TEMA 5 FUNCIONES ELEMENTALES II
|
|
- Eva María Guzmán Castilla
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO TEMA FUNCIONES ELEMENTALES II Rectas EJERCICIO. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la recta 6y 0. Represéntala gráficamente. Para calcular la pendiente, despejamos la y: 6y 0 6y y y La ordenada en el origen es n. Puntos de corte con los ejes: Eje Y 0, Eje X y 0 6y 0 0 La pendiente es m. 6 Luego, 0 EJERCICIO : Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y b) y c) y a Hacemos una tabla de valores: 0 y 0 b) y Es una recta paralela al eje X que pasa por 0,. c) y Pasa por el 0, 0. Basta dar otro punto para representarla: Si y
2 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO EJERCICIO : Dadas las siguientes rectas, identifica cuáles son paralelas y represéntalas: a) y b) y c) + y = d) y + = 0 Calculamos la pendiente de cada una de ellas: y y ma y m b 0 y y y m c y 0 y y m d Son paralelas la a y la d por tener la misma pendiente. Representamos ambas haciendo una tabla de valores: a y d y EJERCICIO : Representa la siguiente recta tomando la escala adecuada en cada eje: y Observando que la pendiente de la recta es m, lo más adecuado es tomar la escala en el eje X de en. Hagamos una tabla de valores para ver cuál es la escala más adecuada en el eje Y: En el eje Y, tomamos la escala de en. EJERCICIO : Representa las rectas siguientes: 7 a) y = -, + b) y c) y = - Qué relación hay entre las rectas a y c? a Hacemos una tabla de valores:
3 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO b Es una recta paralela al eje X que pasa por 0,. 7 c y a y c son rectas paralelas, puesto que tienen la misma pendiente, m,. EJERCICIO 6 : Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(, ) y B(, ). Cuál es la ordenada en el origen? Empezamos hallando su pendiente: m Ecuación de la recta que pasa por A(, ) y cuya pendiente es m y +.( ) y La ordenada en el origen es n. EJERCICIO 7 : Observando las gráficas, indica cuál es la ordenada en el origen de las siguientes rectas y halla la ecuación de cada una de ellas: Para calcular la ordenada en el origen, basta con observar el punto de corte de cada una de las rectas con el eje Y: r n r n r n Calculamos la pendiente de cada una de ellas: r m 0 0 r pasa por 0, y, 0 m 0 0 r pasa por 0, y, 0 m 0 La ecuación de cada recta será: r y r y r y
4 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO EJERCICIO 8 : Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento de etremos A(, ) y B(, ) y es paralela a la recta 7 y 0. Empezamos calculando el punto medio del segmento de etremos A(, ) y B(, ): y Punto medio: P, La recta tiene la misma pendiente que 7 y + 0 por ser paralelas: 7 7 y 7 y m Ecuación de la recta pedida: y Ecuación en la forma punto-pendiente y y EJERCICIO 9 : Indica cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(0,-) y B,0 Escribe su ecuación y la de la paralela a ella que pasa por el origen de coordenadas. Pendiente: m Observamos que los puntos que nos dan son los puntos de corte con los ejes; concretamente, de A(0, ) se obtiene que n. Así, la ecuación de la recta es: y La recta paralela a la anterior que pasa por (0, 0) será: y EJERCICIO 0 : La gráfica de una función lineal determina con los ejes coordenados el triángulo rectángulo que se vé en la figura. Halla la epresión analítica de dicha función. Como corta al eje Y en (0, ), entonces, n. Pendiente: m La ecuación de la recta es: y
5 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO Parábolas EJERCICIO : Representa gráficamente las siguientes parábolas a) y b) y c) y d) y 7 e) y a) b Vértice: y El vértice es V,. a Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y 0 y 0, Con el eje X y Puntos de corte con el eje X:, 0 y, 0 Puntos próimos al vértice: Representación X - 0 Y / -/ - -/ / b) Puntos de corte con los ejes: Con el eje X y Hallamos su vértice: y V, , 0, que coincide, lógicamente, con el vértice. Con eje Y 0 y 0, Puntos próimos al vértice: Representación X 6 Y / 0 / c) Calculamos su vértice: y V, Puntos de corte con los ejes:
6 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 6 Con eje Y 0 y 0, Con eje X y 0 0 Los puntos de corte con el eje X son:, 0 y, 0 Puntos próimos al vértice: Representación: X - 0 / Y /8 - d) 7 Hallamos el vértice: y V, 0 Puntos de corte con los ejes: Con eje Y 0 y 0 0, 0 0 0, 0 Con eje X y , 0 Tabla de valores para obtener puntos próimos al vértice: X 0 / Y 0 0 / 0-00 Representación: e) 0, 0 Puntos de corte con los ejes: Con eje Y 0 y 0, Con eje X el único punto de corte será el vértice:, 0 Hallamos su vértice: y V Puntos próimos al vértice: Representación: X - 0 Y
7 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 7 EJERCICIO : Halla las epresiones analíticas de estas parábolas: a) b) c) a) La epresión analítica de ambas parábolas será de la forma y a b c, donde a, b, c son números reales que tenemos que calcular a partir de las gráficas. Ecuación de la parábola I: Punto de corte con el eje Y: 0, 6 c 6 Vértice: V,, que además es un punto de la parábola. b b 6a Así: a a b 6 9a 8a 6 9 9a a b 6 La ecuación de la parábola I es: y 6 6 Ecuación de la parábola II: Corta al eje Y en 0, c b b a V Vértice, 0 a a a : 0 a b a b a a a b La epresión analítica de la parábola II es: y b) Sus ecuaciones serán de la forma y a b c, a, b, c, números reales. Ecuación de la parábola I: Corta al eje Y en el punto 0,, luego: c V El vértice es,, que así mismo es un punto de la parábola. Luego de aquí ecuaciones cuyas incógnitas son a y b: b b 6a a 9a 8a a b 9a b 9a 8a 0 9 8a a b La ecuación de la parábola I es: y obtendremos dos
8 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 8 Ecuación de la parábola II: Corta al eje Y en 0, c b V, b aa a a a a b a b a b La ecuación de la parábola II es: y c) Observamos que ambas son parábolas, luego sus ecuaciones serán de la forma y a b c, donde a, b, c son números reales. Ecuación de la parábola I: c porque pasa por 0,. Vértice V, 0, de donde sacamos dos ecuaciones: b b 8a a 6a a 6a a 0 6a b b La ecuación de la parábola I es: y Ecuación de la parábola II: c porque pasa por 0,. b V, b a a a a b a b a b 6 La ecuación de la parábola II es: y EJERCICIO : Completa las epresiones de estas dos gráficas: a y b y Parábola a Punto de corte con el eje Y: 0, 0 c 0 V, b a a b a Ecuación de a: y 0 Parábola b c la ecuación será de la forma y a. Un punto de la parábola es el,, así: a a La ecuación buscada es: y
9 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 9 EJERCICIO : Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes epresiones: a y b y 8 c y d y 8 7 a IV b I c II d III EJERCICIO : Relaciona cada una de las siguientes epresiones con su gráfica correspondiente: a y 8 b y 0 c y d y a I b III c IV d II EJERCICIO 6 : Relaciona cada gráfica con una de las siguientes epresiones: a y b y c y d y a III b I c II d IV
10 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 0 EJERCICIO 7 : Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes epresiones: a y b) y c) y d) y = 7 a III b II c IV d I EJERCICIO 8 : Relaciona cada una de las siguientes epresiones con su gráfica correspondiente: a y b y c y d) y = a I b IV c II d III Rectas y parábolas EJERCICIO 9 : Resuelve gráfica y analíticamente los sistemas siguientes: y y y 8 a) b) c) y y 0 y 0 a) Resolución analítica: Despejamos y de cada ecuación e igualamos: Si y Si y 0 Las soluciones son:, y ;, y 0 Resolución gráfica Representamos la parábola y : b Vértice: a y Cortes con los ejes: Eje Y 0 y 0, V,
11 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO Eje X y 0 0, 0 y, 0 Valores en torno al vértice: X Y Representamos la recta y : 0 y 0 Observamos en la gráfica que la parábola y la recta se cortan en, y, 0. b) Resolución analítica : Despejamos y de cada ecuación e igualamos: y y El sistema no tiene solución. 6 6 Resolución gráfica Representamos la parábola y : b Vértice: y 8 V, a Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y 0 y 0, Con el eje X y Puntos próimos al vértice: X 0 Y La parábola no corta al eje X. Representamos la recta y y.
12 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 0 y 0 Se observa en la gráfica que la parábola y la recta no se cortan. c) Resolución analítica : Se despeja y de cada ecuación y se igualan: y 8 y La solución del sistema es:, Resolución gráfica Se representa la parábola y 8 : b 8 Vértice: a V, y 8 6 Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y 0 y 0, Con el eje X y Puntos próimos al vértice: X 0 Y No corta al eje X. Por otro lado, se representa la recta y, constante. y Hay un único punto de corte entre la recta y la parábola, que corresponde al punto,.
13 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO Funciones a trozos EJERCICIO 0 : Representa las funciones cuyas epresiones analíticas son: si - si 0 a) y si - b) y si 0 c) y - 0 si - 6 si - 7 si si - d) y - si e) y si - si 6 si si - si - f) y si - g) y ( ) si - si si a) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos: X Y si si - si 6 Representamos los tres trozos en los mismos ejes: b) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos: Representamos los tres trozos en los mismos ejes: X Y c) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos: Representamos los tres trozos en los mismos ejes: X Y
14 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO d) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos: Representamos los tres trozos en los mismos ejes: X Y e) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos: Representamos los tres trozos en los mismos ejes: X Y f) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos: Representamos los tres trozos en los mismos ejes: X / 0 + Y - 0 -/ 0 g) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos: Representamos los tres trozos en los mismos ejes: X Y
15 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO EJERCICIO : Halla las epresiones analíticas de las funciones cuyas gráficas son las siguientes: a) b) c) d) a) Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos de rectas que forman la función: Para <, la recta es y =. Para, la recta pasa por (, ) y (, ): m y y y Para >, la recta es y. si Así pues, la epresión analítica de esa función es: y si si b) De cada tramo de la recta, buscamos la ecuación: Para < 0, la recta pasa por (, 0) y (, ): m y Si 0, la recta pasa por (0, ) y (, ): m y y Para >, la recta es y. si 0 La epresión analítica de la función es: y si 0 si c) Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos de recta que forman la función: Para <, la recta pasa por los puntos (, ) y (, ): m y Para <, la recta es y. Para, la recta pasa por (, ) y (, 0): m y y si La epresión analítica pedida es: y si si d) Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos de rectas observando que hay dos que son constantes: Si <, la recta es y. Si, la recta es y. Si, la recta pasa por los puntos (, ) y (0, ): m y y si La epresión analítica de la función es: y si si
16 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 6 EJERCICIO : Observa la gráfica de la función f, completa la siguiente tabla de valores y halla su epresión analítica: Completamos la tabla observando la gráfica: 0 y 0 0 Para hallar la epresión analítica de la función f, buscamos la ecuación de cada tramo de recta: Si <, la recta pasa por (, ) y, 0 : m y y 0 Si, la recta pasa por (0, 0) y (, ): m y La epresión analítica de la función f es: 0 si y si Funciones de proporcionalidad inversa EJERCICIO : Representa gráficamente las siguientes funciones: 7 a) y b) y c) y a) Dominio de definición: R {-} Tabla de valores X Y Las asíntotas son la recta y 0 y la recta. b) Dominio de definición: R {} X Y - -, , - Las asíntotas son las rectas e y.
17 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 7 c) 7 y y Dominio de definición: R {} X Y Las asíntotas son las rectas, y. Funciones radicales EJERCICIO : Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y = b) y = c) y = a) Dominio de definición: (-,0] Hacemos una tabla de valores: X Y - - -, -0,7 - b) Dominio de definición:, Hacemos una tabla de valores: X / + Y 0,,,8 + c) Dominio de definición:, Tabla de valores: X -/ - / + Y Funciones radicales y de proporcionalidad inversa EJERCICIO : Resuelve gráficamente el siguiente sistema: y y Representamos gráficamente cada una de las funciones: y Es una función radical.
18 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 8 Dominio de definición:, Tabla de valores: X 6 + Y y Es una función de proporcionalidad inversa. Dominio de definición: Tabla de valores: X Y Las asíntotas son las rectas, y 0. En la gráfica se observa que el sistema tiene una solución: y EJERCICIO 6 a) De la siguiente hipérbola, di cuál es su dominio, cuáles son sus asíntotas y represéntala: y = b) Halla el valor de k para que el dominio de la función y = k sea [,+). Haz la representación gráfica. a Dominio de definición: 0 Tabla de valores en puntos próimos a 0: X Y - -, , - Luego las asíntotas son las rectas 0, y. b Para que el dominio de definición sean los valores de, se necesita tomar k así, 0. Hacemos una tabla de valores X 8 + Y +
19 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 9 Eponenciales y logarítmicas EJERCICIO 7 : Representa las siguientes funciones haciendo en cada caso una tabla de valores: a y 0, b y log 6 0, a) y equivale a y X Y 0 / / + b Se observa en la gráfica que es una función creciente, cosa que ya sabíamos puesto que a. X /6 / y EJERCICIO 8 a Pon en forma eponencial 0, y representa la función y 0,. b Comprueba si pertenecen a la gráfica de y log los puntos,,,, (,) 0, 0, a) Representar la función y 0, equivale a representar la función y. Hacemos una tabla de valores: X Y 0 / / +,, (,-) y
20 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 0 b El dominio de definición de y log es 0,, luego el punto, no pertenece al dominio por ser 0. El resto de puntos tienen abscisa positiva, luego pueden pertenecer a la gráfica de la función:, log Pertenecen a la gráfica., log, log No pertenece a la gráfica., Pertenece a la gráfica. log Los puntos que pertenecen a la gráfica son:,,, y, EJERCICIO 9 a Halla el valor de k y a para que la gráfica de y ka pase por los puntos, 6 y,. Indica razonadamente si la función obtenida será creciente o decreciente, sin representarla. b Representa la función y log 7. a) y ka pasa por los puntos, 6 y, : 6 ka ka a a a 6 k k 6a k 6 ka ka 6 8 a k La función es y, función decreciente por ser a. b X /9 / y EJERCICIO 0 : Escribe el dominio de la función y y represéntala gráficamente. Escribe la epresión analítica y representa la función inversa de y. y es una función eponencial su dominio son todos los números reales. Hagamos una tabla de valores para representarla: X Y 0 /6 ¼ 6 +
21 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO La epresión analítica de la función inversa de y es y log, cuya tabla de valores será: X 0 /6 ¼ 6 + Y EJERCICIO a Construye la gráfica de y 0,7 y, apartir de ella, representa la función y 0,7. b Indica cuál es el dominio de la función y log y escribe tres puntos que pertenezcan a la gráfica. a y 0,7 : función eponencial de base a 0,7, luego decrece en su dominio, que es. Hagamos una tabla de valores: X Y +,0, 0,7 0,9 0 La función y 0,7 se obtiene desplazando dos unidades hacia arriba la gráfica anterior, o lo que es igual, sumando unidades a los valores obtenidos anteriormente para y. b y log 0 dominio de definición: 0, 0, log 0 00, log , log EJERCICIO : Calcula, usando la definición de logaritmo, y sin calculadora: a) log 8 b) log 0,00 c) log d) log e) log f) log 6 g) log 7 9 h) log i) log 0, 008 j) log k) log 0, l) log 6 m) log 0, 0 n) log 6 ñ) log 0 a log 8 log log log b log 0,00 log 0 log 0 log c log log log log d) log log log log a log 0 e) b log log log f log log log
22 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO g) a log log log log i) c log0,008 log log log log 000 j) a log log log log log k) b log0, log log log m) a log 0,0 log log 0 log0 00 h) b log log 9 9 log 9 l)c log 6 log 8 8 log 8 n) b log6 log6 log6 6 log 6 6 ñ) c log log log 0 6 EJERCICIO : Resuelve estas ecuaciones: a) b) log ( ) c) 6 e) 6 0, d) log ( ) f) log ( ) g) - = 9 +6 h) log ( -+8) = 8 i) j) log ( ) = - a Epresamos como potencia de el segundo miembro e igualamos los eponentes: b Aplicamos la definición de logaritmo: log Comprobación de la solución log 6 log 7 log log Solución válida c Epresamos el segundo miembro como potencia de. A continuación, igualamos eponentes: d log 0, aplicando la definición de logaritmo, equivale a Comprobación de las soluciones Si log log 0 es solución. Si log log log 0 también es solución. e) Epresamos el primer miembro como potencia de 7 e igualamos eponentes: f Aplicando la definición de logaritmo, se obtiene: log
23 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO Comprobación de la solución: log log log log válida La solución es: g Epresamos como potencia de el segundo miembro e igualamos eponentes: h log 8 8 hemos aplicado la definición de logaritmo 8 = 6 9 = 0 Comprobación de las soluciones Si log log log log es solución. Si log 8 log log log es solución. i) a equivale a 0 Igualando eponentes: 0 0 Luego 0 y son las soluciones. j log equivale a 0 hemos aplicado la definición de logaritmo log log log 0 log 0 Comprobación de la solución 0 0 La solución es válida. 0 Problemas EJERCICIO : Colocamos en el banco 000 al de interés anual. a Escribe la función que epresa el capital acumulado en función del tiempo, t, que permanezca el dinero en el banco. b Cuánto tardará el dinero en duplicarse? a C capital acumulado de interés anual significa que el capital que hay a principios de año se multiplica por,0 al final. La t epresión que da el capital acumulado al cabo de t años es: C 000,0 t 0 b Nos piden calcular t para que el capital se duplique: 000,0 t 0 000,0 t t años Tardará en duplicarse, aproimadamente, años. EJERCICIO : Se cerca una finca rectangular de área A con m de alambrada, sin que sobre ni falte nada. a Epresa el área de la finca en función de uno de sus lados b Representa gráficamente la epresión anterior. c Cuál es el dominio de definición? d Para qué valor de los lados obtenemos la finca de área máima? Las dimensiones de la finca son,. a A área de la finca La epresión analítica buscada es A A, que es una función cuadrática. b Será una parábola abierta hacia abajo: Vértice: y 0, V 0,; 0,
24 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO Puntos de corte con los ejes: 0 Eje X y , 0 y, 0 Eje Y 0 y 0 0, 0 Tabla de valores: X 0 0, 0 Y , 90 0 c Por ser una longitud y A un área, la gráfica corresponde solo al primer cuadrante. Dominio de definición: 0, d El área es máima en el vértice, y mide 0, m. Se obtiene tomando como lados 0, m y 0, = 0, m es decir, el área es máima si la finca es cuadrada. EJERCICIO 6 : Epresa el lado de un cuadrado en función de su área. Qué tipo de función obtienes? Cuál es su dominio? Represéntala gráficamente. A área del cuadrado A l l lado del cuadrado l A La función obtenida es una función radical. Dominio de definición 0, Para representarla gráficamente, hacemos una tabla de valores: X Y 0 + EJERCICIO 7 : Una central nuclear tiene kg de una sustancia radiactiva que se desintegra reduciéndose a la mitad cada años. a Qué cantidad de esa sustancia tendremos al cabo de 0 años? b Cuál es la función que da la cantidad de sustancia radiactiva según los años transcurridos, suponiendo que el ritmo de desintegración se mantiene? a Al cabo de años habrá 0, kg de sustancia radiactiva, luego al cabo de 0 años habrá 0, kg 0 g de sustancia radiactiva. b Llamamos C cantidad de sustancia radiactiva kg t tiempo años 0, La función que describe el problema es: Ct Ct EJERCICIO 8 : María se quiere comprar una parcela rectangular que tenga como área 00 m. a Escribe la función que da el ancho de la finca en función del largo. b Haz la gráfica correspondiente. t t a Llamamos largo de la finca y ancho de la finca
25 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO El área de la finca será y = 00 y 00 b Puesto que e y son longitudes, ambas han de ser positivas, luego el dominio de definición será 0, Hacemos una tabla de valores para representarla: X Y Recopilación EJERCICIO 9 : a Representa esta función: y 0 b Asocia a cada una de las gráficas, una de las siguientes epresiones. y. y. y. y a y 0 Hacemos una tabla de valores: b II IV III I EJERCICIO 0 : a Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos A, y B,, y haz su gráfica. b Halla la ecuación de la siguiente parábola: 7 7 a Calculamos el valor de la pendiente: m 6 6
26 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO y y La representación gráfica de la recta y es: 6 6 La ecuación será de la forma: b Por ser una parábola, su ecuación será de la forma: y a b c Por ser el punto de corte con el eje Y el 0, 0 c 0 Para calcular a y b, observamos que la parábola pasa por los puntos, 0 y, 0: 0 a b 0 a b 0 a b 0 a b 7a 7 a Luego b b Por tanto, la ecuación de la parábola es: y 0 EJERCICIO : a Halla la ecuación de la recta representada: b Representa esta parábola: y 8 9 a Por ser una recta, su ecuación será de la forma: y m n Como pasa por 0, n Además, (, ) es un punto de la gráfica m m La ecuación buscada es: y b Calculamos el vértice que tiene la parábola y 8 9 : b 8 a y 6 9 V, Puntos de corte con los ejes: Eje Y 0 y 9 0, 9 Eje X y La parábola corta al eje X en 9, 0 y, 0. Tabla de valores en torno al vértice: X 6 Y
27 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 7 EJERCICIO : a Calcula la ecuación de la recta que pasa por (,) y cuya pendiente es m = /. Represéntala gráficamente. b Asocia a cada gráfica una de las siguientes epresiones:. y. y. y. y a Ecuación punto-pendiente: y y y b II III IV I EJERCICIO : a Halla la ecuación de la recta dada por la siguiente gráfica: b Representa la parábola siguiente: y 8 a La ecuación de la recta será de la forma: y m n Por ser el punto de corte con el eje Y 0, n Además, la recta pasa por, 0, luego: 0 m m Por tanto, la ecuación es: y b y 8 b 8 Vértice y 6 V, a Puntos de corte con los ejes: Eje Y 0 y 0, Eje X y Los puntos de corte con el eje X son 6, 0 y, 0.
28 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 8 Tabla de valores en torno al vértice: X 7 Y EJERCICIO : Asocia cada gráfico con una de estas epresiones: a) y = b) y log ( ) c) y = d) y = a) II b) IV c) III d) I EJERCICIO : Asigna a cada gráfica, la epresión que le corresponde: a) y, b) y log c) y = d) y = - + a) III b) IV c) II d) I EJERCICIO 6 : Relaciona cada gráfica con su epresión correspondiente: a) y = b) y = - c) y log ( ) d) y = 9 a) I b) III c) IV d) II
29 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 9 EJERCICIO 7 : Asocia cada gráfica con una de estas epresiones: a) y log b) y,7 c) y = 7 d) y = a) IV b) III c) I d) II EJERCICIO 8 : Asocia cada gráfica con la epresión que le corresponda: a) y 0,8 b) y = - c) y = d) y log 6 ( ) a) III b) I c) II d) IV EJERCICIO 9 : Asocia a cada gráfica la epresión que le corresponde: a) y = + b) y = - + c) y = d y log a I b IV c III d II EJERCICIO 0 : Asocia a cada gráfica una de estas epresiones: a) y = - b) y = c,7 d y log a III b IV c I d II
30 Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO 0 EJERCICIO : Asocia a cada gráfica una de las siguientes epresiones: a y log 7 b) y = c) y d) y = a III b I c IV d II EJERCICIO : Asocia a cada gráfica una de estas epresiones: a) y = + b y c y log d) y = a II b III c I d IV EJERCICIO : Relaciona cada gráfica con la epresión analítica correspondiente: a y, b) y = c y log d) y = 0, a II b I c III d IV
Solución: Para calcular la pendiente, despejamos la y: La ordenada en el origen es n. 3 Puntos de corte con los ejes: 1 Eje Y 0, 3
EJERCICIO. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la recta 6y 0. Represéntala gráficamente. Para calcular la pendiente, despejamos la y: 6y 0
Más detallesSolución: Para calcular la pendiente, despejamos la y: La ordenada en el origen es n. 3 Puntos de corte con los ejes: 1 Eje Y 0, 3
EJERCICIO. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la recta 6y 0. Represéntala gráficamente. Para calcular la pendiente, despejamos la y: 6y 0
Más detallesTEMA 5 FUNCIONES ELEMENTALES II
Tema 5 Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO TEMA 5 FUNCIONES ELEMENTALES II Rectas EJERCICIO.Hallalapendiente,laordenadaenelorigenylospuntosdecorteconlosejesde coordenadasdelarecta
Más detallesTEMAS 10 LAS FUNCIONES ELEMENTALES 1º BACH MATE I
TEMA 0 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I º Bach. TEMAS 0 LAS FUNCIONES ELEMENTALES º BACH MATE I Son funciones? Ejercicio : Indica cuáles de las siguientes representaciones corresponden a la gráfica
Más detallesFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS Página 9 REFLEIONA RESUELVE A vueltas con la noria Modificando la escala, representa la función: : tiempo transcurrido y: distancia al suelo correspondiente
Más detalles10 Funciones polinómicas y racionales
8966 _ 009-06.qd 7/6/08 : Página 9 0 Funciones polinómicas racionales INTRDUCCIÓN Uno de los objetivos de esta unidad es que los alumnos aprendan a hallar la ecuación de una recta dados dos puntos por
Más detalles2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II FICHA TEMA 6.- FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ
º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II FICHA TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.-
Más detallesCuaderno de Actividades 4º ESO
Cuaderno de Actividades 4º ESO Relaciones funcionales. Estudio gráfico y algebraico de funciones 1. Interpretación de gráficas 1. Un médico dispone de 1hora diaria para consulta. El tiempo que podría,
Más detallesFUNCIONES RACIONALES. HIPÉRBOLAS
www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES RACIONALES. HIPÉRBOLAS 1. FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA El área de un rectángulo es 18 cm 2. La siguiente tabla nos muestra algunas medidas que
Más detallesTEMA 1: Funciones elementales
MATEMATICAS TEMA 1 CURSO 014/15 TEMA 1: Funciones elementales 8.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN: Una función es una ley que asigna a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro. Con esto una función hace
Más detallesFUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS
FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS Representemos, en función de la longitud de la base (x), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro 1 metros. De ellos, cuáles son las medidas
Más detallesRepresentación gráfica de funciones. De la fórmula a la tabla. Resolución de problemas
REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES Ejes de coordenadas y coordenadas de puntos FUNCIÓN Tipos: - Lineal. - Afín. - Constante. - De proporcionalidad inversa. - Cuadrática.
Más detallesFunciones y Gráficas. Área de Matemáticas. Curso 2015/2016
Ejercicio nº 3 Representa gráficamente la parábola y x x localizando el vértice, algunos puntos próximos a él y los puntos de corte con los ejes. Vértice: b 3 x y a El vértice es V,. Puntos de corte con
Más detallesÁrea de Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas Funciones cuadráticas, de proporcionalidad inversa y exponenciales
Ejercicio nº 3 Representa gráficamente la parábola y x x localizando el vértice, algunos puntos próximos a él y los puntos de corte con los ejes. Vértice: b 3 x y a El vértice es V,. Puntos de corte con
Más detallesFunciones y Gráficas. Área de Matemáticas. Curso 2014/2015
Ejercicio nº 3 Representa gráficamente la parábola y x x localizando el vértice, algunos puntos próximos a él y los puntos de corte con los ejes. Vértice: b 3 x y a El vértice es V,. Puntos de corte con
Más detallesFUNCIONES LINEALES Y AFINES
www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES LINEALES Y AFINES. LA FUNCIÓN LINEAL = m El tren AVE lleva una velocidad media de 40 km/h. La siguiente tabla nos da el espacio que recorre en función
Más detalles9. Rectas e hipérbolas
08 SOLUCIONARIO 9. Rectas e hipérbolas Representa gráficamente las siguientes ecuaciones. Di cuáles son funciones y clasifícalas: 8. y =. FUNCIONES CONSTANTES LINEALES PIENSA CALCULA y = Halla mentalmente
Más detallesTEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA
Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA RELACIÓN ENTRE PUNTOS DEL PLANO EJERCICIO : Halla el punto medio del segmento de extremos P, y Q4,. Las coordenadas del punto medio,
Más detallesFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
UNIDAD 5 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, EPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Página. La distancia al suelo de una barquilla de la noria varía conforme ésta gira. Representamos gráficamente la función que da la altura
Más detallesClase 9 Sistemas de ecuaciones no lineales
Clase 9 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo, 2016 con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal, se llama
Más detallesEstudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas Observación: La mayoría de estos ejercicios se han propuesto en las pruebas de Selectividad, en los distintos distritos universitarios españoles El precio
Más detalles1. Sistemas lineales. Resolución gráfica
5 Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica Dado el sistema lineal formado por las ecuaciones del gráfico de la parte derecha: a) cuántas soluciones tiene? b) halla la solución o
Más detallesFunciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas
Funciones racionales, irracionales, eponenciales y logarítmicas. Funciones racionales Despeja y de la epresión y = 6. Qué tipo de función es? P I E N S A C A L C U L A 6 y = Es una función racional que
Más detallesCÁLCULO DE PRIMITIVAS Y ÁREAS POR INTEGRALES
CÁLCULO DE PRIMITIVAS Y ÁREAS POR INTEGRALES RELACIÓN DE PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD º DE BACHILLERATO CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS TERESA GONZÁLEZ GÓMEZ .-Hallar una primitiva
Más detallesAutor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
Ejercicio: 4. 4. El intervalo abierto (,) es el conjunto de los números reales que verifican: a). b) < . - Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales, a < < b. 4. El intervalo
Más detallesFunciones y gráficas. 3º de ESO
Funciones y gráficas 3º de ESO Funciones Una función es una correspondencia entre dos conjuntos numéricos que asocia a cada valor,, del primer conjunto un único valor, y, del segundo. La variable variable
Más detallesDEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder un único número real, f(x):
FUNCIONES ELEMENTALES 0. CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, Dom, le hace corresponder un único número real, f(): Lo denotamos por : f : Dom -----> R ----->
Más detalles1. NÚMEROS REALES. LOGARITMOS Y EXPONENCIALES. (Pendientes de Matemáticas I)
. NÚMEROS REALES. LOGARITMOS Y EXPONENCIALES. (Pendientes de ). Calcula las potencias: a) -, (-), (-) -, - - (/) -, (-/), -(-/) - - (/) - 0 ( ) d) e) 0 0 + + 8 [sol] a) ; 7 ; ( 7; ; 7 d) e) 0 7 7 7. Simplifica
Más detallesTipos de Funciones. 40 Ejercicios para practicar con soluciones. 1 Representa en los mismos ejes las siguientes funciones: 1 x
Tipos de Funciones. 40 Ejercicios para practicar con soluciones Representa en los mismos ejes las siguientes funciones: a) y = ; b) y = ; c) y = y= y= y= Representa las siguientes funciones: a) y = b)
Más detallesÁrea de Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas Funciones y Gráficas. Características.
Ejercicio nº 1 Considera la siguiente gráfica correspondiente a una función: a Cuál es su dominio de definición? b Tiene máximo y mínimo? En caso afirmativo, cuáles son? c En qué intervalos crece y en
Más detallesFunciones y Gráficas. Área de Matemáticas. Curso 2014/2015
Funciones y Gráficas. Área de Matemáticas. Curso 014/015 Ejercicio nº 1 Considera la siguiente gráfica correspondiente a una función: a Cuál es su dominio de definición? b Tiene máximo y mínimo? En caso
Más detallesLA RECTA. Recuerda: Ejercicios de autoaprendizaje 1. Sea la gráfica siguiente:
LA RECTA Recuerda: Una recta es una función de la forma y = mx + n, siendo m y n números reales m es la pendiente de la recta y n es la ordenada en el origen La ordenada en el origen nos indica el punto
Más detallesECUACIÓN DE LA RECTA. Dibujando los ejes de coordenadas y representando el punto vemos que está situado sobre el eje de abscisas.
ECUACIÓN DE LA RECTA. El punto (, 0) está situado: a) Sobre el eje de ordenadas. b) En el tercer cuadrante. c) Sobre el eje de abscisas. (Convocatoria junio 00. Examen tipo D) Dibujando los ejes de coordenadas
Más detallesTEMA: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. TIPOS DE FUNCIONES.
TEMA: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. TIPOS DE FUNCIONES. Definición: Una función es una relación entre dos variables x e y de manera que a cada valor de la variable x le corresponde un único valor
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
5 Pág. Página 5 PRACTICA Funciones cuadráticas Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores como esta, y di cuál es el vértice de cada parábola: y a) y = + b) y = c)
Más detallesTEMA 7. FUNCIONES ELEMENTALES
TEMA 7. FUNCIONES ELEMENTALES 8.1. Funciones cuya gráfica es una recta. - Función constante. - Función de proporcionalidad. - Función lineal. - Pendiente. 8.2. Función cuadrática. - Representación gráfica
Más detallesTema 10 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II 2º Bachillerato 1. ( x) 2x x. Hay dos puntos: (1, 2) y (1, 2)
Tema 0 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II º Bachillerato TEMA 0 APLICACIONES DE LA DERIVADA RECTA TANGENTE Escribe e 0 EJERCICIO : la ecuación de la recta tangente a la curva f en 0. Ordenada del
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 010 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva
Más detallesJUNIO 2010. Opción A. 1 1.- Dada la parábola y = 3 área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola.
Junio 00 (Prueba Específica) JUNIO 00 Opción A.- Dada la parábola y 3 área máima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola., y la recta y 9, hallar las dimensiones
Más detallesFunciones algebraicas
Funciones algebraicas Las funciones polinomiales tienen una gran aplicación en la elaboración de modelos que describen fenómenos reales. Algunos de ellos son: la concentración de una sustancia en un compuesto,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Más detallesLección 10: Representación gráfica de algunas expresiones algebraicas
LECCIÓN Lección : Representación gráfica de algunas epresiones algebraicas En la lección del curso anterior usted aprendió a representar puntos en el plano cartesiano y en la lección del mismo curso aprendió
Más detallesDERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Tangentes a una curva y f () 5 5 9 4 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(4). f'() 0; f'(9) ; f'(4) 4 Di otros
Más detalles1. Calcula la tasa de variación media de la función y = x 2 +x-3 en los intervalos: a) [- 1,0], b) [0,2], c) [2,3]. Sol: a) 0; b) 3; c) 6
ejerciciosyeamenes.com PROBLEMAS DE DERIVADAS 1. Calcula la tasa de variación media de la función +- en los intervalos: a) [- 1,0], b) [0,], c) [,]. Sol: a) 0; b) ; c) 6. Calcula la tasa de variación media
Más detallesLas superficies serán: Tapa y superficie lateral S 1 = ( x 2 +4xy ) cm 2 Superficie de la base: S 2 = x 2 cm 2
MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 8 cm. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta /cm y para la base
Más detallesLos números complejos
7 Los números complejos 1. Forma binómica del número complejo Piensa y calcula Halla mentalmente cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones en el conjunto de los números reales. a) x 2 25 = 0
Más detallesEjemplo Traza la gráfica de los puntos: ( 5, 4), (3, 2), ( 2, 0), ( 1, 3), (0, 4) y (5, 1) en el plano cartesiano.
Plano cartesiano El plano cartesiano se forma con dos rectas perpendiculares, cuyo punto de intersección se denomina origen. La recta horizontal recibe el nombre de eje X o eje de las abscisas y la recta
Más detallesEXAMEN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES
EXAMEN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES Se recomienda: a) Antes de hacer algo, lee todo el examen. b) Resuelve antes las preguntas que se te den mejor. c) Responde a cada parte del examen
Más detallesGEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA PROF. ANNA LUQUE
Ejercicios resueltos de la Recta 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y tiene un ángulo de inclinación de 135º. SOLUCION: Graficamos La ecuación de la recta se busca por medio
Más detalles1. Conocimientos previos. 1 Funciones exponenciales y logarítmicas.
. Conocimientos previos. Funciones exponenciales y logarítmicas.. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Intervalos y sus definiciones básicas.
Más detallesClase 9 Sistemas de ecuaciones no lineales
Clase 9 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo, 2013 Problemas resueltos Problema 4: Considere el sistema de ecuaciones x y = 3 (x 2) 2 +y = 1 Problemas resueltos
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 (Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 01 ['5 puntos] Un alambre de 10 metros de longitud se divide en dos trozos.
Más detallesTabla de Derivadas. Función Derivada Función Derivada. f (x) n+1. f (x) y = f (x) y = ln x. y = cotg f (x) y = ( 1 cotg 2 f (x)) f (x) = f (x)
Matemáticas aplicadas a las CCSS - Derivadas Tabla de Derivadas Función Derivada Función Derivada y k y 0 y y y y y f ) y f ) f ) y n y n n y f ) n y n f ) n f ) y y n y y f ) y n n+ y f ) n y f ) f )
Más detalles1. Sistemas lineales. Resolución gráfica
6 Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica Dado el sistema lineal formado por las ecuaciones del gráfico de la parte derecha: a) cuántas soluciones tiene? b) halla la solución o
Más detallesTEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES
Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI º Bachillerato TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIÓN EJERCICIO : Indica cuáles de las siguientes representaciones corresponden a la gráfica de una función.
Más detallesMatemática - FAZ 2015. Función exponencial
Función eponencial La función eponencial surge naturalmente cuando se estudian diversos fenómenos relacionados con el crecimiento decrecimiento de poblaciones humanas, con colonia de bacterias, con sustancias
Más detallesEJERCICIOS PROPUESTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS 1) En cada ejercicio hallar la ecuación de la circunferencia que cumple: 1) El radio es igual a 6 y las coordenadas de su centro son ( 1, 2). 2) Su centro es el origen de coordenadas
Más detallesAPLICACIONES DE LAS DERIVADAS
7 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Página 67 REFLEXIONA Y RESUELVE Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0
Más detallesP. A. U. LAS PALMAS 2005
P. A. U. LAS PALMAS 2005 OPCIÓN A: J U N I O 2005 1. Hallar el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 3 4x 2 + 5x 2 y la rectas y = 0, x = 1 y x = 3. x 3 4x 2 + 5x 2 es una función polinómica
Más detallesDERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Página 55 REFLEXIONA Y RESUELVE Tangentes a una curva y f ( 5 5 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(, f'( y f'(. f'( 0; f'( ; f'( Di otros tres puntos
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones CONCEPTOS ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones en las que aparece una o varias incógnitas. En
Más detallesO -2-1 1 2 X -1- -2- de coordenadas, y representamos los números sobre cada eje, eligiendo en ambos ejes la misma unidad, como muestra la figura.
MATEMÁTICA I Capítulo 1 GEOMETRÍA Plano coordenado Para identificar cada punto del plano con un par ordenado de números, trazamos dos rectas perpendiculares que llamaremos eje y eje y, que se cortan en
Más detallesFunciones polinómicas, racionales y exponenciales
008 _ 06-08.qd 9/7/08 9:07 Página 6 Funciones polinómicas, racionales eponenciales INTRODUCCIÓN Uno de los objetivos de esta unidad es que los alumnos aprendan a hallar la ecuación de una recta dados dos
Más detallesECUACIÓN DE LA RECTA
ECUCIÓN DE L RECT.- PRIMERO DE BCHILLERTO.- TEORÍ Y EJERCICIOS. Pág. ECUCIÓN DE L RECT Sistema de referencia. Es el conjunto formado por: Un punto O del plano llamado origen. Una base B {i, j } para los
Más detalles3. Funciones y gráficas
Componente: Procesos físicos. Funciones gráficas.1 Sistemas coordenados En la maoría de estudios es necesario efectuar medidas relacionadas con los factores que intervienen en un fenómeno. Los datos que
Más detallesFUNCIONES Y GRÁFICAS
FUNCIONES Y GRÁFICAS 1. DEPENDENCIA ENTRE MAGNITUDES Relaciones dadas por tablas En una clase de laboratorio un alumno ha medido la temperatura de un líquido según se calentaba. Los resultados del eperimento
Más detallesESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 1. Sea f : (0, + ) definida como f () = Ln a) Probar que la función derivada f es decreciente en todo su dominio. b) Determinar los intervalos de crecimiento
Más detallesx = 0, la recta tangente a la gráfica de f (x)
CÁLCULO DIFERENCIAL JUNIO 004 1. Sea la función e y = estúdiese su monotonía, etremos relativos y asíntotas. (Solución: Es derivable en todos los puntos ecepto en =0. Creciente si < 0. No tiene asíntotas
Más detallesOBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS
898 _ 09-08.qd /9/0 :0 Página 9 Funciones INTRODUCCIÓN Partiendo de la representación de los números enteros en la recta numérica, introducimos la representación de puntos en el plano mediante la asignación
Más detallesLA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES
LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES Página 6 REFLEXIONA Y RESUELVE Dos trenes Un Talgo y un tren de mercancías salen de la misma estación, por la misma vía y en idéntica dirección, uno tras otro, casi simultáneamente.
Más detallesUniversidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714)
Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714) UNIDAD N 1 (FUNCIONES) Profesora: Yulimar Matute Octubre 2011 Función Constante: Se
Más detallesAPUNTES DE FUNCIONES PARA 4º ESO
APUNTES DE FUNCIONES PARA 4º ESO - DEFINICIÓN: Una función es una relación entre dos magnitudes, X e Y, de forma que a cada valor de la magnitud X corresponde un único valor y de la magnitud Y. : variable
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Una ecuación como 2x + 3y = 7 es una ecuación de primer grado con dos incógnitas. Es de primer grado porque las letras
Más detallesLOGARITMOS. log. Práctica. 1. log 64 4 = 1/3. 2. log 13 13 = 1. 3. log 1/3 27 = -3 1. 4 3 = 64 2. 8-2 = 1/64 3. 25 1/2 = 5. 1. log 8 8 = 2.
Preparado por: Prof. Eveln Dávila LOGARITMOS DEFIICIO DE LOGARITMOS a = a = Propiedades de los arítmos: 1 1 0 1, 0, a 0 n n Ejemplos 1. = si =. 1/9 = - si - = 1/9. 10 1000 = si 10 = 1000 4. = 1 si 1 =.
Más detallesFunciones constantes, lineales y afines 1.
Funciones constantes, lineales y afines 1. 1.- Rectas horizontales y verticales. Ej.1.- A continuación tienes la gráfica de la recta y = 0. Qué puntos de corte tiene con los ejes? Qué posición tiene respecto
Más detallesTipos de funciones. Clasificación de funciones. Funciones algebraicas
Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,
Más detallesEjercicios de números reales
Ejercicios de números reales Ejercicio nº.- Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales o reales:,7 7 7 Ejercicio nº.- Considera los siguientes números: 9,000000..., 8,... Clasifícalos
Más detallesEXAMEN DE MATEMATICAS II 2ª ENSAYO (1) Apellidos: Nombre:
EXAMEN DE MATEMATICAS II ª ENSAYO () Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: CURSO 05 Instrucciones: a) Duración: HORA y 0 MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de
Más detalles3Soluciones a los ejercicios y problemas
Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 0 Pág. P RACTICA Números reales a) Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: ; ;, ) 9 7;,; ; ; π b) Alguno de ellos es entero? c) Ordénalos
Más detallesEs el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.
UNIDAD IV: LA PARABOLA. 4.1. Caracterización geométrica. 4.1.1. La parábola como lugar geométrico. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta
Más detallesAplicaciones de la derivada.
Aplicaciones de la derivada. (Máimos y mínimos) MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS Entre los valores q puede tener una unción ( ), puede haber uno que sea el más grande y otro que sea el más pequeño. A estos
Más detalles5Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 116
Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 6 Pág. P RACTICA Funciones lineales Asocia a cada función su ecuación. Di, en cada caso, cuál es su pendiente. a) y + = 0 b) y = c) y = 6 d) y = b) y = 6
Más detalles( ) ( ) ( )( ) b) Multiplicamos ambos miembros por : Resuelve las ecuaciones: + = + + = + = x 2x + = Solución:
Resuelve las ecuaciones: a) + 6 + 1 b) 15 + + 1 1 a) 6 + 1 Elevamos ambos miembros al cuadrado: 6 1 9 1 18 8 0 9 0 + + + + 9 ± 81 9 ± 9 9 ± 7 1 16 Comprobamos las posibles soluciones sobre la ecuación:
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO
GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO 1 UNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano 1. ÍNDICE 1. Sistemas de referencia y coordenadas puntuales 2. Distancia entre dos puntos del plano 3. Coordenadas del
Más detallesFunciones lineales y no lineales (páginas 560 563)
A NOMRE FECHA PERÍODO Funciones lineales y no lineales (páginas 560 563) Las funciones lineales tienen gráficas que son líneas rectas. Estas gráficas representan tasas de cambio constantes. Las funciones
Más detallesOBJETIVO 1 CONOCER LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA NOMBRE: CURSO: FECHA:
OBJETIVO CONOCER LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA NOMBRE: CURSO: FECHA: FUNCIÓN LINEAL Una función de proporcionalidad directa o función lineal se expresa de la forma: y = m? x, siendo m un número
Más detallesVeamos sus vectores de posición: que es la ecuación vectorial de la recta:
T.5: ECUACIONES DE LA RECTA 5.1 Ecuación vectorial de la recta Una recta queda determinada si se conoce un vector que lleve su dirección (de entre todos los vectores proporcionales), llamado vector director,
Más detallesUNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano
UNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano 1. ÍNDICE 1. Sistemas de referencia y coordenadas puntuales 2. Distancia entre dos puntos del plano 3. Coordenadas del punto medio de un segmento 4. La
Más detallesMateria: Matemática de 5to Tema: La Hipérbola. Marco Teórico
Materia: Matemática de 5to Tema: La Hipérbola Marco Teórico Las Hipérbolas son las relaciones que tienen dos asíntotas. Al graficar funciones racionales que a menudo producen una hipérbola. En este concepto,
Más detallesAnexo 1 ÁLGEBRA I.- Operaciones en las Expresiones Algebraicas II.- Factorización y Operaciones con las Fracciones III.- Funciones y Relaciones
Anexo 1 ÁLGEBRA I.- Operaciones en las Expresiones Algebraicas 1.- Adición y sustracción 2.- Multiplicación 3.- División 4.- Productos especiales 5.- Triángulo de Pascal II.- Factorización y Operaciones
Más detallesGuía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA
Fuente: PreUniversitario Pedro de Valdivia Guía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado es una ecuación susceptible de llevar a la forma a + b + c = 0,
Más detalles2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Introducción
2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Introducción El presente curso trata sobre álgebra lineal. Al buscarla palabra lineal en un diccionario se encuentra, entre otras definiciones la siguiente: lineal, perteneciente
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
Pág. Página 58 PRACTICA Funciones cuadráticas Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valo- y res como esta, y di cuál es el vértice de cada parábola: a) y = + b) y = c)
Más detalles= y. Así pues, el domino lo forman los números x para los cuales existe el valor de f (x)
UAH Actualización de Conocimientos de Matemáticas para Tema 6 Funciones Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, una función de A en B es una relación (una ley) que asigna a cada elemento de A uno
Más detalles1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3.- FUNCIONES ELEMENTALES
1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3.- FUNCIONES ELEMENTALES 1 1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Concepto de función. Una función es una forma de hacerle corresponder a un valor x un único
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS GEOMETRÍA
PROBLEMAS RESUELTOS GEOMETRÍA ) Uno de los vértices de un paralelogramo ABCD es el punto A(, ) y dos de los lados están sobre las rectas r : 3x -y- =, s : 6x -7y- =. Calcula los demás vértices. Como el
Más detalles