Progresiones aritméticas y geométricas

Transcripción

1 Progresioes ritmétics y geométrics Progresioes ritmétics y geométrics. Esquem de l uidd PROGRESIONES Progresioes Aritmétics Progresioes Geométrics Iterés compuesto Sum de térmios Sum de térmios Producto de térmios 2. Progresioes ritmétics U sucesió de úmeros reles es u cojuto ordedo de ifiitos úmeros reles, 2, 3, 4, 5,...,,... Cd uo de los úmeros reles se llm térmio de l sucesió. El cojuto ordedo de úmeros impres 3, 5, 7, 9,, 3,... es u sucesió de úmeros reles. Al térmio: 3 + 2(-) se le llm térmio geerl. Si embrgo, o tods ls sucesioes tiee térmio geerl. Por ejemplo, e l importte sucesió de los úmeros primos: 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 23,... o hy igu fórmul que exprese el térmio geerl. Cosideremos l sucesió de térmio geerl { } {5, 8,, 4, 7, 20,...} Observmos que cd térmio de l sucesió es igul que el terior más 3. Se dice que l sucesió es u progresió ritmétic y que d 3 es l difereci de l progresió. - /3 - A.G.Odí

2 Progresioes ritmétics y geométrics Defiició: U progresió ritmétic es u sucesió de úmeros tles que cd uo de ellos (slvo el primero) es igul l terior más u úmero fijo llmdo difereci que se represet por d. E l progresió terior 5, 2 8 y d E ocsioes os referimos l progresió formd por los primeros térmios de l progresió; e este cso se trt de u progresió ritmétic limitd. So progresioes ritmétics: Los múltiplos de 2 o úmeros pres: 2, 4, 6, 8, 0... L difereci es d 2. Los múltiplos de 3: 3, 6, 9, 2, 5... L difereci es d 3. Los múltiplos de :, 2, 3, 4, 5... L difereci es d. Ejercicio : Escribir los 8 primeros térmios de ls progresioes ritmétics cuyo térmio y difereci se idic e cd cso: ) 3, d4 b) -4, d3 c) 9, d-2 d) -2, d-3 e) 7, d0,5 f) 6,8, d-0,3 2. Térmio geerl Fijémoos e l progresió ritmétic ilimitd, 2, 3, 4, 5,...,,... Segú l defiició, cd térmio es igul l terior más l difereci. 2 + d d + d + d + 2d d + 2d + d + 3d Geerlizdo este proceso se obtiee el térmio geerl: + ( ) d - 2/3 - A.G.Odí

3 Progresioes ritmétics y geométrics Ejemplos: El térmio geerl de l progresió ritmétic 5, 8,, 4... es: 5 + ( - ) El térmio geerl de u progresió ritmétic e l que 3 y d 2 es: 3 + ( - ) Hllr el primer térmio de u progresió ritmétic sbiedo que 35 y d 4. Escribimos + ( - ) 4, es decir, , de dode Hllr el octvo térmio de u progresió ritmétic, cuyo primer térmio es 3 y su difereci 5. Sol: 8 38 Hllr el primer térmio de u progresió ritmétic que cost de 20 térmios, si se sbe que el último es 83 y l difereci es 4. Sol: 7 Cuátos térmios tiee u progresió ritmétic cuyo primer térmio es 5 y el último -90, si l difereci es -3? Sol: 36 Hllr l difereci de u progresió ritmétic que cost de 2 térmios siedo 6 el primero y 39 el último. Sol: d3 Se puede coseguir otr expresió pr el térmio geerl e fució de otro térmio culquier, e lugr del primer térmio. Como + ( - ) d y k + (k - ) d, despejdo e mbs expresioes e iguldo result: k + ( k ) d Ejercicio 2: Los dtos de cd uo de los prtdos correspode u progresió ritmétic. Clculr l icógit que se idic e cd uo de ellos: ) 3, d4, 8? Sol: 3 b) 5, 0 32, d? Sol: 3 c) 3, d3, 36,? Sol: 2 d) 8, d-2,,? e) -5, -45, d? f) 2 3, d3,? g) 23, 7 3, d? h) 5-0, 3-8, d? i) 3-5/3, 8-5, d? j) 6 3, 4 -, d? k) 5-4, 24 6, d? l) 6, 35 65, d? Sol: 59/24-3/3 - A.G.Odí

4 Progresioes ritmétics y geométrics 2.2 Iterpolció de térmios medios ritméticos Supogmos que queremos iterclr etre 2 y 4 tres úmeros, b y c de mer que 2,, b, c, 4 esté e progresió ritmétic. Teemos que 2, 5 4 y 5. Aplicdo l expresió del térmio geerl de u progresió ritmétic, se tiee que: 5 + 4d d d 3 Por tto, l progresió ritmétic es: 2, 5, 8,, 4. Este problem, que cosiste e iterclr vrios térmios etre dos ddos, se deomi iterpolció. Los térmios que hemos hlldo se llm medios ritméticos. Así, iterpolr m medios ritméticos o medios difereciles etre dos úmeros y b sigific hllr m úmeros x, x 2,,x m tl que l sucesió, x, x 2,,x m, b se u progresió ritmétic de m+2 térmios. Iterpolr 3 medios ritméticos etre 4/3 y 8/5. Sol: 4/3, 2/5,22/5, 23/5, 8/5 Ejercicio 3: ) Iterpolr 4 medios ritméticos etre el y el 9. Sol: d8/5 b) Iterpolr 5 medios ritméticos etre el 3/5 y el 23/5. Sol: d2/3 2.3 Térmios equidisttes de los extremos. Fijemos que e u progresió ritmétic fiit se verific que ls sums de los térmios equidisttes de los extremos es igul l sum de dichos extremos., 2, 3, 4, 5, { 6, 7, 8, 9, E geerl, e u progresió ritmétic limitd se verific: /3 - A.G.Odí

5 Progresioes ritmétics y geométrics Ejemplo: Cosideremos l progresió formd por los seis primeros múltiplos de 5: { } { 5,0,5, 20, 25, 30} Observemos que l sum de los extremos es: y que los térmios equidisttes sum lo mismo que los térmios extremos: Sum de térmios cosecutivos. Vmos utilizr el resultdo terior pr clculr l fórmul de l sum de térmios cosecutivos de u progresió ritmétic. Veámoslo primero co el ejemplo: Cuál es l sum de los seis térmios de l progresió 5, 0, 5, 20, 25, 30? U form de hllr l sum de los térmios de est progresió es escribir l sum dos veces ivirtiedo los térmios e u de ells. S S S S (5 + 30) S 6 [6 (5 + 30)] : 2 05 Vmos geerlizr este resultdo: Cuál es l sum de los térmios de l progresió, 2, 3,..., -,? Llmemos S l sum de los térmios y escribmos l sum dos veces, ivirtiedo los sumdos e u de ells. S Sumdo ls dos igulddes S S ( + ) + ( ) ( ) + ( + ) - 5/3 - A.G.Odí

6 Progresioes ritmétics y geométrics Como hy prétesis y el vlor de cd uo es ( + ) se tiee: 2S ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) de dode: S + 2 Ejemplos: Hllr l sum de los 00 primeros úmeros turles. Idem. de los 00 primeros úmeros pres. Sol: S E u progresió ritmétic limitd, cuyo primer térmio es 67 y cuy difereci es -6, l sum de los primeros térmios es 408 Cuátos térmios form l progresió y cul es el último? ( ) ( 6) ( 67 + ) Solució: 2 térmios y el último vldrá Not: sbemos + + S 2 ( ) podremos resolver el sistem. Ejercicio 4:.d / 3 o vle que so 5 icógits d y por tto si coocemos 3 S Clculr l sum de: ) los 2 primeros múltiplos de 7. b) los 40 primeros múltiplos de 3. Resolver: ) 4 ;?,d2, 8, S? c) los múltiplos de 6 compredidos etre 00 y 000. Sol: S82350 b) 3; 2,d?,?, S20 Sol: d2; 0 c)?; 56,d3,?, S56 Se l progresió 9,..,62 de 52 térmios clculr l difereci y su sum. Sol: S4446;d3 L sum del tercer y curto térmio de u progresió ritmétic es 2 y el sexto térmio es. Formr l progresió sbiedo que tiee 6 térmios. Sol: d-2;, 9, 7, 5, 3, Ls eddes de 4 hermos form u progresió ritmétic cuy sum es 32. El myor tiee 6 ños más que el meor. Averigur los ños de los 4 hermos. Sol: d2; 5, 7, 9, - 6/3 - A.G.Odí

7 Progresioes ritmétics y geométrics 3. Progresioes geométrics. Observemos ls potecis de 0 que result de l sucesió 0 -., 0, 0 2, 0 3, 0 4, 0 5,... Cd térmio de est sucesió es igul l terior multiplicdo por 0. Est sucesió es u progresió geométric. Defiició: U progresió geométric es u sucesió de úmeros tles que cd uo de ellos (slvo el primero) es igul l terior multiplicdo por u úmero costte llmdo rzó, que se represet por r., 2, 4, 8, 6, 32, r 2 2, -2, 2, -2, 2, -2, r - 4, -2,, -/2, /4, r -/2 Ejercicio 5: Escribir los 6 primeros térmios de ls progresioes geométrics cuy rzó se idic: ) 3 r 2 b) 6 r /2 c) 8 r/3 d) 000 r /5 3. Térmio geerl. verific: Segú l defiició terior, e l progresió geométric, 2, 3, 4, 5,...,, se 2 r 3 2 r r r r r r 2 r r 3 Geerlizdo este proceso se obtiee el térmio geerl: r - 7/3 - A.G.Odí

8 Progresioes ritmétics y geométrics Ejemplos: Cuál es l rzó de l progresió geométric 3, 6, 2,...? L rzó se obtiee dividiedo u térmio por el terior: r 6 : 3 2. Cuál es el quito térmio de u progresió geométric e l que 2 y r 3? Podemos ir hlldo l progresió térmio térmio (2, 6, 8, 54, 62,...) multiplicdo cd térmio por 3, o tmbié se puede obteer directmete: 5 r 5 - r Ejercicio 6: ) Clculr el térmio 7º de l progresió 3, 9, 27, b) Clculr el primer térmio de u progresió geométric que tiee 8 térmios, sbiedo que el último es 280 y que l rzó es 2. c) Clculr l rzó de u progresió geométric que cost de 9 térmios, siedo 2 el primero y el último. Se puede coseguir otr expresió pr el térmio geerl e fució de otro térmio culquier, e lugr del primer térmio. Como r - y k r k -, despejdo e mbs expresioes e iguldo result: k r k 3.2 Iterpolció de térmios medios geométricos Supogmos que queremos iterclr etre 3 y 96 cutro úmeros, b, c y d de mer que 3,, b, c, d, 4 esté e progresió geométric. Teemos que 3, 6 96 y 6. Aplicdo l expresió del térmio geerl de u progresió geométric, se tiee que: 6 r r 5 32 r 5 r 2 Por tto, l progresió geométric es: 3, 6, 2, 24, 48, /3 - A.G.Odí

9 Progresioes ritmétics y geométrics Este problem, que cosiste e iterclr vrios térmios etre dos ddos, se deomi iterpolció. Los térmios que hemos hlldo se llm medios geométricos o proporcioles. Así, iterpolr m medios geométricos o medios difereciles etre dos úmeros y b sigific hllr m úmeros x, x 2,,x m tl que l sucesió, x, x 2,,x m, b se u progresió geométric de m+2 térmios. Ejemplo: Iterpolr cutro medios geométricos etre 4/5 y 293/40. Sol: 6/5, 9/5, 27/0, 8/20 r3/2 Ejercicio 7: Iterpolr 5 medios geométricos etre los dos úmeros de cd prtdo: ) 5 y 320 b) 0,3 y 0, c) 27/6 y 4/ Térmios equidisttes de los extremos. Fijemos que e u progresió geométric fiit se verific que los productos de los térmios equidisttes de los extremos es igul l producto de dichos extremos., 2, 4, 8, 6, 32, 64, 28, 256, Observemos que e l progresió geométric: 3, 6, 2, 24, 48 el producto de los térmios extremos es: y que el producto de los térmios equidisttes de los extremos es tmbié 44. E geerl, e u progresió geométric limitd se verific: /3 - A.G.Odí

10 Progresioes ritmétics y geométrics 3.4 Producto de térmios cosecutivos. Vmos utilizr el resultdo terior pr clculr l fórmul del producto de térmios cosecutivos de u progresió geométric. Llmemos P l producto de los térmios y escribmos el producto dos veces, ivirtiedo los fctores e u de ells. P P X Multiplicdo ls dos igulddes result: P 2 ( ) ( 2 - )... ( - 2 ) ( ) Como hy prétesis y el vlor de cd uo es ( ) se tiee: P 2 ( ) ( )... ( ) ( ) de dode: Ejemplo: P ( ) Hllr el producto de ls 8 primers potecis de 3. Ejercicio 8: Clculr el producto de los 5 primeros térmios de cd u de ls siguietes progresioes geométrics: ) 2, 6, 8,. b) 5, 20, 80, c) 2/3, 4/9, 8/27; d) 2 2,8,8 2,... e) 3, 5, 75, f) 3/8, 5/6, 75/32, 3.5 Sum de térmios cosecutivos. Si queremos clculr l sum de los térmios de l progresió geométric limitd, 2, 3,..., -,, escribimos l sum S de los térmios y después multiplicmos por l rzó. S S r r + 2 r r + r - 0/3 - A.G.Odí

11 Progresioes ritmétics y geométrics Ahor restmos S r - S teiedo e cuet que r 2, 2 r 3, etc. S r - S r - S (r - ) r -, de dode: r r S Usdo l expresió del térmio geerl de u progresió geométric r, se puede obteer l fórmul de l sum e fució de y r sí: S ( r ) r 3.6 Sum de los térmios de u progresió geométric decreciete. L progresió 2 0-2, 2/0, 2/00, 2/000,... es u progresió geométric de rzó positiv y meor que (r /0), es decir, es u progresió geométric decreciete e ilimitd y sus térmios se hce cd vez meores, pudiedo llegr ser más pequeños que culquier úmero ddo. Pr obteer l fórmul de l sum de ests progresioes multiplicmos por - el umerdor y el deomidor de l fórmul terior: S ( r ) r r r r r r r r Si r es positivo y meor que l uidd, por ejemplo r /00, qué ocurre co l sum terior l crecer? L primer frcció permece costte, pues o depede de, pero r se hce t pequeño como quermos. Por est rzó, pr hllr l sum de los ifiitos térmios de u progresió geométric decreciete se utiliz est fórmul: r S - /3 - A.G.Odí

12 Progresioes ritmétics y geométrics 4. Iterés simple e iterés compuesto U plicció clr de ls progresioes geométrics es el iterés compuesto. Vmos verlo co u ejemplo y recorddo previmete el iterés simple. Cudo u perso deposit u cpitl e u bco durte u cierto tiempo, el bco pg itereses. Depediedo de que se retire o o los itereses periódicmete, el iterés se llm simple o compuesto. E cuáto se covierte u cpitl de l 0 % e dos ños iterés simple? Y iterés compuesto? Vemos cd cso por seprdo: 4. Iterés simple. Como el iterés que produce e ño es de 0/00. 0,, el iterés totl es: , Al fil del primer ño retirmos los itereses y el cpitl sigue siedo el mismo: E el segudo ño, el cpitl vuelve producir otrs E los dos ños el iterés producido es: Por tto, el cpitl se covierte e los dos ños e: Se puede obteer directmete el iterés e los dos ños: i , E geerl, si C es el cpitl, r es el tto por cieto ul y t es el tiempo e ños, etoces el iterés simple es: i C r t 00-2/3 - A.G.Odí

13 Progresioes ritmétics y geométrics Si el tiempo viee ddo e meses l fórmul es: i C r t 2 00 C r t 200 Si el tiempo viee expresdo e dís l fórmul es: i C r t C r t Iterés compuesto. E el primer ño l gci del cpitl es l mism estdo depositdo iterés simple o iterés compuesto: Al fil del primer ño ls gds o se retir, por lo que el cpitl, l empezr el segudo ño, es de E el segudo ño el iterés que produce es: , E los dos ños el iterés producido es: Por tto, el cpitl de se covierte e los dos ños e: Se puede obteer directmete el cpitl fil l cbo de los dos ños: C ( + 0,) E geerl, el cpitl fil (C t ) que se obtiee prtir de u cpitl C e t ños, l tto por cieto ul r es: C t C + r 00 t - 3/3 - A.G.Odí