ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES"

Transcripción

1 ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 1. Sea f : (0, + ) definida como f () = Ln a) Probar que la función derivada f es decreciente en todo su dominio. b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función g : (0, + ) f ( ) dada por g () = Solución: g crece en (0, e) y decrece en (e, + ).. Sea k un número real y sea f : la función definida por f () = cos k + k a) Determinar todos los valores de k para los que la función anterior es creciente en todo su dominio. b) Para k = 1 hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa = 0. Solución: k 0, y = Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f () = + 5 sen. π 5 π Solución: f es creciente en + k π, + k π, para todo k y decreciente en el interior del 3 3 complementario. 4. Idem para la función f () = Solución: f es creciente en (, 0) (, + ) y decreciente en el interior del complementario. 5. Hallar el dominio de la función f () = Ln [( 1) ( )] y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Solución: Dom (f) = (, 1) (, + ), f es decreciente en (, 1) y creciente es (, + ). 6. Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función f () = ( 1)e Solución: f es decreciente en (, 0), f es creciente en (0, + ) y f alcanza un mínimo en = Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones: f () = f () = Solución: a) f crece en (, ) (4, + ) y decrece en (, 4). En el punto = hay un máimo y en = 4 hay un mínimo. b) f crece en (, 1) (1, + ) y decrece en ( 1, 1). En el punto = 1 hay un máimo. 8. Estudiar la conveidad y concavidad de la función f : definida como: 1 f () = π Solución: f es convea en (, 1) (1, + ) y cóncava en ( 1, 1). 9. Hallar los valores de m para que la función f : definida como: f () = m + 3 sea convea para todo. Solución: m 6 e

2 10. Para las siguientes funciones, calcular los puntos en que alcanzan el máimo y el mínimo: 1 f () = con [, 5] 1 g () = 1 con [, ] h () = 1 con [ 1, 1] Solución: a) El mínimo se alcanza en = 5. El máimo se alcanza en =. b) El mínimo se alcanza en = 1 y = 1. El máimo se alcanza en = 0, = y =. c) El mínimo se alcanza en = 0. El máimo se alcanza en = 1 y = Estudiar la concavidad y conveidad de la función f : definida como: f () = a según los valores de a. Solución: Si a 3, f es convea para todo. Si a < 3, entonces f es convea en (, 1 ) (, + ) y cóncava en ( 1, ), donde 1 = 3 9 6a 6, = a 6 1. De una función f : [0, 4] se sabe que f (1) = 3 y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el siguiente dibujo: a) Hallar la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 1. b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. En qué punto alcanza la función f su máimo absoluto? c) Estudiar la concavidad y la conveidad de f. Solución: y = + ; f crece en (0, 4); f alcanza el máimo absoluto en = 4; f es convea en (0, 1) (3, 4); cóncava en (1, 3). 13. Sabemos que la función f : ( 1, + ) definida por f () = es continua en ( 1, + ). a) Hallar el valor de a. Es f derivable en = 0? b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. Solución: a) a = 3. No; b) f decrece en ( 1, 1) y crece en (1, + ) si 1< < + a + 1 si Consideremos la función f () = 4 a) Razonar en qué puntos es derivable y en cuáles no lo es. b) Estudiar la eistencia de máimos y mínimos relativos y absolutos. c) Representar gráficamente la función. Solución: a) No es derivable en = ±. b) Tiene un máimo relativo en = 0. Mínimos absolutos y relativos en los puntos (, 0) y (, 0).

3 15. Sea f : la función dada por f () = 8 a) Esboza la gráfica y hallar los etremos relativos de f (dónde se alcanzan y cuáles son sus respectivos valores). b) Calcular los puntos de corte de la gráfica de f con la recta tangente a la misma en el punto de abscisa =. Solución: a) (, 0), (, 0) son mínimos locales; (0, 8) es un máimo local. b) Puntos de corte: P = (, 4), Q = ( + 6, ), R = ( 6, 0 8 6). 16. Sea f : (0, + ) la función definida por f () = Ln, siendo Ln el logaritmo neperiano. a) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Hallar los intervalos de concavidad (f negativa) y de conveidad (f positiva) de f. c) Obtener, si los hay, los etremos globales de f. d) Encontrar las asíntotas de f y esboza su gráfica. π e) Probar que eiste un número a π tal que a = π a. Solución: f es creciente en (0, e) y decreciente en 3 (e, + ); Cóncava en 0, e y convea en 3 e, +. Máimo absoluto en = e. Asíntotas: = 0, y = Determinar a, b y c para que la curva y = a + b + c sea la siguiente: Solución: a = 8, b =, c = Sea f la función definida para por f () = + a) Hallar las asíntotas de la gráfica de f. b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los etremos locales de f. c) Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de la gráfica de f. Solución: = es asíntota vertical; y = es asíntota oblicua; f crece en (, 4) (0, + ) y f decrece en ( 4, 0) { }; En = 4 máimo local; En = 0 hay un mínimo local. 19. Consideremos la función f : definida por f () = ( + 3)e a) Calcular las asíntotas de la gráfica de f. b) Determinar los etremos relativos de f y los puntos de infleión de su gráfica. c) Esboza la gráfica de f. Solución: y = 0 es una asíntota horizontal cuando + ; (, e ), máimo; ( 1, e), infleión..

4 0. Sea f la función derivada de una función derivable f :. Se sabe que f es continua y que: (i) f (0) = 0, f () = 1, f (3) = 0, f (4) = 1, f (5) = 0. (ii) f es estrictamente creciente en los intervalos (, ) y (4, + ). (iii) f es estrictamente decreciente en el intervalo (, 4). (iv) La recta de ecuación y = + 3 es una asíntota oblicua de f cuando +. 1) Esbozar la gráfica de f. ) En qué valores de alcanza f sus máimos y mínimos relativos? Solución: En = 0 y = 5 hay mínimos relativos y en = 3 un máimo relativo. 1. Sea f la función definida para 1 por f () = 1 a) Hallar las asíntotas de la gráfica de f. b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los etremos locales de f. c) Esbozar la gráfica de f. Solución: = 1 es asíntota vertical; y = + es asíntota oblicua; f crece en (, 0) (, + ) y f decrece en (0, ) {1}; En = 0 hay un máimo local; En = hay un mínimo local. 1. Consideremos la función f : definida por f () = e a) Calcular las asíntotas de la gráfica de f. b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los etremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan). Solución: y = 1es una asíntota horizontal; f decrece en (, 1) (1, + ) y f crece en ( 1, 1) En = 1 hay un mínimo local; En = 1 hay un máimo local; f ( 1) = e 1 ; f (1) = e Sea f la función definida por f () = para 0 y. a) Calcular las asíntotas de la gráfica de f. b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. c) Con los datos obtenidos, esbozar la gráfica de f. Solución: y = 0 es una asíntota horizontal; = 0 y = son asíntotas verticales; f decrece en {0, } Sea f la función definida para 0 por f () = f) Estudiar y determinar las asíntotas de la gráfica de f. g) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcular sus etremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). h) Esboza la gráfica de f. Solución: = 0 es una asíntota vertical; y = es una asíntota oblicua. f crece en (, 1) (1, + ) y decrece en ( 1, 1) {0}. El punto ( 1, ) es un máimo local y (1, ) es un mínimo local.

5 5. Consideremos la función f () = 4 a) Razonar en qué puntos es derivable y en cuáles no lo es. b) Estudiar la eistencia de máimos y mínimos relativos y absolutos. c) Representar gráficamente la función. Solución: a) No es derivable en = ±. b) Tiene un máimo relativo en = 0. Mínimos absolutos y relativos en los puntos (, 0) y (, 0). 6. Representar las siguientes funciones: [1] f () = [] f () = [3] f () = 3 [4] f () = 1+ [5] f () = (1 cos ) cos3 [6] f () = 1+ cos [7] f () = e [8] f () = 1 [9] f () = Ln ( ) [10] f () = [11] f () = 1 [1] f () = + sen [13] f () = tg + 1 [14] f () = + [15] f () = 1 [16] f () = [17] f () = [18] f () = e [19] f () = cos + sen 1 [0] f () = ( 1)( 3) [1] f () = 1 ( 1) 1 9 [] f () = 4 ( ) [3] f () = [4] f () = ( ) [5] f () = [6] f () = + 1 [7] f () = 1 + Ln 1 [8] f () = Ln [9] f () = [30] f () = ( 1) sen [31] f () = sen + cos cos [3] f () = 1+ cos [33] f () = si -1 1 si 1< 3 si > 1 si -4 [34] f () = < + si 4 < 8 si [35] f () = Ln [36] f () = 3 9

6 Solución: [1] [] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

7 [9] [10] [11] [1] [13] [14] [15] [16]

8 [17] [18] [19] [0] [1] [] [3] [4]

9 [5] [6] [7] [8] [9] [30] [31] [3]

10 [33] [34] [35] [36]

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES a. Dominio de definición: D = Dom f() = { R eiste f()} b. Puntos de corte con los ejes: Con el eje OX (abscisas): f() = 0 : (,0). Ninguno, uno o más puntos. Con el eje

Más detalles

x = 0, la recta tangente a la gráfica de f (x)

x = 0, la recta tangente a la gráfica de f (x) CÁLCULO DIFERENCIAL JUNIO 004 1. Sea la función e y = estúdiese su monotonía, etremos relativos y asíntotas. (Solución: Es derivable en todos los puntos ecepto en =0. Creciente si < 0. No tiene asíntotas

Más detalles

Página 322. 3. Representa: a) y = b) y = c) y = cos 2x + cos x. a) y = Dominio: D = Á {0} No es simétrica. Asíntotas verticales:

Página 322. 3. Representa: a) y = b) y = c) y = cos 2x + cos x. a) y = Dominio: D = Á {0} No es simétrica. Asíntotas verticales: Página. Representa: e e a) y = b) y = c) y = cos + cos e a) y = Dominio: D = Á {0} No es simétrica. Asíntotas verticales: f () = +@ 8 0 f () = +@ 8 0 + Asíntota vertical: = 0 f () = 0. Además, f () > 0

Más detalles

x + x 2 +1 = 1 1 = 0 = lím

x + x 2 +1 = 1 1 = 0 = lím UNIDAD Asíntota horizontal: 8 +@ + + = y = es asíntota horizontal hacia +@ (y > ). + + + + = = = 0 8 @ 8 +@ y = 0 es asíntota horizontal hacia @ (y < 0). CUESTIONES TEÓRICAS 30 Qué podemos decir del grado

Más detalles

Estudio de funciones mediante límites y derivadas

Estudio de funciones mediante límites y derivadas Estudio de funciones mediante límites y derivadas Observación: La mayoría de estos ejercicios se han propuesto en las pruebas de Selectividad, en los distintos distritos universitarios españoles El precio

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca

Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca Ejercicio: 4. 4. El intervalo abierto (,) es el conjunto de los números reales que verifican: a). b) < . - Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales, a < < b. 4. El intervalo

Más detalles

Tabla de Derivadas. Función Derivada Función Derivada. f (x) n+1. f (x) y = f (x) y = ln x. y = cotg f (x) y = ( 1 cotg 2 f (x)) f (x) = f (x)

Tabla de Derivadas. Función Derivada Función Derivada. f (x) n+1. f (x) y = f (x) y = ln x. y = cotg f (x) y = ( 1 cotg 2 f (x)) f (x) = f (x) Matemáticas aplicadas a las CCSS - Derivadas Tabla de Derivadas Función Derivada Función Derivada y k y 0 y y y y y f ) y f ) f ) y n y n n y f ) n y n f ) n f ) y y n y y f ) y n n+ y f ) n y f ) f )

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCIÓN

ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCIÓN DP. - AS - 5119 007 Matemáticas ISSN: 1988-79X ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCIÓN Dada la función y - 9 + 1 -, calcula: (a) Dominio de la función. (b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 00 (c) Puntos

Más detalles

5. [2013] [EXT-A] En una empresa de montajes el número de montajes diarios realizados por un trabajador depende de los días

5. [2013] [EXT-A] En una empresa de montajes el número de montajes diarios realizados por un trabajador depende de los días . [204] [ET-A] Una empresa ha realizado un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, que ha obtenido en los últimos 0 años. La función a la que se ajustan dichos beneficios viene dada por B(t) =

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 010 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1300, 29-OCTUBRE-1996. (1) 2x 3 > 4.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1300, 29-OCTUBRE-1996. (1) 2x 3 > 4. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1300, 9-OCTUBRE-199 1) 3 > 4. +1 ) Sea la función 3 si 1 a + b si 1 . Encontrar los valores de a, b, c para que la función

Más detalles

EXAMEN DE MATEMATICAS II 2ª ENSAYO (1) Apellidos: Nombre:

EXAMEN DE MATEMATICAS II 2ª ENSAYO (1) Apellidos: Nombre: EXAMEN DE MATEMATICAS II ª ENSAYO () Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: CURSO 05 Instrucciones: a) Duración: HORA y 0 MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de

Más detalles

3.4 Concavidad y el criterio de la segunda derivada

3.4 Concavidad y el criterio de la segunda derivada 90 CAPÍTULO 3 Aplicaciones de la derivada 3.4 Concavidad el criterio de la segunda derivada Determinar intervalos sobre los cuales una función es cóncava o cóncava. Encontrar cualesquiera puntos de infleión

Más detalles

JUNIO 2010. Opción A. 1 1.- Dada la parábola y = 3 área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola.

JUNIO 2010. Opción A. 1 1.- Dada la parábola y = 3 área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola. Junio 00 (Prueba Específica) JUNIO 00 Opción A.- Dada la parábola y 3 área máima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola., y la recta y 9, hallar las dimensiones

Más detalles

ANÁLISIS. d) No, se podrían haber considerado infinitas funciones diferenciadas en una constante.

ANÁLISIS. d) No, se podrían haber considerado infinitas funciones diferenciadas en una constante. Pruebas de Acceso a la Universidad de Zaragoza. ANÁLISIS Junio 99. Sea f: una función cuya primera derivada es f () =. Se pide: a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, de concavidad

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva,

Más detalles

www.academiacae.com!!info@academiacae.com!!91.501.36.88!!28007!madrid!

www.academiacae.com!!info@academiacae.com!!91.501.36.88!!28007!madrid! CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. TEOREMAS Y APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1.- junio 1994 Se sabe que y = f (x) e y = g (x) son dos curvas crecientes en x = a. Analícese si la curva y = f(x) g(x) ha de ser,

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Ejercicio nº.- Estudia y representa la siguiente unción: ( ) + 6 Ejercicio nº.- Dibuja la gráica de la unción: ( + ) ( ) Ejercicio nº.- Dada la unción: y sen sen, [0, ] a) Halla

Más detalles

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.5: Aplicaciones de la derivada. Máximos y mínimos (absolutos) de una función. Sea f una función definida en un conjunto I que contiene un punto

Más detalles

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 7 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Página 67 REFLEXIONA Y RESUELVE Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0

Más detalles

Tema 10 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II 2º Bachillerato 1. ( x) 2x x. Hay dos puntos: (1, 2) y (1, 2)

Tema 10 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II 2º Bachillerato 1. ( x) 2x x. Hay dos puntos: (1, 2) y (1, 2) Tema 0 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II º Bachillerato TEMA 0 APLICACIONES DE LA DERIVADA RECTA TANGENTE Escribe e 0 EJERCICIO : la ecuación de la recta tangente a la curva f en 0. Ordenada del

Más detalles

DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Derivada de una función en un punto. Función derivada. Sea f () una función de una variable definida en un intervalo abierto (a, b) y sea (a, b). Se dice que f es

Más detalles

Teoría Tema 9 Representación gráfica de funciones

Teoría Tema 9 Representación gráfica de funciones página 1/24 Teoría Tema 9 Representación gráfica de funciones Índice de contenido Gráficas de funciones...2 Gráfica de una parábola...3 Gráfica de un polinomio de grado 3...6 Gráfica de un cociente de

Más detalles

TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE

TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE PROBLEMAS RESUELTOS + Dada F() =, escriba la ecuación de la secante a F que une los puntos (, F( )) y 4 (, F()). Eiste un punto c en el intervalo [, ]

Más detalles

1. Calcula la tasa de variación media de la función y = x 2 +x-3 en los intervalos: a) [- 1,0], b) [0,2], c) [2,3]. Sol: a) 0; b) 3; c) 6

1. Calcula la tasa de variación media de la función y = x 2 +x-3 en los intervalos: a) [- 1,0], b) [0,2], c) [2,3]. Sol: a) 0; b) 3; c) 6 ejerciciosyeamenes.com PROBLEMAS DE DERIVADAS 1. Calcula la tasa de variación media de la función +- en los intervalos: a) [- 1,0], b) [0,], c) [,]. Sol: a) 0; b) ; c) 6. Calcula la tasa de variación media

Más detalles

CÁLCULO DE PRIMITIVAS Y ÁREAS POR INTEGRALES

CÁLCULO DE PRIMITIVAS Y ÁREAS POR INTEGRALES CÁLCULO DE PRIMITIVAS Y ÁREAS POR INTEGRALES RELACIÓN DE PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD º DE BACHILLERATO CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS TERESA GONZÁLEZ GÓMEZ .-Hallar una primitiva

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 8 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 86 Descripción de una gráfica. Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta

Más detalles

Estudio de funciones mediante límites y derivadas

Estudio de funciones mediante límites y derivadas Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 (Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 01 ['5 puntos] Un alambre de 10 metros de longitud se divide en dos trozos.

Más detalles

Aplicaciones de la derivada

Aplicaciones de la derivada CAPÍTULO 8 Alicaciones de la derivada 8.3 Concavidad conveidad Observemos que f 00./ > 0 en un intervalo ) f 0./ es creciente en dicho intervalo, or lo tanto, al recorrer la gráfica de la función f de

Más detalles

Las superficies serán: Tapa y superficie lateral S 1 = ( x 2 +4xy ) cm 2 Superficie de la base: S 2 = x 2 cm 2

Las superficies serán: Tapa y superficie lateral S 1 = ( x 2 +4xy ) cm 2 Superficie de la base: S 2 = x 2 cm 2 MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 8 cm. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta /cm y para la base

Más detalles

. Matemáticas aplicadas CCSS. Ejercicios modelo Selectividad 2000-2011

. Matemáticas aplicadas CCSS. Ejercicios modelo Selectividad 2000-2011 1. CÁLCULO DE DERIVADAS Ejercicio 1. (001) Calcule las funciones derivadas de las siguientes: Lx a) (1 punto) f ( x) = (Lx indica logaritmo neperiano de x) x 3 b) (1 punto) g( x) = (1 x ) cos x 3 1 c)

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Tangentes a una curva y f () 5 5 9 4 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(4). f'() 0; f'(9) ; f'(4) 4 Di otros

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 11.1 ELEMENTOS FUNDAMENTALES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE CURVAS

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 11.1 ELEMENTOS FUNDAMENTALES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE CURVAS REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 11.1 ELEMENTOS FUNDAMENTALES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE CURVAS DOMINIO - Polinomio : D = R - Cocientes : D = R {puntos que anulan el denominador} - Raíces de índice par : D = {Lo

Más detalles

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO EJERCICIO : Halla la tasa de variación

Más detalles

Profesor: Fernando Ureña Portero

Profesor: Fernando Ureña Portero MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. CURSO 13-14 1.-Dada la función a) (3p.) Dominio de f() b) (3 p.) Calcular. Es posible calcular? Por qué? c) (4p.) Calcular.- Estudiar la continuidad de la función: { 3.-a)

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL

EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL Ejercicio nº 1.- Calcula (), utilizando la definición de derivada, siendo: f () + 5 f ( + ) f () ( + ) + 5( + ) 18 (4 + 4 + )

Más detalles

EJERCICIOS PAU MAT II CC SOC. ARAGÓN Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com.

EJERCICIOS PAU MAT II CC SOC. ARAGÓN Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com. FUNCIONES 1- a) Dada la función:, Definida para 0, 0, encontrar el punto (x,y) que maximiza f sujeto a la restricción x+y=36. b) Calcular: Aragón 2014 Opción A Junio 2- Dada la función: Calcular: a) Dominio

Más detalles

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x 1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN IBJ05 1. Se considera la función f ( ). Se pide: a) Encontrar los intervalos donde esta función es creciente y donde es decreciente. ( puntos) b) Calcular las asíntotas.

Más detalles

1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Solución:

1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Solución: RELACIÓN DE PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD DE ANÁLISIS. I Departamento de Matemáticas 1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Función

Más detalles

Ejercicios Resueltos de Derivadas y sus aplicaciones:

Ejercicios Resueltos de Derivadas y sus aplicaciones: Ejercicios Resueltos de Derivadas y sus aplicaciones: 1.- Sea la curva paramétrica definida por, con. a) Halle. b) Para qué valor(es) de, la curva tiene recta tangente vertical? 2.- Halle para : a) b)

Más detalles

FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO. El Tª de Bolzano es útil para determinar en algunas ocasiones si una ecuación tiene soluciones reales:

FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO. El Tª de Bolzano es útil para determinar en algunas ocasiones si una ecuación tiene soluciones reales: FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO Teoremas de continuidad y derivabilidad Teorema de Bolzano Sea una función que verifica las siguientes hipótesis:. Es continua en el intervalo cerrado [, ]. Las imágenes

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(

Más detalles

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 0 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Página 8 REFLEXIONA Y RESUELVE Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0

Más detalles

12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una unción, y = () en un intervalo

Más detalles

Teorema de máximos y mínimos para funciones continuas:

Teorema de máximos y mínimos para funciones continuas: Matemática II 7 Modulo 4 Estudio de funciones. Valores etremos de funciones En muchos casos las funciones que se presentan no pueden graficarse hallando unos pocos puntos, a que no es fácil deducir el

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar la gráfica que aparece al principio,

Más detalles

BLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE. ESTUDIO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

BLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE. ESTUDIO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN BLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE. ESTUDIO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Crecimiento y decrecimiento. Extremos absolutos y relativos. Concavidad y convexidad. Asíntotas.

Más detalles

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) Capítulo IV Variación de funciones. Extremos

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) Capítulo IV Variación de funciones. Extremos (Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) Capítulo IV Variación de unciones. Etremos INTRODUCCIÓN En múltiples problemas de ingeniería se requiere optimizar una o varias de las variables que intervienen

Más detalles

1. f(x) = x+5 ; f (2) 2. f(x) x 2-3x+2 ; f (1) 3. f(x) = sen 2x ; f (0) 4. f(x) = x+1 x-2 ; f (1)

1. f(x) = x+5 ; f (2) 2. f(x) x 2-3x+2 ; f (1) 3. f(x) = sen 2x ; f (0) 4. f(x) = x+1 x-2 ; f (1) Derivadas. Dada la siguiente función, calcular, por la definición, la derivada que se indica:. f() = +5 ; f (). f() -+ ; f (). f() = sen ; f (0) 4. f() = + - ; f () 5. f() =,

Más detalles

Resumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. Cálculo de derivadas. Aplicaciones.

Resumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. Cálculo de derivadas. Aplicaciones. Resumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. Cálculo de derivadas. Aplicaciones. 0.. Concepto de derivada. Definición. Sea f : S R R, a (b, c) S. Decimos que f es derivable en a si existe: f(x) f(a)

Más detalles

Aplicaciones de la derivada

Aplicaciones de la derivada CAPÍTULO 8 Aplicaciones de la derivada 8. Máimos mínimos locales Si f. 0 / f./ para cada cerca de 0, es decir, en un intervalo abierto que contenga a 0, diremos que f alcanza un máimo local o un máimo

Más detalles

1. Estudia la derivabilidad de la función )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg(x) tiene pendiente 2?.

1. Estudia la derivabilidad de la función )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg(x) tiene pendiente 2?. ejerciciosyeamenes.com EXAMEN DERIVADAS. Estudia la derivabilidad de la función si f ()= si > 3. )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg() tiene pendiente?. 4. Ecuación de la recta tangente

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA I. Ejercicios a resolver en la práctica. = x + 2. Determina y clasifica los puntos o valores

APLICACIONES DE LA DERIVADA I. Ejercicios a resolver en la práctica. = x + 2. Determina y clasifica los puntos o valores UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR Enero-Marzo 010 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS MATEMÁTICA I (MA-1111) Fecha de publicación: 0-0-010 Contenido Tercer Parcial APLICACIONES DE LA DERIVADA I Contenidos

Más detalles

1. f(x) = x3 1 x 2. 2. f(x) = x2 9 x 2 4. 3. f(x) = x 3 x + 2. x 3 (x 1) 2. 4. f(x) = 5. f(x) = x + 5 x 2 9. 6. f(x) = x2 3 x 2. x 2 3 x 2. 7.

1. f(x) = x3 1 x 2. 2. f(x) = x2 9 x 2 4. 3. f(x) = x 3 x + 2. x 3 (x 1) 2. 4. f(x) = 5. f(x) = x + 5 x 2 9. 6. f(x) = x2 3 x 2. x 2 3 x 2. 7. . f() =. f() = 9. f() =. f() = ( ). f() = 9 6. f() = 7. f() =. f() = 9. f() = p. f() =. f() =. f() = ( ). f() = 9. f() = ( ) . f() = Función racional con asíntota oblícua. Einamos los puntos que anulan

Más detalles

CONCAVIDAD. Supongamos que tenemos la siguiente información, referente a una curva derivable: Cómo la graficaríamos?

CONCAVIDAD. Supongamos que tenemos la siguiente información, referente a una curva derivable: Cómo la graficaríamos? CAPÍTULO 14 CONCAVIDAD Supongamos que tenemos la siguiente información, referente a una curva derivable: Intervalo Signo de f F (-00,3) + Creciente (3,8) - Decreciente (8, + ) + Creciente Cómo la graficaríamos?

Más detalles

JUNIO 2010. Opción A. 1 2 3

JUNIO 2010. Opción A. 1 2 3 JUNIO 2010 Opción A 2 3 1 1.- Sean las matrices: A 0 1 2 y B 5 3 1 Halla una matriz X tal que 2X BA AB. 2 0 1 3 3 2. 1 2 3 2.- La cantidad C de tomates (en kg) que se obtienen de una planta de tomate depende

Más detalles

PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad

PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad Sea f : R R la función definida por f() = e /. (a) En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas?

Más detalles

8. y = Solución: x 4. 9. y = 3 5x. Solución: y' = 5 3 5x L 3. 10. y = Solución: 4 4 (5x) 3. 11. y = Solución: (x 2 + 1) 2. 12.

8. y = Solución: x 4. 9. y = 3 5x. Solución: y' = 5 3 5x L 3. 10. y = Solución: 4 4 (5x) 3. 11. y = Solución: (x 2 + 1) 2. 12. 7 Cálculo de derivadas. Reglas de derivación. Tabla de derivadas Aplica la teoría Deriva en función de :. y = 8. y = 5 3 5 4. y = ( ) 5 0( ) 4 9. y = 3 5 5 3 5 L 3 3. y = 7 + 3 4. y = e e 5. y = 7 7 +

Más detalles

APUNTES DE FUNCIONES PARA 4º ESO

APUNTES DE FUNCIONES PARA 4º ESO APUNTES DE FUNCIONES PARA 4º ESO - DEFINICIÓN: Una función es una relación entre dos magnitudes, X e Y, de forma que a cada valor de la magnitud X corresponde un único valor y de la magnitud Y. : variable

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL 9. UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS

CÁLCULO DIFERENCIAL 9. UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL 9 UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS SOLUCIONES DE LA COLECCIÓN DE PROBLEMAS - CAPÍTULO 3 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS. x )

EJERCICIOS RESUELTOS. x ) BXX5744_08 /6/09 09:59 Página 77 EJERCICIOS RESUELTOS Estudia el crecimiento, decrecimiento y los etremos relativos de la función f() = El dominio de f() es R, por lo tanto eiste en ]0, π[. Calculamos

Más detalles

3.3 Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada

3.3 Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada SECCIÓN. Funciones crecientes decrecientes el criterio de la primera derivada 79. Funciones crecientes decrecientes el criterio de la primera derivada Determinar los intervalos sobre los cuales una función

Más detalles

FUNCIONES RACIONALES. HIPÉRBOLAS

FUNCIONES RACIONALES. HIPÉRBOLAS www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES RACIONALES. HIPÉRBOLAS 1. FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA El área de un rectángulo es 18 cm 2. La siguiente tabla nos muestra algunas medidas que

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada (Modelo 2 del 2012) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada (Modelo 2 del 2012) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada (Modelo del 01) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS II DE ANDALUCÍA CURSO 011-01 Opción A Ejercicio 1, Opción A, Modelo de 01 Sea la

Más detalles

Derivada de una función

Derivada de una función 0 Derivada de una función Derivada de una función L I T E R A T U R A M A T E M Á T I C A S La ciudad Rosa y Roja Aquella princesa de largos y dorados cabellos estaba alarmada al observar que cada día

Más detalles

SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA 1

SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA 1 MATEMÁTICAS:º BACHILLERATO SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA.- Calcular los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f ( ) D(f) (Por ser polinómica) ; Posibles máimos o mínimos 6

Más detalles

3. y = (2x+1)2 2x+3. x, x < 2 x+1, x 2

3. y = (2x+1)2 2x+3. x, x < 2 x+1, x 2 Derivadas. Dada la siguiente función, calcular, por la definición, la derivada que se indica:. f() = - ; f (-). f() = ; f (0). f() = ln ; f () 4. f() = - ; f (0) 5. f() = +, < 0, 0 ; f (0) 6. f() = sen,

Más detalles

P. A. U. LAS PALMAS 2005

P. A. U. LAS PALMAS 2005 P. A. U. LAS PALMAS 2005 OPCIÓN A: J U N I O 2005 1. Hallar el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 3 4x 2 + 5x 2 y la rectas y = 0, x = 1 y x = 3. x 3 4x 2 + 5x 2 es una función polinómica

Más detalles

Matemáticas Febrero 2013 Modelo A

Matemáticas Febrero 2013 Modelo A Matemáticas Febrero 0 Modelo A. Calcular el rango de 0 0 0. 0 a) b) c). Cuál es el cociente de dividir P(x) = x x + 9 entre Q(x) = x +? a) x x + x 6. b) x + x + x + 6. c) x x + 5x 0.. Diga cuál de las

Más detalles

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas Función Derivada Función compuesta Derivada y f x y f x y f g x

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas Función Derivada Función compuesta Derivada y f x y f x y f g x Tabla de derivadas Función Derivada Función compuesta Derivada k ' 0 ' ' n ' ' ' e ' n n n n ' n ' e a ' ln ln log a a a ' ' e a ln ln a Reglas de derivación log a ' ' ' ' ' ' ' ' ' ln ' ' ' ' e a a '

Más detalles

2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II FICHA TEMA 6.- FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ

2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II FICHA TEMA 6.- FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II FICHA TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.-

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 3 Especifico) Solucíon Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 3 Especifico) Solucíon Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A Opción A Ejercicio opción A, modelo 3 Septiembre 03 específico x Sea f la función definida por f(x) = para x > 0, x (donde ln denota el logaritmo neperiano) ln(x) [ 5 puntos] Estudia y determina las asíntotas

Más detalles

EXTREMOS Y OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES

EXTREMOS Y OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES Etremos y optimización de funciones EXTREMOS Y OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN. EXTREMOS RELATIVOS En 1º de Bachillerato, basándonos en la interpretación geométrica

Más detalles

Tema 1. Cálculo diferencial

Tema 1. Cálculo diferencial Tema 1. Cálculo diferencial 1 / 57 Una función es una herramienta mediante la que expresamos la relación entre una causa (variable independiente) y un efecto (variable dependiente). Las funciones nos permiten

Más detalles

IES Francisco Ayala Modelo 1 (Septiembre) de 2007 Solución Germán Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Francisco Ayala Modelo 1 (Septiembre) de 2007 Solución Germán Jesús Rubio Luna. Opción A IES Francisco Ayala Modelo (Septiembre) de 7 Germán Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio n de la opción A de septiembre, modelo de 7 3x+ Sea f: (,+ ) R la función definida por f(x)= x. [ 5 puntos] Determina

Más detalles

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS Tema 8 Límites de funciones, continuidad y asíntotas Matemáticas II º Bach 1 TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 8.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 8.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite

Más detalles

Integral definida. 1. Integral definida. Piensa y calcula. Aplica la teoría. 3. Siendo x el valor absoluto o módulo de x, calcula la. 2.

Integral definida. 1. Integral definida. Piensa y calcula. Aplica la teoría. 3. Siendo x el valor absoluto o módulo de x, calcula la. 2. Integral definida. Integral definida Piensa y calcula Halla, contando, el área de la ª figura del margen, la que tiene un signo + dentro. Cada cuadradito es una unidad cuadrada. Tiene eactamente 7, u y

Más detalles

= y. Así pues, el domino lo forman los números x para los cuales existe el valor de f (x)

= y. Así pues, el domino lo forman los números x para los cuales existe el valor de f (x) UAH Actualización de Conocimientos de Matemáticas para Tema 6 Funciones Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, una función de A en B es una relación (una ley) que asigna a cada elemento de A uno

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Tema 4: Representación de funciones Índice:. Información obtenida de la función... Dominio de la función.. Simetrías..3. Periodicidad.4. Puntos de corte con los ejes..5. Ramas

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS

FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS Representemos, en función de la longitud de la base (x), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro 1 metros. De ellos, cuáles son las medidas

Más detalles

5.1. Recta tangente, normal e intersección de curvas. Recta tangente

5.1. Recta tangente, normal e intersección de curvas. Recta tangente 5. Aplicaciones de la Derivada 5.1. Recta tangente, normal e intersección de curvas Recta tangente Desde la escuela primaria se sabe que la recta tangente en un punto de una circunferencia es aquella recta

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2001 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2001 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

Representación de funciones

Representación de funciones Representación de unciones Ejercicio nº.- Representa una unciónpolinómica, de la que sabemosque : lim ; lim Suderivadaes en Corta a los ejesen, en,.,,,,,,. Ejercicio nº.- Dibuja la gráica de la unción,

Más detalles

Tipos de Funciones. 40 Ejercicios para practicar con soluciones. 1 Representa en los mismos ejes las siguientes funciones: 1 x

Tipos de Funciones. 40 Ejercicios para practicar con soluciones. 1 Representa en los mismos ejes las siguientes funciones: 1 x Tipos de Funciones. 40 Ejercicios para practicar con soluciones Representa en los mismos ejes las siguientes funciones: a) y = ; b) y = ; c) y = y= y= y= Representa las siguientes funciones: a) y = b)

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA Ejercicio -Sea f: R R la función definida por f ( ) = + a + b + a) [ 5 puntos] Determina a, b R sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (, ) y tiene un punto de infleión

Más detalles

FUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN

FUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN FUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN 1 FUNCIONES FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real de variable real es una relación que asocia a cada número real, (variable independiente),

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. Análisis y programación lineal

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. Análisis y programación lineal Análisis y programación lineal Problema 1: La gráfica de la función derivada de una función f es la parábola de vértice (0, 2) que corta al eje de abscisas en los puntos ( 3, 0) y (3, 0). A partir de dicha

Más detalles

Límites y continuidad

Límites y continuidad Límites y continuidad.. Límites El ite por la izquierda de una función f en un punto 0, denotado como 0 f() es el valor al que se aproima f() cuando se acerca hacia 0 por la izquierda. De igual forma,

Más detalles

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones ACTIVIDADES Respuesta abierta. Por ejemplo: Respuesta abierta. Por ejemplo: f() decrece en (, 0) y crece en (0, ). a) f() ( ) En este caso se trata

Más detalles

Matemática - FAZ 2015. Función exponencial

Matemática - FAZ 2015. Función exponencial Función eponencial La función eponencial surge naturalmente cuando se estudian diversos fenómenos relacionados con el crecimiento decrecimiento de poblaciones humanas, con colonia de bacterias, con sustancias

Más detalles

UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES

UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES ÍNDICE DE LA UNIDAD.- INTRODUCCIÓN.....- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.....- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.... 4.- CONTINUIDAD

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de

Más detalles

3x2 2x x 1 + x 3x 5 5x2 5x x3 3x 2. 1

3x2 2x x 1 + x 3x 5 5x2 5x x3 3x 2. 1 1. Calcula la derivada de las funciones: y = Ln3 4 3 ) 5 y = Ln [ 1) )]. Calcula la derivada de las funciones: y = sen y = sen 3 y = sen 3 y = sen 3 3 y = sen 3 ) y = sen 4 3 4 5) 3 3. Calcula la derivada

Más detalles

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS Ejercicio 1 De la función se sabe que tiene un máximo en, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa y tiene un punto de inflexión en el punto

Más detalles

Profesor: Rafa González Jiménez. Instituto Santa Eulalia ÍNDICE

Profesor: Rafa González Jiménez. Instituto Santa Eulalia ÍNDICE TEMA 5: DERIVADAS. APLICACIONES. ÍNDICE 5..- Derivada de una función en un punto. 5...- Tasa de variación media. Interpretación geométrica. 5..2.- Tasa de variación instantánea. Derivada de una función

Más detalles