4.- Un triángulo de hipotenusa unidad. Teorema fundamental de la trigonometría.
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- Héctor Suárez Maestre
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1 - Un triángulo de hipotenusa unidad Teorema fundamental de la trigonometría Puesto que el valor de las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo no dependen del tamaño de los lados, puede elegirse un triángulo cuya hipotenusa sea h = 1 En este caso los cálculos se simplifican considerablemente, de forma que el cateto opuesto al ángulo es igual al seno y el contiguo al coseno Empleando este triángulo de hipotenusa unidad se puede encontrar el ángulo al que corresponde un determinado valor de una razón trigonométrica Si aplicamos el teorema de Pitágoras, se debe cumplir que: sen 2 2 A + cos A = 1 Esta expresión se conoce como relación fundamental de la trigonometría y junto con la que relaciona a la tangente con el seno y el coseno de un ángulo permite calcular las restantes razones trigonométricas a partir de una de ellas tg A = sena cos A Ejemplo- Comprueba para diferentes valores del ángulo A que se cumplen las relaciones anteriores entre sus razones trigonométricas Empecemos por el sistema sexagesimal (confirma MODE ), el ángulo de 30º, teclea 30 en la calculadora y pulsa sin inmediatamente aparece 0 en la calculadora, elevalo al cuadrado, teclea +, vuelve a escribir 30 y pulsa cos, eleva el resultado al cuadrado y dale al igual (da 1) Puedes intentarlo por separado, para evitar errores Comprueba la tangente Ejemplo- Trabajemos en radianes (MODE ), el ángulo pi/ se corresponde con º (si la circunferencia completa son 360º la octava parte son º, si la circunferencia completa son 2 pi radianes, la octava parte es pi/) Directamente pulsa la tecla EXP aparece el valor de pi/ pulsa sin y eleva al cuadrado (0,), repite la operación con el coseno ( anda, si son iguales!, sabrías explicar por qué?) suma el resultado A que la tangente vale 1? Claro seno y coseno son iguales Ejemplo- Ya sabes que el Seno de 30º vale 0,, deja en el visor de la calculadora el número 0, y pulsa SHIFT Seno (mira encima de la tecla de seno la expresión sin-1) y observa que te devuelve el valor del ángulo Esta tecla te devuelve el valor del ángulo cuyo seno vale 0, Prueba con otros valores de senos Y prueba con las teclas de cos-1 y tag-1 Estas funciones nos permiten calcular el valor de un ángulo si conocemos alguna razón trigonométrica - Ampliando el concepto de ángulo Página 1 de
2 En un movimiento circular, es decir, aquel cuya trayectoria es una circunferencia, el ángulo de giro viene dado por el número de vueltas realizado más un ángulo alfa menor que 360º Un punto P de la circunferencia queda determinado por el ángulo de giro 360º k + alfa, siendo k un número entero y alfa < 360º Podemos expresarlo en radianes como 2 pi k + alfa, siendo alfa<2pi, por supuesto el ángulo alfa debe expresarse en radianes El sentido de giro positivo, es decir, hablamos de un número de vueltas en sentido positivo si este es el contrario al movimiento de las agujas de un reloj, en este caso, k será positivo Un giro negativo será el de las agujas de un reloj, en este caso k toma valores enteros negativos Como las razones trigonométricas de un ángulo son independientes del radio de la circunferencia auxiliar que consideremos, podemos elegir una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio igual a la unidad Tenemos así la circunferencia goniométrica o circunferencia unidad Esta elección del radio nos va a permitir encontrar fácilmente, para cada razón trigonométrica de un ángulo dado, un segmento cuya medida sea esa razón Si situamos un ángulo agudo alfa (menor de 90º o de pi/2 rad, se simboliza como alfa<90º, y se dice que pertenece al primer cuadrante) sobre la circunferencia goniométrica, cos alfa y sen alfa son las coordenadas del punto A, es decir, las coordenadas cartesianas de A son (cos alfa,sen alfa) Fíjate en el triángulo rectángulo que forma A, el cateto opuesto al ángulo agudo es el Seno del ángulo, y el cateto contiguo al ángulo agudo es el Coseno del ángulo Te recuerdo que la hipotenusa vale 1 y por lo tanto, se verifica la ecuación fundamental de la trigonometría: sen 2 alfa + cos 2 alfa =1 Si repetimos la misma operación con un ángulo mayor de 90º y menor que 180º (se simboliza de la siguiente forma 90º<alfa<180º y se dice que pertenece al segundo cuadrante) de las coordenadas cartesianas de B la componente horizontal es negativa Comprueba el dato con la calculadora, el coseno de un ángulo 90º<alfa<180º es negativo en cambio su seno es positivo Utiliza la calculadora para comprobar el signo de las RT seno y coseno de ángulos 180º<alfa<270º y 270º<alfa<360º En resumen podemos decir que: Dado un punto del plano P(x,y), el signo de sus coordenadas x (coseno), y (seno) depende del cuadrante en donde esté situado dicho punto P: - Si P es del primer cuadrante, será de la forma: (+,+) - Si P es del segundo cuadrante, será de la forma: (-,+) - Si P es del tercer cuadrante, será de la forma: (-,-) Si P es del cuarto cuadrante, será de la forma: (+,-) Ejercicios de aplicación de la ecuación fundamental de la trigonometría Página 2 de
3 1- Si alfa es un ángulo del I cuadrante y sen = cos = 3 2- Si alfa es un ángulo del II cuadrante y sen = cos = 3 3- Si alfa es un ángulo del III cuadrante y sen = cos = 7 - Si alfa es un ángulo del IV cuadrante y sen = cos = 3 - Si alfa es un ángulo del I cuadrante y sen = tag = Si alfa es un ángulo del II cuadrante y sen = tag = 3 7- Si alfa es un ángulo del III cuadrante y sen = 3 tag = Si alfa es un ángulo del IV cuadrante y sen = 3 tag = 3 9- Si alfa es un ángulo del I cuadrante y sen = 1 2 sec = Si alfa es un ángulo del II cuadrante y sen = 7 9 sec = Si alfa es un ángulo del III cuadrante y sen = 2 11 sec = Página 3 de
4 12- Si alfa es un ángulo del IV cuadrante y sen = 1 17 sec = Si alfa es un ángulo del I cuadrante y sen = 7 cosec = 7 1- Si alfa es un ángulo del II cuadrante y sen = 2 3 cosec = Si alfa es un ángulo del III cuadrante y sen = 3 cosec = Si alfa es un ángulo del IV cuadrante y sen = 1 6 cosec = Si alfa es un ángulo del I cuadrante y sen = 8 cotag = Si alfa es un ángulo del II cuadrante y sen = 1 8 cotag = Si alfa es un ángulo del III cuadrante y sen = 1 17 cotag = Si alfa es un ángulo del IV cuadrante y sen = cotag = Si alfa es un ángulo del I cuadrante y tag =9, calcula el sen Solución sen = Si alfa es un ángulo del I cuadrante y tag =9 cos = Si alfa es un ángulo del I cuadrante y tag =9 sec = Si alfa es un ángulo del I cuadrante y tag =9 Página de
5 cosec = Si alfa es un ángulo del I cuadrante y tag =9 cotag = 1 9 Página de
7.1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
Tema 7: Trigonometría Matemáticas B 4º ESO TEMA 7 TRIGONOMETRÍA 7.0 UNIDADES DE MEDIDAS DE ÁNGULOS 4º 7.0. GRADOS SEXAGESIMALES Grados, minutos y segundos : grado 60 minutos, minuto 60 segundos 4º 7.0.
180º 36º 5. rad. rad 7. rad
ÁNGULOS: Usaremos dos unidades para expresar los ángulos: grados sexagesimales (MODE: DEG en la calculadora) y radianes (MODE: RAD en la calculadora). El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema
- Ángulos positivos. Los que tienen el sentido de giro en contra de la agujas del reloj.
Ángulos. TRIGONOMETRÍA - Ángulo en el plano. Dos semirrectas con un origen común dividen al plano, en dos regiones, cada una de las cuales determina un ángulo ( α, β ). Al origen común se le llama vértice.
RESUMEN DE TRIGONOMETRÍA
RESUMEN DE TRIGONOMETRÍA Definición: Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados del ángulo. El origen común es el vértice.
b 11 cm y la hipotenusa
. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS UNIDAD : Trigonometría II Resolver un triángulo es conocer la longitud de cada uno de sus lados y la medida de cada uno de sus ángulos. En el caso de triángulos rectángulos,
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Apuntes Trigonometría. 4º ESO. Conceptos previos: Notación: En un triángulo, los vértices se denotan con letras mayúsculas (A, B y C). Los lados se denotan con la letra minúscula del vértice opuesto al
94' = 1º 34' 66.14'' = 1' 6.14'' +
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Para que un punto P(x, y) pertenezca a la circunferencia unitaria debe cumplir con la ecuación x 2 + y 2 = 1.
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Un ángulo es una porción de plano limitada por dos semirrectas, los lados, que parten de un mismo punto llamado vértice.
6. Trigonometría 37 6 Trigonometría Un ángulo es una porción de plano limitada por dos semirrectas, los lados, que parten de un mismo punto llamado vértice. A efectos representativos y de medición, el
El seno del ángulo agudo es la razón entre las longitudes del cateto opuesto al mismo y la
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