4. Espacios Vectoriales

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1 4. Espacios Vectoriales 4.. Definición de espacio, sbespacio ectorial y ss propiedades n ector es na magnitd qe consta de módlo, dirección y sentido. Algnos sin embargo; más teóricos, explicarían qe n ector es na entidad tal qe para ser expresada necesita de n escalares (números); siendo n calqier número natral. Definición de espacio ectorial y propiedades Un espacio ectorial es n conjnto no acio de V objetos, llamados ectores, en el qe están definidas dos operaciones, llamadas sma y mltiplicación por escalares(números reales), sjetas a diez axiomas(o reglas) qe se dan a continación. Los axiomas deben aler para todos los ectores,, y w en V y todos los escalares c y d.. La sma de y, denotada por +, está en V 2. + = + 3. ( + )+ w = + ( + w ) 4. Existe n ector 0 en V tal qe + 0 = 5. Para cada en V, existe n ector en V tal qe + (- ) =. 6. El múltiplo escalar de por c, denotado c, está en V 7. c( + ) = c + c 8. ( c+ d ) = c + d 9. c(d) = (cd) 0. = n Los espacios de R con n, son los ejemplos principales de espacios 3 ectoriales. La intición geométrica desarrollada para R nos aydará a entender y a isalizar mchos conceptos drante el capitlo. Sbespacio ectorial y propiedades Definición. Un sbespacio ectorial V es n sbconjnto H de V qe tiene tres propiedades: a. El ector cero de V está en H 2 b. H es cerrado bajo la sma de ectores. Esto es, para cada y en H, la sma + está en H Página

2 c. H es cerrado bajo la mltiplicación por escalares. Esto es, para cada en H y cada escalar c, el ector c está en H Ejemplo. El conjnto qe consta únicamente de n ector cero en n espacio ectorial V es n sbespacio de V llamado sbespacio cero se escribe { 0 } H 0 V Ejemplo de sbespacio de V 4.2 Propiedad de Vectores, Combinación Lineal, dependencia e independencia lineal Propiedades. Cales qiera qe sean los ectores, y en :., (anticonmtatiidad) 2. (el prodcto ectorial es perpendiclar a calqiera de los factores), 3. Si y entonces (el prodcto crz de dos ectores paralelos es cero). 4., 5. Otras propiedades [editar] Continando con los ectores del apartado anterior y con la norma ectorial habital:. El alor absolto de esta operación corresponde al olmen del paralelepípedo formados por los ectores, y. A esta Página 2

3 operación se la conoce como prodcto mixto, pes combina prodcto escalar y prodcto ectorial., siendo θ el ánglo menor entre los ectores y ; esta expresión relaciona al prodcto ectorial con el área del paralelogramo qe definen ambos ectores. El ector es el ector normal al plano qe contiene a los ectores y Dados dos ectores: y, y dos números: a y b, el ector se dice qe es na combinación lineal de y. Una combinación lineal de dos o más ectores es el ector qe se obtiene al smar esos ectores mltiplicados por sendos escalares. Calqier ector se pede poner como combinación lineal de otros dos qe tengan distinta dirección. Esta combinación lineal es única. Dados los ectores, hallar el ector combinación lineal El ector, se pede expresar como combinación lineal de los ectores? Página 3

4 Dependencia e Independencia lineal Definición: Sean. Diremos qe son LINEALMENTE DEPENDIENTES si al menos no de ellos se pede escribir como combinación lineal del resto. ejemplo Consideremos los sigientes ectores Se pede expresar el ector como combinación lineal de los tres primeros ectores?. Para resoler esta, primero definimos estos ectores y a continación planteamos la ecación ectorial qe na ez simplificada nos proporciona el sistema de ecaciones Si obtenemos na solción para a,b,c, habremos obtenido na combinación lineal de los tres primeros ectores, gracias a la cal obtendremos el carto ector. Si resolemos el sistema anterior, reslta lo cal nos indica qe Página 4

5 es decir qe el ector se pede expresar como combinación lineal de los tres primeros ectores. La DEPENDENCIA qe tiene este ector respecto del resto se tradce en la existencia de na DEPENDENCIA LINEAL en el conjnto de los catro ectores. Independencia Lineal Definición: Sean. Diremos qe son LINEALMENTE INDEPENDIENTES si ningno de ellos pede expresarse como combinación lineal de los restantes. ejemplo Si tenemos los ectores (,,), (,,0), (,0,0), podríamos intentar er si algno de ellos se pede expresar como combinación lineal de los dos restantes. Para efectar esta comprobación en DERIVE, primero definiríamos nestros tres ectores Intentemos er si se pede expresar como combinación lineal de 2 y 3. Para ello, primero editamos la ecación ectorial cyo sistema de ecaciones iene dado por qe si intentamos resoler lego esta primera combinación lineal no es posible. Intentemos er si 2 se pede expresar como combinación lineal de y 3, efectando al simplificar nos da sistema claramente sin solción. Por último para er si 3 se pede expresar como combinación lineal de y 2 editamos la ecación Página 5

6 es decir, el sistema de ecaciones qe neamente es incompatible. En esta sitación, podemos decir qe los tres ectores son INDEPENDIENTES de combinaciones lineales, es decir son LINEALMENTE INDEPENDIENTES. 4.3 Base y dimensión de n espacio ectorial Base de n ector Si n espacio ectorial V tiene na base con n ectores, entonces toda base de V tiene n ectores Base <n conjnto finito de ectores {,,..., } ectorial de V si I. {, 2, 3.,..., n } es linealmente independiente II. {, 2, 3.,..., n } genera a V Todo conjnto de n ectores linealmente independientes en n R Propiedades, 2 3. n es na base para n espacio n R es na base de. Sea V n espacio ectorial de dimensión finita. Entonces todas las bases de V tienen el mismo número de elementos. El espacio ectorial {0} tiene dimensión 0 por definición. Cando n espacio ectorial no es de dimensión finita, se dice qe es de dimensión infinita. 2. Sea V n espacio ectorial de dimensión finita n, calqier conjnto de n+ o más ectores son linealmente dependientes. Dimensión de n espacio ectorial Si n espacio ectorial V tiene na base qe consta de n ectores, entonces el número n se denomina dimensión de V y se denota por dim(v)=n. Si V consta solamente del ector cero, entonces la dimensión de V se define como cero. Dimensión de ectores espaciales dimensión Página 6

7 Vector (x, x2,, xn) n Matrices mn Polinomios a0 + ax + a2x2 + + axn n Espacio ectorial con prodcto interno y ss propiedades Espacios con prodcto interno Un espacio complejo V se llama espacio ectorial con prodcto interno si para cada par ordenado y en V, existe n número complejo único(, ), llamado prodcto interno de y, tal qe si, y w están en V y α C, entonces: i. (,) 0 ii. (,) = 0 si y solo si = 0 iii. (, + w) =(, ) + (, w) i. (+, w) =(, w) + (, w). (. ) =(, ) i. ( α. ) = α(, ), α = α, ii. ( ) ( ) La barra en las condiciones 5 y 7 denota el conjgado complejo además si. (. ) es real, entonces (, ) =(. ) y se pede eliminar la barra en ( ) Ejemplo Prodcto interno de dos ectores en C 3 En C 3 sean x=(+i,-3,4-3i) y y=( 2-i,-i,2+i) entonces x, y = + i 2 i + 3 i + 4 3i 2+ i ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Página 7

8 ( + i)( 2+ i) + ( 3)() i + ( 4 3i)( i) = 2 ( x, y) = ( + 3i) 3i+ ( 5 0i) = 6 0i 4.5 Cambio de base, base ortonormal, proceso de ortonormalización Gram- Schimdt Cambio de base de n ector Sea x n ector qe en base B (de ectores nitarios, 2,...) será igal a m + m m El mismo ector, tilizando otra base B 2 (de ectores nitarios, 2,...) será n + n n Spongamos qe, 2,... se representan en la base B 2 de esta forma: = a + a a n n 2 = a 2 + a a n2 n... n = a n + a 2n a nn n Por lo tanto, sstityendo estas ecaciones en la fórmla original nos qeda: x = m (a + a a n n ) + m 2 (a 2 + a a n2 n ) +... Reordenando qeda: x = (m a + m 2 a m n a n ) (m a n + m 2 a n m n a nn ) n Comparando con la fórmla x = n + n n dedcimos qe : n = m a + m 2 a m n a n n 2 = m a 2 + m 2 a m n a 2n... n n = m a nn + m 2 a n m n a nn Esto se pede expresar de forma matricial: n a + a a n m n 2 = a 2 + a a 2n m 2 Página 8

9 n n a 2n + a n a nn m n Llamando A a la matriz de coeficientes, X' al ector en la base B 2 y X al ector en la base B nos qeda: X' = AX despejando X nos qeda: X = A - X' Base Ortonormal Son ortogonales si i. y si (,)=0 ii. la norma de, denotada por esta dada por =, ( ) Nota. Aqí se sa doble barra para eitar confsión con el alor absolto. Ejemplo. Dos ectores ortogonales en C 2. En C 2 los ectores (3,-i) y (2,6i) son ortogonales porqe (( 3, i )(, 2,6i) ) = ( i)( 6i) = 6 + ( i)( 6i) = 6 6 = 0 3 i = + i i =. Además (, ) 3 3 ( )( ) 0 Proceso de Ortonormalización de Gram-Schmidt Sea H n sbespacio de dimensiones m de R n.entonces H tiene na base ortonormal. Paso.-Elección del primer alor nitario sea. = entonces = = ( = ) 2 De manera qe =. Paso 2.- Elección del segndo ector ortogonal a Página 9

10 Página 0 w = 2 proy = 2 w Sabiendo qe R n el ector w 2 = = es ortogonal a. En este caso 2 es la proyección de sobre. Esto se ilstra el la sigiente figra El ector w 2 = = es ortogonal a EJERCICIO El almno: *cambiar de base el sigiente ector Sea β = { (, ); (2, -)} β = {(,3); (2,)} *Constrya na base ortogonal en R 3 comenzando con la base { } = 0, 0, 0,, 3 2 *Inestigar sobre Homotecias *Hallar el conjnto de las preimágenes del ector nlo para la transformación lineal

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