FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

Transcripción

1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. INTRODUCCIÓN. El termin trignmetrí prviene de ls plbrs griegs trign y metrón, que quieren decir Triángul y medid respectivmente. Sin embrg, el estudi de l trignmetrí n se limit l medición de ls lds de un triángul. L histri de l trignmetrí se remnt ls primers mtemátics cncids en Egipt y Bbilni. Ls egipcis estbleciern l medid de ls ánguls en grds, minuts y segunds. En el sigl II.C. el strónm Hiprc de Nice cmpiló un tbl trignmétric pr reslver triánguls, cmenznd cn un ángul de 7º y llegnd hst 180º, cn increments de 7º, l tbl db l lngitud de l cuerd delimitd pr ls lds del ángul centrl dd que crt tr circunferenci de rdi r. Est tbl es similr l mdern tbl del sen. N se sbe cn certez el vlr de r utilizd pr Hiprc, per si se sbe que 300 ñs más trde el strónm Ptlme utilizó r 60, y que ls Griegs dptrn el sistem numéric sexgesiml (bse 60) de ls Bbilnis. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Funcines trignmétrics de un triángul rectángul. Ls funcines trignmétrics de un triángul rectángul sn ls rznes relcines entre sus lds. Rzón. L rzón de un númer cn respect tr númer b distint de cer, es el cciente que result de dividir entre b, est es, que l rzón es el númer que result de cmprr pr cciente ds mgnitudes. Rzón b Ls rznes que existen entre ls lds de un triángul rectángul vrín según el ángul del que se trte, ests rznes se les cnce cm funcines trignmétrics. Existen seis funcines trignmétrics ls cules sn: Nmbre de l función Sen Csen Tngente Ctngente Secnte Csecnte Abrevitur. Sen Cs Tn Ct Sec Csc

2 Si cnsiderms un triángul rectángul cuys ánguls sn A, B y C, y, b, y c cm ls lngitudes de ls lds puests dichs ánguls. L hiptenus se design cm c y l ángul rect cm C. Pr el ángul A. Pr el ángul B B c c es l hiptenus, es el ctet puest y b es el ctet dycente c es l hiptenus, b es el ctet puest y es el ctet dycente. C b A Ls funcines trignmétrics se definen cm: ctet puest c. Sen hiptenus h ctet Ctngente ctet dycente c. puest c. Csen ctet dycente c. hiptenus h hiptenus h Secnte ctet dycente c. ctet Tngente ctet puest c. dycente c. hiptenus h Csecnte ctet puest c. ÁNGULOS Y MEDIDA DE LOS ÁNGULOS. El ángul es l bertur frmd pr ds semirrects cn un mism rigen llmd vértice. Ls semirrects reciben el nmbre de lds. Ls ánguls se pueden designr pr un letr myúscul ( A, B, C, D etc.) situd en el vértice, veces se us un letr grieg dentr del ángul (θ, α, β, etc.), tmbién pdems usr tres letrs myúsculs de mner que quede en medi l letr que está situd en el vértice del ángul. A θ A B C

3 Medids de ánguls. Medir un ángul es cmprrl cn tr que se tm cm unidd de medid; existen tres frms de medirl ls cules se explicn cntinución. Sistem sexgesiml. Se cnsider un circunferenci y se divide en 360 prtes igules de tl mner que un grd es el que tiene el vértice en el centr y sus lds psn pr ds divisines cnsecutivs. Cd división de l circunferenci se llm grd. Un grd su vez se puede dividir en sesent prtes igules llmds minut, cd minut se puede dividir en sesent prtes igules llmd segunds. Ls símbls pr ests uniddes sn: Grds, Minuts y Segunds. Sistem centesiml. Tmbién se puede cnsiderr l circunferenci dividid en 00 prtes igules llmds grds centesimles. Cd grd se divide en 100 prtes igules llmds minuts centesimles y cd minut se divide en 100 prtes igules llmd segund centesimles. Este sistem es el que mens se utiliz pr es sól l mencinms. Sistem Circulr. En este sistem se utiliz cm unidd de medid el ángul llmd rdin. Un rdián es el ángul cuys lds cmprende un rc cuy lngitud es igul l rdi de l circunferenci. Así, si l lngitud del rc AC de l siguiente figur es igul r, entnces ABC 1 rdián A B r r r C Cm el perímetr de culquier circunferenci es r, result entnces que un ángul de 360º equivle r, es decir, si se le sign un vlr de entnces 360º 6.8 rdines, pr l que 1rdián 360 / 6.8, quednd que 1rdián 57.3º.

4 GRÁFICA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS. Un función trignmétric, tmbién llmd circulr, es quell que se define pr l plicción de un rzón trignmétric ls distints vlres de l vrible independiente x, que h de estr expresd en rdines. L función sen. Se denmin función sen, y se dent pr yf(x)senx, l plicción de l rzón trignmétric sen un vrible independiente x expresd en rdines. L función sen es periódic, ctd y cntinu, y su dmini es el cnjunt de tds ls númers reles. x ysenx x ysenx Nt: Pr relizr ests cálculs, verific que tu clculdr este en el md de rdines (R). 3 y x 5 7 3

5 Gráfic de l función csen. L función csen, se dent pr f(x)csx, es l que result de plicr l rzón trignmétric csen un vrible independiente x expresd en rdines. Est función es periódic, cntinu, y su dmini es el cnjunt de ls númers reles. x ycsx x ycsx Nt: Pr relizr ests cálculs, verific que tu clculdr este en el md de rdines (R). y 3 x 3 5

6 Gráfic de un función tngente. L función tngente expresd en rdines. se dent cm y f(x)tnx, siend x l vrible independiente y x PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Cm crcterístics imprtntes y distintivs de ls funcines trignmétrics pueden resltrse ls siguientes: Ls funcines sen, csen y tngente sn de nturlez periódic, de mner que el períd de ls funcines sen y csen es y el de l función tngente es 1. Ls funcines sen y csen están definids pr td el cnjunt de ls númers reles. Ambs sn funcines cntinus (n sí l función tngente). Ls funcines sen y csen están ctds, y que sus vlres están cntenids en el intervl [-1,1]. L función tngente n está ctd. Ls funcines sen y tngente sn simétrics respect l rigen, y que sen(-x) -senx; tngente(-x)- tngentex. En cmbi, l función csen es simétric respect l eje y: csen (-x) csen x.