Inecuaciones y Ecuación cuadrática
|
|
- María José Muñoz Maldonado
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Inecuaciones Desigualdades Inecuaciones y Ecuación cuadrática Llamaremos desigualdades a expresiones de la forma a > b, a < b, a b ó a b. Las desigualdades cumplen con las siguientes propiedades: Propiedad 1: Si a los dos miembros de una desigualdad se suma un mismo número, el sentido de la desigualdad no cambia. Si a, b, c son números reales y a < b, entonces a+c < b+c Propiedad : Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número positivo, el sentido de la desigualdad no cambia. Si a, b, c son números reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc Propiedad 3: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número negativo, el sentido de la desigualdad cambia. Si a, b, c son números reales tales que a < b y c < 0, entonces ac > bc Intervalos Intervalo abierto: Se denomina así al conjunto de números reales comprendidos entre a y b. Se simboliza por ]a, b[ ]a,b[ = {x R / a < x < b} Intervalo cerrado: es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b, incluidos ambos. Se simboliza como [a,b] [a,b] = {x R / a x b} Intervalo semiabierto por derecha: Se llama así al conjunto de números reales comprendidos entre a y b, que incluye al extremo a pero excluye al extremo b. Se simboliza por [a,b[ [a,b[ = {x R / a x < b} Intervalo semiabierto por izquierda: Se denomina así al conjunto de números reales comprendidos entre a y b, que excluye al extremo a pero incluye al extremo b. Se simboliza por ]a,b] ]a,b] = {x R / a < x b} Inecuaciones de primer grado con una incógnita Son desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes: ax+b 0, ax+b 0, ax+b > 0 ó ax+b < 0, y que son verdaderas para un conjunto de valores de la incógnita x, el cual se llama conjunto solución de la inecuación. Este conjunto se puede representar mediante la notación de conjunto, intervalo o gráfica.
2 Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita Es un sistema formado por dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita. El conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos de cada inecuación. Si S 1, S,...,S n son los conjuntos solución de cada inecuación y S es el conjunto solución del sistema, entonces: Problemas de inecuaciones S = S 1 S S 3... S n En estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los símbolos <, >, ó, tales como: a lo menos ( ), cuando mucho ( ), como mínimo ( ), como máximo ( ), sobrepasa (>), no alcanza (<), etc. Una vez planteada la inecuación o sistema de inecuaciones, se determina el conjunto solución, y al igual que en los problemas de ecuaciones hay que fijarse en la pregunta del problema. Ejercicios 1. Cuál es el conjunto solución para el sistema de inecuaciones a) ]1,3[ b) ], 3[ ]3,+ [ c) ],1[ ]3,+ [ d) [1,3] e) ]3,+ [ { x 1 < x+1 >. Cuál es el conjunto solución de todos los números que están a una distancia mayor que 6 de 0 y a una distancia menor que 0 de 8? a) ]6,8[ b) ]6,8[ c) ] 1, 6[ ]6,8[ d) ],8[ e) ], 1[ ] 6,6[ ]8, [ 3. 3x 8 < 5x+5, cuánto vale x? a) x < 13 b) x > 13 c) x < 13 d) x > 13 e) x > 13
3 { x Según el siguiente sistema de inecuaciones x+1 < 4, cuál es el gráfico solución? a) b) c) d) e) 5. Si 7 veces un número se disminuye en 5 unidades resulta un número menor que 47, entonces el número debe ser menor que: a) 4 b) 49 c) 5 d) 8 7 e) El gráfico que representa al conjunto solución de la inecuación 6 4x es: 7. El gráfico que representa al conjunto solución del sistema de inecuaciones es: { 3x 6 < 3 4 x 6
4 8. Cuál es el conjunto de los números impares naturales, tales que su triple aumentado en seis es menor que 57? a) {1,3,5,7,9,11,13,15,17} b) {1,3,5,7,9,10,13,15} c) {1,3,5,7,9,11,13,15} d) {1,3,5,7,9,11} e) Ninguno de los anteriores 9. Si a+15 = b, entonces se puede afirmar que: a) La suma de a y b es 15 b) a es mayor que b c) a es 15 veces b d) a es menor que b e) La diferencia entre a y b, en ese orden, es Si 3 a 0 y 3 b 0, que valor(es) puede tomar (a+b)? a) Los valores entre 3 y 3, ambos incluidos b) Solo los valores entre 3 y 0, ambos incluidos c) Solo los valores entre 0 y 3, ambos incluidos d) Solo el 0 e) Ninguno de los anteriores 11. La solución del sistema de inecuaciones { x 3 < 5 x+4 < es el intervalo: a) [,4] b) ],4[ c) ],4] d) [,4[ e) φ 1. Cuál es el conjunto solución del sistema de inecuaciones a) R b) R {1} c) φ d) ]1,+ [ e) [1,+ [ { 3x 1 > x+1 > 1?
5 13. Cuál de las siguientes opciones representa al conjunto solución de la inecuación 3 < x 1 < 5? 14. El intervalo que representa al conjunto solución del sistema de inecuaciones es: a) ], ] b) ], [ c) ],5[ d) ],5[ e) [5,+ [ 15. Si x = y e y < 0, cuál(es) de las siguientes desigualdades es(son) verdadera(s)? a) Solo I { 4(x+3) < 4 15 x 5 b) Solo II c) Solo I y II d) Solo II y III I) x+y < x y II) x+y < y x III) x y < y x e) I, II y III Ecuación cuadrática Una ecuación cuadrática es aquella que tiene o puede llevarse a la forma: ax +bx+c = 0 a 0 Una ecuación cuadrática se puede resolver por factorización o bien recurriendo a la formula: Ejemplo: x = b± b 4ac a Resolver x 3x+ = 0 mediante factorización y la formula antes mencionada. Por factorización: x 3x+ = 0 (x )(x 1) = 0 x = 0 ó x 1 = 0 x = ó x = 1
6 Luego las soluciones son x = y x = 1 Por fórmula: primero se deben identificar las constantes ahora reemplazamos en la fórmula Luego: x 3x+ = 0 a = 1, b = 3 y c = b± b 4ac a ( 3)± ( 3) 4(1)() (1) x 1 = 3+1 = = 3± 9 8 = 4 = x = 3 1 = 3± 1 = = 1 Elmétodoqueseelijapararesolverlaecuacióndependedelahabilidadquesetengaparafactorizar. Discriminante de una ecuación cuadrática El que una ecuación cuadrática tenga dos raíces reales y distintas, dos raíces reales iguales, o ninguna raíz real depende del discriminante que se define como: = b 4ac y opera de la siguiente manera: > 0 dos raices reales distintas = Discriminante = b 4ac = = 0 dos raices reales iguales < 0 no existen raices reales En términos gráficos, lo anterior se interpreta como:
7 Ejemplo: Determinar el o los valores que debe tomar la constante k para que no tenga raíces reales la ecuación x 3x+k = 0 Para resolver el ejercicio necesitamos utilizar el concepto de discriminante y como buscamos que la ecuación no tenga raíces reales, el discriminante debe ser menor que cero: ahora debemos resolver la inecuación asociada: = b 4ac = ( 3) 4(1)(k) < 0 ( 3) 4(1)(k) < 0 9 8k < 0 8k < 9/ ( 1) (ojo cambia el sentido) 8k > 9 k > 9 8 Propiedades de las soluciones de una ecuación cuadrática Si x 1 y x son las soluciones de una ecuación cuadrática, entonces se cumple que: x 1 +x = b a y x 1 x = c a Reconstrucción de la ecuación cuadrática La propiedad anterior sirve para construir la ecuación cuadrática si se conocen las soluciones fijando que a = 1. Otra forma para conocer la ecuación cuadrática cuando se conocen las raíces es Ecuaciones bicuadráticas (x x 1 )(x x ) = 0 Ecuaciones bicuadráticas son aquellas que se reducen a cuadráticas mediante alguna sustitución adecuada. Por ejemplo mediante la sustitución u = x se transforma la ecuación ax 4 +bx +c = 0 en una cuadrática en términos de u. Una ecuación bicuadrática puede tener como máximo 4 raíces reales. Ejemplo: Resolver x 4 3x 4 = 0 Para resolver esta ecuación usamos la sustitución u = x, quedando: x 4 3x 4 = 0, hacemos u = x u 3u 4 = 0, factorizamos (u 4)(u+1) = 0 u 4 = 0 ó u+1 = 0, pero u = x x 4 = 0 ó x +1 = 0 x = 4 ó x = 1 x = ± 4 ó x = ± 1 x = ± ó x = No existe en los reales
8 Ejercicios, Ecuación cuadrática 1. La ecuación cuyas raíces son 1 4 y 3 es: a) 4x +11x+3 = 0 b) 4x +11x 3 = 0 c) x 11x+3 = 0 d) 4x 11x+3 = 0. Para que la ecuación 3x +4x+k +5 = 0 tenga solo una solución real, k debe ser: 44 a) 1 11 b) 3 c) 1 44 d) 11 3 e) Ninguno de los anteriores 3. Si una de las soluciones de la ecuación x 3ax+10a = 0 es 5, la otra es: a) 10 b) 5 c) 0 d) 5 e) El conjunto solución de la ecuación x ax+a b = 0 es: a) {a,1} b) {a+b,a} c) {a b,a} d) {a+b,a b} e) Ninguna de los anteriores 5. Las soluciones de la ecuación 6x +11x 35 = 0 son: a) 5 3 y 7 b) 0 y 5 3 c) 7 y 0 d) 5 3 y 7 e) Ninguno de los anteriores
9 ( 6. Una de las soluciones de la ecuación 5 x+ 1 ) (x ) = 0 es: 7 a) b) 5 14 c) 5 d) Si en la ecuación x = 6ax 11 una de las raíces es 1, entonces el valor de a es: a) b) c) 6 d) 6 e) Las soluciones de la ecuación x +x 0 = 0 son: a) 5 y 4 b) 5 y 4 c) 4 y 5 d) 4 y 5 e) 10 y 9. La ecuación cuyas raíces son 0 y es: a) x = 0 b) x + = 0 c) x x = 0 d) x +4x = Cuál de los siguientes valores satisface la ecuación x +3x = 7x? a) 3 b) 1 3 c) 3 d) e) Ninguno de los anteriores
10 11. Las soluciones de la ecuación 4x 0 = 8x son: a) 0 b) 0 y 8 c) 0 y y 4 d) 0, 1. El conjunto solución de la ecuación cuadrática (x+4) +(x 3) = (x 5) es: a) 0 y 8 b) 1 y 0 c) 0 y 1 d) 1 e) 0 y La ecuación x +16x 64 = 0 tiene: a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo I y II I) Dos raíces reales y distintas II) Dos raíces reales iguales III) No tiene raíces reales 14. La suma de las raíces de la ecuación 30 = 5x+x es: a) 30 b) 5 c) 5 d) 30 e) Si las raíces de la ecuación x +ax b = 0 son 3 y 1, entonces a vale: a) 0 b) c) 1 d) 1 e) No se puede determinar 16. Cuál de las siguientes ecuaciones cuadráticas tiene raíces reales e iguales? a) x 4x+6 = 0 b) x 1x 3 = 0 c) x x = 0 d) 3x 4x+16 = 0
Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización
Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Arecibo Polinomios de grado 2 Una ecuación cuadrática es una ecuación
Más detalles1º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5-2. 3º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5 -2-2 -2 (-5) 1-5 0+[-2 (-5)] 4º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5-2-2 10-20 1-5 10-15. 2º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5
1. OPERACIONES BÁSICAS Monomio: Producto de números y letras. Ej: 3x²y a) Suma: Se pueden sumar los que tengan las mismas letras elevadas a los mismos exponentes. Ej: 3x²y xy + 4x²y = 7x² xy b) Producto:
Más detallesEcuaciones. 3º de ESO
Ecuaciones 3º de ESO El signo igual El signo igual se utiliza en: Igualdades numéricas: 2 + 3 = 5 Identidades algebraicas: (x + 4) x = x 2 + 4 4x Fórmulas: El área, A,, de un círculo de radio r es: A =
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES. Juan Jesús Pascual. Inecuaciones
MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES Juan Jesús Pascual Inecuaciones Índice ejercicios resueltos A. Inecuaciones lineales con una incógnita B. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita
Más detallesECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
ECUACIONES ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 1.- IGUALDADES Y ECUACIONES Las expresiones compuestas de dos miembros enlazados por el signo = se llaman igualdades, y ponen de manifiesto
Más detalles3.2 DIVIDIR UN POLINOMIO POR x a. REGLA DE RUFFINI
TEMA 3 ÁLGEBRA MATEMÁTICAS CCSSI 1º BACH 1 TEMA 3 ÁLGEBRA 3.1 DIVISIÓN DE POLINOMIOS COCIENTE DE MONOMIOS El cociente de un monomio por otro monomio de grado inferior es un nuevo monomio cuyo grado es
Más detallesEjercicio 1: Realiza las siguientes divisiones por el método tradicional y por Ruffini: a)
Tema 2: Ecuaciones, Sistemas e Inecuaciones. 2.1 División de polinomios. Regla de Ruffini. Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma y/o resta de varios monomios. Terminología: o Grado del polinomio:
Más detallesEcuaciones de primer y segundo grado
Ecuaciones de primer y segundo grado Las ecuaciones de primer y segundo grado es una ecuación porque es una igualdad entre expresiones algebraicas. Ecuaciones de primer grado con una incógnita Ejemplo
Más detallesNotas del curso de Introducción a los métodos cuantitativos
Ecuación de segundo grado Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma, ax + bx + c = 0 en la que el coeficiente a debe ser diferente de cero. Sabemos que una ecuación es una
Más detallesUNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES
C u r s o : Matemática Material N GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 7 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES DESIGUALDADES Llamaremos desigualdades a expresiones de la forma a > b,
Más detallesUn sistema de inecuaciones lineales con una incógnita es el conjunto formado por dos o más inecuaciones lineales de la forma:
MATEMÁTICAS BÁSICAS SISTEMAS DE DESIGUALDADES SISTEMAS DE DOS INECUACIONES Y DOS INCÓGNITAS Un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita es el conjunto formado por dos o más inecuaciones lineales
Más detallesInecuaciones en dos variables
Inecuaciones en dos variables Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numéricas o algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad,,,. Inecuaciones de primer grado
Más detalles3. POLINOMIOS, ECUACIONES E INECUACIONES
3. POLINOMIOS, ECUACIONES E INECUACIONES 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.1.- POLINOMIOS FACTORIZACIÓN. REGLA DE RUFFINI Un polinomio con indeterminada x es una expresión de la forma: Los números
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 4. Números reales y números complejos
NÚMEROS REALES Como se ha señalado anteriormente la necesidad de resolver diversos problemas de origen aritmético y geométrico lleva a ir ampliando sucesivamente los conjuntos numéricos, N Z Q, y a definir
Más detallesPROGRAMACIÓN LINEAL. 1. Introducción
PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas
Más detallesEcuaciones de segundo grado www.math.com.mx
Ecuaciones de segundo grado www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-008 Contenido. La ecuación cuadrática. La ecuación x d.. Resúmen de la ecuación x d.......................
Más detallesGuía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA
Fuente: PreUniversitario Pedro de Valdivia Guía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado es una ecuación susceptible de llevar a la forma a + b + c = 0,
Más detallesUNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA
C u r s o : Matemática Material N 6 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado es una ecuación de la forma, o que
Más detallesVOCABULARIO HABILIDADES Y CONCEPTOS
REPASO_RECUPERACION_III_PERIODO_MATEMATICAS_9.doc 1 DE 7 Nombre: Fecha: VOCABULARIO A. Valor absoluto de un número complejo B. Eje de simetría C. Completar el cuadrado D. Número complejo E. Plano de números
Más detallesExMa-MA0125. Ecuaciones e inecuaciones W. Poveda 1
ExMa-MA0. Ecuaciones e inecuaciones W. Poveda Ecuaciones Objetivos. Resolver en R ecuaciones lineales, cuadráticas, de grado mayor o igual que, con valor absoluto, con radicales, fraccionarias y polinomiales
Más detallesECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
Resúmenes de Matemáticas para la E.S.O. ECUACIONES ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 1.- IGUALDADES Y ECUACIONES Las expresiones compuestas de dos miembros enlazados por el signo = se
Más detallesEcuaciones. 2x + 3 = 5x 2. 2x + 1 = 2 (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1 2. 2x + 2 = 2 (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2. x + 1 = 2 x = 1
Ecuaciones Igualdad Una IGUALDAD se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. 2x + 3 = 5x 2 Una igualdad puede ser: Falsa: 2x + 1 = 2 (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1 2. Cierta 2x + 2 = 2 (x + 1)
Más detallesUNIDAD II FUNCIONES. Ing. Ronny Altuve Esp.
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda Administración Mención Gerencia y Mercadeo UNIDAD II FUNCIONES Ing. Ronny Altuve Esp. Ciudad Ojeda, Septiembre de 2015 Función Universidad
Más detallesUniversidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714)
Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714) UNIDAD N 1 (FUNCIONES) Profesora: Yulimar Matute Octubre 2011 Función Constante: Se
Más detallesRecordar las principales operaciones con expresiones algebraicas.
Capítulo 1 Álgebra Objetivos Recordar las principales operaciones con expresiones algebraicas. 1.1. Números Los números naturales se denotarán por N y están constituidos por 0, 1, 2, 3... Con estos números
Más detallesTIPOS DE FUNCIONES. Ing. Caribay Godoy Rangel
TIPOS DE FUNCIONES Repasar los conceptos de dominio, rango, gráfica, elementos esenciales y transformaciones de las funciones: lineal, cuadrática, racional, trigonométrica, exponencial y logarítmica. FUNCIONES
Más detallesResolver ecuaciones cuadráticas. Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Arecibo
Resolver ecuaciones cuadráticas Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Arecibo Ecuación cuadrática en forma general Una ecuación cuadrática tiene una forma general como sigue ax + bx
Más detallesUNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES
Profesor Alan Ravanal S. UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES DESIGUALDADES Llamaremos desigualdades a expresiones de la forma a > b, a < b, a b o a b. Las desigualdades
Más detallesVALOR ABSOLUTO. Definición.- El valor absoluto de un número real, x, se define como:
VALOR ABSOLUTO Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia del punto a al origen. Observe en el dibujo que la distancia del al origen
Más detallesClase 8 Sistemas de ecuaciones no lineales
Clase 8 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo, 2013 con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal, se llama
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 4. Números reales y números complejos
NÚMEROS REALES NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo los animales de
Más detallesColegio Universitario Boston. Funciones
70 Concepto de Función Una función es una correspondencia entre dos conjuntos, tal que relaciona, a cada elemento del conjunto A con un único elemento del conjunto Para indicar que se ha establecido una
Más detallesUNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES
C u r s o : Matemática Material N 24 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 18 DESIGUALDADES Llamaremos desigualdades a expresiones de la forma a >
Más detallesRESUMEN TEÓRICO DE CLASES
Página 1 RESUMEN TEÓRICO DE CLASES Página 2 Tema 1. Inecuaciones Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos: >; ;
Más detallesx= 1± 1 24 = 1±5 = 6 0 = 6 18 18 = 1 3 x= 7± 49 60 = 7± 11 10
1.- Ecuaciones de segundo grado. Resolver las siguientes ecuaciones. a) 5x 2 45 = 0, despejando x 2 = 9, y despejando x (3 y 3 son los únicos números que al elevarlo al cuadrado dan 9) obtengo que x1 =
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema ( ecuaciones y incógnitas) es un sistema de la forma: a11xa1 y b1 a1xa y b donde a11, a1,
Más detallesECUACIONES E INECUACIONES
ECUACIONES E INECUACIONES. INTRODUCCIÓN Qué son? Las ecuaciones y las inecuaciones son expresiones matemáticas que representan problemas reales, por ejemplo : Que carero es el tío del quiosco!, he salido
Más detallesEcuaciones de segundo grado
Ecuaciones de segundo grado 11 de noviembre 009 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita método de solución, formula general e incompletas Algebra Ecuaciones de segundo grado con una incógnita Las
Más detallesPolinomios. 1.- Funciones cuadráticas
Polinomios 1.- Funciones cuadráticas Definición 1 (Función polinomial) Sea n un entero no negativo y sean a n, a n 1,..., a, a 1, a 0 número s reales con a n 0. La función se denomina función polinomial
Más detallesMATEMÁTICA CPU Práctica 1 NÚMEROS REALES ECUACIONES E INECUACIONES REPRESENTACIONES EN LA RECTA Y EN EL PLANO
MATEMÁTICA CPU Práctica NÚMEROS REALES ECUACIONES E INECUACIONES REPRESENTACIONES EN LA RECTA Y EN EL PLANO. Marcar con una cruz los conjuntos a los cuales pertenecen los siguientes números: N Z Q R 8
Más detallesClase 9 Sistemas de ecuaciones no lineales
Clase 9 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo, 2016 con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal, se llama
Más detallesInecuaciones y sistemas de inecuaciones
UNIDAD Inecuaciones y sistemas de inecuaciones a vista de los edificios de la foto invita a la comparación de sus alturas entre las que L existen grandes diferencias. En matemáticas las desigualdades juegan
Más detallesEjemplo Traza la gráfica de los puntos: ( 5, 4), (3, 2), ( 2, 0), ( 1, 3), (0, 4) y (5, 1) en el plano cartesiano.
Plano cartesiano El plano cartesiano se forma con dos rectas perpendiculares, cuyo punto de intersección se denomina origen. La recta horizontal recibe el nombre de eje X o eje de las abscisas y la recta
Más detallesSolución de ecuaciones de segundo grado completando el trinomio cuadrado perfecto
Solución de ecuaciones de segundo grado completando el trinomio cuadrado perfecto Cuando no es posible factorizar la ecuación, se completa el trinomio cuadrado perfecto con la única finalidad de poder
Más detallesPor Sustitución: y= 2x+6 x + 3 (2x+6) = 4 x + 6x + 18 = 4 7x = -14 x= -2 y=2 (-2)+6 y=2. Por Igualación: 6x+18=4-x 7x=-14 x= -2 y=2 (-2)+6 y=2
Tema 5: Sistemas de Ecuaciones y de Inecuaciones. Programación lineal. 5.1 Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es de la forma: Un par de valores
Más detallesProblemas de 4 o ESO. Isaac Musat Hervás
Problemas de 4 o ESO Isaac Musat Hervás 5 de febrero de 01 Índice general 1. Problemas de Álgebra 7 1.1. Números Reales.......................... 7 1.1.1. Los números....................... 7 1.1.. Intervalos.........................
Más detallesVALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA 1 CONTENIDO 1. Distancia entre dos puntos. 2. Punto medio. 3. Valor Absoluto. 4. Ecuaciones e Inecuaciones con valor Absoluto 2 Concepto de distancia entre dos puntos
Más detallesTEMARIO EXAMEN MATEMÁTICA SÉPTIMO AÑO BÁSICO 2012 3 DE DICIEMBRE
SÉPTIMO AÑO BÁSICO 2012 NÚMEROS Ejercicios combinados con enteros, con y sin paréntesis. Solución de problemas con enteros Solución de problemas, aplicando proporción directa e inversa. Propiedades de
Más detallesAutor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
Ejercicio: 4. 4. El intervalo abierto (,) es el conjunto de los números reales que verifican: a). b) < . - Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales, a < < b. 4. El intervalo
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE # 5
MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE # 5 OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES En R se de nen dos operaciones: Suma o adición y producto o multiplicación: Si a 2 R y
Más detallesEcuaciones e Inecuaciones
5 Ecuaciones e Inecuaciones Objetivos En esta quincena aprenderás a: Resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Resolver ecuaciones bicuadradas y factorizadas. Identificar y resolver inecuaciones de
Más detallesLICEO MARTA DONOSO ESPEJO
LICEO MARTA DONOSO ESPEJO PRODUCTOS NOTABLES Se llaman productos notables aquellos resultados de la multiplicación que tienen características especiales, como veremos a continuación: PRODUCTOS NOTABLES:
Más detallesMatrices escalonadas y escalonadas reducidas
Matrices escalonadas y escalonadas reducidas Objetivos. Estudiar las definiciones formales de matrices escalonadas y escalonadas reducidas. Comprender qué importancia tienen estas matrices para resolver
Más detallesEcuaciones lineales en una variable MATE 3001 Prof. Caroline Rodriguez
Ecuaciones lineales en una variable MATE 3001 Prof. Caroline Rodriguez Ecuaciones lineales en una variable (ecuaciones de grado 1) A continuación consideraremos técnicas para resolver ecuaciones lineales
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES
Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES 1. Determinar si cada una de las siguientes igualdades es una ecuación o una identidad:
Más detallesREACTIVOS MATEMÁTICAS 3
REACTIVOS MATEMÁTICAS 3 1.- Una es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa por letras. a) Literal. b) Ecuación.
Más detallesTEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA
Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA RELACIÓN ENTRE PUNTOS DEL PLANO EJERCICIO : Halla el punto medio del segmento de extremos P, y Q4,. Las coordenadas del punto medio,
Más detallesax 2 +bx+c=0 ax 2 +bx=0 ax 2 +c=0 ax 2 =0 SESIÓN 2. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado.
SESIÓN. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado. Comenzamos con la definición de ecuación de segundo grado. Ejemplos: 3y-y = 3x -48= Son ejemplos de ecuaciones de segundo grado, pues el mayor exponente
Más detallesEcuación de la Recta
PreUnAB Clase # 10 Agosto 2014 Forma La ecuación de la recta tiene la forma: y = mx + n con m y n constantes reales, m 0 Elementos de la ecuación m se denomina pendiente de la recta. n se denomina intercepto
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones CONCEPTOS ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones en las que aparece una o varias incógnitas. En
Más detallesNúmeros imaginarios. x 2 +1 = 0,
Números imaginarios El problema de encontrar la raíz cuadrada de determinados números ( 2, por ejemplo) provocó la ampliación de los números racionales a los números reales. Con el desarrollo del álgebra,
Más detalles1. Ejercicios 3 ; 7 4 6, 270 75, 28
1. Ejercicios 1. Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales y represéntalos en una recta numérica: 9 4 ; 2 3 ; 6 5 ; 7 3 ; 7 4 2. Determina, sin hacer la división de numerador por denominador,
Más detallesUNIDAD 4.- INECUACIONES Y SISTEMAS (tema 4 del libro)
UNIDAD 4. INECUACIONES Y SISTEMAS (tema 4 del libro) 1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Definición: Se llama desigualdad a toda relación entre epresiones numéricas o algebraicas unidas por
Más detalles2.4. Números complejos
2.4 Números complejos 95 83 Relaciones temperatura-latitud a tabla siguiente contiene promedios de temperaturas anuales para los hemisferios norte y sur a varias latitudes. atitud Hemisf. N. Hemisf. S.
Más detallesSistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas
SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS 1) (Selectividad 2005) Sea el siguiente sistema de inecuaciones: 3y 6; x 2y 4; x + y 8; x 0; y 0. Dibuje la región que definen y calcule sus
Más detallesTEMA N 2 RECTAS EN EL PLANO
2.1 Distancia entre dos puntos1 TEMA N 2 RECTAS EN EL PLANO Sean P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) dos puntos en el plano. La distancia entre los puntos P 1 y P 2 denotada por d = esta dada por: (1) Demostración
Más detallesGUIA DE MATEMÁTICA. ECUACIÓN DE 2 GRADO. I. ITEM DE VERDADERO Y FALSO. Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.
GUIA DE MATEMÁTICA. ECUACIÓN DE GRADO. Nombre: Curso: 3 medio Fecha: I. ITEM DE VERDADERO Y FALSO. Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.. La fórmula general de la ecuación de
Más detallesFUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS
FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS Representemos, en función de la longitud de la base (x), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro 1 metros. De ellos, cuáles son las medidas
Más detallesMatemáticas Febrero 2013 Modelo A
Matemáticas Febrero 0 Modelo A. Calcular el rango de 0 0 0. 0 a) b) c). Cuál es el cociente de dividir P(x) = x x + 9 entre Q(x) = x +? a) x x + x 6. b) x + x + x + 6. c) x x + 5x 0.. Diga cuál de las
Más detallesLa función cuadrática
La función cuadrática En primer semestre estudiamos las ecuaciones cuadráticas. También resolvimos estas ecuaciones por el método gráfico. Para esto, tuvimos que convertir la ecuación en una función igualándola
Más detallesC U R S O : MATEMÁTICA
C U R S O : MATEMÁTICA UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES SISTEMAS DE ECUACIONES Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituen un sistema de ecuaciones lineales. La forma
Más detallesCombinación Lineal. Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM. 10 de enero de 2011
Combinación Lineal Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 10 de enero de 011 Índice.1. Introducción............................................... 1.. Combinación lineal entre vectores...................................
Más detallesMatemática para el ingreso
Universidad Nacional del Litoral Secretaría Académica Dirección de Articulación, Ingreso y Permanencia Año 2015 Matemática para el ingreso ISBN en trámite Unidad 1. Números naturales Elena Fernández de
Más detalles9. Ecuaciones, parte III
Matemáticas I, 202-I El concepto de información Ya hemos visto ejemplos de ecuaciones con una única solución y otras que admiten dos soluciones. Ahora veremos unos ejemplos más extraños. Ejemplo. Resuelve
Más detallesCONJUNTOS NUMÉRICOS Y APLICACIONES
INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO FECHA
Más detallesUnidad 1: Números reales.
Unidad 1: Números reales. 1 Unidad 1: Números reales. 1.- Números racionales e irracionales Números racionales: Son aquellos que se pueden escribir como una fracción. 1. Números enteros 2. Números decimales
Más detalles5. Al simplificar. expresión se obtiene:
ARITMÉTICA. [ ( 7 ) 9 ( 7 )] es igual a : 5. El resultado de simplificar la expresión. 5 5 5 7 7, 6 + es igual a: 5 9 7 6 5 5. El valor de 75 6 5 5 ( 5 )( 65 ) log es igual a: 5 5 5. Al simplificar Mayo
Más detalles5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES
EJERCICIOS PARA ENTRENARSE División y regla de Ruffini 5.26 Realiza estas divisiones. a) (12x 2 yz 6xy 3 8xyz 2 ) (2xy) b) (15x 4 3x 3 9x 2 ) (3x 2 ) c) (5a 3 b 2 10ab 2 15a 3 b 4 ) (5ab 2 ) a) (12x 2
Más detallesES.N.3.2, (+)ES.N.4.2, (+)ES.G.38.2 Enfoque de contenido Operaciones con números complejos. Destreza Sumar, restar y multiplicar números complejos
Semana 1 Actividades para el logro de las tareas de desempeño Día:1 Día:2 Día:3 Día:4 Día:5 ES.N.3.1, ES.N.3.2, (+)ES.G.38.1 Números complejos Que existe un número complejo i tal que i 2 =-1. Cada número
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Método Gráfico
Método Gráfico El último método que estudiaremos es el más sencillo. Se trata de considerar a la ecuación como una máquina que transforma los números. Para eso, crearemos una función. Función (Definición
Más detallesPRODUCTOS NOTABLES. Definición: son aquellos productos cuyo desarrollo se conocen fácilmente por simple observación. Y son:
PRODUCTOS NOTABLES Definición: son aquellos productos cuyo desarrollo se conocen fácilmente por simple observación. Y son: Cuadrado de la suma de dos cantidades Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
Más detallesEJERCICIOS DE INECUACIONES
EJERCICIOS DE INECUACIONES REPASO DE DESIGUALDADES: 1. Dadas las siguientes desigualdades, indicar si son V o F utilizando la recta real. Caso de ser inecuaciones, indicar además la solución mediante la
Más detalles1.- CONCEPTO DE FUNCIÓN
.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Actividades del alumno/a Explica porqué la siguiente gráfica no corresponde a una función: Porque a un valor de x, por ejemplo x =, le corresponde más de un valor de y. .- CONCEPTO
Más detallesSuponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones siguientes:
A).- Resolución de desigualdades Definición: Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo
Más detallesCurso de Matemática. Unidad 2. Operaciones Elementales II: Potenciación. Profesora: Sofía Fuhrman. Definición
Curso de Matemática Unidad 2 Profesora: Sofía Fuhrman Operaciones Elementales II: Potenciación Definición a n = a. a.a a multiplicado por sí mismo n veces. a) Regla de los signos Exponente Par Exponente
Más detallesPREGUNTAS DE MATEMÁTICAS (para uso de alumnos) MÓDULO III ALGEBRA
PREGUNTAS DE MATEMÁTICAS (para uso de alumnos) MÓDULO III ALGEBRA Dirección de Evaluación Vicerrectoría Académica 1 I.- INTRODUCCIÓN Como primer paso para el aprendizaje de las matemáticas, es importante
Más detallesUNA ECUACIÓN, SU GRADO Y SU SOLUCIÓN
86 _ 087-098.qxd 7//07 : Página 88 IDENTIICAR OBJETIVO UNA ECUACIÓN, SU GRADO Y SU SOLUCIÓN NOMBRE: CURSO: ECHA: Dado el polinomio P(x) x +, ya sabemos cómo se calcula su valor numérico: x P() + x P( )
Más detallesLección 4.1. Sistemas de Ecuaciones. 03/06/2013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 21
Lección 4.1 Sistemas de Ecuaciones 03/06/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 1 Actividades 4.1 Referencia Texto: Seccíón 9.1 Sistema de Ecuaciones; Problemas impares 1-9 páginas 64 (593 y 594); Sección
Más detallesNOCIONES PRELIMINARES (*) 1
CONJUNTOS NOCIONES PRELIMINARES (*) 1 Conjunto no es un término definible, pero da idea de una reunión de cosas ( elementos ) que tienen algo en común. En matemática los conjuntos se designan con letras
Más detallesPROBLEMAS PARA RESOLVER CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.
Matemáticas º ESO Federico Arregui PROBLEMAS PARA RESOLVER CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. 1. Cuál es el número cuyo quíntuplo aumentado en es igual a su cuadrado?. Qué número multiplicado por 3 es 0
Más detallesPAIEP. Factorización de Expresiones algebraicas
Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Factorización de Expresiones algebraicas Factorizar una expresión algebraica consiste en reescribir la expresión
Más detallesLOGARITMOS. El logaritmo de un número es, entonces, el exponente a que debe elevarse otro número que llamado base, para que dé el primer número.
LOGARITMOS A. DEFINICIONES La función y=2 x se puede representar gráficamente. Para ello se debe tabular de la siguiente forma. X - -4-3 -2-1 0 1 2 3 Y=2 x 0.0625.125.25.5 1 2 4 8 La gráfica sería esta:
Más detallesNÚMEROS REALES. Página 27 REFLEXIONA Y RESUELVE. El paso de Z a Q. El paso de Q a Á
NÚMEROS REALES Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE El paso de Z a Q Di cuáles de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Z y para cuáles es necesario el conjunto de los números racionales, Q. a) x 0
Más detallesCapítulo 2. Desigualdades y valor absoluto
Capítulo Desigualdades valor absoluto 1 Desigualdades valor absoluto Valor absoluto El valor absoluto de un número real es su distancia al cero Puesto que un número real puede ser positivo, negativo o
Más detalles2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Introducción
2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Introducción El presente curso trata sobre álgebra lineal. Al buscarla palabra lineal en un diccionario se encuentra, entre otras definiciones la siguiente: lineal, perteneciente
Más detalles1. Conocimientos previos. 1 Funciones exponenciales y logarítmicas.
. Conocimientos previos. Funciones exponenciales y logarítmicas.. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Intervalos y sus definiciones básicas.
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Una ecuación como 2x + 3y = 7 es una ecuación de primer grado con dos incógnitas. Es de primer grado porque las letras
Más detallesECUACIONES. Ecuaciones. Indicadores. Contenido ECUACIÓN
Indicadores ECUACIONES Determina el conjunto solución de una ecuación. Resuelve ecuaciones de primer y segundo grado, así como sistemas de ecuaciones Contenido Ecuaciones De primer grado Sistemas de ecuaciones
Más detallesEs cierta para x = 0. d) Sí, son soluciones. Se trata de una identidad pues es cierta para cualquier valor de x.
EJERCICIOS RESUELTOS MÍNIMOS 3º ESO TEMA 4 ECUACIONES Ejercicio nº 1.- Dada la siguiente igualdad: x 1 3 9 x 5 3x = x responde razonadamente: a) Es cierta si sustituimos la incógnita por el valor cero?
Más detallesTEMA 1: Funciones elementales
MATEMATICAS TEMA 1 CURSO 014/15 TEMA 1: Funciones elementales 8.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN: Una función es una ley que asigna a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro. Con esto una función hace
Más detalles