Propiedades de la igualdad

Transcripción

1 Propiedades de la igualdad El álgebra es la rama de las maemáicas que se dedica al esudio de las propiedades de objeos maemáicos. Un objeo maemáico puede ser un número, una ecuación, un vecor, ec. Por ejemplo, para el álgebra de los números, enemos un conjuno de objeos, en ese caso, los números, y el álgebra lo que hará es buscar y enconrar odas las propiedades de ese conjuno de números. La igualdad es una relación que se define enre números. Las res propiedades más imporanes de la igualdad se resumen en una esrucura maemáica que se conoce como relación de equivalencia. Relación de equivalencia La relación de equivalencia se define con las siguienes propiedades: Reflexiva: a = a. Ejemplo: 5 = 5. Simérica: Si a = b, enonces, b = a. Ejemplo: Si x =, enonces, = x. Definición 1 Transiiva: Si a = b, y b = c, enonces, a = c. Ejemplo: Si x =, y = w, enonces, x = w. Las propiedades de la igualdad nos ayudan a jusificar los méodos que usaremos para resolver problemas. Por ejemplo, la propiedad reflexiva en palabras dice: «un número siempre es igual a sí mismo». En un conexo familiar, podemos decir: yo siempre engo mi propia edad. La propiedad simérica en palabras dice: «Si un número es igual a oro, el segundo debe ser igual al primero». En el mismo conexo, podemos decir: Si Alicia iene la misma edad que Berenice, enonces Berenice iene la misma edad que Alicia. La propiedad ransiiva en palabras dice: «Si un primer número es igual a oro segundo número, y además, el segundo número es igual a oro ercer número, enonces el ercer número y el primer número deben ser iguales». En el conexo de las edades eso se aplica así: Si Alicia iene la misma edad que Berenice, y Berenice iene la misma edad que Claudia, enonces, Alicia y Claudia ienen la misma edad. Sin embargo, esas propiedades no son odas las que posee la igualdad. 1/5

2 Propiedades de la igualdad Además de las propiedades que se mencionan en la relación de equivalencia, la igualdad presena las siguienes: Para la suma: Si a = b, enonces, a + c = b + c. Ejemplo: Si x = 5, enonces, x + 3 = Para la resa: Si a = b, enonces, a c = b c. Ejemplo: Si x = 5, enonces, x 3 = 5 3. Para la muliplicación: Si a = b, enonces, a c = b c. Ejemplo: Si x = 5, enonces, 7 x = (7)(5). Definición Para la división: Si a = b, enonces, a c = b. (c = 0) c Ejemplo: Si x = 5, enonces, x 7 = 5 7. Para la poencia: Si a = b, enonces, a n = b n. Ejemplo: Si x = 5, enonces, x = 5. Para la raíz: Si a = b, enonces, n a = n b. Ejemplo: Si x = 5, enonces, x = 5. La propiedad para la suma, nos dice en palabras que al sumar un mismo número en ambos lados de una igualdad, obenemos una nueva igualdad válida. La propiedad para la resa, nos dice que al resar un mismo número en ambos lados de una igualdad, obenemos ora igualdad válida. La propiedad para la muliplicación, nos dice en palabras que si muliplicamos ambos lados de la igualdad por un número real, obenemos ora nueva igualdad válida. La propiedad para la división, nos dice que si dividimos ambos lados de la igualdad por un número real (disino de cero), obenemos ora nueva igualdad válida. La propiedad de la igualdad para la poencia indica que, si elevamos a la misma poencia ambos lados de una igualdad, ésa se sigue cumpliendo. La propiedad de la igualdad para la raíz nos dice que si calculamos la raíz n-ésima en ambos lados de una igualdad (si esa operación es posible de realizar), la igualdad sigue siendo válida. Por ejemplo puede ocurrir que obengas: 3 x + 1 = 5 y desees calcular la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad. En ese caso NO podemos aplicar esa propiedad, porque no es posible calcular la raíz cuadrada de 5 (por ahora 1 ). Para puedas enender mejor lo anerior, enemos el siguiene ejemplo. Ejemplo 1 Idenifica la propiedad que se ilusra en cada caso. Si x = y, enonces, x + = y para la suma 1 Al final del curso sabrás cómo calcularla. /5

3 Si a = 4, enonces, a + = para la suma Si m = 6, enonces, m = para la mul Si u = v y v = w, enonces, u = w ransiiva Si p = 11 + q, enonces, p 11 = 11 + q para la resa Si m = r, enonces, m = r para la div Ese ema es muy imporane y ambién muy sencillo. Probablemene, ya conocías odas las propiedades que se mencionaron, porque son muy evidenes. En la siguiene solución de la ecuación x + 5 = 1, indica la propiedad de la igualdad que se uilizó. Ejemplo Escribe a la izquierda la propiedad uilizada. x = para la resa x = 16 x = 16 x = para la div No e preocupes por enender los pasos que se dieron para la solución de la ecuación anerior. Por ahora debes concenrare en reconocer cada una de las propiedades de la igualdad. Las propiedades de la igualdad se uilizarán en la mayoría de los procedimienos que uilizaremos para resolver ecuaciones y oros problemas relacionados con álgebra, por ejemplo, el despeje. El siguiene procedimieno se conoce como un despeje. En ese caso se despeja la variable v f de la fórmula: a = v f v i Indica en cada paso la propiedad de la igualdad que se esá aplicando. Ejemplo 3 Escribe a la derecha de las ecuaciones que ienen punos la propiedad que corresponde. a = v f v i ( ) v f v i a = para la mul a = v f v i a + v i = v f v i + v i para la suma 3/5

4 a + v i = v f v f = a + v i ransiiva Como puedes ver, el despeje puede jusificarse con las propiedades de la igualdad. No e preocupes por enender el despeje por ahora. Por ahora, solamene debes concenrar u aprendizaje en las propiedades de la igualdad. Ejemplo 4 Indica en cada paso del siguiene despeje la propiedad de la igualdad que se esá aplicando. Escribe a la derecha la propiedad que corresponde a cada paso del despeje: = G m1 m r ( ) r m1 m = G r para la mul r r = G m 1 m r = G m 1 m para la div r = G m 1 m G m1 r m = para la raíz G m1 m r = Concénrae solamene en las propiedades de la igualdad. Lo demás lo aprenderás más adelane. En realidad, las propiedades de la igualdad y de los números sirven para jusificar por qué uilizamos los procedimienos que usamos en álgebra y al enenderlos, podrás ver más ayá de las leras escrias en ese maerial, pues enenderás por qué podemos realizar una operación en un procedimieno. Por ahora, debes enender cómo podemos modificar expresiones que esán igualadas. 4/5

5 Alber Einsein Crédios Todo debe hacerse an simple como sea posible, pero no más. Ese maerial se exrajo del libro Maemáicas I escrio por Efraín Soo Apolinar. La idea es comparir esos rucos para que más gene se enamore de las maemáicas, de ser posible, mucho más que el auor. Auor: Efraín Soo Apolinar. Edición: Efraín Soo Apolinar. Composición ipográfica: Efraín Soo Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soo Apolinar. Producor general: Efraín Soo Apolinar. Año de edición: 010 Año de publicación: Pendiene. Úlima revisión: de agoso de 010. Derechos de auor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soo Apolinar. México Espero que esos rucos se disribuyan enre profesores de maemáicas de odos los niveles y sean divulgados enre oros profesores y sus alumnos. Ese maerial es de disribución grauia. Profesor, agradezco sus comenarios y sugerencias a la cuena de correo elecrónico: efrain@aprendemaemaicas.org.mx 5/5