TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

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1 TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposicioes de Secudaria) TEMA 5 ECUACIONES DIOFANTICAS. Itroducció.. Ecuacioes Diofáticas Lieales... Ecuacioes co ua Icógita... Ecuacioes co dos Icógitas.... La ecuació ax by = c... La ecuació ax by = c..3. Formas de Hallar la solució Particular..3. Ecuacioes co más de dos Icógitas. 3. Sistemas de Ecuacioes Diofaticas Lieales. 4. Ecuacioes Diofáticas o Lieales. 4.. Ecuacioes co dos icógitas La ecuació x y = a 4... La ecuació de Pell La ecuació P(x) by = c co P(x) poliomio. 4.. Ecuacioes co más de dos icógitas La Ecuació Pitagórica x + y = z 4... La Ecuació de Fermat x + y = z 5. Ecuacioes co Cogruecias. Bibliografía Recomedada. /8

2 TEMA 5 ECUACIONES DIOFANTICAS. INTRODUCCIÓN. PROP Sea V u K-espacio vectorial de dimesió. Sea B = {u,..,u } base de V. r Dados a, a,., a K, defiimos f: V K dode v V v = x x,..., coordeadas respecto de B, ( v ) r f = i= r r f... r co ( ), a x i i. Etoces f es ua aplicació lieal. ( λv µ w) = f ( λ ( x u x u ) + ( y u + + y u )) = + µ (( λ x + µ y ) u ( λx + y ) u ) = = f µ ( λ x + µ y ) a ( λx + y ) = = a µ x = λ a x + µ ay λa x + µ ay = r = λ... + ( a x + + a x ) + µ ( a y + + a y ) = λf ( v ) µ f ( w)... Dada ua aplicació lieal f: V K co V K-espacio vectorial, os plateamos la ecesidad de coocer que vectores de V, x r V verifica ( r f x ) = c siedo c K u elemeto fijo. DEF Bajo las codicioes ateriores, la expresió f ( x r ) = c recibe el ombre de ecuació lieal. Cada x r V que verifique la ecuació aterior es ua solució de al ecuació. Los elemetos ( x,,..., x x ), coordeadas de x r respecto ua base B de V, se llama icógitas y los a, a,.., a K coeficietes. OBS Auque sea vectores, es usual represetarlos si la flecha superior, por lo que escribiremos f(x) = c, para simplificar la otació. DEF Ua ecuació diofática es ua ecuació algebraica co coeficietes eteros y de la que iteresa úicamete las solucioes eteras. Veremos como resolver las ecuacioes diofáticas, dividiédolas e diferetes tipos. Nos cetraremos más e ecuacioes lieales, auque tambié veremos ecuacioes diofáticas o lieales.. ECUACIONES DIOFÁNTICAS LINEALES... Ecuacioes co ua Icógita. Este caso o preseta igua dificultad e su resolució, pues ua ecuació r /8

3 ax = c co a, c tiee solució etera a/c (c es u múltiplo de a)... Ecuacioes co dos Icogitas.... La ecuació ax by = c PROP Sea la ecuació Ax By = C, siedo A 0, B 0 y D = mcd (A, B). Si Ax By = C admite solució etoces D/C. Como D = mcd (A, B) A = a D y B = b D La ecuació se puede escribir como adx bdy = C y D(ax by) = C. Como Ax By = C tiee solució, la igualdad D(ax by) = C es cierta y por tato D/C. OBS Teiedo e cueta la proposició aterior, basta co resolver la ecuació ax by = c co mcd (a, b) =. DEF Se llama sistema completo de úmeros icogrue tes modulo a, a todo cojuto de a úmeros cuyos restos al dividir por a so todos distitos. Dado a, el cojuto {0,,.., a } forma u sistema completo de úmeros icogruetes módulo a. PROP Sea ax by = c ua ecuació diofatica co mcd(a, b) =. Sea S = {0,,., a } u sistema completo de úmeros icogruetes módulo a. Etoces el cojuto T = b x + c / x S es u sistema completo de úmeros icogruetes módulo a. { } Realicemos la demostració por reducció al absurdo. Sea bi + c y bj + c co i, j S (es lo mismo que 0 i, j a ), i j, dos elemetos de T tales que al dividirlos por a da el mismo resto. Realizado la divisió euclidea: q, r / q, r / bi + c = aq + r bj + c = aq + r Restado ambas ecuacioes b(i j) = a(q q ) 3/8

4 Y como mcd (a, b) = i j/a Etoces i y j so cogruetes módulo a, lo cual es ua cotradicció. PROP La ecuació diofatica ax by = c co mcd (a, b) = tiee solució. Como {0,,,., a } es u sistema completo de úmeros icogruetes módulo a, por la proposició aterior teemos que {c, b + c, b + c,., (a )b + c} es tambié u sistema completo de úmeros icogruetes módulo a. Etoces existe u úico bβ + c co 0 β a tal que al dividir por a obtegamos de resto 0. bβ + c = a q co q Llamemos al cociete q por la letra α quedado Y aα - bβ = c bβ + c = aα Siedo (α, β) ua solució particular de ax by = c. PROP Sea la ecuació diofática ax by = c co mcd (a, b) = y sea (α, β) ua solució particular de la misma. Etoces la ecuació tiee ifiitas solucioes eteras. Dada la ecuació diofática ax by = c co (x, y) solució. Como (α, β) es ua solució particular aα - bβ = c. Restado ambas expresioes a(x - α) b(y - β) = 0 a(x - α) = b(y -β) Al ser mcd (a, b) = a/y - β y - β = at co t. Sustituyedo a(x - α) = b at x - α = bt. Por tato, la solució completa de la ecuació diofática es... La ecuació ax + by = c. x = α+ bt t y = β + at PROP Sea la ecuació Ax + By = C, co A 0, B 0 y D = mcd (A, B). 4/8

5 Si Ax + By = C admite solució etoces D/C. Es igual a la primera proposició del puto... OBS De uevo cosideraremos la ecuació ax + by = c co mcd (a, b) =. PROP Sea ax + by = c ua ecuació diofática co mcd (a, b) =. Sea S={0,,..,a } u sistema completo de úmeros icogruetes módulo a. Etoces el cojuto T = c bx / x S es u sistema completo de úmeros icogruetes módulo a. { } Realicemos la demostració por reducció al absurdo. Sea c ib, c - jb T co i, j S i j, tales que al dividirlos por a se obtiee el mismo resto q, r / c ib = aq + r q, e / c jb = aq + r Restado ambas ecuacioes b(j i) = a(q q ) Y como mcd (a, b) = j i/a Etoces i y j so cogruetes módulo a, lo cual es ua cotradicció. PROP La ecuació diofática ax + by = c co mcd (a, b) = tiee solució. Sabemos que {c, c b, c b,., c (a )b} es u sistema completo de úmeros icogruetes módulo a. Etoces existe u úico c - bβ co 0 β a tal que al dividir por a obtegamos de resto 0. α / c - bβ = a α Etoces aα + bβ = c y (α, β) es solució de la ecuació. PROP Sea la ecuació diofática ax + by = c co mcd (a, b) = y sea (α, β) ua solució particular de la misma. Etoces la ecuació tiee ifiitas solucioes eteras. 5/8

6 Sea (x, y) ua solució geeral de la ecuació y (α, β) la solució particular. ax + by = c a aα + bβ = c ( x α) + b( y β) = 0 a( x α) = b( β y) Como mcd (a, b) = a/β - y β - y = at t Sustituyedo a(x - α) = bat x - α = bt La solució geeral tiee la forma x = α+ bt y = β at co t..3. Formas de hallar la solució particular. Hemos visto e los dos putos ateriores que ua ecuació de la forma ax ± by = c co mcd (a, b) = tiee solució particular. Y a partir de ella hemos ecotrado todas las solucioes. La proposició que os afirma que existe solució particular os describe ua forma de ecotrarla. ª Forma: Cosiste e despejar la icógita de meor coeficiete (supogamos que es a). Eso os proporcioa u cojuto S = {0,,., a } más pequeño. Y probamos secuecialmete los valores de S, siedo solució aquel que al realizar la operació idicada os da u úmero etero. Ejemplo. Sea la ecuació 39x 5y = 3 Si despejamos solució. 3+ 5y x = hemos de ver cual de los úmeros {0,,,38} es 39 E cambio si despejamos elemetos. 39x 3 y = el cojuto se reduce a {0,,, 4} sólo Para x = y = = 3 5 La solució particular sería (, 3). 6/8

7 Siedo la solució geeral x = + 5t y = t Este método que hemos descrito o se puede utilizar e el caso de que ambos coeficietes de la ecuació tega u valor elevado. E caso de que suceda esta situació, primero hemos de reducir la ecuació a otra co meores coeficietes. ª Forma: Al ecotraros co ua ecuació co coeficietes altos, ax by = c despejamos aquella icógita acompañada de meor coeficiete by + c x = a Hacemos la divisió euclidea etre b y a y etre c y a q, b / b = aq + b q, c / c = aq + c Y sustituimos x = ( aq + b ) y + ( aq + c ) Obteemos la ecuació diofática b y + c = qy + q + a a ax - b y = c dode el coeficiete de la icógita o despejada ha sido reducido. E caso de que esta ueva ecuació todavía tega coeficietes altos, se repite el proceso tatas veces como sea ecesario. Ejemplo. Sea la ecuació 584x 65y = 00 que claramete tiee solució ya que mcd (584, 65) = mcd (3 4 6, 5 4 ) = Despejamos la icógita afectada de meor coeficiete: 584x 00 84x 6 y = = 8x 3 + () /8

8 ya que 584 = = x 6 Sea y = 84x 65y = 6 65 Repetimos el proceso despejado ahora y 73y 6 x = = 3y + () y + 6 Sea x = 84x 73y = 6 84 Repetimos, despejado 84x 6 38x 53 y = = x + (3) x 53 Sea y = 38x 73y = Aplicamos ahora la ª forma de resolució para resolver esta ecuació y x = 38 Y es cierta para x = y y = 5 Sustituyedo e (3) y = + 5 = 6 Sustituyedo e () Y = = 735 Siedo ua solució particular X = 89 y = 735 Y la solució geeral es: 8/8

9 x = t co y = t t 3ª Forma. Dada la ecuació ax ± by = c, como mcd (a, b) =, teemos que por el Algoritmo de Euclides λ, µ / λa + µb = Y al multiplicar esa expresió por c cλa + cµb = c a (λc) + b(µc) = c que tambié se puede escribir como a(λc) ± b(± µc) = c siedo x = λc e y = ± µc solució particular de la ecuació. OBS Elegiremos el sigo de y segú sea el de la ecuació..3. Ecuacioes co más de dos icógitas. PROP Sea la ecuació A x + A x +..+A x = C co A i 0 i:,,. Sea D = mcd (A, A,, A ). La ecuació tiee solució D/C. Vamos a demostrar el teorema por iducció e el úmero de icógitas. Para = y = ya hemos visto que es cierto. Para, por hipótesis de iducció, lo supoemos cierto. Veamos para. Sea la ecuació A x +..+A x = C La ecuació A x +..+ A - x - = Dy co D = mcd (a, a,, a - ) tiee solució, por hipótesis de iducció. Cosideremos la ecuació 9/8

10 Ay + A x = C El mcd (D, A ) = mcd (A,., A -, A ) que divide a C. Etoces, esa ecuació co dos icógitas tiee solució. Hemos ecotrado solució para la ecuació iicial co icógitas. Esta proposició que acabamos de demostrar os proporcioa u método práctico para hallar la solució de ua ecuació co icógitas, reduciédola a otra co ua meos hasta llegar a ue ecuació co sólo dos icógitas. Ejemplo. Sea 8x + 45x 0x x 4 = Sabemos que tiee solució porque mcd (8, 45, 0, 49) = y /. Sea 8x + 45x 0x 3 = y ya que mcd (8, 45, 0) = Etoces y + 49x 4 = co solució particular (60, -) Siedo la solució geeral y = t t x4 = t Volvamos a reducir la ecuació co tres icógitas: Sea 8x + 45x = 9y ya que mcd (8, 45) = 9 Etoces 9y 0x 3 = y co solució particular (9y, 4y ) y x 3 = 9y = 4y + 0t + 9t y = t + 0t t x3 = t + 0t Y os queda 8x + 45x = 9y que es x + 5x = y Co solució particular (3y, - y ) y la geeral x x = 3y = y + 5t x t x Siedo la solució fial = t + 60t + 5t t = t 0t t 0/8

11 x x = t + 5 t = t 0t t t, t, t x3 = t + 9t x = 4 t 3. SISTEMAS DE ECUACIONES DIOFANTICAS LINEALES. De uevo, cada ecuació diofática del sistema de ecuacioes debe verificar que el máximo comú divisor de los coeficietes ha de dividir al térmio idepediete. No lo vamos a demostrar, por o reiteraros e exceso. E los casos ateriores, esta codició era ecesaria y suficiete para garatizar la existecia de solució. Pero e el caso que ahora os compete, vamos a ver mediate u ejemplo que ya o es suficiete. Sea el sistema x + y + 3z = 7 8x 5y 3z = Aplicado el método de resolució de Gauss, es equivalete a x + y + 3z = 7 0x 4y = 8 x + y + 3z = 7 5x y = 9 La seguda ecuació es resoluble ya que mcd (5, )/9 x = + t co y = + 5t t Sustituyedo e la ª ecuació ( + t ) + ( + 5t) + 3z 7 = + 4t + 5t + 3z = 7 9 t + 3z = 7 Y resulta que mcd (9, 3) = 3 y 3 o divide a 7, por lo que la ecuació o tiee solució, y el sistema tampoco. /8

12 4. ECUACIONES DIOFÁNTICAS NO LINEALES. 4.. Ecuacioes co dos Icógitas La ecuació x y = a. Dada la ecuació x y = a co a, puede escribirse como (x + y) (x y) = a Si tomamos m = x + y = x y Etoces m = a Y a cada solució posible le correspode ua descomposició factorial de a. Al resolver la ecuació m = a e podemos deducir que simultáeamete m y so pares o so impares. Para ello basta teer e cueta la defiició de m y. Eso implica que si a tiee u factor co multiplicidad, o puede haber ua descomposició como la idicada e el párrafo aterior. Por tato la ecuació o tiee solució. Ejemplos. ) x y = 98 Como 98 = 3 7 m = 7 Posibilidades: a) m = x + y = = 49 x = 5 x y = 49 x b) m = 4 = 7 x + y = 4 x = x y = 7 x No sirve No sirve Como vemos, o hay solució. ) x y = 36 Como 36 = 3 m = 3 Posibilidades /8

13 a) m = x + y = = 8 x = 0 x y = 8 y = 8 b) m = 4 = 9 No puede ser c) m = 6 = 6 x + y = 6 x = 6 x y = 6 y = 0 d) m = 9 = 4 No puede ser e) m = 8 = x + y = 8 x = 0 x y = y = 8 Las solucioes a la ecuació x y = 36 so (0, -8) (6, 0) (0, 8) y tambié (-0, 8) (-0, -8) 4... La ecuació de Pell. La ecuació de Pell es X dy = N Esta ecuació tiee gra importacia ya que cualquier ecuació cuadrática de dos variables se puede reducir a ella. Veámoslo: ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 co a, b, c, d, e, f Si la escribimos como u poliomio e x teemos ax + (by + d)x + (cy + ey + f) = 0 y es ua ecuació de segudo grado e x. Tedrá solució si el discrimiate es u cuadrado perfecto (by + d) 4a(cy + ey + f) = w co w (b 4ac)y + (bd 4ae)y + (d 4af w ) = 0 Sea p = b 4ac q = bd 4ae r = d 4af Y etoces podemos escribir 3/8

14 py + qy + r w = 0 e igualmete es ua ecuació de º grado e y, que tedrá solució si su discrimiate es u cuadrado perfecto q 4p(r w ) = z co z y la ecuació aterior, escrita como z 4pw = q 4pr es ua ecuació de Pell co d = 4p y N = q 4pr E 768, Lagrage demostró que si N = y d o es u cuadrado perfecto co d > 0, la ecuació tiee solució o trivial (distita de x = e y = 0). La solució o trivial la calculó mediate fraccioes cotiuas de mediate u ejemplo. d. Veamoslo Ejemplo. X 7y = = 4 + z = = = 4 + z z = 8 + z 7 = z A partir de aquí, es fácil comprobar que es periódica. La fracció reducida de segudo orde es = 8 8 Ua solució es x = 33 y = 8 Para hallar todas: Se verifica que ( ) = x + 7y Basta desarrollar la potecia y tomar como x los sumados si factores que acompaña a 7. 7 y como y los Como ( ) = x + 7y 4/8

15 ( ) = x 7y Multiplicado ambas expresioes = x 7y Y como = teemos que (x, y) es tambié solució de la ecuació la ecuació P(x) by = c co P(x) poliomio. La ecuació P(x) by = c co ( x ) = solució. P i= 0 a i x poliomio, o siempre tiee El método para resolverlas es muy similar al visto para dos variable, siempre que tega solució. Despejado e la ecuació la variable y c P y = b ( x) Si llamamos Q(x) = c P(x) os queda Q y = b ( x) Sea m y dos úmeros eteros tales que da el mismo resto al dividirlos por b (so cogruetes). Etoces m = + b s co s Si ( x ) Q = i= 0 b i i etoces ( ) Q = i= 0 b i i i i i ( ) b m = b ( + bs) = b + s K = Q( ) Q m i i = i= 0 i= 0 i= 0 i + s K Vemos que Q() y Q(m) tambié so cogruetes módulo b. La implicació cotraria o es cierta. Para hallar la solució para y, basta probar {Q(0), Q(),.., Q(b-)} y ver cual de ellos, al dividirlo por b, da como resultado u etero. 5/8

16 Supogamos que Q(a) co 0 a b es el múltiplo de b. Etoces la solució geeral sería: Ejemplo. x = a + bt Q a y = b ( + bt ) co t Sea la ecuació 4x 3 3x + x 3y = 3 4x y = 3 3x + x 3 3 Q(0) = -3, Q() = - Q() = 9 Etoces 4 y = 3 ( 3t ) 3( 3t) 3 x = 3t + 3t 3 08t = 3 7t 3 + 3t 3 t y = 36t x = 3t 3 9t + t t 4.. Ecuacioes co más de dos icógitas La ecuació Pitagórica x + y = z La defiició completa de la ecuació pitagórica es x + y = z co x, y, z - {0} Esta ecuació surgió al estudiar el triágulo rectágulo de catetos 3 y 4 e hipoteusa 5. Al ser u triágulo rectágulo verificaba el teorema de Pitágoras = 5 Etoces se plateó la posibilidad de hallar más cojutos de 3 úmeros que correspodiese a medidas de u triágulo rectágulo, para lo cual había que resolver la ecuació x + y = z co x, y, z Es claro que si x o, y o, z o es ua solució de la ecuació, etoces λx o, λy o, λz o co λ tambié es solució. El recíproco tambié es cierto. 6/8

17 Etoces, para su resolució, podemos supoer que los tres úmeros x, y, z so coprimos tomados de dos e dos. Las solucioes que verifique esta codició recibe el ombre de solucioes primitivas, ya que o so múltiplos de igua otra solució. Teiedo e cueta lo aterior, los úmeros represetados por x e y o puede ser ambos pares, ya que etoces tambié lo sería z, y hemos excluido esa situació. Supogamos etoces que x es impar, y vamos a tratar de resolver la ecuació. x + y = z x = z y x = ( z + y)( z y) Sea u = z + y y v = z y x = u v z + y = u z y = v u z = u y = Los factores u y v debe ser impares. Si u y v tuviese u factor comú, etoces z e y tambié lo tedría y o sería coprimos, luego u y v además de impares, debe ser coprimos. x 3=3 5=5 7=7 9=9 = 3=3 5=5 5=5 3 7=7 9=9 =7 3 y z v v 4... La Ecuació de Fermat x + y = z. La ecuació pitagórica dio lugar a itetar resolver x 3 + y 3 = z 3 co x, y, z Y posteriormete a x 4 + y 4 = z 4 co x, y, z Y e geeral a X + y = z co x, y, z, llamada ecuació de Fermat por ser este quie la resolvió. 7/8

18 Desde el siglo XVII se ha ido demostrado que para = 3 la ecuació era irresoluble y luego se o para = 4. U día dijo Fermat que había demostrado que la ecuació era irresoluble para 3, pero uca dio la demostració. E 993, el matemático A. Wiles, publicó la demostració de la irresolubilidad de la ecuació para 3, pero proto se vio que había cometido u fallo. Hoy e día es uo de los problemas clásicos de la matemática que sigue si ser demostrado. 5. ECUACIONES DE CONGRUENCIAS. Recordemos que dos úmeros a y b so cogruetes módulo si al dividirlos por (mediate la divisió euclidea) obteemos el mismo resto. Se represeta por a b (mod ) y es equivalete a que a b = t co t. Podemos platearos la resolució de este tipo de expresioes cuado uo de los miembros lo sustituimos por ua expresió, que bie puede ser lieal (co ua o varias icógitas) o poliómica. Etoces recibe el ombre de ecuació de cogruecias. Ejemplos. ) x 5 (mod 7) ) x + x + 3 (mod ) 3) x 3y 7 (mod 5) Toda ecuació de cogruecias puede reducirse a ua ecuació diofatica co ua icógita más, y tratar así de resolverla. Ejemplos. ) x 5 (mod 7) x 5 = 7y x 7y = 5 ) x + x + 3 (mod ) x + x + 3 = y x + x + y = 3 3) x 3y 7 (mod 5) x 3y 7 = 5z x 3y 5z = 7 Bibliografía Recomedada. Álgebra. Aut: Hugerford. Edit: Spriger-Verlag. Algèbre. Aut: S. MacLae. Edit: Gauthier-Villars Álgebra. Aut: S. Lag. Edit: Aguilar. Curso de Álgebra Modera. Aut. P. Hilto. Edit: Reverté. 8/8