ax 2 +bx+c=0 ax 2 +bx=0 ax 2 +c=0 ax 2 =0 SESIÓN 2. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "ax 2 +bx+c=0 ax 2 +bx=0 ax 2 +c=0 ax 2 =0 SESIÓN 2. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado."

Transcripción

1 SESIÓN. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado. Comenzamos con la definición de ecuación de segundo grado. Ejemplos: 3y-y = 3x -48= Son ejemplos de ecuaciones de segundo grado, pues el mayor exponente al que aparece elevada la incógnita es dos. 9t -6t+1= ax +bx+c= con,, Ejemplos: 4x -4x+1= La ecuación puede ser completa: o puede ser incompleta:, del tipo, del tipo, del tipo x -6x-16= -3x -6x+1= ax +bx= ax +c= ax = Toda ecuación de segundo grado con una incógnita, tiene dos raíces que denotaremos x 1 y x Podemos escribir en forma abreviada:, 1

2 Como ejemplo resolveremos las siguientes ecuaciones: Las raíces son números reales y distintos. a) 56 luego x 1=3 y x =, 5 54, 5 1 b) 5, 4 Las raíces son números complejos conjugados., 16, 4" luego x 1=1+i y x =1-i Las raíces son números reales e iguales (raíz doble). c) 9 61, , 6 luego x 1=-3 y x =-3

3 De los ejemplos anteriores resulta que, según el signo del discriminante, tenemos: en el ejemplo 56 Tenemos =1 Si 4 %, la ecuación tiene dos raíces reales y distintas. en el ejemplo 5 Si 4 &, la ecuación tiene dos raíces complejas conjugadas. tenemos =-16 Si 4, la única solución real; raíz doble. en el ejemplo 9 61 tenemos = ecuación tiene una diremos que es una Si las raíces de una ecuación cuadrática son x 1 y x, la ecuación puede factorizarse así: Ejemplo: ( ) ( ) en el ejemplo 56 tenemos = Si extraemos 4 factor común tenemos 4 ( 1/4) se tiene que x=1/ es raíz doble de la ecuación, es decir, se puede escribir 4( 1 ) + 4( 1 )(1 ) Podemos escribir la ecuación como A continuación daremos otra forma de resolución para las ecuaciones de segundo grado completas. A este procedimiento se lo llama completar cuadrados. Retomaremos los ejemplos dados anteriormente con el fin de analizarlos. () 1 3

4 a) 4 41 El primer miembro de la igualdad es el desarrollo del cuadrado de binomio (1) ; luego resulta (1) Entonces (1)(1) y x 1=1/ y x =1/ El primer miembro de la igualdad no corresponde al desarrollo del cuadrado de un binomio. Pues si bien 16 es 4, el coeficiente de x debería ser el doble de 4, es decir 8 y no lo es. El coeficiente de x es 6, que lo podemos escribir como 3, es decir el doble de 3. b) 616 Al procedimiento que aplicaremos para este caso se lo llama completar cuadrados Ahora sumamos y restamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, esto es el cuadrado de ( 69)169 Asociando convenientemente ( 69)5 (3) 5 El paréntesis corresponde al desarrollo del cuadrado de un binomio. 35,-.,"/ 8 35,-.,"/ Otro modo de resolver (3) 5 es por medio de la definición de valor absoluto ; 35 ; 8 4

5 Como el coeficiente de x no es 1 extraemos (-3) factor común. Luego para que la igualdad se cumpla, debe ser: Completando cuadrados se obtiene Luego, las soluciones son c) 3 61 (3)( 4) 4 (1) Las ecuaciones incompletas también pueden resolverse directamente como mostramos a continuación: Ejemplo: En este caso entonces las soluciones siempre son a) 4 En este caso b) 3 48 y y no hace falta utilizar la fórmula En este caso es factor común y, por tanto, una raíz es cero b) 3 (3) (3) Ahora queremos resolver la ecuación 5 1 5

6 Si la ecuación es cuadrática, pero no tiene la forma, se resuelven todas las operaciones indicadas para reducir a esa forma. 5 3(45) ( ) 1(1) Aplicando la fórmula ya vista, resulta: 6 " y 6 " Ahora resolvemos algunos problemas cuyas soluciones involucran ecuaciones de segundo grado. Ejemplo: Dada la ecuación 8 4 (1) queremos hallar los valores de c para que las dos raíces de la ecuación sean reales y distintas. El valor del discriminante en este caso es 1444 Para que las dos raíces sean reales y distintas, debe ocurrir que el discriminante sea mayor que cero. Luego 1444 %, es decir %36 De este modo, 139 es un ejemplo del tipo de ecuación que se pide. 6

7 Ejemplo: Resolvemos la ecuación 46 Obtenemos que las raíces son, La suma del área de un cuadrado más su perímento es 6. Cuánto mide el lado del cuadrado? Si llamamos x la longitud del lado del cuadrado, su área es x Y su perímetro es 4x. La suma del parea del cuadrado más su perímetro es 6, es decir, 4 6 Verificación: Las soluciones verifican la ecuación, pero únicamente 6 es solución pues la longitud no puede ser negativa. (1) 4 (1)6 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE. 1. Resolver las siguientes ecuaciones: a) b) c) 4 9 d) 11 e) 8 16 f) 3 48 g) (5)(1)5 h) 47 i) (1) 9 j) 4 : A continuación se propone resolver problemas en los cuales están involucrados ecuaciones de segundo grado.. Dada la ecuación 8 (;)1 hallar los valores de m para que las dos raíces sean iguales. 3. La suma de un número positivo y su cuadrado es 4. Hallar dicho número. 4. Hallar dos números consecutivos cuyo producto es El producto de un número negativo por su tercera parte es 7. Calcular dicho número. 6. Calcular las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su área es 45 cm y su perímetro 84 cm. 7

8 7. Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida, en cm., tres números pares consecutivos. Hallar los valores de dichos lados. 8. Dentro de 11 años la edad de Marcela será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcular la edad de Marcela. 9. Un poste de luz de 7 metros se rompe a una cierta altura del suelo y al doblarse, la punta libre del trozo roto cae a 3 m de la base del poste. A qué altura se rompió? AUTOEVALUACION. 1. Una solución de x 6x + 3 = es a) b) 3/ c) : : d) :5 :. Una solución de ( x ) + ( x + 1 ) = x+7 a) 5/ b) -1/ c) - d) -5/ 3. El conjunto solución de 4(4) 4 : 4 a) 3 b) 4 c) 1; 3 d) 1; 4 4. La longitud de un terreno rectangular excede en 7 m a la del ancho. Si el área del terreno es 1m, cuáles son sus dimensiones? Si x representa la medida del mancho, entonces una ecuación que permite resolver el problema es: a) 4(456) =1 b) (+7)=1 c) +(+7)=1 d) +(+7)=1 5. El largo de un rectángulo excede al ancho en 4 cm. Si cada dimensión se aumenta en 4 cm, entonces el área del rectángulo sería el doble de la original. Cuál es la medida en centímetros del ancho del rectángulo original? a) 4 b) 8 c) 1 d) 16 8

9 BIBLIOGRAFIA Dennis Zill Jacqueline Dewar. Álgebra y Trigonometria. Segunda Edicion. Editorial Mcgraw-Hill Barnett Rich. Álgebra Elemental. Teoría y 7 problemas resueltos. Shaum-Mcgraw-Hill Murray R. Spiegel. Álgebra Superior. Teoría y 194 problemas resueltos. Shaum- Mcgraw-Hill Leithold. Matemáticas previas al cálculo. Tercera edición. Oxford, México, 7. 9

SESIÓN 1. Ecuaciones Lineales o de primer grado.

SESIÓN 1. Ecuaciones Lineales o de primer grado. SESIÓN 1. Ecuaciones Lineales o de primer grado. A lo largo de esta unidad resolvemos situaciones problemáticas por medio de ecuaciones lineales con una incógnita. Analicemos las siguientes igualdades:

Más detalles

Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado Ecuaciones de segundo grado Contenidos 1. Expresiones algebraicas Identidad y ecuación Solución de una ecuación. Ecuaciones de primer grado Definición Método de resolución Resolución de problemas 3. Ecuaciones

Más detalles

5. ECUACIONES Y FUNCIONES CUADRÁTICAS

5. ECUACIONES Y FUNCIONES CUADRÁTICAS 5. ECUACIONES Y FUNCIONES CUADRÁTICAS Hemos analizado hasta el momento las ecuaciones lineales y funciones lineales. Es momento de empezar a introducirnos en las ecuaciones de grado superior. Las ecuaciones

Más detalles

Curso de Matemática. Unidad 2. Operaciones Elementales II: Potenciación. Profesora: Sofía Fuhrman. Definición

Curso de Matemática. Unidad 2. Operaciones Elementales II: Potenciación. Profesora: Sofía Fuhrman. Definición Curso de Matemática Unidad 2 Profesora: Sofía Fuhrman Operaciones Elementales II: Potenciación Definición a n = a. a.a a multiplicado por sí mismo n veces. a) Regla de los signos Exponente Par Exponente

Más detalles

Ecuaciones de primer y segundo grado

Ecuaciones de primer y segundo grado Ecuaciones de primer y segundo grado Fco. Jesús González Rivera En esta unidad el objetivo final es la resolución de problemas mediante ecuaciones de primer y segundo grado. Para ello, es necesario que

Más detalles

Ecuaciones. 3º de ESO

Ecuaciones. 3º de ESO Ecuaciones 3º de ESO El signo igual El signo igual se utiliza en: Igualdades numéricas: 2 + 3 = 5 Identidades algebraicas: (x + 4) x = x 2 + 4 4x Fórmulas: El área, A,, de un círculo de radio r es: A =

Más detalles

ACTIVIDADES DE REFUERZO DE MATEMÁTICAS 1º DE E.S.O. TEMA 7 : ÁLGEBRA

ACTIVIDADES DE REFUERZO DE MATEMÁTICAS 1º DE E.S.O. TEMA 7 : ÁLGEBRA ACTIVIDADES DE REFUERZO DE MATEMÁTICAS 1º DE E.S.O. TEMA 7 : ÁLGEBRA ACTIVIDAD Nº: 1 ECUACIONES FECHA:. Las soluciones de una ecuación son los valores que hemos de dar a las incógnitas para que se cumpla

Más detalles

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES. 2.- La suma de dos números es 15 y su producto es 26. Cuáles son dichos números?

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES. 2.- La suma de dos números es 15 y su producto es 26. Cuáles son dichos números? RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES 1.- El perímetro de un rectángulo es 4 cm y su área es 0 cm. Cuáles son sus dimensiones? Sea = altura ; y = base Como perímetro es 4: + y = 1 y = 1 Como el área

Más detalles

Expresiones algebraicas y ecuaciones. Qué es una expresión algebraica? Valor numérico de una expresión algebraica. Algebra

Expresiones algebraicas y ecuaciones. Qué es una expresión algebraica? Valor numérico de una expresión algebraica. Algebra Expresiones algebraicas y ecuaciones Melilla Qué es una expresión algebraica? Los padres de Iván le han encargado que vaya al mercado a comprar 4 kg de naranjas y 5 kg de manzanas. Pero no saben lo que

Más detalles

Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita

Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita Tema 5 Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita Una ecuación es una igualdad ( = ) que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x. Cuando sólo aparece una

Más detalles

UNA ECUACIÓN, SU GRADO Y SU SOLUCIÓN

UNA ECUACIÓN, SU GRADO Y SU SOLUCIÓN 86 _ 087-098.qxd 7//07 : Página 88 IDENTIICAR OBJETIVO UNA ECUACIÓN, SU GRADO Y SU SOLUCIÓN NOMBRE: CURSO: ECHA: Dado el polinomio P(x) x +, ya sabemos cómo se calcula su valor numérico: x P() + x P( )

Más detalles

PROBLEMAS PARA RESOLVER CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

PROBLEMAS PARA RESOLVER CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Matemáticas º ESO Federico Arregui PROBLEMAS PARA RESOLVER CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. 1. Cuál es el número cuyo quíntuplo aumentado en es igual a su cuadrado?. Qué número multiplicado por 3 es 0

Más detalles

2. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

2. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO Curso de Apoyo en Matemática. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO El objetivo de esta unidad es repasar las ecuaciones lineales o de primer grado y resolver ecuaciones lineales por medio de propiedades

Más detalles

5. ECUACIONES Y FUNCIONES CUADRÁTICAS

5. ECUACIONES Y FUNCIONES CUADRÁTICAS Ecuaciones y Funciones Cuadráticas 5. ECUACIONES Y FUNCIONES CUADRÁTICAS Hemos analizado hasta el momento las ecuaciones lineales y funciones lineales. Es momento de empezar a introducirnos en las ecuaciones

Más detalles

Notas del curso de Introducción a los métodos cuantitativos

Notas del curso de Introducción a los métodos cuantitativos Ecuación de segundo grado Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma, ax + bx + c = 0 en la que el coeficiente a debe ser diferente de cero. Sabemos que una ecuación es una

Más detalles

Clase 9 Sistemas de ecuaciones no lineales

Clase 9 Sistemas de ecuaciones no lineales Clase 9 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo, 2016 con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal, se llama

Más detalles

MATEMÁTICA CPU Práctica 1 NÚMEROS REALES ECUACIONES E INECUACIONES REPRESENTACIONES EN LA RECTA Y EN EL PLANO

MATEMÁTICA CPU Práctica 1 NÚMEROS REALES ECUACIONES E INECUACIONES REPRESENTACIONES EN LA RECTA Y EN EL PLANO MATEMÁTICA CPU Práctica NÚMEROS REALES ECUACIONES E INECUACIONES REPRESENTACIONES EN LA RECTA Y EN EL PLANO. Marcar con una cruz los conjuntos a los cuales pertenecen los siguientes números: N Z Q R 8

Más detalles

a) A la mitad del número le sumo 3 y el resultado es 8 ( ) 9 b) En la ecuación 3x = 54 Qué valor puede tomar x? ( ) Rombo

a) A la mitad del número le sumo 3 y el resultado es 8 ( ) 9 b) En la ecuación 3x = 54 Qué valor puede tomar x? ( ) Rombo Guía Matemáticas 3 ELIGE LA RESPUESTA CORRECTA.. Anota en el paréntesis de la derecha la letra que corresponda. a) A la mitad del número le sumo 3 y el resultado es 8 9 b) En la ecuación 3 = 54 Qué valor

Más detalles

Es cierta para x = 0. d) Sí, son soluciones. Se trata de una identidad pues es cierta para cualquier valor de x.

Es cierta para x = 0. d) Sí, son soluciones. Se trata de una identidad pues es cierta para cualquier valor de x. EJERCICIOS RESUELTOS MÍNIMOS 3º ESO TEMA 4 ECUACIONES Ejercicio nº 1.- Dada la siguiente igualdad: x 1 3 9 x 5 3x = x responde razonadamente: a) Es cierta si sustituimos la incógnita por el valor cero?

Más detalles

Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado Ecuaciones de segundo grado 11 de noviembre 009 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita método de solución, formula general e incompletas Algebra Ecuaciones de segundo grado con una incógnita Las

Más detalles

TEMARIO EXAMEN MATEMÁTICA SÉPTIMO AÑO BÁSICO 2012 3 DE DICIEMBRE

TEMARIO EXAMEN MATEMÁTICA SÉPTIMO AÑO BÁSICO 2012 3 DE DICIEMBRE SÉPTIMO AÑO BÁSICO 2012 NÚMEROS Ejercicios combinados con enteros, con y sin paréntesis. Solución de problemas con enteros Solución de problemas, aplicando proporción directa e inversa. Propiedades de

Más detalles

REACTIVOS MATEMÁTICAS 3

REACTIVOS MATEMÁTICAS 3 REACTIVOS MATEMÁTICAS 3 1.- Una es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa por letras. a) Literal. b) Ecuación.

Más detalles

Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización

Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Arecibo Polinomios de grado 2 Una ecuación cuadrática es una ecuación

Más detalles

Método de fórmula general

Método de fórmula general Método de fórmula general Ahora vamos a utilizar el método infalible. La siguiente fórmula, que llamaremos «fórmula general» nos ayudará a resolver cualquier ecuación cuadrática. Fórmula General La fórmula

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS

FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS Representemos, en función de la longitud de la base (x), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro 1 metros. De ellos, cuáles son las medidas

Más detalles

Clase 9 Sistemas de ecuaciones no lineales

Clase 9 Sistemas de ecuaciones no lineales Clase 9 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo, 2013 Problemas resueltos Problema 4: Considere el sistema de ecuaciones x y = 3 (x 2) 2 +y = 1 Problemas resueltos

Más detalles

Solución de ecuaciones de segundo grado completando el trinomio cuadrado perfecto

Solución de ecuaciones de segundo grado completando el trinomio cuadrado perfecto Solución de ecuaciones de segundo grado completando el trinomio cuadrado perfecto Cuando no es posible factorizar la ecuación, se completa el trinomio cuadrado perfecto con la única finalidad de poder

Más detalles

1. Ejercicios 3 ; 7 4 6, 270 75, 28

1. Ejercicios 3 ; 7 4 6, 270 75, 28 1. Ejercicios 1. Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales y represéntalos en una recta numérica: 9 4 ; 2 3 ; 6 5 ; 7 3 ; 7 4 2. Determina, sin hacer la división de numerador por denominador,

Más detalles

La ecuación de segundo grado para resolver problemas.

La ecuación de segundo grado para resolver problemas. La ecuación de segundo grado para resolver problemas. Como bien sabemos, una técnica potente para modelizar y resolver algebraicamente los problemas verbales es el uso de letras para expresar cantidades

Más detalles

TEMA 5 FUNCIONES ELEMENTALES II

TEMA 5 FUNCIONES ELEMENTALES II Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO TEMA FUNCIONES ELEMENTALES II Rectas EJERCICIO. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de coordenadas

Más detalles

Tema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones

Tema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones Tema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones 1. El álgebra El álgebra es una rama de las matemáticas que emplea números y letras con las operaciones aritméticas de sumar, restar, multiplicar, dividir, potencias

Más detalles

Introducción al lenguaje algebraico

Introducción al lenguaje algebraico Introducción al lenguaje algebraico El lenguaje algebraico es una forma de traducir a símbolos y números lo que normalmente tomamos como expresiones particulares. De esta forma se pueden manipular cantidades

Más detalles

3. POLINOMIOS, ECUACIONES E INECUACIONES

3. POLINOMIOS, ECUACIONES E INECUACIONES 3. POLINOMIOS, ECUACIONES E INECUACIONES 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.1.- POLINOMIOS FACTORIZACIÓN. REGLA DE RUFFINI Un polinomio con indeterminada x es una expresión de la forma: Los números

Más detalles

15 EJERCICIOS BÁSICOS SOBRE POLÍGONOS REGULARES. 1. Cuál es el perímetro de un cuadrado de 15 metros de lado?. L=Longitud del lado. P=Perímetro.

15 EJERCICIOS BÁSICOS SOBRE POLÍGONOS REGULARES. 1. Cuál es el perímetro de un cuadrado de 15 metros de lado?. L=Longitud del lado. P=Perímetro. Ejercicios Resueltos 1. Cuál es el perímetro de un cuadrado de 15 metros de lado?. L=Longitud del lado. P=Perímetro. L=15 m. P=15 + 15 + 15 + 15 = 60. Es decir 60 metros. O lo que es lo mismo: P=5 15 =

Más detalles

La función cuadrática

La función cuadrática La función cuadrática En primer semestre estudiamos las ecuaciones cuadráticas. También resolvimos estas ecuaciones por el método gráfico. Para esto, tuvimos que convertir la ecuación en una función igualándola

Más detalles

b 11 cm y la hipotenusa

b 11 cm y la hipotenusa . RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS UNIDAD : Trigonometría II Resolver un triángulo es conocer la longitud de cada uno de sus lados y la medida de cada uno de sus ángulos. En el caso de triángulos rectángulos,

Más detalles

IES CINCO VILLAS TEMA 3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3º ESO Página 1

IES CINCO VILLAS TEMA 3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3º ESO Página 1 EJERCICIOS RESUELTOS MÍNIMOS TEMA EL LENGUAJE ALGEBRAICO º ESO Ejercicio nº.- Completa esta tabla: POLINOMIO GRADO N. DE TÉRMINOS VARIABLE/S 4 5, y 5 7 4 POLINOMIO GRADO N. DE TÉRMINOS VARIABLE/S 4 4 y

Más detalles

Ecuaciones. 2x + 3 = 5x 2. 2x + 1 = 2 (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1 2. 2x + 2 = 2 (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2. x + 1 = 2 x = 1

Ecuaciones. 2x + 3 = 5x 2. 2x + 1 = 2 (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1 2. 2x + 2 = 2 (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2. x + 1 = 2 x = 1 Ecuaciones Igualdad Una IGUALDAD se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. 2x + 3 = 5x 2 Una igualdad puede ser: Falsa: 2x + 1 = 2 (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1 2. Cierta 2x + 2 = 2 (x + 1)

Más detalles

a) ( 3) b) ( 2) c) ( 1) d) ( 5) a) ( 2) 3 b) ( 4) : 2 c) ( 2) : ( 4) a) ( 2) 3 = 4 3 = 12 b) ( 4) : 2 = 64 : 8 = 8 c) ( 2) : ( 4) = 32 : ( 4) = 8

a) ( 3) b) ( 2) c) ( 1) d) ( 5) a) ( 2) 3 b) ( 4) : 2 c) ( 2) : ( 4) a) ( 2) 3 = 4 3 = 12 b) ( 4) : 2 = 64 : 8 = 8 c) ( 2) : ( 4) = 32 : ( 4) = 8 Ejercicios de potencias y raíces con soluciones 1 Sin realizar las potencias, indica el signo del resultado: a) ( ) 4 b) ( ) 10 c) ( 1) 7 d) ( 5) 9 a) Positivo por tener exponente par. b) Positivo por

Más detalles

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica 5 Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica Dado el sistema lineal formado por las ecuaciones del gráfico de la parte derecha: a) cuántas soluciones tiene? b) halla la solución o

Más detalles

MATEMÁTICAS 1º E.S.O.

MATEMÁTICAS 1º E.S.O. MATEMÁTICAS 1º E.S.O. UNIDAD 1. Números naturales Realizar las operaciones con números naturales (suma, resta, multiplicación y división) y operaciones combinadas de las anteriores. Diferenciar entre división

Más detalles

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones Sistemas de ecuaciones Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar una solución común a ambas. La solución de un sistema es un par de números x

Más detalles

SEGMENTOS RECTILÍNEOS: DIRIGIDOS Y NO DIRIGIDOS

SEGMENTOS RECTILÍNEOS: DIRIGIDOS Y NO DIRIGIDOS SEGMENTOS RECTILÍNEOS: DIRIGIDOS Y NO DIRIGIDOS A la porción de una línea recta comprendida entre dos de sus puntos se llama segmento rectilíneo o simplemente segmento. Los dos puntos se llaman extremos

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Una ecuación como 2x + 3y = 7 es una ecuación de primer grado con dos incógnitas. Es de primer grado porque las letras

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA 1. Escribir las razones trigonométricas del ángulo de 3456º en función de las de un ángulo positivo menor que 45º. Al representar el ángulo de 3456º en la circunferencia

Más detalles

UNIDAD DIDÁCTICA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

UNIDAD DIDÁCTICA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CURSO PAU 5 UNIDAD DIDÁCTICA : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ÍNDICE. Introducción: descripción. Resolución de sistemas sistemas equivalentes. Clasificación de sistemas. Métodos de resolución de sistemas

Más detalles

Apuntes de matemáticas 2º ESO Curso 2013-2014. Lenguaje algebraico.

Apuntes de matemáticas 2º ESO Curso 2013-2014. Lenguaje algebraico. Lenguaje algebraico. Expresiones algebraicas Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas

Más detalles

Guía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA

Guía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Fuente: PreUniversitario Pedro de Valdivia Guía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado es una ecuación susceptible de llevar a la forma a + b + c = 0,

Más detalles

Ecuaciones de segundo grado www.math.com.mx

Ecuaciones de segundo grado www.math.com.mx Ecuaciones de segundo grado www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-008 Contenido. La ecuación cuadrática. La ecuación x d.. Resúmen de la ecuación x d.......................

Más detalles

Unidad 2: Resolución de triángulos

Unidad 2: Resolución de triángulos Ejercicio 1 Unidad : Resolución de triángulos En las siguientes figuras, calcula las medidas de los segmentos desconocidos indicados por letras (ambos triángulos son rectángulos en A): cm 16'5 7'5 cm a

Más detalles

Ecuaciones de primer grado con denominadores

Ecuaciones de primer grado con denominadores Ecuaciones de primer grado con denominadores x 1 3 =x 1 3 ) x 1 3 =x 3 1 ) 4x 1 3 =x 3 1 3 ) x 5 =3x 8 5 5 ) 3x 3 5 = x 7 5 4 5 ) x 3 = x 1 3 ) x 3 1 5 = x 6 3 6 15 ) 4x 6 =5 x 4 3 17 ) 6x 5 =3 x 1 ) 5x

Más detalles

UNIDAD IV ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

UNIDAD IV ÁREAS DE FIGURAS PLANAS UNIDAD IV ÁREAS DE FIGURAS PLANAS COMPETENCIAS E INDICADORES DE DESEMPEÑO Identifica las áreas de figuras planas, volumen y superficie. CONCEPTOS DE PERÍMETRO Y AREA DE UNA FIGURA PLANA Se llama perímetro

Más detalles

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA C u r s o : Matemática Material N 6 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado es una ecuación de la forma, o que

Más detalles

3Soluciones a los ejercicios y problemas

3Soluciones a los ejercicios y problemas Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 0 Pág. P RACTICA Números reales a) Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: ; ;, ) 9 7;,; ; ; π b) Alguno de ellos es entero? c) Ordénalos

Más detalles

Ejercicios resueltos de geometría

Ejercicios resueltos de geometría Ejercicios resueltos de geometría ) Calcula el área de los siguientes triángulos (todas las medidas están en centímetros): a) b) c) d) 9 0 20 2) Calcula el perímetro y el área de los siguientes cuadriláteros(todas

Más detalles

Perímetro de un polígono regular: Si la longitud de un lado es y hay cantidad de lados en un polígono regular entonces el perímetro es.

Perímetro de un polígono regular: Si la longitud de un lado es y hay cantidad de lados en un polígono regular entonces el perímetro es. Materia: Matemática de Séptimo Tema: Área de Polígonos Qué pasa si te piden que encuentres la distancia del Pentágono en Arlington, VA? El Pentágono, que también alberga el Departamento de Defensa de EE.UU.,

Más detalles

PARA EMPEZAR. Un cuadrado tiene de lado x centímetros. Escribe la expresión algebraica correspondiente a su área.

PARA EMPEZAR. Un cuadrado tiene de lado x centímetros. Escribe la expresión algebraica correspondiente a su área. 4 POLINOMIOS PARA EMPEZAR Un cuadrado tiene de lado x centímetros. Escribe la expresión algebraica correspondiente a su área. Expresión algebraica: A x Cuáles de las siguientes expresiones algebraicas

Más detalles

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS Ecuaciones de Segundo Grado -- página 1 EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS Ejercicio 1: Indica si son ecuaciones de segundo grado las siguientes ecuaciones: a) 5 + 8 + b) + + ( )( + ) c) + 1 a) El primer

Más detalles

Tema 10 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II 2º Bachillerato 1. ( x) 2x x. Hay dos puntos: (1, 2) y (1, 2)

Tema 10 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II 2º Bachillerato 1. ( x) 2x x. Hay dos puntos: (1, 2) y (1, 2) Tema 0 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II º Bachillerato TEMA 0 APLICACIONES DE LA DERIVADA RECTA TANGENTE Escribe e 0 EJERCICIO : la ecuación de la recta tangente a la curva f en 0. Ordenada del

Más detalles

Expresiones algebraicas

Expresiones algebraicas 7 Epresiones algebraicas Objetivos En esta quincena aprenderás a: Utilizar letras para representar números desconocidos. Hallar el valor numérico de una epresión algebraica. Sumar, restar y multiplicar

Más detalles

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica 6 Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica Dado el sistema lineal formado por las ecuaciones del gráfico de la parte derecha: a) cuántas soluciones tiene? b) halla la solución o

Más detalles

ECUACIÓN DE LA RECTA. Dibujando los ejes de coordenadas y representando el punto vemos que está situado sobre el eje de abscisas.

ECUACIÓN DE LA RECTA. Dibujando los ejes de coordenadas y representando el punto vemos que está situado sobre el eje de abscisas. ECUACIÓN DE LA RECTA. El punto (, 0) está situado: a) Sobre el eje de ordenadas. b) En el tercer cuadrante. c) Sobre el eje de abscisas. (Convocatoria junio 00. Examen tipo D) Dibujando los ejes de coordenadas

Más detalles

Ecuación de primer grado con una incógnita. Ejercicios y Solucionario

Ecuación de primer grado con una incógnita. Ejercicios y Solucionario Ecuación de primer grado con una incógnita. Ejercicios y Solucionario 1. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases: a) la mitad de un número más ocho. b) el doble de un número menos su mitad

Más detalles

PRÁCTICO: : POLINOMIOS

PRÁCTICO: : POLINOMIOS Página: 1 APUNTE TEÓRICO-PRÁCTICO PRÁCTICO: : POLINOMIOS UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Razonamiento y Resolución de Problemas Carreras: Lic. en Economía, Lic. en Administración, Lic. en

Más detalles

Problemas aritméticos

Problemas aritméticos Problemas aritméticos En las matemáticas los números y los conjuntos son la base de toda la demás teoría. Por eso es importante saber realizar las operaciones básicas con ellos: suma, resta, multiplicación

Más detalles

Observa que las figuras no están hechas a medida. Cuando dos lados son iguales se marcan con dos barras paralelas. x + 2m + 7x + 3p 2p

Observa que las figuras no están hechas a medida. Cuando dos lados son iguales se marcan con dos barras paralelas. x + 2m + 7x + 3p 2p Ángulos a) Para cada uno de las siguientes figuras, utiliza las letras que dan las medidas de los ángulos y escribe una ecuación que los relacione, En cada caso, justifica la ecuación con las propiedades

Más detalles

Unidad 3 ECUACIONES LINEALES O CUADRÁTICAS

Unidad 3 ECUACIONES LINEALES O CUADRÁTICAS Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 Unidad 3 ECUACIONES LINEALES O CUADRÁTICAS Competencias a desarrollar: Identificar las características de una ecuación lineal o cuadrática. Hallar el conjunto solución

Más detalles

RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO

RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO OBJETIVO 1 Resolver una ecuación es hallar el valor de la incógnita que cumple la ecuación. Para resolver una ecuación de primer grado, transponemos términos, lo que

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema ( ecuaciones y incógnitas) es un sistema de la forma: a11xa1 y b1 a1xa y b donde a11, a1,

Más detalles

SOLUCIONES MINIMOS 2º ESO TEMA 7 TEOREMA DE PITÁGORAS.SEMEJANZA

SOLUCIONES MINIMOS 2º ESO TEMA 7 TEOREMA DE PITÁGORAS.SEMEJANZA SOLUCIONES MINIMOS º ESO TEMA 7 TEOREMA DE PITÁGORAS.SEMEJANZA Ejercicio nº 1.- Los lados de un triángulo miden, respectivamente, 9 cm, 1 cm y 15 cm. Averigua si el triángulo es rectángulo. Según el teorema

Más detalles

Convertir unidades de longitud Determinar el perímetro de triángulo y cuadrilátero Determinar el volumen de prismas rectos.

Convertir unidades de longitud Determinar el perímetro de triángulo y cuadrilátero Determinar el volumen de prismas rectos. Colegio Preuniversitario Dr. Luis Alfredo Duvergé Mejía Listado de contenidos en matemática a estudiar para ingresar al 6to Grado Nivel Básico. Números y operaciones. Leer y escribe los números de mayores

Más detalles

martilloatomico@gmail.com

martilloatomico@gmail.com Titulo: ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Año escolar: 2do.y 3er. año de bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela

Más detalles

EJERCICIOS. ECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES.

EJERCICIOS. ECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES. CEPA Enrique Tierno Galván. Ámbito Científico-Tecnológico. Nivel. EJERCICIOS. ECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES. Ecuaciones de Primer Grado. Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado, comprobar las

Más detalles

Ejercicio 1: Realiza las siguientes divisiones por el método tradicional y por Ruffini: a)

Ejercicio 1: Realiza las siguientes divisiones por el método tradicional y por Ruffini: a) Tema 2: Ecuaciones, Sistemas e Inecuaciones. 2.1 División de polinomios. Regla de Ruffini. Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma y/o resta de varios monomios. Terminología: o Grado del polinomio:

Más detalles

x= 1± 1 24 = 1±5 = 6 0 = 6 18 18 = 1 3 x= 7± 49 60 = 7± 11 10

x= 1± 1 24 = 1±5 = 6 0 = 6 18 18 = 1 3 x= 7± 49 60 = 7± 11 10 1.- Ecuaciones de segundo grado. Resolver las siguientes ecuaciones. a) 5x 2 45 = 0, despejando x 2 = 9, y despejando x (3 y 3 son los únicos números que al elevarlo al cuadrado dan 9) obtengo que x1 =

Más detalles

Expresiones algebraicas

Expresiones algebraicas Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es una combinación de letras y números relacionadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las

Más detalles

TALLER # 1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

TALLER # 1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS TALLER # 1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1. Escriba expresiones que representen el perímetro y el área de cada una de las siguientes figuras. (Las dimensiones de los lados están dadas en unidades de longitud).

Más detalles

Escuela Normal Superior Nº 40 Mariano Moreno. Escuela Normal Superior Nº 40 Mariano Moreno. Propedéutico Tecnicaturas Superiores. Módulo.

Escuela Normal Superior Nº 40 Mariano Moreno. Escuela Normal Superior Nº 40 Mariano Moreno. Propedéutico Tecnicaturas Superiores. Módulo. Propedéutico Tecnicaturas Superiores Módulo Ingreso 2013 1 Por medio de este material el grupo de docentes de del Nivel Terciario les da la bienvenida a las Tecnicaturas Superiores de la. En este propedéutico

Más detalles

GEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA PROF. ANNA LUQUE

GEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA PROF. ANNA LUQUE Ejercicios resueltos de la Recta 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y tiene un ángulo de inclinación de 135º. SOLUCION: Graficamos La ecuación de la recta se busca por medio

Más detalles

d. Se llama altura del prisma a la distancia entre sus dos caras. Cuál sería la altura del prisma de la figura 1?

d. Se llama altura del prisma a la distancia entre sus dos caras. Cuál sería la altura del prisma de la figura 1? MATERIAL PARA EL ESTUDIANTE EJEMPLOS DE ACTIVIDADES Actividad 1 Prismas rectos En años anteriores hemos aprendido a calcular perímetros y áreas de figuras geométricas. Ahora veremos cómo se puede calcular

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación es un enunciado o proposición que plantea la igualdad de dos expresiones, donde al menos una de ellas contiene cantidades desconocidas llamadas variables

Más detalles

VECTORES EN EL ESPACIO

VECTORES EN EL ESPACIO VECTORES EN EL ESPACIO Página 133 REFLEXIONA Y RESUELVE Relaciones trigonométricas en el triángulo Halla el área de este paralelogramo en función del ángulo a: cm a cm Área = sen a = 40 sen a cm Halla

Más detalles

JUNIO 2010. Opción A. 1 1.- Dada la parábola y = 3 área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola.

JUNIO 2010. Opción A. 1 1.- Dada la parábola y = 3 área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola. Junio 00 (Prueba Específica) JUNIO 00 Opción A.- Dada la parábola y 3 área máima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola., y la recta y 9, hallar las dimensiones

Más detalles

Introducción. Objetivos de aprendizaje

Introducción. Objetivos de aprendizaje Comunica información por medio de expresiones algebraicas Interpretación de expresiones algebraicas equivalentes para expresar el área de rectángulos Introducción Figura 1. Enchape Objetivos de aprendizaje

Más detalles

Ejercicios de números reales

Ejercicios de números reales Ejercicios de números reales Ejercicio nº.- Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales o reales:,7 7 7 Ejercicio nº.- Considera los siguientes números: 9,000000..., 8,... Clasifícalos

Más detalles

5. POLÍGONOS. 5.1 Definición y notación de polígonos

5. POLÍGONOS. 5.1 Definición y notación de polígonos 5. POLÍGONOS 5.1 Definición y notación de polígonos Un polígono es una figura geométrica limitada por segmentos de recta denominados lados, donde el extremo de un segmento es el origen del otro. E D Etimológicamente,

Más detalles

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ESPECIALES Y 6.1.1 y 6.1.2 TERNAS PITAGÓRICAS

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ESPECIALES Y 6.1.1 y 6.1.2 TERNAS PITAGÓRICAS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ESPECIALES Y 6.1.1 6.1.2 TERNAS PITAGÓRICAS Eisten dos triángulos rectángulos especiales que suelen aparecer en matemáticas: el triángulo --90 el triángulo --90. Todos los triángulos

Más detalles

BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES.

BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. Matrices: Se llama matriz de dimensión m n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma: 11 a 12 a 13... a 1n A= a a 21

Más detalles

Tema 7: Trigonometría.

Tema 7: Trigonometría. Tema 7: Trigonometría. Ejercicio 1. Sabiendo que cos α = 0, 63, calcular s = sen α y t = tg α. Mediante la igualdad I, conocido sen α obtenemos cos α, y viceversa. s + 0,63 = 1 s = 1 0,63 = 0,6031 s =

Más detalles

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones 6 Sistemas de ecuaciones Objetivos En esta quincena recordarás la resolución de sistemas de ecuaciones y aprenderás a resolver también algunos sistemas de inecuaciones. Cuando la hayas estudiado deberás

Más detalles

5 Sistemas de ecuaciones

5 Sistemas de ecuaciones 863 _ 099-031.qxd 7/4/07 13:3 Página 99 Sistemas de ecuaciones INTRODUCCIÓN La resolución de problemas es uno de los fundamentos de las Matemáticas. A la hora de resolver muchos problemas reales se hace

Más detalles

PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS UNIDADE 13 1º ESO Halla la superficie y el perímetro del recinto marrón:

PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS UNIDADE 13 1º ESO Halla la superficie y el perímetro del recinto marrón: PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS UNIDADE 13 1º ESO Halla la superficie y el perímetro del recinto marrón: Calcula el perímetro y el área de esta figura: Calcula el perímetro y el área de esta figura:

Más detalles

Ejercicios Resueltos

Ejercicios Resueltos Ejercicios Resueltos ANGULOS 1. Si el complemento de ángulo x es x, Cuál es el valor de x en grados? x + x = 90 3x = 90 x = 90 /3 x = 30. Si el suplemento del ángulo x es 5x, Cuál es el valor de x? 5x+x=

Más detalles

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO ECUACIONES ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 1.- IGUALDADES Y ECUACIONES Las expresiones compuestas de dos miembros enlazados por el signo = se llaman igualdades, y ponen de manifiesto

Más detalles

Ecuaciones y lenguaje algebraico

Ecuaciones y lenguaje algebraico Ámbito Científico y Tecnológico. Módulo Dos Tema 1 Expresiones algebraicas, ecuaciones de primer grado. Ecuaciones y lenguaje algebraico Educación Secundaria Para Adultos Ámbito Científico y Tecnológico

Más detalles

VOCABULARIO HABILIDADES Y CONCEPTOS

VOCABULARIO HABILIDADES Y CONCEPTOS REPASO_RECUPERACION_III_PERIODO_MATEMATICAS_9.doc 1 DE 7 Nombre: Fecha: VOCABULARIO A. Valor absoluto de un número complejo B. Eje de simetría C. Completar el cuadrado D. Número complejo E. Plano de números

Más detalles

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO Resúmenes de Matemáticas para la E.S.O. ECUACIONES ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 1.- IGUALDADES Y ECUACIONES Las expresiones compuestas de dos miembros enlazados por el signo = se

Más detalles

Capítulo 2. Desigualdades y valor absoluto

Capítulo 2. Desigualdades y valor absoluto Capítulo Desigualdades valor absoluto 1 Desigualdades valor absoluto Valor absoluto El valor absoluto de un número real es su distancia al cero Puesto que un número real puede ser positivo, negativo o

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones CONCEPTOS ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones en las que aparece una o varias incógnitas. En

Más detalles