ECUACIONES DE 2º GRADO

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1 Ecuciones de º grdo ECUACIONES DE º RADO. ECUACIONES DE O RADO CON UNA INCÓNITA..... Incomplets c Complets c.... DISCUSIÓN DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE SEUNDO RADO.... PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE O RADO. SUMA Y PRODUCTO DE SOLUCIONES..... FORMA CANÓNICA DE UNA ECUACIÓN DE O RADO ECUACIONES FRACCIONARIAS ECUACIONES X M A ECUACIONES BICUADRADAS. TRINÓMICAS AX M BX M C ECUACIONES IRRACIONALES PROBLEMAS DE O RADO....

2 Ecuciones de º grdo. Ecuciones de o grdo con un incógnit.. Incomplets... c Ls ecuciones de este tipo se resuelven despejndo directmente pr luego otener el vlor de etryendo l ríz cudrd. c - c -c/ c ± c L ecución tendrá solución rel siempre y cundo, es decir, que el rdicndo se positivo. Ejemplos: ± ± Dos soluciones reles ± Sin solución rel.... En ests ecuciones es nulo el término independiente. Se resuelven etryendo en fctor común: Como estmos nte un producto de dos fctores que d cero ls soluciones de l ecución serán los vlores que nulen estos fctores

3 Ecuciones de º grdo.. Complets c Vmos desrrollr hor l solución pr l form más generl. c Multiplicmos por mos ldos de l ecución c c Summos mos ldos de l ecución Psmos c l otro ldo: c c Ahor el miemro izquierdo de l ecución es un producto notle: Ahor se trt de despejr c ± ± ± c c c. Discusión de ls soluciones de l ecución de segundo grdo. El número y el tipo de soluciones que teng l ecución de segundo grdo depende del vlor, y más concretmente del signo de l epresión c. Por est rzón se le llm discriminnte y su símolo es c. Si > l ecución tiene dos soluciones reles: Si l ecución tiene un únic solución que se denomin solución dole o de multiplicidd dos Si < l ecución no tiene soluciones reles. Ests soluciones se llmn imginris o complejs.

4 Ecuciones de º grdo. Propieddes de ls soluciones de l ecución de o grdo. Sum y producto de soluciones. Sum de ls soluciones: c c Producto de ls soluciones: c c c c c c p s. Form cnónic de un ecución de o grdo. L form cnónic de un ecución es quell en l que el coeficiente del término de segundo grdo es uno. Culquier ecución de segundo grdo reducid l form generl puede epresrse en form cnónic. c Dividimos los dos término de l ecución por : p s c c c L ecución cnónic es: p s Aplicciones de l form cnónic: Hllr dos números conociendo su sum y su producto Se plnte l ecución y se resuelve l ecución de º grdo. p s

5 Ecuciones de º grdo Hll dos números cuy sum es y su producto 5. 8 ± ± Escriir un ecución de segundo grdo si se conocen sus ríces. Hll l ecución de º grdo cuys ríces son y 7 s 7, p Demostrción de l descomposición fctoril de un trinomio de segundo grdo. Prtimos de l ecución cnónic s p Multiplicmos mos ldos por pr tener el trinomio completo de º grdo: s p Sustituimos s y p por su vlor: s p Aplicmos l propiedd distriutiv: Scmos dole fctor común scndo y en l ª etrcción y - en l ª c 5. Ecuciones frccionris. Ls ecuciones frccionris o rcionles son quells en ls que l incógnit n n prece en los denomindores o con eponentes negtivos. Resolución: Se sc común denomindor todos los términos de l ecución. Si previmente se pueden simplificr lgunos términos es conveniente hcerlo. Se eliminn denomindores Se resuelve l ecución resultnte que puede ser de er grdo o de o grdo. 5

6 Ecuciones de º grdo Compror siempre que ls soluciones otenids no nuln los denomindores de l ecución originl. Bst con compror que no nuln el común denomindor otenido en el er pso. Resuelve m. c. m, los vlores y no podrán ser ls soluciones de l ecución porque nuln los denomindores. Eliminmos denomindores Resolvemos l ecución de segundo grdo resultnte ± Sin solución rel. ± Hy lguns ecuciones frccionris que se pueden resolver plicndo el principio de equivlenci de frcciones, conocido comúnmente como productos cruzdos: c d c d Este principio se puede plicr siempre y cundo logremos enfrentr dos frcciones lgerics. Resuelve : Psmos el dos l derech y conseguimos enfrentr dos frcciones: 5 ± 5 ± 8 5 Resuelve: 6

7 Ecuciones de º grdo 8 6 ± 6 ± 6. Ecuciones m. Ls ecuciones de l form m se llmn ecuciones inómics. Y hemos visto un Ejemplo de este tipo de ecuciones l estudir l incomplet de º grdo c. L solución de ls ecuciones inómics es l ríz m-ésim de : m. Hy tres csos posiles: Si m es pr y positivo hy dos soluciones reles y opuests ± m 6 ± 6 ± Si m es pr y negtivo, no hy soluciones reles. ± R Si m es impr l ecución tiene un solución rel del mismo signo que el rdicndo 7 7 Ejemplos: Ecuciones icudrds. Trinómics m m c. Ecuciones icudrds son ls que se pueden reducir l form: c Se resuelven medinte un cmio de vrile. Si hcemos trnsform en un ecución de º grdo: t t c Resolviendo l ecución otendremos los vlores t l ecución se t c c t Pr encontrr ls soluciones de l ecución originl hy que deshcer el cmio de vrile ecución inómic: 7

8 Ecuciones de º grdo t t ± ± t t t t t t Con un cmio de vrile similr se resuelve culquier tipo de ecución trinómic del tipo: m m c m t t t c 6 Bicúics: c 5 Biquints: c Ejemplo : Resuelve l ecución: 5 Hcemos el cmio de vrile t t 5t Resolvemos l ecución resultnte 5 ± ± t Deshcemos el cmio de vrile: ± ± ± ± En este cso como t y t son positivos se otienen ríces reles Ejemplo : Resuelve 5 6 Hcemos el cmio de vrile t t 5t 6 Resolvemos l ecución resultnte: 5 ± t Deshcemos el cmio de vrile: ± t 9 t 9 ± 9 ± ± No solución rel Como uno de los vlores otenidos de t es negtivo, l ecución sólo tiene dos soluciones reles 8

9 Ecuciones de º grdo Ejemplo : Resuelve 5 Hcemos el cmio de vrile t t 5t Resolvemos l ecución resultnte: 5 ± 5 6 t Deshcemos el cmio de vrile: 5 ± t t ± No solución rel ± No solución rel En este cso los dos vlores de t son negtivos y l ecución no tiene solución rel. Ejemplo icúics: Resuelve l ecución Hcemos el cmio de vrile t t 7t 8 Resolvemos l ecución resultnte: 7 ± t ± 9 t 8 t Deshcemos el cmio de vrile: Ecuciones irrcionles Son ecuciones irrcionles quells en ls que l incógnit prece jo el signo rdicl. L resolución de ests ecuciones se s en el siguiente principio: Si se elevn l cudrdo los dos miemros de un ecución, se otiene otr ecución que, demás de tener ls soluciones de l primer, puede contener ls de un segund, otenid l cmir de signo uno de los miemros de l ecución dd. 9

10 Ecuciones de º grdo Se l ecución: F Elevmos l cudrdo mos miemros: F Ahor l ecución puede escriirse como un diferenci de cudrdos: F Descomponemos en fctores l diferenci de cudrdos: [ ] [ F F ] L solución de est ecución son ls soluciones de ls dos ecuciones prciles:,, equivlente F F equivlente F F Por est rzón hy que compror ls soluciones otenids sustituyendo en l ecución originl. Resuelve Aislmos el rdicl en un miemro: Elevmos l cudrdo mos miemros y desrrollmos Resolvemos l ecución resultnte ± ± Compromos ls soluciones noes solución solución es 6 7 7

11 Ecuciones de º grdo Resuelve 9 6 Aislmos uno de los rdicles: 9 6 Elevmos l cudrdo mos miemros Aislmos el rdicl que qued Como podemos simplificr lo hcemos: Volvemos elevr l cudrdo mos términos pr eliminr el rdicl 5 Resolvemos l ecución resultnte 6 Compromos l solución otenid 9. Prolems de o grdo. Prolems de números y cifrs: Es solución Hll dos números consecutivos cuyo producto se 8. L sum de un número y su cudrdo es. Hálllo. Clcul un número que sumdo con el dole de su ríz cudrd dé. Hll tres números impres consecutivos tles que sus cudrdos sumen 55.

12 Ecuciones de º grdo 5 Hll dos números pres consecutivos tles que l sum de sus cudrdos se 5. 6 Hll dos números cuy sum es 78 y su producto Hll dos números cuy sum es y l de sus cudrdos. 8 Hll dos números cuy diferenci se 7 y l sum de sus cudrdos Ls dos cifrs de un número sumn. Si se sumn 8 uniddes l cudrdo de dicho número, se otiene un tercio del cudrdo del número que result de invertir el orden de ls cifrs del primero. Cuál es ese número? Ls dos cifrs de un número sumn y el producto de dicho número por el que se otiene de invertir sus cifrs es 5. Hll el número. Prolems de eddes: L edd de un niño será dentro de ños un cudrdo perfecto y hce tres ños su edd er precismente l ríz cudrd de ese cudrdo. Hll los ños que tiene. Dentro de ños l edd de Pedro será l mitd del cudrdo de l edd que tení hce ños. Clcul l edd de Pedro. Un pdre tení 5 ños cundo nció su hijo. L medi geométric de ls eddes de mos super en l número de ños del hijo. Hll ls eddes ctules de los dos. Preguntd un person por su edd, contesto: Sumd 5 l producto del número de ños que tení hce 5 ños por el de los que tendré dentro de 5 ños y os resultr un número igul l cudrdo de l edd que tengo hoy. Hll el número. Prolems de fuentes: 5 Dos fuentes llenn un depósito en 6 hors. En cuánto tiempo lo llenrí cd uno por seprdo si l primer lo hce en 5 hors menos que l segund?. 6 Un deposito se llen por dos fuentes, fluyendo l vez, en hors y 5 minutos. cuánto tiempo emplerí cd un por seprdo en llenr dicho deposito si se se que l primer lo hrí en hors menos que l segund?. Prolems de reprtos, interés y porcentjes : 7 Se reprte un premio de 6. pesets entre vris persons. Si el número de ésts umentse en tres, ls prtes disminuirín en 5 pesets. Cuántos grcidos hy?. 8 Se in reprtir 8 euros entre vrís persons; 5 de ells rehúsn su prte, con lo que cd un de ls restntes recie 8 euros más. Cuánts persons entrn en el reprto originlmente?. 9 Si se rejr en euros el precio de un docen de nrnjos, con 5 euros se podrín comprr 6 nrnjos más. A cuánto se vende l docen de nrnjos?. Un person coloc. pesets interés simple. Al co de un ños retir el cpitl y el interés producido y lo prest todo un % que ecede en l que ntes percií. Su rent nul es entonces de 56 pesets. Cuál er el primer %?. Prolems de cinemátic: Un rquero sue por un río 8 m. Pr jr, emple 9 minutos menos que pr suir, pues l corriente ument en m por minuto respecto de l velocidd que llev l suir. Cuál es el tiempo que emple en suir?. Y en jr?.

13 Ecuciones de º grdo Un ciclist, en un recorrido de 5 km, llegrí hors y medi ntes si llevse un medi de 5 km más por hor. Averigu el tiempo que trd en el recorrido. Dos ciclists slen juntos pr recorrer un tryecto de km. El primero recorre km por hor más que el segundo, por lo cul lleg l destino un hor ntes. Averigu l velocidd de cd uno. Prolems de geometrí: Tres segmentos miden, respectivmente, 8, y cm. Si se ñde los tres un mism longitud, el triángulo construido es rectángulo. Hll dich longitud. 5 L hipotenus de un triángulo rectángulo mide cm. Averigu ls longitudes de los ctetos, siendo que su diferenci es 7 cm. 6 El perímetro de triángulo rectángulo mide 9 cm y el cteto myor mide m menos que l hipotenus. Hll los tres ldos del triángulo. 7 Los ldos de un tringulo rectángulo tienen por medid tres números enteros consecutivos. Hll dichos números. 8 Determin ls dimensiones de un rectángulo siendo que su superficie es de 8 m y su digonl mide 5 m. 9 Un rectángulo tiene 5 m de digonl. Qué longitud tienen los ldos si uno mide m más que el otro?. El áre de un triángulo rectángulo es 6 m y l sum de sus ctetos es. Hll sus ldos. Un cudrdo tiene m más que otro, y éste un metro menos de ldo que el primero. Hllr los ldos de los dos cudrdos. Aumentndo un ldo de un cudrdo en metros y los ldos contiguos en 6 metros se otiene un rectángulo de dole áre que el cudrdo. Determinr el áre del cudrdo. L rzón entre los ldos de dos cudrdos es y l sum de los cudrdos de sus digonles es. Averigu dichos ldos. El áre de un rectángulo es de m y su perímetro de 6 m. Clcul ls dimensiones. 5 L se de un triángulo ecede en 7 cm l ltur; el áre es 99 cm. Clcul ls dimensiones del triángulo. 6 Un pirámide rectngulr de se cudrd, tiene un ltur de m y un volumen de m. Hll el ldo de l se. 7 Se tiene un lote de ldoss cudrds. Si se form con ells un cudrdo de ldoss de ldo sorn 7, y si se tomn ldoss por ldo fltn. Hll ls ldoss del lote. 8 Un deposito de gu tiene form de prism recto con se cudrd. Si su ltur es m y su cpcidd m, clcul el ldo de l se. 9 Un cmpo rectngulr tiene m de superficie y metros más de lrgo que de ncho. Hll ls dimensiones. Clcul el rdio de un círculo siendo que si umentmos su rdio en cm se cudriplic su áre. L se myor de un trpecio mide m más que l menor y l ltur result ser l semisum de ls ses. Si, demás, el áre es 5 m, cuál será l medid de ls se y l ltur?.

14 Ecuciones de º grdo Prolem de ls fuentes Leonrdo de Pis Dos torres, un de psos y otr de, están seprds 5 psos. Entre ls dos torres se encuentr un fuente hci l que descienden dos pájros que están en ls lmens de ls torres. Yendo con igul velocidd llegn l mismo tiempo. A que distnci de ls torres se encuentr l fuente?. Prolem del mú Teto indio del siglo IX Un mú que mide codos y que se elev sore un terreno plno se rompe en un punto por l fuerz del viento. Su etremidd toc el suelo 6 codos de su pie. A que ltur se h roto?. Prolem del junco Teto indio del siglo IX Un junco enrizdo en el fondo de un estnque se encuentr 9 cm de l orill y su cez se elev cm sore el gu. Por l fuerz del viento se h inclindo de modo que su cez toc l orill del gu. Cuál es l profundidd del estnque y l ltur del junco?.

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