I. DEFINICIÓN (i): LOGIT como un tipo concreto de MODELOS DE REGRESIÓN PARA VARIABLES DEPENDIENTES LIMITADAS.

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1 Curso d Posgrado 0-03 FORMACIÓN DE ESPECIALISTAS EN INVESTIGACIÓN SOCIAL APLICADA Y ANÁLISIS DE DATOS Técncas d modlzacón d varabls cualtatvas: Rgrsón Logístca Part I: El modlo d rgrsón logístca bnaro Ramón Mahía (UAM) Abrl 03 I. DEFINICIÓN (): LOGIT como un tpo concrto d MODELOS DE REGRESIÓN PARA VARIABLES DEPENDIENTES LIMITADAS. OJO: CASI TODAS LAS VARIABLES DEPENDIENTES SON LIMITADAS VARIABLE DEPENDIENTE LIMITADA (por tnr DISTRIBUCIONES REALES LIMITADAS): CATEGÓRICA: BINARIA: Logt, Probt, y Modlo lnal d probabldad MULTICOTÓMICA: Logt multnomal NO CATEGÓRICA Dpndnt contnua con solucón d squna 3 (n l cro): TOBIT Varabl count 4 (métrca dscrta con scasos valors, ncluyndo l cro): REGRESIÓN DE POISSON VARIABLE DEPENDIENTE LIMITADA (por dsño xprmntal con MUESTRAS LIMITADAS): Mustra CENSURADA: Sólo obsrvamos la varabl ndógna s stá por dbajo d un dtrmnado umbral, pro aún con todo dsponmos d la dstrbucón d los rgrsors 5 REGRESIÓN NORMAL CENSURADA. Dos casos muy habtuals son los modlos con top codng o los modlos d duracón Hay contnuas lmtadas, como l porcntaj dl salaro ddcado a ahorro, la dad d la murt d una prsona, la puntuacón n un tst d 00 prguntas,, ) 3 Es una varabl para la qu una fraccón no trval d la poblacón prsnta l valor 0 mntras qu n l rsto d la poblacón la varabl sgu una dstrbucón postva contnua. Por jmplo, l volumn d alcohol consumdo a lo largo d la smana por un ndvduo, la cantdad gastada n donacons,..) un modlo lnal llvaría a pronóstcos ngatvos para algunas prsonas y tomar logartmos no sría posbl (muchos cros). 4 No son códgos d altrnatvas, sno valors, con sntdo numérco, pro n una scala no contnua (dscrta) y postva qu ncluy l cro (númro d hjos, rrors n la grabacón d un txto nformátco n cada págna, llamadas n una cntral tlfónca por mnuto, ) 5 Por jmplo, cuando hmos prguntado la rnta d una famla y n l xtrmo supror hmos pusto (más d uros al ms) o, por jmplo, qurmos mdr l tmpo qu transcurr dsd la lbrtad d un rcluso y su nuvo arrsto: sría posbl qu, por jmplo, un 60% d los rclusos no vulvn a sr dtndos d modo qu la mustra d príodos dsponbls (rclusos qu vulvn a prsón) staría ssgada d forma psmsta (hay muchos qu no han vulto).

2 Mustra TRUNCADA: Exclumos dl mustro algunos sgmntos d la poblacón basándonos n algún valor d la propa ndógna (y) 6 : REGRESIÓN NORMAL TRUNCADA Mustra TRUNCADA INCIDENTAL: Qudan xcludos d nustra mustra algunos lmntos pro no n funcón d la ndógna (como n l truncado) sno por otras varabls 7 qu sí pudn sr obsrvadas d modo qu pud stmars la probabldad d slccón d los ndvduos: MODELO DE REGRESIÓN CON CORRECCIÓN MUESTRAL DEFINICIÓN (): LOGIT Vs Otras técncas nfocadas al msmo tpo d varabl dpndnt Rspcto al DISCRIMINANTE: Es parcda al dscrmnant n l OBJETIVO aunqu a dfrnca dl A.D.Prdctvo (vr más adlant dstncón con l ADD) s cntra más n l análss structural y mnos n la prdccón. Enfoca más adcuadamnt la contrbucón d los prdctors al cambo n los valors d la varabl dpndnt Prmt ncorporar xplcatvas no métrcas n forma d fctcas S v mnos afctada por ncumplmntos d supustos tórcos ncsaros a pror (normaldad, por jmplo) Los rsultados admtn xplotacón n térmnos d probabldad Manja mjor las ndógna con muchas catgorías Rspcto a los ÁRBOLES DE CLASIFICACIÓN: Ofrc rsultados paramétrcos, no una mra clasfcacón d sujtos, n térmnos d contrbucón d las varabls xógnas a la ndógna Manja con naturaldad prdctoras métrcas contnuas. II. Ncstamos un LOGIT?: MODELO LINEAL DE PROBABILIDAD (LPM) Qué sucd s ralzamos un modlo clásco d rgrsón sobr una varabl dcotómca y 0/? y k k u Qué rprsnta por jmplo una? Qué sgnfcan los parámtros stmados En prmr lugar db obsrvars qu l valor stmado d Y para la rgrsón poblaconal sría la probabldad p dl sucso Y=. 6 Un studo d los hábtos d ahorro d la poblacón qu dscarta a todas las famlas con rnta nfror a 500 uros al ms (no s qu s agrgun n un msmo grupo ndfndo, sno qu s xcluyn totalmnt dl análss). Esto pud sr plausbl pro l modlo stmado no dbría dar un valor stmado nfror a s umbral d slccón. 7 Por jmplo, las mustras con problmas d ssgo d slccón. Imagnmos l caso d una funcón para stmar cómo stá rlaconada la ofrta salaral dl mrcado laboral con las caractrístcas d los ofrnts d mplo. Podmos obsrvar l salaro d los qu tnn mplo, no d los qu buscan mplo, por lo qu la mustra stá truncada n funcón d dtrmnadas caractrístcas (n part ndtrmnadas).

3 Efctvamnt dbmos rcordar qu n modlo d rgrsón lnal, supustas las hpótss báscas, l modlo rflja l valor sprado para Y condconado a unos dtrmnados valors d los rgrsors (varabls ): 3... k k E y x Pro por otro lado, db obsrvars qu cuando una varabl Y sólo toma valors 0 y (varabl tpo Brnoull 8 ) su valor sprado (o mda) s la probabldad p dl sucso 9 : E y P y p D modo qu, consdrando l matz d qu, n la rgrsón, las spranzas s condconan al valor d las varabls xplcatvas tnmos qu: E y x Py x 3... k k O s s qur, altrnatvamnt: E y x Py x 0 Py 0 x Py x Py x 3... k k Es dcr, qu n l caso d una dcotómca, l rsultado d un modlo d rgrsón xprsa la probabldad d qu y= (sucso analzado) dados unos valors d las. Gráfcamnt, para una únca varabl xplcatva, la rcta d rgrsón atravsaría la nub d puntos formada por las dos bandas horzontals d valors d x para cada uno d los dos grupos 0 / :, 0,8 0,6 0,4 0, , La rcta d rgrsón vrfca ( mda, Y mda ), s dcr, ( mda, p) asgnando l valor d la probabldad dl sucso (casos /casos totals, 0.5 n l jmplo) a la mda dl rgrsor () pro qué rprsnta la pndnt d la rcta, s dcr, l parámtro stmado?. 8 Una varabl tpo Brnoull s un caso spcal d bnomal con n=, s dcr, toma sólo dos valors /0 con probabldads p y -p. 9 Efctvamnt, s una varabl d vnto =/ toma valors para la ocurrnca dl vnto y 0 para la No Ocurrnca, la mda s l númro d vntos ntr l númro d casos, o sa, la frcunca rlatva dl vnto (p).

4 Partndo d la cuacón (para una únca varabl para lustrarlo con más smplcdad): E y x Py x k k El parámtro β j rprsntaría la varacón n la probabldad d Y= condconada a las ant una varacón untara d j : j P P y x j y x x Py x j j x j j j Ejmplo: MROZ.SAV Fchros: - mroz.sav Obsrvmos l rsultado para l modlo para xplcar la partcpacón d las mujrs casadas n l mrcado laboral ( nlf -, s, 0 no). DE 753 mujrs d la mustra, 48 dclararon habr trabajado durant l últmo año (p=48/753=trabajar n funcón d los ngrsos dl mardo ( nwfnc - n.000 $), nvl ducatvo ( duc - n años), xprnca laboral prva ( xpr n años), dad ( ag n años), númro d nños mnors d 6 años ( kdslt6 númro) y númro d nños ntr 6 y 8 años ( kdsg6 númro). Comncmos prmro mrando l rsultado con sólo dos varabls xplcatvas: duc y kdslt6 Cofcnts a Modlo Cofcnts no standarzados Cofcnts tpfcados B Error típ. Bta t Sg. (Constant),053,095,555,579 duc,046,008,3 6,083,000 kdslt6 -,4,033 -,37-6,763,000 a. Varabl dpndnt: nlf Qué sgnfcado tn l valor dl parámtro d Educ (0.046)? Sgundo la xprsón drvada antrormnt, l parámtro d duc =0.046 sgnfca qu, por cada año más d ducacón (sn varar l númro d hjos mnors) la probabldad d ncorporars como actva al mrcado laboral s ncrmnta n 0.046, sto s, un 4,6%.

5 Efctvamnt, la probabldad para algun con 0 años d studo y un hjo mnor d 6 años sría: Pˆ ( nlf ) Educ.4 kdslt Mntras qu, con un año más d studo: Pˆ ( nlf ) Educ.4 kdslt D modo análogo, la probabldad d ncorporars a la furza laboral dsmnuy un,4 por cada hjo mnor d 6 años. Esto mplca qu, por jmplo para 5 años d studo y nngún hjo mnor, la probabldad d trabajar s dl 8,3% pro s nac un hjo, la probabldad pasará ntoncs a sr d sólo l 5,9% (8,3-,4). La custón s Qué ocurr ntoncs s nac un sgundo hjo?. En s caso, y sgún l modlo, l cambo n la probabldad dbría sr d nuvo d -,4%, lo qu sgnfcaría qu la probabldad d ncorporars a la furza laboral sría ntoncs d: Probabldad d trabajar con 5 años y hjos= 5,9% -,4% = -6,5%? S añadmos más varabls para vtar los posbls ssgos por omsón d varabls tnmos: Cofcnts a Modlo Cofcnts no Cofcnts Intrvalo d confanza d 95,0% para standarzados tpfcados B B Error típ. Bta T Sg. Límt nfror Límt supror (Constant),586,54 3,798,000,83,888 nwfnc -,003,00 -,080 -,35,09 -,006 -,00 Educ,038,007,75 5,5,000,04,05 Expr,039,006,643 6,96,000,08,05 xprsq -,00,000 -,300-3,7,00 -,00,000 Ag -,06,00 -,6-6,476,000 -,0 -,0 kdslt6 -,6,034 -,77-7,84,000 -,38 -,96 kdsg6,03,03,035,986,34 -,03,039 a. Varabl dpndnt: nlf Las varabls sgnfcatvas parcn tnr sgnos corrctos ( kdsg6 no rsulta stadístcamnt sgnfcatva ntr otras razons por su lvada colnaldad con kdslt6 ) Tal y como vmos con l jmplo antror corrspondnt a una mujr con 5 años d ducacón y un hjo, s posbl qu algunos d los valors prdchos san ngatvos para algunas combnacons d varabls. En concrto, n st jmplo, d hcho, s guardamos l valor stmado n SPSS nos fjamos qu dos d los últmos casos tnn

6 PROBABILIDAD probabldads pronostcadas ngatvas aunqu afortunadamnt no tnmos valors pronostcados mayors qu. En prmr problma, por tanto, d un LPM s qu las stmacons pudn qudar fura dl rango corrcto para una varabl qu rprsnta probabldad. Est s, n todo caso, un problma mnor dsd l punto d vsta práctco pusto qu, obvada la ncongrunca concptual, podríamos asgnar a postror una probabldad p(y= )=0 a los casos con probabldads ngatvas y p(y= )= a aqullos con probabldads suprors a. Como curosdad, db sñalars qu st problma d obtnr valors fura dl rango 0, no sucd n un modlo con xplcatvas dcotómcas compltamnt saturado, s dcr, n l qu s ncluyn dumms 0/ para rcogr caractrístcas d los ndvduos (por jmplo xplcando la partcpacón laboral con varabls como Martal Status (marrd, unmarrd) + Chldrn (Ys,No) + Black (ys, no) +.). En s caso, la y stmada rcog la probabldad mda dfnda para cada una d las cldas formadas por las dstntas catgorías qu rsultan dl cruc d cada xplcatva. Un sgundo problma, mucho más mportant tn qu vr con l asunto comntado d la lnaldad: l modlo asum qu los ncrmntos n la probabldad son constants, algo gnralmnt poco ralsta. Es crto qu sta lnaldad tambén s asum (con naturaldad) n l caso d un MBRL sobr una dpndnt métrca pro para un modlo cuyo valor stmado rprsnta una probabldad, lo más natural parc asumr un comportamnto amortguado d la pndnt d un modlo d rgrsón. Es dcr, d forma más natural cab pnsar qu la probabldad d un fnómno condconado al cambo n una varabl x va voluconando progrsvamnt dsd l 0 cuando x va tomando valor y dl msmo modo s aproxma progrsvamnt al para valors cada vz mayors d x. En st sntdo, parc qu s más snsato suponr un modlo acotado n 0 y y con una volucón progrsva.,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,0 0,0 - Rgrsor Así pus, parc lógco qu l MLP s ncapaz d srvrnos d nstrumnto para valuar la probabldad d un sucso P(y=) para una combnacón spcífca d prdctors. No obstant, s l objtvo dl modlo s aproxmar los fctos parcals d las varabls sobr la probabldad d un sucso promdados para todo l rango

7 d varacón d los rgrsors l MLP pud srvrnos. Sn mbargo, sa valuacón pud no rprsntar la raccón d y ant cambos n la x para algunos valors d x, n spcal, aqullos más xtrmos. Db tnrs n cunta qu sta lnaldad ndsada n l cambo d P(y= x) no s un problma s l rgrsor s, a su vz, bnaro (0/) dado qu, n s caso, l únco cambo posbl para l rgrsor s l paso d 0 a, un paso qu producrá un cambo mdo n la probabldad dl sucso qu sí podría mdrs convnntmnt con un MLP. El análss d la Sgnfcatvdad ndvdual d parámtros pud ralzars con l contrast t drvado d la stmacón MCO. Sn mbargo, db sñalars una lmtacón (mnos vdnt y mnos mportant qu la antror) n los modlos para ndógnas bnaras y s qu, por construccón analítca, la varanza d una varabl y Brnoull s: Var y p p Así pus, tnndo n cunta qu, n l caso d una rgrsón lnal, sa probabldad p dl sucso Y= stá condconada al valor d los rgrsors, tnmos qu la varanza d y no s constant para todo (homocdastcdad) sno qu stá dtrmnada (rlaconada) con l valor d x : Var y x p p x ˆ x ˆ Es dcr, por construccón un modlo sobr una y(0/) s HETEROCEDÁSTICO, n tanto qu l caráctr fcnt dl MBRL EIGE la homocdastcdad. Esto no dfcultaría la ntrprtacón d los b n l uso d un MBRL pro rduc la fcnca dl stmador MCO habtualmnt utlzado y complca la ntrprtabldad d los contrasts d sgnfcacón (ssgo n la varanza d los parámtros stmados). Para vtar sto, pudn utlzars los rrors stándar robustos a la htrocdastcdad 0 smpr y cuando l programa stadístco faclt sta opcón (lamntablmnt SPSS no lo prmt). En nustro jmplo, usando STATA pud obsrvars una crta sobr stmacón d la varanza n l caso d la rgrsón MCO smpl: Comparacón Estmacón MCO smpl y MCO con Robust.SE (STATA) nlf Cof. Std. Err. t P> t [95% Conf. Intrval] duc kdslt _cons Otra posbldad s utlzar Mínmos Cuadrado Pondrados utlzando como varabl d pondracón para cada obsrvacón la xprsón: * y j * x ˆ yˆ yˆ y, x j ˆ ˆ Comando: rgrss nlf duc kdslt6, robust

8 Robust nlf Cof. Std. Err. t P> t [95% Conf. Intrval] duc kdslt _cons Un tma mnor pro curoso s srv la R? como mdda d ajust global d un MLP?. ASÍ PUES, podmos usar l modlo con prcaucón: Para obsrvar n térmnos promdo la raccón d la probabldad dl sucso analzado a un cambo n los prdctors n torno al valor mdo dl rango. Para obsrvar cambos n la probabldad d un sucso con prdctors bnaros ( = 0/). Para prdccons partculars cuando los valors d las xógnas no s aljn xcsvamnt dl valor mdo (para vtar valors pronostcados nfrors a 0 o suprors a ) Cuando la lnaldad sa una hpótss razonabl Usando, s s posbl, stmadors robustos d la varanza d los parámtros. LA VENTAJA: Los parámtros son fácls d ntrprtar Ejmplo CIGS.SAV: Ejrcco MLP para ralzar n clas: Fchros: - cgs.sav - Syntax_Smok_Saturatd_MLP.sps El análss prtnd valuar la fctvdad d la mdda d rstrccón dl hábto d fumar n los bars y rstaurants. El fchro CIGS.sav contn nformacón sobr l númro d cgarrllos promdo fumados al día por una sr d ndvduos y algunas caractrístcas báscas d los msmos (Educacón, Rnta y Raza). Mdant l jmplo vamos a comparar l output obtndo sgún nfoqumos l análss d rgrsón d dstntos modos: Rgrsón Lnal Clásca, Modlo Lnal d Probabldad y Modlo Lnal d Probabldad Saturado.. Ralc una rgrsón lnal clásca utlzando las varabls cgs, rnta (ncom) y ducacón (duc) n térmnos métrcos añadndo admás la varabl d rstrccón (rstaurants). a. Evalú l parámtro rlatvo a la rstrccón n bars y rstaurants. No s nválda dl todo pro tn un problma d ntrprtabldad porqu NUNCA pud valr ya qu so sgnfca qu, n l ajust prfcto, todos los puntos starían sobr la rcta d rgrsón y so, cuando una varabl val 0 o no s posbl.

9 b. Evalú l rsto d varabls c. Evalú la sgnfcatvdad global. Ralc ahora una rgrsón ncluyndo para duc (no sgnfcatva n la rgrsón prva) varabls flag para l r y 3r trcl (Lowr Educaton / Hghr Educaton). a. Evalú d nuvo l parámtro rlatvo a la rstrccón n bars y rstaurants. b. Obsrv s l rsultado para las varabls flag d duc ha varado y comnt c. Rmplac ahora la varabl ncom por las varabls d prmr t trcr trcl (Lowr Incom / Hghr Incom ). Cómo varían los rsultados s, n lugar d las flag d r y 3r trcl nclumos º y 3r trcl. 3. Ralc ahora una rgrsón para la varbal smok (flag =Fumador / 0=No fumador) ncluyndo como métrcas duc, ncom y como bnaras Rstaurn y Wht. a. Qué sgnfcado tn ahora l parámtro para rstaurants? b. Rmplac ahora las varabls duc ncom por las flag corrspondnts al o y 3r trcl n ambos casos. c. Calcul y compar la probabldad d fumar para los sgunts casos: - Hombr d baja rnta y ducacón con y sn rstrccons n su lugar d rsdnca - Hombr d rnta alta y ducacón alta con y sn rstrccons n su lugar d rsdnca d. Es posbl qu xsta ntraccón sgnfcatva ntr los nvls d rnta y la ducacón. Prub a ntroducr alguna combnacón xtrma d Educ Incom. Por jmplo, pruba a utlzar E& n una rgrsón con l prmr y trcr cuartl d Educ y Rnta 3. Qué ha sucddo?. Qué sgnfcado tn ahora l parámtro _? III. La solucón a los dfctos dl (LPM): LOGIT o PROBIT La solucón a los problmas dl modlo lnal d probabldad pasan por susttur la spcfcacón lnal (no acotada ntr l 0-) por una funcón G(Z)=G(β) 4 qu toma valors strctamnt ntr 0 y 5 : 3 Para ntroducr la ntraccón ntr ambos fctos convn, sgundo l prncpo d margnaldad, ntroducr las dumms d ambos nvls (Educ= y Rnta=) dado qu ntrsa valuar l fcto margnal d la ntraccón rspcto a los fctos prncpals d cada varabl. 4 Esta funcón s dnomna técncamnt mappng functon porqu mapa (traduc) l valor d β al spaco d probabldad (0,). 5 En la stadístca actual, st tpo d modlos s consdra un caso spcífco d los dnomnados gnralzd lnar modl n los qu la mda d la rspusta d una varabl (y) s modlza a través d una transformacón monotónca no lnal d una funcón lnal d los prdctors g(b0 + b*x +...). La nvrsa d sa transformacón g s conoc como funcón d nlac. Las funcons d nlac dsponbls dpndn d la naturalza d la varabl ndógna; así, por jmplo, para l caso d las varabls

10 k k x y P z ral númro G G x y P k k Para l caso dl LOGIT, G(z) s la funcón logístca snclla: z z z Y P ) ( En dond Z 6 s l polnomo qu contn l modlo d rgrsón lnal, o sa: k k k k k k Y P ) ( Para l PROBIT, sn mbargo, G(z) s la funcón d dstrbucón acumulatva (cdf) d una normal standarzada: ) ( k k z Y P Ants d sgur adlant: Exst alguna dfrnca ralmnt mportant ntr l LOGIT y l PROBIT?: La rspusta gnral stá clara, NO dmasada y, n todo caso, no con trascndnca práctca rlvant. Las caractrístcas técncas rlvants d ambas son muy smlars: G(z)>0 para todo z (funcón lnal d las x ) Asntótcas a 0/ para G(z) - y G(z)= + Máxma pndnt (crcmnto) para G(z)=0 Cntradas d dstrbucón bnomal, la funcón d nlac canónca (por dfcto) s la funcón LOGIT pro xstn otras posbldads tambén habtuals como l probt, la log-log, la complmntara d la funcón log-log 6 Dnomnado técncamnt ndx functon.

11 Hstórcamnt, las prfrncas d aqullos qu s dcantaban por l Logt s basaban n la mayor facldad d cálculo d los parámtros d una funcón logístca acumulada qu d una normal acumulada, pro hoy n día sto no tn nnguna trascndnca. Por l contraro, los conomstas han prfrdo l Probt, por consdrar qu los rrors dl modlo latnt (s vrá más adlant st concpto) sgun una dstrbucón normal. Aunqu n dtrmnadas stuacons (muy spcífcas y no muy frcunts) pudn obtnrs rsultados dstntos, n la mayor part d análss los rsultados son xtrmadamnt smlars n cuanto a sgnfcatvdad, valors d los parámtros y nvl d ajust gnral. OK Rsulvn ntoncs l LOGIT / PROBIT los problmas dl MLP?. S. Los valors stmados d la probabldad stán ntr 0 y La varacón d la probabldad ya NO ES UNA FUNCIÓN LINEAL d los rgrsors, sno G(Z), s dcr una funcón NO LINEAL, d una xprsón lnal (l modlo d rgrsón) d los rgrsors. El modlo no xg la homocdastcdad (vmos qu por dfncón so no pud ocurrr con una ndógna 0/) Adconalmnt, no mpon una rstrccón clásca dl MBRL: no supon la normaldad d los rrors (qu no pud dars más qu asntótcamnt cuando nustra ndógna s una bnomal 0/) IV. La prgunta dl mllón: qué sgnfcan los parámtros d un LOGIT?

12 Los modlos LOGIT y PROBIT, asumn ambos qu xst una varabl latnt no obsrvabl (y*) 7 qu s la qu, vrdadramnt, stá conctada con la varacón d los rgrsors: y *... 0 k k u Sgún sta da, cuando sa varabl latnt supra l umbral dl 0, sucd l sucso y= y n caso contraro sucd y=0. y * y 0 Así pus, aún cuando tngamos una stmacón d los parámtros β, stos rprsntan n raldad l cambo n sa varabl latnt ant un cambo untaro n la xógna, y no un cambo n la probabldad dl sucso. Dsd s punto d vsta, los parámtros d un modlo LOGIT o PROBIT no son, n sntdo strcto, spcalmnt nformatvos. Pocas vcs s dfn con una mínma xacttud cuál s la varabl latnt por lo qu l valor dl parámtro n s msmo carc d ntrés. En todo caso, ants d obsrvar cómo valuar los cofcnts, dos salvdads qu smplfcan l análss con logt dbn hacrs: Los parámtros srá l msmo n l modlo latnt qu n stmado d modo qu EL SIGNO PUEDE INTERPRETARSE SIN PROBLEMAS COMO EL INCREMENTO/DECREMENTO DE LA PROBABILIDAD ANTE VARIACIONES DE LAS EÓGENAS. LA IMPORTANCIA RELATIVA d los cofcnts pud valuars comparando tambén los cofcnts β stmados sn qu sa mportanca rlatva dpnda dl valor d los rgrsors (x). Pro, y los valors absolutos d los cofcnts?... Sgnfca lo antror qu los parámtros d un modlo LOGIT / PROBIT no pudn ntrprtars como la varacón parcal d la ndógna, d la probabldad, ant un cambo n la xógna?. EACTO, ASÍ ES, y los motvos son vdnts. Más allá d las custons concptuals sobr la varabl latnt, dado qu l modlo propon una structura NO LINEAL d rlacón ntr rgrsor y ndógna P(y=), l fcto n la probabldad d un cambo n dpnd dl punto d partda n qu s ncuntr la. Esto n térmnos técncos pud obsrvars tnndo n cunta qu l fcto d la varacón d n una varabl y sría: y x G( z dg dz P j ) x x j j dond: dz z dx j gz 7 Por jmplo, la utldad d tomar dos dcsons altrnatvas.

13 d gz dz G z s dcr, g(z) s corrspond con la funcón d dnsdad d la logístca (logt) o d la normal (probt) Lo mportant, dsd l punto d vsta concptual, s qu la varacón d la probabldad, dpnd dl punto n dónd s valú. En concrto, s valor dpndrá dl valor d la funcón d dnsdad valuada n s punto x j (valuada, tanto para l rgrsor d ntrés como para l rsto d los valors d las dmás rgrsoras). Así, pus, para valuar l cambo n la probabldad d una varacón n l rgrsor, dbríamos: Opcón : valuar la probabldad para l nvl d partda y compararlo con la probabldad para l valor fnal qu dsmos dl rgrsor Opcón : para pquñas varacons, lo antror concd con l rsultado d multplcar l valor dl parámtro, por l valor d la funcón d dnsdad n l punto a valuar G(Z) y la varacón dsada d las. OJO: En ambos casos, db dcdrs: El valor d partda para La varacón a analzar n la (o l valor d llgada ) (**) El valor o valors qu s asgnará al rsto d rgrsoras. Dado qu l cálculo dpnd dl punto d partda, habtualmnt s valúan valors ntrsants d la dstrbucón d las xógna, (mínmo, máxmo, cuartls, mda, por jmplo). Algunos programas, por jmplo, valúan l cambo n la probabldad qu s obtn por cada varacón untara partndo dl punto mdo d todas las xógnas, algo dnomnado gnralmnt PEA (Partal Effcts at th Avrag) o Efctos Margnals (at th avrag). Est PEA, por crto, s aproxmará gnralmnt al parámtro stmado n l MLP para sa msma spcfcacón. Es dcr, prmro s computa la probabldad para l punto mdo: P ( Y ) P( Y,,... k )... Y dspués s valúa l cambo n la probabldad tras la varacón untara d cada xógna. Por jmplo, para l caso d sría: PEA( ) P( Y,,... k ) P( Y, 3 3,... k En l caso dl Stata, por jmplo, stos fctos pudn obsrvars tras la stmacón d un logt jcutando l comando mfx (margnal ffcts) 8 : k k ) 8 La scunca d comandos sría, para st jmplo, prmro la rlatva a la stmacón dl logt logt nlf duc kdslt6 y a contnuacón úncamnt para la stmacón d fctos margnals l comando mfx.

14 Margnal ffcts aftr logt y = Pr(nlf) (prdct) = varabl dy/dx Std. Err. z P> z [ 95% C.I. ] duc kdslt El valor d la part supror d la tabla ndca la probabldad stmada (n st caso para l sucso nlf ) valuada para los valors mdos d las xógnas ( duc y kdslt6 n st caso). Los cofcnts dy/dx ndcan l cambo n la probabldad mda prva (0.5757) tras una varacón untara d duc ( =5.%) o kdslt6 (-.473=-4.7%) Una sgunda ntrprtacón d los parámtros d un modlo consst n valuar drctamnt l valor d Exp(). Esta práctca ncuntra su fundamnto n consdrar la xprsón altrnatva d un logt (smplfcado para un únco rgrsor por smplcdad xpostva) P ( Y ) y laborar la transformacón d la Odds p/(-p) qu rsulta sr : P( Y ) P( Y ) P( Y 0 ) P( Y ) D modo qu: j Odds s dcr, la xponncal dl parámtro rprsnta l logartmo d la Odds 9, o sa, l cambo n la Odds Rato ant una varacón untara d la varabl xplcatva. D hcho, lnalzando sa xprsón, s obsrva qué rprsnta xactamnt l parámtro β: l cambo n l logartmo d la Odds (algo dnomnado prcsamnt logt pro qu, concptualmnt, s dfícl d ntrprtar). ln P( Y ) P( Y ) Odds ln 9 La Odds s un concpto qu xprsa l rato d probabldad d qu un sucso ocurra frnt a qu no ocurra. Por jmplo, a lazar un dado, l Odds d obtnr un 6 s /5 ó xprsado tambén como a 5 (mntras qu la probabldad s /6) o l Odds d qu un día d la smana lgdo al azar sa marts s /6 (mntras qu la probabldad s /7). La Odds s utlza frcuntmnt n jugo cuando, al xprsar qu jugamos una apusta a 0 xst posbldad d acrto frnt a 0 d fallo. La razón d usar la Odds como stmador d rsgo más ntutvo s qu prmt antcpar la gananca d forma más drcta: s jugamos una apusta con Odds 6 a, sgnfca qu s apostamos 0 uros y ganamos, la gananca srá d 60 uros.

15 Es dcr, un cambo untaro n camba l logt n β y la Odds rato n β. Db tnrs n cunta qu l logt supon caráctr adtvo d los cofcnts β pro caráctr multplcatvo n los β. Es dcr, por jmplo para trs varabls tnmos: 3 p p Esto no solucona l problma d la no lnaldad d los cofcnts, dado qu l parámtro, así calculado, no nforma sobr l cambo n la probabldad, sno sobr l cambo n la Odds. La Odds y la probabldad no son concptos quvalnts sno qu conctan con la xprsón 0 : Odds prob Odds p Odds p Así, s por jmplo, s la Odds d un sucso s a 00 (/00=0.0), la probabldad s [0.0/(+0.0)]=0,099=0.99% y obtnmos un parámtro β =6 (d cambo n la Odds) sto sgnfca qu la Odds pasaría a sr 6* /00=6/00=0.06, lo qu sgnfca una nuva probabldad d [0.06/(+0.06)]=0,0566= 5,66%, s dcr, un cambo n la probabldad dl 4,67%. Sn mbargo, s la Odds dl sucso s d 50 a 00 (50/00=0.5) hablamos d una probabldad d partda dl [0.5/(+0.5)]=0,33=33,3% d modo qu ntoncs s msmo parámtro mplca una nuva Odds d 300 (6*50) a 00 lo qu mplca una probabldad d [3/(+3)]=0,75=75%, s dcr, un ncrmnto d probabldad dl 4,7%. Ejmplo CASA.SAV: Practcamos la spcfcacón mínma d la rgrsón LOGIT con una varabl xplcatva bnara n SPSS y hacmos la prmra ntrprtacón d parámtros. Fchro: casa.sav. S planta a una mustra d jóvns d 0 a 35 qu vvn con sus padrs un scnaro d trabajo dtrmnado y s ls prgunta sobr su dcsón (n s contxto) sobr rs d casa (varabl dcsón ). Ralzamos una stmacón logt n SPSS ara la varabl dcsón xclusvamnt n funcón dl génro ( gndr, Hombr = ) (no confundr la ntrada con LogLnar- Logt) sn altrar nnguna opcón básca. 0 Pud obsrvars qu la Odds smpr srá mayor qu cro, pro no stá lmtada n su valor máxmo.

16 Obtnndo: Varabls n th Equaton B S.E. Wald df Sg. Exp(B) Stp a gndr,7,45 4,757,000 3,376 Constant -,847,54 30,5,000,49 a. Varabl(s) ntrd on stp : gndr. Qué ntrprtacón tn l parámtro, para l génro? Dado qu l parámtro s postvo (y l sucso y= s dcsón d rs d casa) mplca qu la probabldad d una dcsón d mancpacón s supror n los hombrs. El ncrmnto d probabldad habría d valuars, so sí, computando la probabldad para Gndr =0 y Gndr = usando la funcón LOGIT (n st caso, pudn obsrvars tambén fáclmnt salvando las probabldads como opcón n SPSS). Mujr: P( Y ) ( 0.847) Hombr: P( Y ) ( ) Dfrnca d probabldads: =0.39=39% Estos númros, qu rprsntan l fnómno valuado n l promdo d hombrs y mujrs, podmos obsrvarlos tambén drctamnt cruzando la varabl dpndnt y l génro:

17 gndr * dcson Crosstabulaton Mantnrs n casa dcson Irs d casa Total gndr Mujr Count % wthn gndr 70,0% 30,0% 00,0% Hombr Count % wthn gndr 40,9% 59,% 00,0% Total Count % wthn gndr 59,4% 40,6% 00,0% La sgunda ntrprtacón consst n la dl parámtro Exp(β) qu ndca l cambo n la ODDS dl sucso cuando comparamos un hombr y una mujr. El parámtro dl génro s 3,376. Como s sgnfcatvamnt mayor qu, ntndmos qu sr hombr ncrmnta la ODDS dl sucso d rs d casa n 3,376 vcs. Obsrvmos qué sgnfca st concpto mrando d nuvo al crosstab d la varabl dpndnt y l génro. El ODDS dl sucso rs d casa para hombrs y mujrs, s calcula como la rato d la probabldad dl sucso rspcto a mantnrs : P( Y m) f ( Y m) 60 ODDS Irs Mujr: Odds 0, 43 P( Y 0 m) f ( Y 0 m) 40 P( Y h) f ( Y h) 68 ODDS Irs Hombrs: Odds, 45 P( Y 0 h) f ( Y 0 h) 47 Rato d Odds:,45/0,43=3,37 (**) Una prgunta para la clas. Es l logt ntoncs quvalnt a una tabla d contngnca?. Lo s sólo n st caso? Ganamos algo con l logt? EJEMPLO HDMA.SAV: Practcamos la spcfcacón mínma d la rgrsón LOGIT con una varabl contnua n SPSS y hacmos la prmra ntrprtacón d parámtros. Fchro: HMDA(sol).sav (Archvo rducdo d concsón d hpotcas). Nos ntrsa obsrvar la rlacón ntr la probabldad d qu t dngun un crédto (la varabl d concsón s acton, d la qu nos ntrsa la OPCIÓN 3 Aplcaton Dnd ) n funcón d sr d raza Ngra o Blanca (la varabl d ntrés s rac dstngundo las catgorías 3=Black y 5=Wht) controlando l nvl d ndudamnto (la varabl d ntrés s p_rato Dbt to ncom rato ). Accons prvas:

18 Gnramos la varabl DICOTÓMICA dny a partr d acton Slcconamos sólo los blancos y ngros a partr d rac (valors 3 o 5 ) y slcconamos admás sólo los tpos d crédtos para famla ndvdual o condomno (varabl typ, valors o ) (dbn qudar 38 casos) Gnramos la varabl BLACK (con rac=3 ).- Ralzamos la rgrsón LOGIT SÓLO CON LA VARIABLE PI_RATIO (varabl contnua) (los parámtros dl PROBIT no s stman n st jmplo con SPSS): Varabls n la cuacón B E.T. Wald gl Sg. Exp(B) Paso a PI_RATIO 5,888,733 64,59, ,558 Constant -4,030,68 5,57,000,08 a. Varabl(s) ntroducda(s) n l paso : PI_RATIO. El rsultado n térmnos d la funcón analítca NO pud scrbrs como: SINO COMO: P P DENY PI _ RATIO 4 5.9PI _ RATIO DENY PI _ RATIO G 4 5.9PI _ P 45.9PI _ RATIO RATIO DENY PI _ RATIO 45.9PI _ RATIO Una vz más la prgunta s: cómo ntrprtar l valor dl 5.9?. Abrmos l fchro d Excl (HDMA.xls) Y OBSERVAMOS CÓMO INTERPRETAR LOS RESULTADOS OBTENIDOS: Obsrvamos l LPM: valor constant dl 0,6% d ncrmnto d la probabldad d rchazo por cada punto adconal d ndudamnto. La probabldad al pasar d un 0% a un 0% sría: Endudamnto 0, 0, Probabldads -,0% 4,0% Cambo 6,% Y lo msmo ocurrría s valorásmos l paso d un ndudamnto dl 60% al 70%: Rcodfcar n dstntas varabls. any(rac,3,5) & any(typ,,)

19 Endudamnto 0,6 0,7 Probabldads 8,3% 34,3% Cambo 6,% Obsrvamos ahora l LOGIT: Calculamos la probabldad d dny para un par d valors dstntos p=0, y p=0,6 ncrmntando un 0% la rato d ndudamnto. S la rato d ndudamnto stá n l 0%, un ncrmnto d un 0% adconal hac qu la probabldad d rchazo pas dl 3,0% al 5,46%, s dcr, un ncrmnto d la probabldad dl,35% (0,35% por cada punto) S la rato d ndudamnto stá n l 60%, un ncrmnto d un 0% adconal (hasta l 70%) hac qu la probabldad d rchazo pas dl 37,8% al 5,3%, s dcr, un ncrmnto d la probabldad dl 4,5% (,4% por cada punto) Ambos cálculos, por crto, pudn fctuars tambén d forma aproxmada con un cálculo altrnatvo (más sncllo n algunos casos) qu consst n multplcar l valor d G(z) para l punto d partda por l parámtro d ntrés y la varacón cuyo fcto qur obsrvars: Por jmplo, s qurmos obsrvar l fcto n la probabldad d rchazo d un cambo d un % n l ndudamnto partndo d un 0% podmos hacr G(0.)*0.0=G( *0,)*5.88*0.0= =G(-3.44)* 5.88*0.0=0.03*0.0588=0.0077=0.8% un valor smjant al obtndo s valuamos G(z) n l 0%, dspués n l % y rstamos ambas probabldads..- Ralzamos la rgrsón LOGIT CON LA VARIABLE PI_RATIO (varabl contnua) y la varabl BLACK (catgórca): Varabls n la cuacón B E.T. Wald gl Sg. Exp(B) Paso a PI_RATIO 5,379,77 54,807,000 6,83 B_black(),69,46 75,386,000 3,557 Constant -4,9,68 37,5,000,06 a. Varabl(s) ntroducda(s) n l paso : PI_RATIO, B_black.

20 Obsrvamos como n st caso l análss dl parámtro d Black s algo más sncllo qu para PI dado qu los posbls valors qu pud tomar Black son sólo =(Wht) o (Black) d modo qu sólo dbn calculars ambas probabldads (fjando un valor d rfrnca para ) obsrvamos, por tanto, qu l valor dl parámtro, camba sgún l nvl d la otra xógna. Obsrvamos ahora cómo s valúa l parámtro d PI. En st caso, hay qu fjar tambén l valor d black d modo qu tnmos dos curvas d parámtros sgún l valor d Black. Obsrvmos l jmplo ntrsant qué pasa s la rato d ndudamnto pasa dl 70% al 80% comparando l caso d blancos y ngros? Tnn mnor pnalzacón los ngros? Ejrcco para clas: Ralzamos la stmacón logt altrnatva a la ralzada con l MLP para MROZ.SAV al prncpo dl tma para obsrvar la stmacón con múltpls varabls. Fchros: - mroz.sav. Ralc una rgrsón logístca para xplcar la partcpacón d las mujrs casadas n l mrcado laboral ( nlf -, s, 0 no) n funcón d los ngrsos dl mardo ( nwfnc - n.000 $), nvl ducatvo ( duc - n años), xprnca laboral prva ( xpr n años), dad ( ag n años), númro d nños mnors d 6 años ( kdslt6 númro) y númro d nños ntr 6 y 8 años ( kdsg6 númro).. Idntfqu las varabls más rlvants 3. Compar los rsultados obtndos con l MLP V. Brv apunt sobr la stmacón d modlos Bnaros Para stmar los parámtros d un modlo no lnal como los xpustos n l caso dl Logt / Probt, MCO no nos srá d ayuda n tanto su caráctr lnal. Una prmra posbldad consst n utlzar Mínmo Cuadrados No Lnals. Los parámtros así obtndos srían consstnts y normalmnt dstrbudos (asntótcamnt) pro, sn mbargo, NO SERÍAN EFICIENTES, o lo qu s gual, xstn stmadors altrnatvos gualmnt conssts pro con mnor varanza. Los modlos LOGIT y PROBIT s stmarán con Máxma Vrosmltud por lo qu convn tnr unos mínmos fundamntos d cómo funcona st método. Máxma vrosmltud s un método d stmacón qu tn n cunta la nformacón complta sobr la dstrbucón d la varabl y condconada a las varabls xplcatvas x y por lo tanto sobr la u. Cuando stmamos por MCO por jmplo, sólo asummos algunas propdads báscas para garantzar l ssgo y la consstnca como la spranza condconal nula E(x/u)=E(u)=0.

21 En crtos casos, como l qu nos ocupa con los modlos LOGIT, s mprscndbl asumr hpótss concrtas sobr l modlo d dstrbucón d y condconado a x porqu smpls rstrccons sobr algunos d sus momntos báscos no srían sufcnts para garantzar una stmacón fcnt. Cuando utlzamos la nformacón complta sobr la dstrbucón d los valors d la ndógna dados los valors d las xógnas (tpo d dstrbucón, varanza condconada a los rgrsors,.) obtnmos gnralmnt stmadors más fcnts. El prco a pagar, sn mbargo, sul sr una pérdda d robustz (ssgo y/o nconsstnca). Efctvamnt, cuando alguna porcón d sa nformacón complta no s vrfca o s dfn d forma pobr. Por jmplo s suponmos normaldad n la dstrbucón para la stmacón d un dtrmnado stmador MV y sn mbargo sa normaldad no s vrfca. Para lustrar l funconamnto d MV podmos utlzar l caso d un modlo bnaro. En un modlo bnaro asummos qu la varabl obsrvada y dpnd dl valor d una varabl latnt y * qu a su vz sgu una dstrbucón lnal n x dl modo: y 0 y y * * 0 0 y * u Para dtrmnar la probabldad d qu ocurra y= tnmos ntoncs: P * y x Py 0 x P u 0 x Pu x P u x Dond rprsnta lo qu antrormnt habíamos dnomnado y qu toma una u otra forma dpndndo d la funcón d dstrbucón acumulada qu quramos suponr. Dada la xprsón antror d la probabldad para l sucso Y=, tnmos qu la funcón d dnsdad d la varabl y para cada obsrvacón pud scrbrs como: f y y y G G y 0, Y l logartmo d la funcón (dnomnado logartmo d vrosmltud ndvdual): y logg y log G Al scrbr xprsamos la da d qu nos ntrsa dtrmnar qué conjunto d parámtros β maxmzan la probabldad d ncontrar cada una d las obsrvacons d y. Por jmplo, s obsrvamos un caso n l qu Y =, qué conjunto d parámtros β multplcados por los valors d x para s caso gnrarían l mayor valor d la funcón d dnsdad para Y=?. La da n MV s mprndr l cálculo d sos β d cara a

22 maxmzar la probabldad d ncontrar, no una obsrvacón concrta, sno la mustra d N obsrvacons complta. S la probabldad d qu cada y tom un valor u otro s la dscrta n la cuacón antror (n logartmos), la probabldad d ncontrar la mustra complta srá la xprsada por lo qu s dnomna logartmo d la Funcón d Vrosmltud (conjunta) : Y l stmador MV d los parámtros maxmza ntoncs l logartmo d la Funcón d Vrosmltud. Es ntoncs cuando, por jmplo, n l caso dl modlo Probt, asummos qu la funcón corrspond a una normal standarzada o n l caso d un logt a una funcón logístca. VI. Contrasts d hpótss n los rsultados d un LOGIT El procdmnto d máxma vrosmltud prmt dtrmnar la varanza asntótca d los parámtros, mprscndbl para la ralzacón d contrasts d sgnfcacón. Pud dmostrars qu l stmador MV obtndo conform al procdmnto antrormnt lustrado s consstnt y asntótcamnt normal por lo qu pudn utlzars con sncllz los contrasts t y F para ralzar contrasts. Sgnfcatvdad ndvdual: Como ya s ha ndcado, l stmador MV s dstrbuy con normaldad para mustras grands por lo qu pudn mplars contrasts t tanto para β j (H 0 :β j =0) como para xp(βj) (H 0 : xp(β j) =). Algunos programas utlzan la dnomnacón stándar t o F 3 al rportar los rsultados d sgnfcatvdad ndvdual o ncluso la dnomnacón d Wald (l tst d Wald s dstrbuy como una Ch 4 ). En todo caso, la hpótss a tstar s smpr la msma y l p-valu o nvl d sgnfcacón l contrast rflja smpr l rsgo asocado al rchazo d la nula (H 0 :β j =0 ó H 0 : xp(β j) =). El SPSS n concrto mustra l tst d Wald (dstrbudo como una Ch) y l ntrvalo d confanza para xp(β j ) basado n una dstrbucón asntótca normal. En l caso d las covarabls catgórcas, stas s ntroducn como bnaras 0/ para cada catgoría. Así pus () s podrá ralzar un contrast para cada catgoría y () s podrá dcdr s cuál s la catgoría d rfrnca con la qu comparar l fcto. En st sntdo, l SPSS ofrc varas altrnatvas: 3 Rcordmos qu la F s l cuadrado dl contrast t para la nula βj=0 4 Algunos txtos / softwar utlzan n los cálculos la dstrbucón F y otros qxf = Ch, s dcr, F=Ch/q o Ch=qxF.

23 Para l caso d Bnaras: Indcador (prsnca d un fcto rspcto a una catgoría d rfrnca) Para l caso d multcatgórcas: Smpl. Cada catgoría dl prdctor (xcpto la propa catgoría d rfrnca) s compara con la catgoría d rfrnca. Dfrnca (Hlmrt Invrso). Cada catgoría dl prdctor, xcpto la prmra catgoría, s compara con l fcto promdo d las catgorías antrors. Hlmrt. Cada catgoría dl prdctor, xcpto la últma catgoría, s compara con l fcto promdo d las catgorías subsgunts. Rptdas. Cada catgoría dl prdctor, xcpto la prmra catgoría, s compara con la catgoría qu la prcd. Para l caso d las covarabls métrcas (pro dscrtas) Polnómco. Contrasts polnómcos ortogonals. S supon qu las catgorías stán spacadas qudstantmnt. Dsvacón. Cada catgoría dl prdctor, xcpto la catgoría d rfrnca, s compara con l fcto global. Prubas d hpótss conjuntas: El valor d la funcón d vrosmltud para un dtrmnado modlo s asoca, n la stmacón MV, con una mdda d la caldad dl ajust aunqu, obvamnt, sólo n térmnos rlatvos porqu su valor absoluto no rprsnta nada. Por tanto, cuando s trata d comparar dos modlos o d tstar, s s prfr dcr así, alguna hpótss conjunta rlatva a un conjunto d parámtros, s comparan ntoncs los valors d la funcón d vrosmltud d ambos modlos. El modlo qu llva mplícta la hpótss nula s dnomna Modlo Rstrngdo y l valor d su funcón d vrosmltud srá lógcamnt mnor qu l d aqul qu gnralmnt dnomnamos No rstrngdo. Pud comprobars qu l dobl d sta dfrnca d vrosmltud s dstrbuy como una Ch cuadrado con q grados d lbrtad bajo la hpótss nula (rstrccón) dond q rprsnta l númro d parámtros rstrngdos. Así pus, n lugar d utlzars la dfrnca n bruto, s utlza l dnomnado Rato d vrosmltud o LR xprsado como 5 : [ ] 5 A vcs, xtrayndo l logartmo fura d las funcons d vrosmltud l contrast LR s scrb tambén como: [ ] [ ] [ ]

24 S l valor dl tst LR supra l valor d rchazamos la rstrccón analzada. Grado d caldad global dl ajust: Un contrast ncal conform a la dfncón prva s l d la nuldad conjunta d todos los parámtros. Est aparc n SPSS bajo la dnomnacón gnérca d Omnbus Tst y s trata d una aplcacón concrta dl tst LR 6 dscrto antrormnt para la hpótss d nuldad conjunta d todos los parámtros. Es por tanto l quvalnt al tst F d un modlo d rgrsón lnal. Un sgundo dato gnralmnt ofrcdo s l valor d la funcón d vrosmltud para l modlo stmado. En concrto, n lugar d rportars l valor d s ofrc (dnomnado a vcs -LL o dvanc ). 7 Evdntmnt, st valor no pud valuars n térmnos absolutos por lo qu no srv como mdda d ajust global pro sí pud utlzars para comparar l ajust con uno altrnatvo (dl msmo modo qu usamos la suma cuadrátca rsdual n una stmacón d mínmos cuadrados) 8. Uno d los contrasts habtuals s la dnomnada Psudo R 9 qu compara (n una rato), l valor L dl modlo stmado con l valor dl modlo sn nngún parámtro (sólo con l térmno ndpndnt) 30. Un valor crcano a 0 ndca qu l modlo spcfcado no ha mjorado l modlo ngnuo (rstrngdo al térmno ndpndnt). R L L Modlo Intrcp Grado d caldad prdctva dl modlo LOGIT: Tabla d prdccón corrcta. Evdntmnt, la forma más drcta d valuar la capacdad prdctva s mdant la habtual tabla d clasfcacón. En st sntdo, convn obsrvar qu, n l caso dl SPSS, s nforma dl % prdcho sn modlo, s dcr, asgnando todos los casos a la catgoría más probabl, algo qu aparc bajo la dnomnacón Bloqu 0: Bloqu ncal. Esta s una clasfcacón x - modlo qu marca l umbral mínmo d acrtos a mjorar. En algunos programas, como SPSS, junto a la tabla d clasfcacón pud solctars aparc tambén un gráfco d clasfcacón (classfcaton plot) qu prmt obsrvar la dstrbucón d las frcuncas obsrvadas con rlacón al valor d la probabldad stmada. Est gráfco pud ayudar a dtrmnar un 6 D hcho, stata dnomna n su salda a sto drctamnt LR Tst. 7 S ofrc l valor ngatvo porqu la funcón d vrosmltud orgnal tn sgno ngatvo al tratars d un logartmo d una probabldad (0,). S multplca por dos para qu puda utlzars n bruto para formar tst LR d comparacón con otros modlos. 8 Por jmplo, l cambo n st valor s utlza para guar l procdmnto d slccón d xplcatvas n un STEP-WISE. 9 SPSS dnomna a sto Cox & Snll R. Esta mdda stá, no obstant, ssgada a la baja porqu no alcanza la undad. La altrnatva R d Nagalkrk stá r-scalada a para vtar st dfcto. 30 Es dcr, la msma hpótss tstada con l Omnbus. Esa da s déntca al caso dl modlo lnal n la qu tambén hay una rlacón artmétca xacta ntr l valor d la F (tst Omnbus) y la R.

25 punto d cort dal n la probabldad dstnto al qu, por dfcto, s utlza n la stmacón LOGIT. Hosmr-Lmshow. El tst HL contrasta la hpótss d qu xsta una rlacón lnal ntr los prdctors y l log(odds). Es un tst d la capacdad prdctva dl logt (más qu d la sgnfcatvad global dl modlo). S trata d obsrvar s la dstrbucón ral d la varabl (sucso y=) s ajusta a la stmada (probabldad y=). Para llo, s ordna la mustra conform al valor stmado para y y s dvd l j n dclas conform a sos valors ordnados. A contnuacón, s compara para cada dcla l númro d vntos rals obsrvados (n cada dcla) con l númro d vntos prdchos (probabldad supror a 0.5). El tst HL rcog las dfrncas para todas las dclas qu, dbdamnt procsadas, s dstrbuyn conform a una Ch 3 bajo la nula d un bun ajust (scasa dfrnca d la dstrbucón d valors rals y pronostcados). Por tanto, l rchazo d nula mplca un mal modlo n térmnos prdctvos. Sul rcomndars para mustras pquñas y n aqullos modlos bnaros con covarabls métrcas. VII. Otros aspctos a valorar n la stmacón d un modlo Bnaro Dtccón d puntos Lvrag, y puntos d nflunca. En SPSS pudn gnrars y guardars trs tpos habtuals (como opcón n la pantalla SAVE ): l valor dl Lvrag 3 y, rspcto a los puntos d nflunca, la dstanca d Cook 33 y l cambo n los parámtros (DFBta) 34. Lvrag Est tpo d valors con x atípcas pudn no nflur n los parámtros pro tnn potncals conscuncas rlvants n las mddas d ajsut global 35 Punto d nflunca Est tpo d puntos con valors atípcos n x Y pudn nflur n los parámtros stmados pro tnn potncals conscuncas rlvants n las mddas d ajsut global Db, pud analzars la multcolnaldad?. El problma d la multcolnaldad s gual d mportant n la rgrsón normal qu n la logístca (n ambas, admás, la ntrprtacón d los parámtros s sncal) pro SPSS no ofrc formas d 3 Con n- grados d lbrtad dond n s l númro d grupos (dclas, por jmplo) formados. 3 Mddo conform a la dstanca (standarzada) d cada obsrvacón al cntrod dl spaco x. 33 Qu md l cambo n l ajust global dl modlo al xclur cada una d las obsrvacons. 34 Qu md l cambo n cada parámtro al xclur cada una d las obsrvacons. 35 Pudn tnr un fcto dsproporconado n l rror stándar d los parámtros, n los valors prdchos y su xacttud y n las mddas rsumn dl modlo.

26 dagnostcarla salvo la matrz d. Pd utlzars una rgrsón stándar para chquar su xstnca ants d ntrar n logt aún d forma aproxmada. Cómo valuamos ntraccons?. Dbmos ntroducrlas manualmnt (como varabls gnradas prvamnt). Curvas ROC: La prdccón d la catgoría gnra falsos postvos y falsos ngatvos. Los acrtos, por su part, dtrmnan la snsbldad d una pruba (vrdadros postvos) y su spcfcdad (vrdadros ngatvos). Por jmplo, n sta tabla d clasfcacón tnmos mucha snsbldad (a lo ral) por poca spcfcdad (para dstngur lo falso): PREDICHO V F REAL V F SENS ACIERTOS "V" VERDADEROS "V" ,9 ESPEC ACIERTOS "F" VERDADEROS "F" ,4 La spcfcdad y snsbldad son atrbutos gnralmnt susttutvos, y sus psos rlatvos pudn altrars con un crtro más o mnos consrvador para ralzar la clasfcacón. En l caso d un LOGIT, altrar l punto d cort camba la spcfcdad y snsbldad d la clasfcacón. El gráfco ROC nos ayuda a valuar l trad off ntr snsbldad y spcfcdad y tomar una dcsón sobr l punto d cort a utlzar para lograr uno u otro objtvo n térmnos d snsbldad / spcfcdad. En l gráfco d abajo, por jmplo, s obsrva qu no s posbl alcanzar una snsbldad (dl 80%, por jmplo), sn rnuncar a la spcfcdad (qu staría alrddor dl 40%).

27 Para valuar l prfl d nustra Curva ROC, s utlza l ára bajo la curva. Db pnsars qu la stuacón dal s aqulla n la qu l análss tn un 00% d spcfcdad y d snsbldad (valor 0 d -Espcfcdad ), s dcr, lo dal s qu xsta un lugar stuado n l j supror zqurdo, rodando l marco d la Curva ROC. S sto s así, l ára bajo la curva s (l gráfco s un cuadrado d x). En l por d los casos, la curva ROC s stúa sobr la dagonal (con un ára =0,5). Por dbajo d s nvl (curvas crcnts), dbría nvrtrs l crtro d uso d la pruba La custón básca s cómo dtrmnar l punto d qulbro dal Snsbldad / Espcfcdad?. Para llo, dbn valuars los bnfcos y costs d los acrtos y rrors. Con una prspctva smplsta, podmos utlzar sta rato: m cost falsos postvos cost falsos ngatvos * p p dond p s l valor d ocurrnca dl sucso n la poblacón (o mustra obsrvada). S l sucso s tan probabl como l 0 y l cost dl rror postvo y ngatvo s l msmo, un punto d cort qu gual la spcfcdad y la snsbldad s adcuado. Sn mbargo, s los sucsos son gual d probabls pro l falso postvo s l dobl d caro qu l ngatvo, s rqurría más snsbldad y vcvrsa. En térmnos gráfcos, l punto d cort s aqul n l qu la pndnt d la tangnt concd con m. Otra forma d mdr la capacdad prdctva s usar una Tabla d Ganancas. Sn mdar clasfcacón, un grupo lgdo al azar d un 0% d la mustra dbría contnr tanto sucsos como proporcón haya n la mustra global. S s 0% no s un 0% al azar sno l dcl con mayors valors n la ndógna stmada n un bun modlo, s sguro qu ncontrarmos más d un 0% d ndvduos con valor. La tabla d ganancas compara, por dcls d la ndógna stmada, los casos pronostcados como sgún l modlo, con los qu corrspondrían a una asgnacón alatora d casos En SPSS, Dfnmos la varabl d prcntls d la probabldad stmada. (Transformar Asgnar Rangos a Casos Tpos d rango. Convn nvrtr l rango asgnando al d mayor valor). SPSS la llamará automátcamnt NPRE o algo smlar. Elaboramos una tabla prsonalzada utlzando la ndógna ordnal (NPRE) para dfnr las flas y colocando n columnas una varabl (ID, por jmplo) para qu mustr los % n cada tramo d (NPER) (arrastramos ID a la tabla y cambamos l stadístco

28 Ejrcco para clas: Ralzamos la stmacón logt dl modlo sobr la ntncón d rs d casa utlzando una spcfcacón más complta. Fchros: - casa.sav. S planta a una mustra d jóvns d 0 a 35 qu vvn con sus padrs un scnaro d trabajo dtrmnado y s ls prgunta sobr su dcsón (n s contxto) sobr rs d casa (varabl dcsón ). Utlzarmos n sta ocasón la varabl génro ( gndr, Hombr = ), la prcpcón dl ntrvstado sobr su grado d lbrtad n l hogar (scala -9 obtnda a partr d una rspusta n scala gráfca), la valoracón sobr su satsfaccón con su stuacón sntmntal (scala -9 obtnda a partr d una rspusta n scala gráfca) y la varabl d stuacón famlar. Nota: Utlc como catgoría d contrast para la stuacón famlar la prmra d llas, s dcr, convvnca con ambos progntors y hrmanos.. Obsrv los parámtros obtndos y comnt su sgnfcado y sgnfcatvdad stadístca. 3. Calcul la probabldad d rs d casa para un ndvduo prototípco y rprsnt los cambos ant varacons d ntrés. 4. Obsrv las mddas d sgnfcatvdad conjunta 5. Guard las mddas d dtccón d atípcos y lvrag y fltr los atípcos xcluyndo a todos aqullos qu tngan un valor supror a dos dsvacons típcas la mda d la Dstanca d Cook o l valor d Lvrag. 6. Obsrv las mddas d caldad prdctva. Rduzca l umbral d clasfcacón hasta l valor obsrvado d sucso n la poblacón y comprub l cambo n los rsultados. d rsumn por l rcunto n % d la columna). Añadmos ahora tambén por columna la varabl d Grupo Pronostcado por l LOGIT. Edtamos las catgorías y lmnamos la catgoría asocada al 0 ; volvmos ntoncs a la tabla y cambamos l stadístco d rsumn (% d N d la Columna). Añadmos l total n las columnas d la fla (Para so, marcamos la varabl qu ocupa flas y n la pstaña catgorías y totals marcamos l TOTAL).

29 Sgundo jmplo: Fchro nuvaofrta.sav jmplfcamos con stp ws Fchro crdt.sav para múltpl INTRODUCCIÓN BÁSICA a la ntrprtacón un modlo LOGIT MULTINOMIAL Qué hacmos s qurmos prdcr la marca qu algun comprará (d un conjunto d 4), l voto (d un conjunto d 3), la satsfaccón (mala, rgular, buna)?. Ncstamos un LOGIT multnomal (no ordnal u ordnal). En un logt MULT, xstn varas catgorías para la ndógna, por lo qu, a qué probabldad s asoca la ndógna d un modlo LOGIT? Efctvamnt, lo prmro qu habrá qu hacr s lgr una catgoría d rfrnca. En l LOGIT bnaro, los parámtros s asocaban con l cambo n la Odds dl sucso 0 frnt al, o prmtían calcular (con las opracons prtnnts) cómo s ncrmntaba la probabldad dl sucso frnt al 0 al varar la xógna, pro ahora cómo s posbl qu un únco parámtro valú l cambo dsd cada catgoría a la catgoría d rfrnca?. Efctvamnt, no s posbl, y por so obsrvarmos, para cada xógna, tantas cuacons, y tantos parámtros como catgorías xstan dstntas a la d rfrnca. Así, cada cuacón, los cofcnts nos hablarán dl ncrmnto d la probabldad rlatva dl sucso analzado rspcto al sucso d rfrnca (o sa, como n l LOGIT)

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