Tema 2. Circuitos resistivos y teoremas

Transcripción

1 Tema. Circuito reitivo y teorema. ntroducción.... Fuente independiente..... Fuente de tenión..... Fuente independiente de intenidad.... eitencia ociación de reitencia... 5 eitencia en erie... 5 eitencia en paralelo Divior de tenión e intenidad Fuente de dependiente y lineale lguno teorema de Tranformación de fuente Equivalente Thévenin y Norton... Cálculo de th... Cálculo de th Teorema de uperpoición ntroducción En el tema anterior e preentaron la magnitude principale de un, e decir, la tenión y la intenidad. demá, e dijo que eta magnitude uelen er la incógnita en cualquier problema de teoría de. partir de eto concepto vimo que, utilizando la Leye de Kirchhoff y la ecuacione de lo dipoitivo, e puede plantear un itema de ecuacione para calcular la tenión y la intenidad en cada uno de lo elemento del. En ete tema definiremo una erie de elemento de. Por otro lado, utilizando eto elemento veremo alguno ejemplo de reolución de. Por último, e preentarán una erie de teorema de útile para implificar la reolución de alguno problema.

2 . Fuente independiente Entre lo elemento má importante de un e encuentran la fuente independiente de tenión e intenidad. Su importancia radica en que generalmente on la que entregan a todo el la energía uficiente para funcionar, por lo que todo poee al meno una fuente independiente... Fuente de tenión Una fuente independiente de tenión e un elemento que proporciona una tenión epecífica independientemente de la intenidad que pae por ella. En la figura a podemo ver el ímbolo de una fuente independiente de tenión. Matemáticamente una fuente de tenión ólo fijará la tenión que cae en ella, e decir: : alor de la fuente de tenión. En la figura b e repreenta gráficamente el funcionamiento de una fuente de tenión. La gráfica relaciona la tenión y la intenidad del elemento, y e puede ver que la tenión e iempre independientemente del valor de la intenidad. reto del Figura. Fuente independiente de tenión de valor. Caracterítica. En general una fuente independiente de tenión puede er poitiva o negativa, y puede er contante o variable con el tiempo... Fuente independiente de intenidad Una fuente independiente de intenidad e un elemento que proporciona una intenidad epecífica completamente independiente a la tenión entre u nodo.

3 El ímbolo de una fuente de intenidad puede vere en la figura a y en la figura b e repreenta u caracterítica. La ley que rige el comportamiento de una fuente independiente de intenidad e la iguiente: : alor de la fuente independiente de intenidad. reto del Figura. Fuente independiente de intenidad de valor. Caracterítica. Ejemplo. Determinar la tenión entre lo nodo y del de la figura a. Por la ley de tenione de Kirchhoff podemo ecribir: 0 Ete ejemplo muetra que do fuente de tenión en erie on equivalente a una ola fuente de tenión de valor la uma de amba. Determinar la intenidad en el de la figura a. plicando la ley de corriente de Kirchhoff: m Podemo ver que do fuente de intenidad conectada en paralelo e comportan como una ola fuente de valor la uma de amba. Comprobar que no e poible conectar do fuente ideale en configuracione como la de la figura b. plicando la Ley de corriente de Kirchhoff en el nodo e obtiene: ; m m!!

4 Notar que do fuente de intenidad ideale pueden etar en erie ólo i tienen el mimo valor. Y en ee cao podemo directamente utituir una de la fuente del por un corto in alterar el funcionamiento. Con la fuente de tenión en paralelo ocurre lo mimo. Por la egunda ley de Kirchhoff obtenemo: ; 5!! reto del m m m reto del 5 m Figura. Circuito del ejemplo.. eitencia. En la figura 4a e ve el ímbolo de una reitencia. La ecuación que rige el comportamiento de una reitencia e conoce como la ley de Ohm y e ecribe: v i v i v,i: Tenión e intenidad en la reitencia, utilizando la referencia de la figura 4a. : alor de la reitencia medido en Ohmio (Ω) reto del / Figura 4. Símbolo de una reitencia de valor. Caracterítica. 4

5 Como e puede ver en la figura 4b, la tenión en una reitencia e directamente proporcional a la intenidad que paa por ella. En la figura 4a e definen la polaridade correcta de tenión e intenidad que e han coniderado en la definición matemática. Notar que la intenidad va del igno al de la referencia de tenión. El valor de puede variar entre cero e infinito, llamándoe a lo cao particulare de 0 corto y abierto... ociación de reitencia En un práctico uelen aparecer reitencia en erie o paralelo con mucha frecuencia. Cuando eto ocurre e poible combinarla de forma que varia reitencia e utituyan por una ola, implificando de eta forma el. eitencia en erie reto del eq reto del Figura 5. Circuito con do reitencia en erie. Circuito equivalente combinando la reitencia En la figura 5a la reitencia y etán en erie. Por amba reitencia circula la mima intenidad ( ), de forma que: eq De eta ecuación deducimo que amba reitencia e comportan como una ola de valor la uma de amba (figura 5b). En general, el valor de la reitencia equivalente de cualquier número de reitencia conectada en erie e la uma de lo valore de cada una de ella. 5

6 eitencia en paralelo reto del eq reto del eq Figura 6. Circuito con do reitencia en paralelo. Circuito equivalente combinando la reitencia En la figura 6a e pueden ver do reitencia en paralelo. plicando la Ley de tenione de Kirchhoff obtenemo: eq De forma general, la reitencia equivalente de N reitencia conectada en paralelo vale: N eq k k.. Divior de tenión e intenidad Si analizamo un compueto por varia reitencia en erie como el de la figura 7a, podemo comprobar que la tenione entre lo terminale de cada reitencia cumplen la iguiente ecuacione: eq Se puede comprobar que la tenión de la fuente e ha dividido entre la diferente reitencia, de forma que, cuanto mayor ea la reitencia má elevada e u caída de tenión. Por ete motivo, al formado por varia reitencia en erie e le uele llamar divior de tenión. 6

7 Figura 7. Divior de tenión. Divior de intenidad. Por otro lado, en el cao de varia reitencia en paralelo (figura 7b), la intenidad que circula por cada reitencia igue la iguiente expreión: ; eq eq ; Se puede ver que la intenidad e divide entre la ditinta reitencia de forma inveramente proporcional a u valor. ete e le denomina divior de intenidad. Ejemplo. Determinar la reitencia equivalente del de la figura 8 entre lo nodo y. eq KΩ KΩ 4KΩ KΩ Figura 8. Circuito del ejemplo. 5KΩ Seguiremo lo iguiente pao:. Combinamo la do reitencia en erie y 4: 64KΩ. (Figura 9a).. Combinamo la do reitencia en paralelo 5 y 6: 75 6KΩ. (Figura 9b).. Combinamo la do reitencia en erie 7 y : 87KΩ. (Figura 9c). 4. Combinamo la do reitencia en paralelo 8 y : eq 8 KΩ. 7

8 KΩ KΩ KΩ 6KΩ 5KΩ KΩ 7KΩ KΩ 8KΩ (c) Figura 9. eolución del ejemplo. Ejercicio. Calcular la reitencia equivalente entre lo nodo y del de la figura 0. K K K 4K 4K K 4K K K 6K Figura 0. Ejercicio. Solución:.8KΩ 4. Fuente dependiente y lineale Una fuente dependiente e un elemento que proporciona un valor de tenión o intenidad controlado por medio de otra tenión o intenidad exitente en el. Exiten cuatro tipo repreentado en la figura. Siendo α, β, χ y σ contante. v c v d α v c Fuente de teión controlada por tenión i c v d β i c Fuente de teión controlada por intenidad v c i d χ v c Fuente de intenidad controlada por tenión i c i d σ i c Fuente de intenidad controlada por inenidad Figura. Tipo de fuente dependiente de intenidad. 8

9 En la teoría de la aignatura e utilizará la Fíica de Semiconductore para obtener una erie de modelo de diferente dipoitivo electrónico, como tranitore, MOS, etc. La fuente dependiente erán muy útile para definir eto modelo. Ejemplo. Calcular v o /v i en el de la figura. v i r b r π v be g m v be c v o Figura. Circuito del ejemplo. Dado que la reitencia c etá en erie con la fuente dependiente, la intenidad que circula por c e g m v be. Por tanto la tenión v o vendrá dada por: v g o m v be c La reitencia r b y r π forman un divior de tenión, por tanto: v be r π r π r b v i Combinando amba ecuacione: v v o i g m c rπ r r π b 5. lguno teorema de Hata ahora hemo vito que, utilizando la Leye de Kirchhoff y la relacione entre tenión e intenidad que imponen lo elemento, e pueden plantear la ecuacione necearia para reolver cualquier. Sin embargo, lo electrónico pueden er muy complejo, de forma que la aplicación directa de la Leye de Kirchhoff ea muy tedioa. En ete apartado veremo una erie de teorema de que e utilizan para implificar lo ante de abordar u reolución. 5.. Tranformación de fuente Para implificar un e poible tranformar una fuente de tenión en erie con una reitencia en una de intenidad en paralelo con una reitencia, y vicevera 9

10 (ver figura ). Eta tranformación garantiza que ambo on equivalente, e decir, tienen idéntico comportamiento vito dede lo terminale y. Figura. Fuente de tenión en erie con reitencia. Circuito equivalente i e cumple. Para que lo de la figura a y b ean equivalente debe cumplire: Ejemplo 4. Calcular la tenión entre lo nodo y, implificando previamente el utilizando tranformación de fuente..6ω 60 0Ω 6 8Ω 6Ω 0 5Ω Figura 4. Circuito del ejemplo 4. ealizando la tranformación de fuente en la do fuente de tenión e obtiene el de la figura 5a. Si combinamo toda la reitencia en paralelo y la fuente de intenidad obtenemo el de la figura 5b. Finalmente Ω 6 0Ω 6Ω 5Ω 6 8Ω 0.9Ω Figura 5. Solución del ejemplo 4. 0

11 5.. Equivalente Thévenin y Norton El teorema de Thévenin etablece que un compueto por reitencia y fuente dependiente (y lineale) y fuente independiente puede reemplazare por un equivalente conitente en una fuente de tenión th y una reitencia th. El objetivo del teorema de Thévenin e reducir una parte de un a ólo do elemento, de forma que ea má encilla u reolución. La forma de aplicar el teorema para implificar puede vere en la figura 6. th Circuito compueto por reitencia y fuente eto del th eto del Figura 6. Sutitución de un de do terminale por u equivalente Thévenin. Circuito original. Circuito implificado utilizando el teorema de Thévenin. Para poder aplicar el teorema de Thévenin neceitaremo calcular el valor de la tenión th (Tenión Thévenin) y la reitencia th (eitencia Thévenin). Cálculo de th ilamo la parte del que e pretende utituir por u equivalente Thévenin del reto del. continuación calculamo la tenión entre lo terminale y cuando etán en abierto, obteniendo (figura 7a). La tenión Thévenin vale: th Cálculo de th Exiten do método para calcular la reitencia Thévenin: a. Se calcula la intenidad CC cuando lo terminale y etán en corto (figura 7b). Una vez obtenida, la reitencia Thévenin vale: th CC

12 b. Se paiva el, e decir, e anulan toda la fuente independiente de tenión e intenidad. Para ello e utituyen toda la fuente de tenión por corto y la fuente de intenidad por abierto. La reitencia Thévenin e igual a la reitencia equivalente entre lo terminale y del paivado (figura 7c). Normalmente ete método requiere meno tiempo que el anterior, in embargo ólo e aplicable cuando el poea fuente independiente y reitencia (no fuente dependiente). Circuito compueto por reitencia y fuente Circuito compueto por reitencia y fuente CC Circuito paivado eq th (c) Figura 7. Cálculo de la tenión y reitencia Thévenin. Tenión de abierto. ntenidad de corto. (c) eitencia equivalente del paivado. El equivalente Norton no e má que una tranformación de fuente aplicada al equivalente Thévenin. E decir, utituimo la fuente de tenión con la reitencia por una fuente de intenidad en paralelo con una reitencia, como puede vere en la figura 8. th th th Figura 8. Equivalente Norton.

13 Ejemplo 5. Obtener lo equivalente Thévenin y Norton del de la figura 9 repecto a lo terminale y. 5Ω 4Ω 5 0Ω Figura 9. Circuito del ejemplo 5. Para calcular th reolveremo el con lo terminale y en abierto (figura 0a). ignamo la referencia de tenión e intenidad en la figura 0a y planteamo la ley de corriente de Kirchhoff en el nodo X: 5 X X 0 0 X 5 0 5Ω X 4Ω 5 0Ω 5Ω X 4Ω Figura 0. eolución del ejemplo 5. Tenión de abierto. ntenidad de corto. 5 0Ω CC Como no circula intenidad por la reitencia de 4Ω, la caída de tenión en la mima en nula, por tanto: X Para obtener la reitencia Thévenin utilizaremo el primero de lo método explicado anteriormente, e decir, calcularemo la intenidad de corto. plicando la ley de corriente de Kirchhoff en el nodo X del de la figura 0b e obtiene: 5 X X X CC 0 0 X Por tanto, la intenidad de corto vale: X 4 CC 4 Finalmente la tenión Thévenin vale th y la reitencia th / CC 8Ω. Quedando lo equivalente Thévenin y Norton como puede vere en la figura.

14 8Ω 4 8Ω Figura. Solución del ejemplo 5. Equivalente Thévenin. Equivalente Norton. Ejemplo 6. Obtener el equivalente Thévenin del de la figura entre y. Ω 5Ω 8Ω 7 0Ω Figura. Circuito del ejemplo 6. Para calcular th planteamo la leye de Kirchhoff en lo bucle indicado en la figura a y el nodo X: eolviendo el itema de ecuacione:.4, 0.6 y 4. La tenión de abierto vale: th Para obtener la reitencia Thévenin utilizaremo el egundo método explicado, e decir, calcularemo la reitencia equivalente del paivado de la figura b. La fuente independiente e ha utituido por un corto. eq th (5 08) 6Ω 4

15 Ω Ω 5Ω 8Ω 4 X 5Ω 8Ω 7 0Ω 0Ω eq Figura. eolución del ejemplo 6. Cálculo de th. Cálculo de th. Ejercicio: Calcular el equivalente Thévenin del de la figura 4. i c ΚΩ 5 v d v c i d 0 i c 5Ω v c Figura 4. Ejercicio. 5.. Teorema de uperpoición El principio de uperpoición etablece que en un lineal, e puede determinar la repueta total calculando la repueta a cada fuente independiente por eparado y umando u contribucione. Para aplicar el teorema de uperpoición eguiremo tre pao: Pao. nular toda la fuente independiente excepto una. Como e ha comentado anteriormente, para anular una fuente de tenión e utituye por un corto y una de intenidad por un abierto. Pao. Se calcula la variable que e pretende determinar, ya ea una tenión o una intenidad, utilizando la leye de Kirchhoff. Se vuelve al pao para cada una de la fuente independiente. Pao. Se calcula la tenión o intenidad final umando toda la contribucione obtenida de realizar el pao para cada una de la fuente independiente. 5

16 Ejemplo 7. Calcular la tenione de lo nodo y aplicando el teorema de uperpoición. 6Ω Ω 0 Ω 4Ω Figura 5. Circuito del ejemplo 7. Seguiremo lo pao anteriore: Pao. nulamo en primer lugar la fuente independiente de intenidad, obteniendo el de la figura 6a. Pao. Calculamo la contribucione y de la fuente de tenión. Para ello planteamo la ley de Kirchhoff en el nodo La reitencia de y 4 Ohmio forman un divior de tenión, por tanto: Como exite otra fuente dependiente volvemo el pao. Pao. nulamo la fuente de tenión. El reultante e puede ver en la figura 6b. Pao. Calculamo la nueva contribucione a la tenione ( y ). plicamo la ley de Kirchhoff en lo nodo y Ya hemo terminado con toda la fuente independiente y paamo al pao. Pao. Sumamo la contribucione: 8 4 6

17 Se deja modo ejercicio comprobar que el reultado ería el mimo i no e aplican directamente la leye de Kirchhoff obre el de la figura 5, in uar el teorema de uperpoición. 6Ω Ω 6Ω Ω 0 Ω 4Ω Ω 4Ω Figura 6. eolución del ejemplo 7. Se anula la fuente de intenidad. Se anula la fuente de tenión. 7