ÁLGEBRA MATRICIAL. 1. La traspuesta de A es A; (A ) = A. 2. La inversa de A 1 es A; (A 1 ) 1 = A. 3. (AB) = B A.

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1 ÁLGEBRA MATRICIAL. 1. La traspuesta de A es A; A = A. 2. La inversa de A 1 es A; A 1 1 = A. 3. AB = B A. 4. Las matrices A A y AA son simétricas. 5. AB 1 = B 1 A 1, si A y B son no singulares. 6. Los escalares conmutan con las matrices; k Ak. 7. Si D 1 y D 2 son matrices diagonales, entonces la matriz producto es diagonal; D 1 D 2 = D 2 D 1 = D. 8. Sean X e Y son vectores y A una matriz no singular, si se verifica la ecuación Y = AX entonces X = A 1 Y. 9. El rango de la matriz producto AB es menor o igual que el rango de la matriz A y de la matriz B. 10. El rango de la matriz suma A + B es menor o igual que la suma del rango de la matriz A y el de la matriz B. 11. Sea A una matriz n n. El rango de A es menor que n si y solo si A = Si el rango de A es menor que n entonces los vectores filas de A no son independientes; los vectores columnas de A tampoco son independientes. 13. Si el rango de A es m n, entonces el número de vectores filas columnas linealmente independientes es m. 14. Si A 0 entonces Sea A una matriz no singular. El rango de las matrices AB y BA coincide con el rango de B. 1

2 16. Si AB = 0 entonces o bien 0 o B = 0 o A y B son singulares. 17. Si A y B son matrices n n de rango r y s, respectivamente, entonces el rango de AB es menor o igual que r + s n. 18. Los rangos de las matrices AA, A A, A y A son todos iguales. Formas Cuadráticas. Una matriz A se dice que es semidefinida positiva si Y AY 0 para todo vector Y 0. Diremos que es definida positiva si Y AY > 0 para todo vector Y 0. Una matriz C es ortogonal si C C = I. Diremos que un escalar λ es una raíz característica de la matriz A si para algún vector X = 0 se verifica que AX = λx. Las raíces características coinciden con las raíces del polinomio característico A λi = Si P es una matriz no singular y si A es definida positiva semidefinida positiva entonces P AP es definida positiva semidefinida positiva. 2. Una condición necesaria y suficiente para que la matriz simétrica A sea definida positiva es que exista una matriz no singular P tal que P P P P. 3. Una condición necesaria y suficiente para que una matriz sea definida positiva es que sus mayores principales sean positivos. 4. Si A es una matriz n m de rango m < n, entonces A A es definida positiva y AA es semidefinida positiva. 5. Si A es una matriz n m de rango k, k < n y k < m, entonces A A y y AA son semidefinidas positivas. 6. Sea C es una matriz ortogonal y Y = CZ entonces Y Y = Y IY = Z C ICZ = Z C CZ = Z Z. 7. El número de raíces características no nulas de una matriz coincide con su rango. 2

3 8. Las raíces características de A coinciden con las raíces características de CAC 1. Si C es una matriz ortogonal, entonces las raíces características de A y de CAC son idénticas. 9. Las raíces características de una matriz simétrica son reales. 10. Las raíces características de una matriz definida positiva son positivas, las de una matriz semidefinida positiva son no negativas. 11. Para cualquier matriz simétrica A existe una matriz ortogonal C tal que C AC = D, donde D es una matriz diagonal cuyos elementos son las raíces características de A. 12. Sean A 1, A 2,..., A k matrices n n simétricas. Una condición necesaria y suficiente para que exista una matriz ortogonal C tal que C A 1 C, C A 2 C,..., C A k C sean matrices diagonales es que las matrices producto A i A j sean simétricas o A i A j = A j A i para todo i y j. Determinantes. La traza de una matriz es la suma de los elementos de su diagonal. 1. El determinante de una matriz diagonal es igual al producto de sus elementos diagonales. 2. Si A y B son matrices n n, entonces AB = BA = A B. 3. Si A es singular entonces A = Si C es una matriz ortogonal entonces C = +1 o C = Si C es una matriz ortogonal entonces C AC = A. 6. El determinante de una matriz definida positiva es positivo. 7. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal. 3

4 8. Sea A una matriz cuadrada tal que A11 A 12 A 21 A 22 donde A 11 y A 22 son matrices cuadradas. Si A 12 = 0 o A 21 = 0 entonces A = A 11 A Sean A 1 y A 2 matrices simétricas. Si A 2 es definida positiva y A 1 A 2 es definida positiva o semidefinida positiva entonces A 1 A trab = trba. 11. trabc = trcab = trbca; esto es, la traza del producto de matrices es invariante bajo cualquier permutación cíclica de matrices. 12. tri = n. 13. Si C es una matriz ortogonal entonces trc AC = tra. 14. Sea A una matriz simétrica definida positiva tal que A A 22 entonces A 1 = A A Sea A una matriz simétrica definida positiva tal que A11 A 12 A 21 A 22 y B su matriz inversa B = B11 B 12 B 21 B 22. Entonces A 1 11 = B 11 B 12 B 1 22 B 21 y A 1 22 = B 22 B 21 B 1 11 B 12. 4

5 16. Sea A una matriz cuadrada tal que A11 A 12 A 21 A 22. Si A 22 es no singular entonces A = A 22 A 11 A 12 A22 1 A 21. Si A 11 es no singular entonces A = A 11 A 22 A 21 A 1 11 A 12. Matrices Idempotentes. Una matriz cuadrada es A se dice que es idempotente si A A. 1. Las raíces características de una matriz idempotente son cero o uno. 2. Si A es idempotente y no singular, entonces I. 3. Si A es idempotente de rango k, existe una matriz ortogonal P tal que P AP = E k donde E k es una matriz diagonal con los k primeros elementos uno y el resto ceros. 4. Todas las matrices idempotentes que no son de rango máximo son semidefinidas positivas. 5. Sea A una matriz idempotente. Si un elemento de la diagonal es nulo entonces la fila y la columna correspondientes son nulas. 6. Si A es idempotente de rango k entonces tr k. 7. Sean A y B matrices idempotentes, entonces AB es idempotente si AB = BA. 8. Si A es idempotente y P es ortogonal entonces P AP es idempotente. 9. Si A es idempotente y A + B = I, entonces B es idempotente y AB = B Sean A 1, A 2,..., A n matrices idempotentes. Una condición necesaria y suficiente para que exista una matriz ortogonal tal que P A 1 P, P A 2 P,..., P A n P sean matrices diagonales es que A i A j = A j A i para cada i y j. 5

6 11. Sean A 1, A 2,..., A n matrices simétricas. Cualesquiera dos de las siguientes condiciones implica la tercera a A 1, A 2,..., A n son matrices idempotentes. n b La suma B = A i es idempotente. i=1 c A i A j = 0 para todo i j. Si se satisfacen dos de las condiciones entonces el rango de la matriz B es igual a la suma de los rangos de las matrices A i. 6

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