y 30cm y uno de sus ángulos mide 60º. 41. Calcular el área de un trapecio isósceles, sabiendo que la base menor mide 50 cm, y que cada uno de los lados iguales mide 40 cm, y uno de los ángulos mide 30º. 42. Las tangentes a una circunferencia desde un cierto punto forman entre si un ángulo de 120º. Si el punto se aleja 24 mts más de la circunferencia, las tangentes forman ahora un ángulo de 60º. Encontrar el radio de la circunferencia. 43. Encuentra los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, conociendo un cateto de 20 cm, y que el radio del círculo inscrito mide 5 cm. 44. Dos personas situadas en tierra y distantes entre si m,, miden al mismo tiempo el ángulo que forma la visual a un avión con la horizontal y son de 70º y 82º. Cuál es la altura del avión sabiendo que está en el mismo plano vertical que los observadores? 45. En un triángulo se conocen A = 72º, B = 48º, b = 42 m. Hallar la longitud de la mediana que parte del vértice A y la altura correspondiente al lado a. 46. Tres pueblos A,B,C, están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB = 6 km, BC = 9 km, y el ángulo formado por AB y BC es de 130. Cuánto distan A y C?. 47. Dos aviones salen de un mismo punto en direcciones que forman un ángulo de 150. Suponiendo que han marchado en línea recta y uno ha recorrido 230 km y el otro 342 km. Qué distancia los separa? 48. Dos fuerzas de 20 y 15 kp forman entre si un ángulo de 126, actuando sobre un mismo punto. Hallar el valor de su resultante y el ángulo que forma con la fuerza mayor. 49. Dos personas situadas en tierra distantes entre si mts. miden al mismo tiempo el ángulo que forma la visual a un avión con la horizontal y son de 70º y 82º. Cuál es la altura del avión sabiendo que está en el mismo plano vertical que los observadores?. 50. En un triángulo se conocen A = 72, B = 48, b = 42 mts. Calcula la longitud de la mediana que sale del vértice A y la altura correspondiente al lado a. 51. Desde un punto que está a tres km de un extremo de una isla y a siete km del otro extremo, se ve la isla con un ángulo de 34º. Calcular la longitud de la isla. 52. Resolver los siguientes triángulos: a) a = 12cm, B 35º, C = 60º b) a = 13 cm, b 25 cm, C 75º c) a = 24 cm, b 18 cm, c 30 cm. 53. Los lados de un triángulo forman una progresión aritmética de diferencia 10 m. Si el perímetro es 90 m. Calcula los tres ángulos y el área. 54. Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde dos puntos de una orilla, distantes 30 mts., se observa un punto de la orilla opuesta. Las visuales forman con la orilla unos ángulo de 30º y 60º. Calcular la anchura del río. 55. Hallar el ángulo que deben de tener dos fuerzas de 32 Kp y 22 Kp, para que tirando de un mismo punto tengan una resultante de 40 Kp. 56. Un piloto de avión observa 2 ciudades situadas en un mismo plano vertical, una a su izquierda y otra a su derecha, distantes 100 km entre si; las visuales desde el avión hasta A y B forman con la horizontal ángulos de 12º y 23º respectivamente. Calcular la altura a la que vuela el avión y la distancia que hay desde el avión a cada una de las ciudades. 57. De un punto P situado a las distancias a y b de dos paralelas, se trazan rectas PA y PB perpendiculares entre si y limitadas por las paralelas. Calcular la mínima área del triángulo APB. 58. En una circunferencia de 12 cm. de radio se toma una cuerda de 13 cm. Averigua el ángulo central que abarca. 59. La sombra de una torre es de 10 mts. Calcular su altura sabiendo que los rayos del sol forman con el suelo un ángulo que mide la mitad de lo que mide el que forman los rayos con la torre. 3

4 60. Calcula las diagonales de un paralelogramo, si dos lados consecutivos miden 18 y 35 mts, y forman un ángulo de En un polígono regular la apotema es la mitad del lado. Qué polígono regular es. 62. Calcular la distancia entre dos puntos P y Q. que se encuentran separados de nosotros por un río. Se conoce la distancia entre dos puntos A y B de nuestra orilla: d 100 mts. y si se calculan los ángulos: BAQ = 32º, PBA = 42º, PAQ = 79º, PBQ 15º. 63. Desde la base de un torre de 65 m. hasta el punto en que estamos hay 50 m; esta se ve bajo un ángulo de 68º. Calcular el desnivel entre el punto de observación y el pie de la torre. 64. Calcular la longitud de un túnel que atraviesa una montaña, desde el punto A al B, sabiendo que desde el punto C del mismo plano horizontal se ven A y B y que AC = m, y BC = m. y el ángulo ACBº = 132º. 65. Una pendiente de 50 m. de larga y una inclinación de 13º conduce al pie de una colosal estatua. Calcular la altura de esta sabiendo que desde el inicio de la pendiente, el ángulo de elevación del punto más alto de la estatua es de 81º. 66. Desde 2 puntos A y B de una llanura distantes 1 km. se ha observado el mismo punto de un a nube y se han obtenido ángulos de elevación de 38º y 53º respectivamente. Hallar la altura de la nube. 67. Resuelve los siguientes triángulos: a) a = 1 m, b = 2 m, c = 3 m. b) a = 5cm, b = 6om, A = 800 c) a = 12 cm, b = 43 cm, e = Un terreno tiene forma cuadrilátero irregular. Calcular su precio de mercado sabiendo que sus lados miden: 100 m, 84 m, 154 m, y 64 m; y que una diagonal mide 140 m. En esa zona se paga a ptas. por metro cuadrado, 69. Un solar de forma triangular tiene dos lados de longitud 140 m y 100 metros respectivamente. El ángulo opuesto el primero es de 40º. Hallar la longitud de una cerca que lo rodee completamente y el área de ese terreno. 70. Desde un punto B que está en la base de la montaña, se ve su cima A con un ángulo de elevación de 60º.Después de subir 1 km por una pendiente de 30º, hasta otro punto C, se observa que el ángulo BCA es de 135º. Hallar la altura de la montaña. 71. Un observador está situado a una altura de 120 m sobre el nivel mar. La visual dirigida sobre el horizonte forma con la vertical un ángulo de 90º 20'. Calcular el radio de la tierra supuesta esférica. 72. Resolver los triángulos siguientes: a) a = 48 m, B = = 60º, C = 80º b) a = 24 cm, b = 18 cm, c = 30 cm c) b =7 m, c = 3 m, A = 12º 73. Calcular el área de un dodecágono regular de 5cm de lado. 74. Los ángulos de un triángulo forman una progresión aritmética de diferencia 400. Si el lado menor mide 2 cm. Cuánto miden los otros dos lados?. 75. Calcular los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 13cm y 9 cm. 76. Tres pueblos están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB = 6 km, la BC = 9 km y el ángulo formado por AB y BC es de Cuánto distan A y C?. 77. Dos puntos A y B están separados por una laguna. Para calcular su distancia, se toma un punto C y se calcula CA = m, CB = m, y el ángulo ABC = 62º. Calcular la distancia AB. 78. Calcular el área y la apotema de los polígonos regulares: a) Triángulo inscrito en una circunferencia de radio 38 cm b) Pentágono 125 cm c) Eptágono 48 cm d) Dodecágono 365 cm 4

5 79. Hallar el área de un triángulo rectángulo tal que el radio de la circunferencia inscrita mida 8cm. y uno de los ángulos satisfaga la ecuación: 2sena.cosa = tga. 80. Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, siendo el cateto b = 75 cm y la bisectriz del ángulo agudo C igual a 94 cm. 81. En un triángulo isósceles, el lado desigual mide 10 cm. y los ángulos iguales miden 70º. Calcular el área y su perímetro. 82. En una circunferencia de 12 cm. De radio se toma una cuerda de 13 cm. Averigua el ángulo central que abarca. 83. La sombra de una torre es de 10 mts. Calcular su altura sabiendo que los rayos del sol forman con el suelo un ángulo que mide la mitad de lo que mide el que forman los rayos con la torre. 84. Calcula las diagonales de un paralelogramo, si dos lados consecutivos miden 18 mts y 35 mts formando un ángulo de 38º. 85. En un polígono regular, la apotema es la mitad del lado. Qué polígono regular es. 86. Calcular la distancia entre dos puntos P y Q, que se encuentran separados de nosotros por un río. Se conoce la distancia entre dos puntos A y B de nuestra orilla, AB = 100 mts, y se calculan los ángulos BAQ = 32º, PBA = 42º, PAQ = 79 y PBQ = 75º. A M N B 87. Suponiendo que los puntos A, B y M están sobre un mismo plano, calcular la altura del árbol MN, sabiendo: AB = 60 mts, BAM = 63º, ABM = 49º, MBN = 11º. 88. Desde la base de una torre de 65 mts hasta el punto en que estamos hay 50 mts; ésta se ve bajo un ángulo de 68º. Calcular el desnivel entre el punto de observación y el pie de la torre. 89. Calcular la longitud de un túnel que atraviesa una montaña, desde el punto A al B, sabiendo que desde un punto C del mismo plano horizontal se ven A y B, y que AC = 1250 mts, BC = 1700 mts, y el ángulo ACB = 132º. 90. Una pendiente de 50 mts de larga y una inclinación de 13º conduce al pie de una colosal estatua. Calcular la altura de ésta sabiendo que desde el inicio de la pendiente, el ángulo de elevación del punto más alto de la estatua es de 81º. 91. Desde dos puntos A y B de una llanura distantes 1 km, se ha observado el mismo punto de una nube y se han obtenido ángulos de elevación de 38º y 53º respectivamente. Hallar la altura de la nube. 92. Un terreno tiene forma de cuadrilátero irregular. Calcular su precio de mercado sabiendo que los lados miden 100, 84, 154 y 64 mts y que una diagonal mide 140 mts. Si el m 2 se está pagando a 60, calcula su valor. 93. Un solar tiene forma triangular, con lados de longitud 140 y 100 mts. El ángulo opuesto al primero es de 40º. Calcular la longitud de una cerca que lo rodee completamente y el área de ese terreno. 94. Desde un punto B que está en la base de una montaña, se ve su cima A con un ángulo de elevación de 60º; después de subir 1 km por una pendiente de 30º, hasta otro punto C, se observa el ángulo BCA = 135º. Calcular la altura de la montaña. 95. Un observador está situado a una altura de 120 mts sobre le nivel del mar. La visual dirigida hacia el horizonte, forma con la vertical un ángulo de 90º20. Calcular el radio de la Tierra, supuesta esférica. 5