Para la operación con potencias se deben seguir ciertas leyes, entre las más importantes destacan:

Transcripción

1 ..- EXPONENTES Y RADICALES ) EXPONENTES U epoete es u vlor ídice que me idic el úmero de veces que se v multiplicr otro vlor coocido como se. El epoete se coloc rri l derech del vlor se. Por ejemplo: X m h 0.5 q / -5 X es el vlor se es el epoete es el vlor se m es el epoete h es el vlor se 0.5 es el epoete q es el vlor se / es el epoete es el vlor se -5 es el epoete es el vlor se 7 es el epoete Osérvese pues que l se epoete puede ser culquier vlor, positivo o egtivo, etero o frcciorio. Al cojuto de se epoete tmié se le cooce como poteci, es decir, u poteci est costituid de u se u epoete. De los ejemplos teriores: X es u poteci de se X epoete m es u poteci de se epoete m -5 es u poteci de se epoete -5 Pr l operció co potecis se dee seguir cierts lees, etre ls más importtes destc: Lees de los epoetes ) Producto de dos potecis de l mism se: cudo se multiplic dos potecis de l mism se, u form de simplificr l operció es utilizr l mism se sumr los epoetes. Por ejemplo: ( ) ( m ) +m (h 5 ) (h ) h 5+ h 7 /4 /4 5/ M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PAGINA

2 ) Cociete de dos potecis de l mism se: cudo se divide dos potecis de l mism se, u form de simplificr l operció es utilizr l mism se restr los epoetes. Por ejemplo: m m h h 5 h 5 h 6 6 ( ) 6+ / 4 / ) L poteci de u poteci: Se tiee u poteci elevd otro epoete, e este cso se utiliz l se de l poteci los epoetes se multiplic, por ejemplo: ( ) m m (5 ) , 65 (8 - ) ,44 ( 4 ) (h /5 ) / h (/5 /) h /0 4) L poteci del producto de dos fctores: el resultdo se otiee elevdo cd fctor l mismo epoete de l poteci relizdo l multiplicció correspodiete, por ejemplo: () ( )( ) (5) (5 )( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 4 5) L poteci del cociete de dos fctores: el resultdo se otiee elevdo cd fctor l epoete correspodiete relizdo l divisió ecesri, por ejemplo: M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PAGINA

3 ( ) Poteci de epoete igul cero: culquier se elevd l cero es igul, por ejemplo: X (/) Poteci de epoete igul uo: culquier se elevd l uo es igul l mismo vlor de l se, por ejemplo: ( ) (-5) -5 M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PAGINA

4 8.- Epoetes egtivos: si eiste u poteci co epoete egtivo, éste puede hcerse positivo de l siguiete mer, si l poteci co epoete egtivo se ecuetr e el umerdor, ést se ps l deomidor co epoete positivo; si l poteci co epoete egtivo se ecuetr e el deomidor, ést se ps l umerdor co epoete positivo. Por ejemplo: 8 (8 )( ) (64)(7) Epoetes frcciorios: Los epoetes frcciorios se ecuetr ligdos los rdicles de l siguiete mer: 4 m m D D 5 8 R R 8 5 ) RADICALES L rdicció es l operció ivers l potecició. Se llm ríz eésim de u úmero otro úmero, que elevdo l d como resultdo. ídice rdicdo ríz sigo rdicl M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PAGINA 4

5 ) Equivlecis etre rdicles potecis de epoete frcciorio m m ) Poteci de u rdicl m m m ( ) c) Ríz de u rdicl m m m Ejercicios: ( + i) ( + i) 5 ( + i) ( ) 6 6 ( ) 4 ( ) 8 8 m m Resuelv los siguietes ejercicios:.- Clcule el diámetro de u tuerí si el áre de l circufereci es de 0.05 m, cosidere que l ecució pr el áre es l siguiete: A πd 4 4A D 4A 4(0.05) D 0. 5 π π.46 m M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PAGINA 5

6 .- Clcule el vlor de l velocidd del gu, cosiderdo que ls pérdids por fruició so de 0.5 m (recuerde que l celerció por grvedd es igul 9.8 m/s), utilice l siguiete ecució: hf v k g v * g * hf k m m m 9.8 * g * hf s v s 6. 6 k m s.- Despeje el vlor del rdio hidráulico (r) e l siguiete ecució pr clculr l velocidd de u flujo de gu: v r s v * r s r * v s * v s..- RAZONES Y PROPORCIONES Al cociete etre dos úmeros se le llm rzó l iguldd de dos rzoes se le llm proporció. U rzó puede deotrse de ls siguietes forms: es : / dode se llm térmios de l rzó. Ejemplo E u grj de puercos eiste cerdos mchos 5 hemrs: ) ecuetre l rzó de los mchos respecto ls hemrs ) ecuetre l rzó de ls hemrs respecto l totl ) es 5 :5 /5 ) 5 es 6 5:6 5/6 M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PAGINA 6

7 U proporció es u tipo especil de ecució que euci l iguldd etre dos rzoes, se puede escriir sí: : c:d es como c es d / c/d Pr evlur u proporció se us l multiplicció e cruz: Si c etoces d c d A d se cooce como eteros, mietrs que c se cooce como medios. El producto de los medios es igul l producto de los eteros. Ls rzoes proporcioes se plic e: ) L regl de tres ) L regl de l tortill Regl de tres Si se cooce tres de los cutros vlores que prece e u proporció se puede ecotrr el curto vlor co fcilidd. Ejercicio No..- Determir el vlor de e l siguiete proporció: 5 5 De cuerdo co el procedimieto pr evlur u proporció, l operció quedrí: Se multiplic cruzdo ()(5) ()(5) /5 5 Ejercicio No..- Si kg es igul lir M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PAGINA 7

8 ) determir el peso e lirs de u lechó que pes 7.5 kg kg 7.5 kg lir Se multiplic cruzdo (0.454)() (7.5)() / lirs el lechó pes 6.5 lirs ) si u cerdo pes lirs A cuátos kilogrmos es equivlete? kg lir lirs Se multiplic cruzdo (0.454)() ()() lirs kg Ejercicio No..- U costl de 0 lirs de fertilizte se utiliz pr u lote de 500 pies cudrdos ) Cuáts lirs se ecesit pr curir u áre de 6000 pies cudrdos? 0 lirs pies cudrdos pies cudrdos Se multiplic cruzdo (0)(6000) (500) () M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PAGINA 8

9 480, /500 9 Se requiere 9 lirs ) Cuátos costles se ecesit? costl 0 9 lirs lirs Se multiplic cruzdo ()(9) (0)() 9 0 9/0 6.4 Se ecesit 6.4 costles Ejercicio No. 4.- Ls istruccioes e u otell de isecticid dice usr 5 ml de isecticid por cd gló de gu, si el tque de plicció tiee u cpcidd de 0 litros ( gló.785 lt), clculr cuto isecticid dee plicrse u tque. 5 ml.785 lt 0 litros Se multiplic cruzdo (5)(0) (.785)() / Se ecesit 6.4 ml de isecticid M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PAGINA 9

10 Ejercicio No. 5.- Relice ls siguietes coversioes de u sistem de uiddes otro. ) 50 mills kilómetros ( mill.609 km) ) 8 cetímetros pulgds ( pulg.54 cm) c) 6 pies metros ( pie m) d) 8.5 metros cetímetros ( m 00 cm) e) 48 pulgds cetímetros f) 8 gloes litros (gl.785 lt) Ejercicio No. 6.- Si 4 trctores termi u trjo e 0 dís e cutos dís lo hrá 6 trctores? Ejercicio No. 7.- E u prcel eperimetl se siemr míz e hectáres. Si se cosech u superficie muestr e 00 m co u producció de 60 kg Cuál será l producció e l superficie totl?..- PORCENTAJES Es l relció de u úmero culquier co respecto otro, de lo que se otiee u frcció, que l multiplicr por cie se otiee el porcetje. Ejercicio No..- De u prcel de 0 hectáres se cosech úicmete 8 h Qué porcetje represet l superficie cosechd? form de frcció % form porcetul 0 0 Ejercicio No..- U gricultor tiee 00 h, pies semrr diferetes cultivos, determie que porcetje represet l superficie de cd cultivo. Míz Frijol Tomte Chile Totl 50 h 0 h 80 h 40 h 00 h 50 Míz 00 5% 00 0 Frijol 00 5% 00 M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PAGINA 0

11 80 Tomte 00 40% Chile 00 0% 00 L sum totl de porcetjes dee ser igul 00% Ejercicio No..- El grzo tiee u redimieto de to/h, si co ues práctics de cultivo se icremet el redimieto e 0.5 to/h e que porcetje se icremetó el redimieto? % el redimieto se icremetó e u 5% Ejercicio No. 4.- El sorgo e temporl tiee u redimieto de.5 to/h, si co el riego se icremet el redimieto e 80% Cuál serí el uevo redimieto?.5* to / h el icremeto es de.8 to/h que sumdos los.5 teriores, el uevo redimieto es de 6. to/h. U form pr oteer el resultdo directmete, es multiplicr el redimieto terior por Si el icremeto fuer del 0% etoces serí to/h Si el icremeto fuer del 45% etoces serí to/h Si el icremeto fuer del 0% etoces serí to/h Ejercicio No. 5.- El cultivo de grzo tiee u redimieto promedio de to/h, si u ifecció de ri de grzo reduce el redimieto e u 0%, cul será el uevo redimieto? * to / h l dismiució es de 0.4 to/h que restdos los to/h del redimieto terior, el uevo redimieto es de.6 to/h. Ejercicio No. 6.- L recomedció pr usr u fugicid dice que el producto se dee plicr e u solució l 5%, si el tque fumigdor es de 0 litros Qué ctidd de fugicid se dee gregr l solució e u tque? (0)(0.05) litro de fugicid pr los 0 litros de solució M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PAGINA

12 .4.- TRIGONOMETRA L Trigoometrí es l rm de ls mtemátics que estudi ls relcioes etre los ldos los águlos de los triágulos. Ls primers pliccioes de l trigoometrí se hiciero e los cmpos de l vegció, l geodesi l stroomí, e los que el pricipl prolem er determir u distci iccesile, es decir, u distci que o podí ser medid de form direct, como l distci etre l Tierr l Lu. Se ecuetr otles pliccioes de ls fucioes trigoométrics e l físic e csi tods ls rms de l igeierí, sore todo e el estudio de feómeos periódicos, como el flujo de corriete lter. Ls dos rms fudmetles de l trigoometrí so l trigoometrí pl l trigoometrí esféric..4. Rzoes Trigoométrics U rzó trigoométric es u vlor umérico socido u águlo que permite relcior opertivmete los águlos los ldos de u triágulo. Ls rzoes trigoométrics más importtes so seo, coseo tgete. cteto opuesto Se hipoteus cteto dcete Cos hipoteus cteto opuesto T cteto dcete Otrs rzoes trigoométrics so l cotgete, secte cosecte: cteto dcete Cot cteto opuesto hipoteus Sec cteto dcete Co sec hipoteus cteto opuesto M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PAGINA

13 U relció importte e trigoometrí es l que estlece el Teorem de Pitágors:.4. Teorem de Pitágors El cudrdo de l hipoteus es igul l sum del cudrdo de cd uo de los ctetos c + c hipoteus cteto opuesto cteto dcete.4. Le de los seos c α L le de los seos es u relció de tres igulddes que siempre se cumple etre los ldos águlos de u triágulo culquier que es útil pr resolver ciertos tipos de prolems de águlos (cudo los triágulos o so rectágulos). L le de los seos estlece que e todo triágulo olicuoágulo, los ldos so proporcioles los seos de los águlos opuestos. C A c B Se A Se B c Se C dode, c so los ldos del triágulo A, B C so los águlos..4.4 Le de los coseos L le de los coseos permite clculr l logitud de u ldo de u triágulo culquier coociedo los otros dos ldos l medid del águlo compredido etre éstos. Est le estlece que e todo triágulo, el cudrdo de u ldo es igul l sum de los cudrdos de los otros dos ldos meos el dole producto de mos por el coseo del águlo compredido etre ellos. M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PAGINA

14 c B A C + c * * c * Cos A + c * * c * Cos B c + * * * Cos C Not: E est últim ecució, si se trt de u triágulo rectágulo el águlo cosiderdo (C) es de 90, el coseo de 90 es cero, por tto quedrí el teorem de Pitágors. c + * * * Cos 90 c + * * * (0) l multiplicr ***0 0 c + Ejercicios de plicció Ejercicio No..- U gricultor quiere coocer l ltur de los ároles frutles e su huert. Si coloc el trásito u distci de 0 m el águlo de iclició pr visulizr l cop de los ároles es de 40. Determie l ltur. h? 40 0 m M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PAGINA 4

15 Se requiere u relció que ivolucre los ldos el águlo del prolem. Se seleccio u de ls rzoes trigoométrics. Pr este cso l tgete os permite coocer el vlor de h e fució del águlo coocido el vlor de l distci. cteto opuesto T cteto dcete El cteto opuesto es h el cteto dcete es l distci de 0 m. Se sustitue estos vlores e l ecució: h T 40 0 despejdo el vlor de h ( T 40 )(0) h h (0.89)(0) 5.7 m Ejercicio No. Determie el vlor del águlo de iclició de l compuert co respecto l ivel de refereci, cosiderdo u profudidd del gu (h) de m u logitud de l compuert (L) de 4 m. h m α L 4 m Nivel de refereci Se seleccio l rzó trigoométric que relcioe los tres vlores que prticip e el prolem, el águlo (descoocido), el cteto opuesto (h) l hipoteus (L). El seo es dich rzó, queddo como sigue: cteto opuesto Se hipoteus h cteto puesto l águlo α L hipoteus Se α h L M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PAGINA 5

16 Se α Pr determir el vlor del águlo se otiee el seo iverso o fució ivers del seo (se - ) Se α 0 Ejercicio No. E u pres se determió que el empuje hidrostático verticl es de.8 to el horizotl es de 4 to. Determie el empuje totl que ctu sore l corti de l pres, cosiderdo que el empuje hidrostático es u mgitud vectoril. E E E E empuje hidrostático totl E empuje hidrostático verticl E empuje hidrostático horizotl E este cso teemos l prticipció úicmete de los ldos de u triágulo, o prticip igú águlo, por lo que, se utiliz el Teorem de Pitágors pr coocer el vlor de E. E ( E) + ( E) ( E) ( E E + ) E ( 4) + (.8) E E 4. 4 to M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PAGINA 6