Ecuaciones de segundo grado
|
|
- Bernardo Poblete Aguilar
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Ecuaciones de segundo grado José de Jesús Angel Angel MathCon c
2 Contenido. La ecuación cuadrática. La ecuación x d.. Resúmen de la ecuación x d Gráficas de la ecuación x d La ecuación (mx) d 7.. Resúmen de la ecuación (mx) d Gráficas de la ecuación (mx) d La ecuación ax + bx.. Resúmen de la ecuación ax + bx Gráficas de la ecuación ax + bx Trinomios cuadrados perfectos.. Gráficas de trinomios cuadrados perfectos Completando el Trinomios cuadrados perfectos 7 7. La fórmula general 0
3 La ecuación cuadrática Definición La ecuación de la forma ax + bx + c se llama ecuación cuadrática. La cantidad = b ac se llama el discriminante de la ecuación La ecuación ax + bx + c, se suele llamar también ecuación de segundo grado o ecuación parabólica, ya que la gráfica que describe es una parábola. Definición Un número x 0 tal que al sustituirlo en la ecuación es cero ax 0+bx 0 +c = 0 se llama raíz o cero de la ecuación cuadrática Estudiaremos aquí diferentes forma de ecuaciones de segundo grado, tratando de encontrar sus raíces y su discriminante. Las formas de ecuaciones que estudiaremos son:. x d. (mx) d. ax + bx. Trinomios cuadrados perfectos.. Completar el trinomio cuadrado perfecto.. La forma general.
4 La ecuación x d La ecuación de la forma (mx) d es una diferencia de cuadrados, por lo que se aplica la fórmula (mx) d = (mx + d)(mx d). Ejemplos: Ejem. x, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: x = (x + )(x ). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x + )(x ) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son x =, x =, ya que al sustituir (x + )(x ) = 0 y (x + )(x ) = 0 se cumplen las igualdades. x = = x = 0 ()()( ) = Ejem. x, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: x = (x + )(x ). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x + )(x ) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son x =, x =, ya que al sustituir (x + )(x ) = 0 y (x + )(x ) = 0 se cumplen las igualdades.
5 . La ecuación x d x = = x = 0 ()()( ) = Ejem. x 9, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: x 9 = (x + )(x ). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x + )(x ) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son x =, x =, ya que al sustituir (x + )(x ) = 0 y (x + )(x ) = 0 se cumplen las igualdades. x = = x = 0 ()()( 9) = Ejem. x, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: x = (x + )(x ). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x+)(x ) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son x =, x =, ya que al sustituir (x+)(x ) = 0 y (x +)(x ) = 0 se cumplen las igualdades. x = = x = 0 ()()( ) =
6 .. Resúmen de la ecuación x d Ejem. x, esta ecuación se puede factorizar como sigue: x = (x+)(x ). Se deduce que las raíces son x =, x =, ya que al sustituir (x + )(x ) = 0 y (x + )(x ) = 0 se cumplen las igualdades. x = = x = 0 ()()( ) = 00.. Resúmen de la ecuación x d Para el caso especial de las parábolas de la forma x d de acuerdo a los ejemplos anteriores podemos resumir lo siguiente: Ecuación Raíz Raíz Discriminante x x x 9 x x x d d d d En general podemos concluir que la ecuación de la forma x d tendrá como raíces a d y d y su discriminate será (d ).
7 .. Gráficas de la ecuación x d.. Gráficas de la ecuación x d y x y x x x y x 9 y x x 9 x Ejercicios propuestos:. Encontrar las raíces, el discriminante, y la gráfica de las siguientes ecuaciones: a) x b) x c) x 9 d) x e) x 8 f ) x 00. Qué sucede con las ecuaciones de la forma x + d?. Hacer el mismo análisis y comprobar que tienen las mismas raíces d, d, el discriminante es mismo d. Pero la gráfica ahora abre hacia abajo.
8 La ecuación (mx) d La ecuación de la forma (mx) d es una diferencia de cuadrados, por lo que se aplica la fórmula (mx) d = (mx + d)(mx d). Ejem. x, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: x = (x + )(x ). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x + )(x ) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son (x + ) = 0 x =, (x ) = 0 x =, ya que al sustituir (x + )(x ) = 0 y (x + )(x ) = 0 se cumplen las igualdades. x = x = = 0 ()()( ) = Ejem. x, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados también: x = (x + )(x ). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x + )(x ) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son (x + ) = 0 x =, (x ) = 0 x =, ya que al sustituir (x + )(x ) = 0 y (x + )(x ) = 0 se cumplen las igualdades.
9 . La ecuación (mx) d 8 x = x = = 0 ()()( ) = Ejem. x 9, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados también: x = (x + )(x ). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x + )(x ) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son (x + ) = 0 x =, (x ) = 0 x =, ya que al sustituir (x + )(x ) = 0 y (x + )(x ) = 0 se cumplen las igualdades. x = x = = 0 ()()( 9) = Ejem. 9x, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: 9x = (x + )(x ). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x + )(x ) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son (x + ) = 0 x =, (x ) = 0 x =, ya que al sustituir (x + )(x ) = 0 y (x + )(x ) = 0 se cumplen las igualdades. x = x =
10 . La ecuación (mx) d 9 = 0 ()(9)( ) = Ejem. 9x, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: 9x = (x + )(x ). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x + )(x ) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son (x + ) = 0 x =, (x ) = 0 x =, ya que al sustituir (x + )(x ) = 0 y (x + )(x ) = 0 se cumplen las igualdades. x = x = = 0 ()(9)( ) = Ejem. 9x 9, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: 9x 9 = (x + 9)(x 9). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x + )(x ) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son (x + ) = 0 x =, (x ) = 0 x =, ya que al sustituir (x + )(x ) = 0 y (x + )(x ) = 0 se cumplen las igualdades. x = x = = 0 ()(9)( 9) =
11 .. Resúmen de la ecuación (mx) d 0.. Resúmen de la ecuación (mx) d Para el caso especial de las parábolas de la forma (mx) d de acuerdo a los ejemplos anteriores podemos resumir lo siguiente, de hecho las raíces se derivan de la factorización (mx + d)(mx d) y el discriminante del cálculo ( )(m )( d ) = m d. Ecuación Raíz Raíz Discriminante (x) (x) (x) 9 (x) (x) (x) 9. (mx) d. d m. d m. m d
12 .. Gráficas de la ecuación (mx) d.. Gráficas de la ecuación (mx) d y x y x y x 9 x x x 9 y 9 x y 9 x y 9 x 9 9x 9x 9x 9 Ejercicios propuestos:. Encontrar las raíces, el discriminante, y la gráfica de las siguientes ecuaciones: a) x 9 b) 9x 9 c) x. Qué sucede con las ecuaciones de la forma (mx) +d?. Hacer el mismo análisis y comprobar que tienen las mismas raíces d m, d m, el discriminante es mismo m d. Pero la gráfica ahora abre hacia abajo.
13 La ecuación ax + bx La ecuación de la forma ax + bx por la factorización x(ax + b), siempre tiene la raíz el cero y la otra raíz es b a. Ejem. x +x, esta ecuación se puede factorizar como sigue: x +x = x(x+). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad x(x+) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son x = 0, x =. x = 0 = x = = Ejem. x + x, esta ecuación se puede factorizar como sigue: x + x = x(x + ). Se deduce que las raíces son x = 0, x =. x = 0 = x
14 .. Resúmen de la ecuación ax + bx = = Ejem. x + x, esta ecuación se puede factorizar como sigue: x + x = x(x + ). Se deduce que las raíces son x = 0, x =. x = 0 x = = =.. Resúmen de la ecuación ax + bx Para el caso especial de las parábolas de la forma ax + bx, siempre tiene la raíz cero, y la otra raíz es b a que se deriva de la factorización ax + bx = x(ax + b) y el discriminante es b. Ecuación Raíz Raíz Discriminante x + x 0 x + x 0 x + x ax + bx 0 b a b
15 .. Gráficas de la ecuación ax + bx.. Gráficas de la ecuación ax + bx y x x y x x y x x x + x x + x x + x
16 Trinomios cuadrados perfectos Una ecuación de segundo grado ax + bx + c es un trinomio cuadrado perfecto si es posible factorizarlo como el cuadrado de una suma, es decir si ax +bx+c = (mx+n). Desarrollando el binomio (mx + n) = (mx) + mxn + n, entonces la ecuación cuadrática es un trinomio cuadrado perfecto si b = c a. Si a =, entonces la expresión x + bx + c será un trinomio cuadrado perfecto si b = c, y (x + bx + c) = (x ± c). El signo se elige de acuerdo al signo de b. Ejemplos: Ejem. Sea x + x +, en este caso a =, entonces será trinomio cuadrado perfecto si b = c, como c = y =. Ya que b =, sí es un TCP, y x + x + = (x + ). Ejem. Sea x + x + 9, en este caso a =, entonces será trinomio cuadrado perfecto si b = c, como c = 9 y 9 =. Ya que b =, sí es un TCP, y x + x + 9 = (x + ). Ejem. Sea x + 8x +, en este caso a =, entonces será trinomio cuadrado perfecto si b = c, como c = y =. Ya que b =, sí es un TCP, y x + 8x + = (x + ). Ejem. Sea x + 0x +, en este caso a =, entonces será trinomio cuadrado perfecto si b = c, como c = y =. Ya que b =, sí es un TCP, y x + 0x + = (x + ). Ejem. Sea x + x +, en este caso a =, entonces será trinomio cuadrado perfecto si b = c, como c = y =. Ya que b =, sí es un TCP, y x + x + = (x + ).
17 .. Gráficas de trinomios cuadrados perfectos Ejem. Sea x 0x +, en este caso a =, entonces será trinomio cuadrado perfecto si b = c, como c = y =. Ya que b =, sí es un TCP, y x 0x + = (x ). Como un TCP siempre se reduce a una expresión (x ± d), entonces las dos raíces son siempre iguales y son x 0 = d... Gráficas de trinomios cuadrados perfectos y x x y x x 9 y x 8 x x + x + x + x + 9 x + 8x y x 0 x x + 0x y x x x + x y x 0 x x 0x +
18 Completando el Trinomios cuadrados perfectos En algunos casos se puede encontrar las raíces de una ecuación cuadrática vía un trinomio cuadrado perfecto (TCP). El completar un binomio a un trinomio cuadrado perfecto se deriva de la siguiente idea: Si (a+b) = a +ab+b, y por otro lado tenemos a un binomio m +nm, entonces decimos que acompletamos el binomio m +nm a un trinomio cuadrado perfecto sumando y restando un d de tal manera que tenga la forma a + ab + b, para esto hacemos m = a, entonces b = n, por lo tanto para obtener un TCP en m + nm basta sumar y restar ( n ), así m + nm + ( n ) ( n ) = (m + n ) ( n ) Para encontrar las raíces de la última igualdad se procede como sigue: (m + n ) ( n ) = 0 (m + n ) = ( n ) (m + n ) = ±n m = ± n n De donde las raíces son m 0 = 0 y m = n, en el caso de tener una expresión del tipo m + nm + d, entonces se separa el binomio m + nm, y al final se considera a d para obtener las raíces como se hace en los ejemplos, y siguientes.
19 . Completando el Trinomios cuadrados perfectos 8 Ejemplos: Ejemplo La ecuación x + x puede resolverse también acompletando el cuadrado de la siguiente manera:. Completando el cuadrado x + x +. Factorizando (x + ). Igualando a cero (x + ) = 0. despejando a x: y x x (x + ) = 0 (x + ) = x + = ± x = ± Por lo tanto las raíces son: x 0 = 0, y x =. 7 Ejemplo La ecuación x + x + se resuelve acompletando el cuadrado de la siguiente manera:. Completando el cuadrado (x + x + ) +. Factorizando (x + ). Igualando a cero (x + ) = 0. despejando a x: y x x (x + ) = 0 (x + ) = x + = ± x = ± Por lo tanto las raíces son: x 0 =, y x =. 7
20 . Completando el Trinomios cuadrados perfectos 9 Ejemplo La ecuación x +x 7 puede resolverse acompletando el cuadrado de la siguiente manera:. Completando el cuadrado (x + x + 9) 9 7. Factorizando (x + ) 0. Igualando a cero (x + ) = 0. despejando a x: (x + ) = 0 (x + ) = x + = ± x = ± Por lo tanto las raíces son: x 0 =, y x = y x x 7 Ejemplo La ecuación x +0x+9 se resuelve acompletando el cuadrado de la siguiente manera:. Completando el cuadrado (x + 0x + ) + 9. Factorizando (x + ). Igualando a cero (x + ) = 0. despejando a x: (x + ) = 0 (x + ) = x + = ± x = ± Por lo tanto las raíces son: x 0 =, y x = y x 0 x 9
21 7 La fórmula general Existe una fórmula general para encontrar las raíces de una ecuación de segundo grado ax + bx + c, esta fórmula puede aplicarse siempre a los casos anteriores. Las raíces de una ecuación cuadrática son x 0, = b ± b ac a y = b ac, se llama discriminante de la ecuación. A partir del discriminate, podemos clasificar a las parábolas de la siguiente manera: Caso Si > 0, entonces la ecuación tiene dos raíces reales diferentes. La gráfica de la parábola atraviesa el eje x en dos puntos diferentes. Caso Si = 0, entonces la ecuación tiene dos raíces reales iguales. La gráfica de la parábola toca un solo punto del eje x. Caso Si < 0, entonces la ecuación tiene dos raíces complejas (imaginarias) diferentes. La gráfica de la parábola no atraviesa el eje x.
22 7. La fórmula general Ejemplos: Ejemplo La ecuación x +x puede resolverse por la fórmula general de la siguiente manera:. Calculado el discriminate = b ac = ()( ) = + 8 = 9. Por lo tanto la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes.. x 0 = b + 9 a. x = b 9 a = + = = =. Las raíces son: x 0 =, y x =. y x x 8 7 Ejemplo La ecuación x x + puede resolverse por la fórmula general de la siguiente manera:. Calculado el discriminate = b ac = ( ) ()() = 0 =. Por lo tanto la ecuación no tiene soluciones reales.. La gráfica de la ecuación no pasa por el eje x y x x 7 Ejemplo La ecuación x + x + 9 puede resolverse por la fórmula general de la siguiente manera:. Calculado el discriminate = b ac = ()(9) = 0. Por lo tanto la ecuación tiene dos soluciones reales iguales.. x 0 = b a = =. x = b a = =. Las raíces son: x 0 =, y x = y x x 9 7
Solución de ecuaciones de segundo grado completando el trinomio cuadrado perfecto
Solución de ecuaciones de segundo grado completando el trinomio cuadrado perfecto Cuando no es posible factorizar la ecuación, se completa el trinomio cuadrado perfecto con la única finalidad de poder
Más detallesNotas del curso de Introducción a los métodos cuantitativos
Ecuación de segundo grado Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma, ax + bx + c = 0 en la que el coeficiente a debe ser diferente de cero. Sabemos que una ecuación es una
Más detallesEcuaciones. 3º de ESO
Ecuaciones 3º de ESO El signo igual El signo igual se utiliza en: Igualdades numéricas: 2 + 3 = 5 Identidades algebraicas: (x + 4) x = x 2 + 4 4x Fórmulas: El área, A,, de un círculo de radio r es: A =
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones CONCEPTOS ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones en las que aparece una o varias incógnitas. En
Más detallesVOCABULARIO HABILIDADES Y CONCEPTOS
REPASO_RECUPERACION_III_PERIODO_MATEMATICAS_9.doc 1 DE 7 Nombre: Fecha: VOCABULARIO A. Valor absoluto de un número complejo B. Eje de simetría C. Completar el cuadrado D. Número complejo E. Plano de números
Más detallesEcuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización
Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Arecibo Polinomios de grado 2 Una ecuación cuadrática es una ecuación
Más detallesPolinomios. 1.- Funciones cuadráticas
Polinomios 1.- Funciones cuadráticas Definición 1 (Función polinomial) Sea n un entero no negativo y sean a n, a n 1,..., a, a 1, a 0 número s reales con a n 0. La función se denomina función polinomial
Más detalles3. POLINOMIOS, ECUACIONES E INECUACIONES
3. POLINOMIOS, ECUACIONES E INECUACIONES 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.1.- POLINOMIOS FACTORIZACIÓN. REGLA DE RUFFINI Un polinomio con indeterminada x es una expresión de la forma: Los números
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES
Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES 1. Determinar si cada una de las siguientes igualdades es una ecuación o una identidad:
Más detallesInecuaciones y Ecuación cuadrática
Inecuaciones Desigualdades Inecuaciones y Ecuación cuadrática Llamaremos desigualdades a expresiones de la forma a > b, a < b, a b ó a b. Las desigualdades cumplen con las siguientes propiedades: Propiedad
Más detallesEcuaciones de segundo grado
Ecuaciones de segundo grado 11 de noviembre 009 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita método de solución, formula general e incompletas Algebra Ecuaciones de segundo grado con una incógnita Las
Más detallesCurso de Matemática. Unidad 2. Operaciones Elementales II: Potenciación. Profesora: Sofía Fuhrman. Definición
Curso de Matemática Unidad 2 Profesora: Sofía Fuhrman Operaciones Elementales II: Potenciación Definición a n = a. a.a a multiplicado por sí mismo n veces. a) Regla de los signos Exponente Par Exponente
Más detallesUniversidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714)
Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714) UNIDAD N 1 (FUNCIONES) Profesora: Yulimar Matute Octubre 2011 Función Constante: Se
Más detallesx= 1± 1 24 = 1±5 = 6 0 = 6 18 18 = 1 3 x= 7± 49 60 = 7± 11 10
1.- Ecuaciones de segundo grado. Resolver las siguientes ecuaciones. a) 5x 2 45 = 0, despejando x 2 = 9, y despejando x (3 y 3 son los únicos números que al elevarlo al cuadrado dan 9) obtengo que x1 =
Más detallesEjercicio 1: Realiza las siguientes divisiones por el método tradicional y por Ruffini: a)
Tema 2: Ecuaciones, Sistemas e Inecuaciones. 2.1 División de polinomios. Regla de Ruffini. Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma y/o resta de varios monomios. Terminología: o Grado del polinomio:
Más detallesINSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA
INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA CASOS DE FACTORIZACIÓN El futuro tiene muchos nombres. Para los débiles es lo inalcanzable. Para los temerosos, lo desconocido.
Más detallesECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
ECUACIONES ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 1.- IGUALDADES Y ECUACIONES Las expresiones compuestas de dos miembros enlazados por el signo = se llaman igualdades, y ponen de manifiesto
Más detallesCENTRO DE BACHILLERATO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
CENTRO DE BACHILLERATO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Al concluir la unidad, el alumno conocerá y aplicará las propiedades relacionadas con el lugar geométrico llamado circunferencia, determinando los distintos
Más detallesLICEO MARTA DONOSO ESPEJO
LICEO MARTA DONOSO ESPEJO PRODUCTOS NOTABLES Se llaman productos notables aquellos resultados de la multiplicación que tienen características especiales, como veremos a continuación: PRODUCTOS NOTABLES:
Más detallesECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
Resúmenes de Matemáticas para la E.S.O. ECUACIONES ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 1.- IGUALDADES Y ECUACIONES Las expresiones compuestas de dos miembros enlazados por el signo = se
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Método Gráfico
Método Gráfico El último método que estudiaremos es el más sencillo. Se trata de considerar a la ecuación como una máquina que transforma los números. Para eso, crearemos una función. Función (Definición
Más detalles1. Línea Recta 2. 2. Rectas constantes 3 2.1. Rectas horizontales... 3 2.2. Rectas verticales... 4
Líneas Rectas Contenido. Línea Recta. Rectas constantes.. Rectas horizontales.............................. Rectas verticales.............................. Rectas con ecuación y = ax.. Rectas con a > 0................................
Más detallesLa función cuadrática
La función cuadrática En primer semestre estudiamos las ecuaciones cuadráticas. También resolvimos estas ecuaciones por el método gráfico. Para esto, tuvimos que convertir la ecuación en una función igualándola
Más detallesax 2 +bx+c=0 ax 2 +bx=0 ax 2 +c=0 ax 2 =0 SESIÓN 2. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado.
SESIÓN. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado. Comenzamos con la definición de ecuación de segundo grado. Ejemplos: 3y-y = 3x -48= Son ejemplos de ecuaciones de segundo grado, pues el mayor exponente
Más detallesREPASO_RECUPERACION_III_PERIODO_MATEMATICAS_9_ DE 6
REPASO_RECUPERACION_III_PERIODO_MATEMATICAS_9_2016 1 DE 6 Nombre: Fecha: REPASO_RECUPERACION_III_PERIODO_MATEMATICAS_9_2016 2 DE 6 REPASO_RECUPERACION_III_PERIODO_MATEMATICAS_9_2016 3 DE 6 VOCABULARIO
Más detallesInecuaciones en dos variables
Inecuaciones en dos variables Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numéricas o algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad,,,. Inecuaciones de primer grado
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS PARÁBOLA DEFINICIÓN DE PARÁBOLA
Facultad de Contaduría Administración. UNAM Parábola Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa MATEMÁTICAS BÁSICAS PARÁBOLA DEFINICIÓN DE PARÁBOLA La parábola se define como el lugar geométrico de los puntos
Más detallesDivisión de Polinomios. Ejercicios de división de polinomios. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx
División de Polinomios Ejercicios de división de polinomios www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2008 Contenido 1. Introducción 2 2. División de monomios 3 3. División
Más detallesFUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS
FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS Representemos, en función de la longitud de la base (x), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro 1 metros. De ellos, cuáles son las medidas
Más detalles3.2 DIVIDIR UN POLINOMIO POR x a. REGLA DE RUFFINI
TEMA 3 ÁLGEBRA MATEMÁTICAS CCSSI 1º BACH 1 TEMA 3 ÁLGEBRA 3.1 DIVISIÓN DE POLINOMIOS COCIENTE DE MONOMIOS El cociente de un monomio por otro monomio de grado inferior es un nuevo monomio cuyo grado es
Más detallesFunciones y Ecuaciones Cuadráticas
Funciones y Ecuaciones Cuadráticas Solución de ecuaciones de Segundo Grado completando el trinomio cuadrado perfecto Cuando no es posible factorizar a la ecuación, se procede a completar el trinomio cuadrado
Más detallesPolinomios Primero que todo vamos a definirlos como aquella expresión algebraica de la forma: P(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 +...
Polinomios Primero que todo vamos a definirlos como aquella expresión algebraica de la forma: P(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 +... + a 1 x 1 + a 0 Siendo a n, a n -1... a 1, a o números,
Más detallesEcuaciones de segundo grado
Ecuaciones de segundo grado Contenidos 1. Expresiones algebraicas Identidad y ecuación Solución de una ecuación. Ecuaciones de primer grado Definición Método de resolución Resolución de problemas 3. Ecuaciones
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.
Sistemas de Ecuaciones Lineales Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2008 Contenido 1. Sistemas de Ecuaciones Lineales 2
Más detallesProductos Notables. Ejercicios de productos y cocientes notables. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx
Productos Notables Ejercicios de productos y cocientes notables www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2008 Contenido 1. Introducción 2 2. El cuadrado de una suma (a
Más detallesClase 9 Sistemas de ecuaciones no lineales
Clase 9 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo, 2016 con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal, se llama
Más detallesDesarrollo Algebraico
Capítulo 4 Desarrollo Algebraico E n el presente capítulo aprenderás técnicas para simplificar expresiones algebraicas, reduciendo la mayor cantidad de términos de cada expresión para lograr una apariencia
Más detalles2.4. Números complejos
2.4 Números complejos 95 83 Relaciones temperatura-latitud a tabla siguiente contiene promedios de temperaturas anuales para los hemisferios norte y sur a varias latitudes. atitud Hemisf. N. Hemisf. S.
Más detallesPAIEP. Factorización de Expresiones algebraicas
Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Factorización de Expresiones algebraicas Factorizar una expresión algebraica consiste en reescribir la expresión
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES. Juan Jesús Pascual. Inecuaciones
MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES Juan Jesús Pascual Inecuaciones Índice ejercicios resueltos A. Inecuaciones lineales con una incógnita B. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita
Más detallesPRODUCTOS NOTABLES. Definición: son aquellos productos cuyo desarrollo se conocen fácilmente por simple observación. Y son:
PRODUCTOS NOTABLES Definición: son aquellos productos cuyo desarrollo se conocen fácilmente por simple observación. Y son: Cuadrado de la suma de dos cantidades Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
Más detallesProyecciones. Producto escalar de vectores. Aplicaciones
Proyecciones La proyección de un punto A sobre una recta r es el punto B donde la recta perpendicular a r que pasa por A corta a la recta r. Con un dibujo se entiende muy bien. La proyección de un segmento
Más detallesGuía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA
Fuente: PreUniversitario Pedro de Valdivia Guía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado es una ecuación susceptible de llevar a la forma a + b + c = 0,
Más detallesMétodo de fórmula general
Método de fórmula general Ahora vamos a utilizar el método infalible. La siguiente fórmula, que llamaremos «fórmula general» nos ayudará a resolver cualquier ecuación cuadrática. Fórmula General La fórmula
Más detallesPOLINOMIOS. Matemática Intermedia Profesora Mónica Castro
POLINOMIOS Matemática Intermedia Profesora Mónica Castro Objetivos Definir y repasar los conceptos básicos de polinomios. Discutir los distintos métodos de factorización de polinomios. Establecer distintas
Más detallesEcuaciones de primer y segundo grado
Ecuaciones de primer y segundo grado Las ecuaciones de primer y segundo grado es una ecuación porque es una igualdad entre expresiones algebraicas. Ecuaciones de primer grado con una incógnita Ejemplo
Más detallesTEMA 1: Funciones elementales
MATEMATICAS TEMA 1 CURSO 014/15 TEMA 1: Funciones elementales 8.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN: Una función es una ley que asigna a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro. Con esto una función hace
Más detallesUNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA
C u r s o : Matemática Material N 6 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado es una ecuación de la forma, o que
Más detallesECUACIONES E INECUACIONES.
CAPÍTULO 3 ECUACIONES E INECUACIONES www.mathspace.jimdo.com mathspace.jimdo@gmail.com 3.1. ECUACIONES Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable,
Más detalles5. Producto de dos binomios de la forma: ( ax + c)( bx d )
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN. Productos Notables: Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre dos o más polinomios que poseen características especiales o expresiones particulares,
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Método de despeje
Método de despeje Cuando tenemos una ecuación cuadrática incompleta es muy buena idea hacer un despeje para resolverla. Este método es el más sencillo para este tipo de ecuaciones. Resuelve la siguiente
Más detallesax 3 -bx 2 = x 2 (ax-b) 2b 5 -b 3 = b 3 (2b 2-1)
CPU Calle Mercado # 555 Teléfono 3 366191 FACTORIZACIÓN Caso I: Factor Común Cómo Reconocer: Existe un factor común en todos los términos. Los números pueden factorizarse en este caso si existe máximo
Más detallesECUACIONES POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA
Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones ECUACIONES POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA Las ecuaciones polinómicas son aquellas equivalentes a una ecuación cuyo primer
Más detallesUNIDAD V LA PARÁBOLA
UNIDAD LA PARÁBOLA OBJETIO PARTICULAR Al concluir la unidad, el alumno identificará y aplicará las propiedades relacionadas con el lugar geométrico llamado parábola, determinando los distintos parámetros,
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Productos notables
Productos notables Cuando realizamos operaciones entre polinomios con el fin de resolver problemas, es muy frecuente encontrar algunas operaciones que por su naturaleza, aparecen en muchos fenómenos. Debido
Más detallesTIPOS DE FUNCIONES. Ing. Caribay Godoy Rangel
TIPOS DE FUNCIONES Repasar los conceptos de dominio, rango, gráfica, elementos esenciales y transformaciones de las funciones: lineal, cuadrática, racional, trigonométrica, exponencial y logarítmica. FUNCIONES
Más detallesECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO
ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO CONTENIDO 1. Definición de cónica y cono de revolución. Determinación de las cónicas por medio de sus coeficientes.1 Determinación del tipo de curva considerando los coeficientes
Más detallesEs el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.
UNIDAD IV: LA PARABOLA. 4.1. Caracterización geométrica. 4.1.1. La parábola como lugar geométrico. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta
Más detallesLección 2.3. Ecuaciones y Desigualdades Cuadráticas. 02/16/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 23
Lección.3 Ecuaciones y Desigualdades Cuadráticas 0/16/017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 3 Capítulo o Actividades.3 Sección 1.5 Ecuaciones Cuadráticas y Aplicaciones. Realice los ejercicios impares
Más detallesClase N 09. Algebra y ecuaciones de primer grado I I
Pre-universitario Manuel Guerrero Ceballos Clase N 09 Algebra y ecuaciones de primer grado I I Resumen de la clase anterior Álgebra Ecuación de primer grado definiciones operaciones ecuación numérica ecuación
Más detallesCapítulo 2. Desigualdades y valor absoluto
Capítulo Desigualdades valor absoluto 1 Desigualdades valor absoluto Valor absoluto El valor absoluto de un número real es su distancia al cero Puesto que un número real puede ser positivo, negativo o
Más detallesExpresiones algebraicas
Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es una combinación de letras y números relacionadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las
Más detalles1. Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Para factorizar polinomios hay varios métodos:. Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva
Más detallesUNIDAD 2 ÁLGEBRA. Definiciones, Operaciones algebraicas, MCM, MCD. Dr. Daniel Tapia Sánchez
UNIDAD 2 ÁLGEBRA Definiciones, Operaciones algebraicas, MCM, MCD Dr. Daniel Tapia Sánchez El Álgebra En esta unidad aprenderás a: Sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas. Reconocer
Más detallesGrado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.5: Aplicaciones de la derivada. Máximos y mínimos (absolutos) de una función. Sea f una función definida en un conjunto I que contiene un punto
Más detallesTEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE
TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE PROBLEMAS RESUELTOS + Dada F() =, escriba la ecuación de la secante a F que une los puntos (, F( )) y 4 (, F()). Eiste un punto c en el intervalo [, ]
Más detallesEcuaciones Ecuación cuadrática Ejercicios resueltos. x 2 8x + 15 = 0. x = 8 ± 4 2
Ecuaciones Ecuación cuadrática Ejercicios resueltos 1. Resolver la ecuación: ( 3)( + 4) = 1( ) ( 3)( + 4) = 1( ) + 5 1 = 1 4 8 + 15 = 0 coeficientes de la ec. cuadrática: a = 1, b = 8, c = 15 Discriminante
Más detallesTRANSFORMACIONES DE f (x) = x 2 9.1.1 9.1.2. Ejemplo 1
Capítulo 9 TRANSFORMACIONES DE f () = 2 9.1.1 9.1.2 A fin de lograr un buen dominio de la modelación de datos relaciones en situaciones cotidianas, los alumnos deben ser capaces de reconocer transformar
Más detallesLos puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y=o), si los hubiese, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática.
Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y=o), si los hubiese, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática. Una ecuación de segundo grado, ecuación cuadrática o resolvente es una
Más detalles1º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5-2. 3º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5 -2-2 -2 (-5) 1-5 0+[-2 (-5)] 4º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5-2-2 10-20 1-5 10-15. 2º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5
1. OPERACIONES BÁSICAS Monomio: Producto de números y letras. Ej: 3x²y a) Suma: Se pueden sumar los que tengan las mismas letras elevadas a los mismos exponentes. Ej: 3x²y xy + 4x²y = 7x² xy b) Producto:
Más detallesINTEGRALES DE LA FORMA k dx
Integrales de la forma ( + + ) ax bx c V INTEGRALES DE LA FORMA k ( ax + bx + c), con k ± 1, - Las nueve fórmulas estudiadas en el capítulo anterior son las que habrán de utilizarse en este tema. Simplemente
Más detallesAntes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos:
1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. 1 Ecuaciones. 1. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Repasar las operaciones básicas con números reales. Repasar
Más detallesUNIDAD III CONTENIDO TEMÁTICO FACTORIZACIÓN
UNIDAD III CONTENIDO TEMÁTICO FACTORIZACIÓN I.S.C. Alejandro de Fuentes Martínez ESQUEMA--RESUMEN RESUMEN DE LA UNIDAD III Concepto de Factorización. Máximo común divisor Casos de factorización Factorización
Más detallesFunciones algebraicas
Funciones algebraicas Las funciones polinomiales tienen una gran aplicación en la elaboración de modelos que describen fenómenos reales. Algunos de ellos son: la concentración de una sustancia en un compuesto,
Más detallesFACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Y DE TRINOMIOS DE SEGUNDO GRADO
FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Y DE TRINOMIOS DE SEGUNDO GRADO Factorización de un trinomio cuadrado perfecto Un trinomio cuadrado perfecto es una expresión algebraica de la forma a 2 +2ab+b
Más detallesPOLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Definición de monomio. Expresión algebraica formada por el producto de un número finito de constantes y variables con exponente natural. Al producto de las constantes
Más detallesRecordar las principales operaciones con expresiones algebraicas.
Capítulo 1 Álgebra Objetivos Recordar las principales operaciones con expresiones algebraicas. 1.1. Números Los números naturales se denotarán por N y están constituidos por 0, 1, 2, 3... Con estos números
Más detallesPRODUCTO NOTABLE. Producto Notable
PRODUCTO NOTABLE Producto Notable Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir: Un trinomio
Más detallesClase 4 Función cuadrática
Clase 4 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo de 2016 Definición Una relación de la forma f(x) = ax 2 + bx+c, donde a 0 y b, c R, se llama función cuadrática.
Más detallesLección 6: Factorización de Casos Especiales. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009
Lección 6: Factorización de Casos Especiales Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Identificarán polinomios que representan una Diferencia de
Más detallesEcuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas fórmula cuadrática y casos especiales
Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas fórmula cuadrática y casos especiales Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Arecibo Ecuación cuadrática en forma general Una ecuación
Más detallesUNIDAD II FUNCIONES. Ing. Ronny Altuve Esp.
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda Administración Mención Gerencia y Mercadeo UNIDAD II FUNCIONES Ing. Ronny Altuve Esp. Ciudad Ojeda, Septiembre de 2015 Función Universidad
Más detallesLas actividades que se mandan son de factorización. Tienes hasta el día viernes a las 2 de la tarde para enviar tus actividades resueltas
TRABAJO 3 TURNO MATUTINO PARA LOS GRUPOS A, B, C Y D DE MATEMÁTICAS DEL TERCER GRADO PROFESOR: IGNACIO GUZMÁN ARTEAGA TRABAJO PARA LOS DÍAS DEL 23 AL 27 DE OCTUBRE. Las actividades que se mandan son de
Más detallesClase 3 Funciones lineal y cuadrática
Clase 3 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo de 2014 Función lineal Definición Una relación de la forma f(x) = mx+n, donde m, n R, se llama función lineal
Más detallesDERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD
DERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o El teorema de Lagrange dice que: f(3)
Más detallesCada función polinomial genera distintas gráficas en el plano cartesiano. Hay casos especiales de la función polinomial general.
UNIDAD I. FUNCIONES Y RELACIONES.5. Funciones algebraicas: Polinomiales. Las expresiones algebraicas pueden clasificarse en monomios, binomios, trinomios y polinomios. Monomios. Expresiones de un término.
Más detallesTEMARIO EXAMEN MATEMÁTICA SÉPTIMO AÑO BÁSICO 2012 3 DE DICIEMBRE
SÉPTIMO AÑO BÁSICO 2012 NÚMEROS Ejercicios combinados con enteros, con y sin paréntesis. Solución de problemas con enteros Solución de problemas, aplicando proporción directa e inversa. Propiedades de
Más detallesNúmeros complejos (lista de problemas para examen)
Números complejos (lista de problemas para examen) En esta lista de problemas trabajamos con la construcción de números complejos (como pares ordenados de los reales) y con su representación en la forma
Más detallesExpresiones algebraicas y ecuaciones. Qué es una expresión algebraica? Valor numérico de una expresión algebraica. Algebra
Expresiones algebraicas y ecuaciones Melilla Qué es una expresión algebraica? Los padres de Iván le han encargado que vaya al mercado a comprar 4 kg de naranjas y 5 kg de manzanas. Pero no saben lo que
Más detallesECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS página 87
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS página 87 página 88 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA 5 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 5. CONCEPTOS Y DEFINICIONES La palabra ecuación viene del latín, de aequatus, participio pasivo
Más detallesECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES. Matemáticas 3º eso
ECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES Matemáticas 3º eso Identidades y ecuaciones Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que aparecen números y letras llamadas incógnitas ligados por operaciones.
Más detallesVIII. CIRCUNFERENCIA
VIII. IRUNFERENI 8.. L IRUNFERENI OMO LUGR GEOMÉTRIO Definición: Una circunferencia es el lugar geométrico de un punto ( ) P, cualquiera, que se mueve sobre el plano, de tal manera que su distancia a un
Más detallesDESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
6. 1 UNIDAD 6 DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los que apliques la factorización de polinomios cuyos términos tienen coeficientes
Más detalles5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES
EJERCICIOS PROPUESTOS 5.1 Divide los siguientes monomios. a) 54x 5 9x 2 b) 63x 12 3x 5 c) 35xy 6 7y 3 d) 121x 2 y 6 11yx 4 a) 54x 5 9x 2 5 5 4x 2 5 4 x 5 9x 9 x 2 6x 3 c) 35xy 6 7y 3 3 6 5xy 3 3 5 x y
Más detallesOperatoria con Expresiones Algebraicas
PreUnAB Clase # 5 Julio 2014 Expresiones Algebraicas Definición Se llama expresión algebraica a un conjunto de valores constantes (2. 3, 7, etc) y valores variables (x, a, y, etc), relacionados entre sí
Más detallesPRÁCTICO: : POLINOMIOS
Página: 1 APUNTE TEÓRICO-PRÁCTICO PRÁCTICO: : POLINOMIOS UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Razonamiento y Resolución de Problemas Carreras: Lic. en Economía, Lic. en Administración, Lic. en
Más detallesSe llama factores o divisores, a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí, dan como producto la primera expresión.
FACTORIZACION Se llama factores o divisores, a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí, dan como producto la primera expresión. Al proceso de encontrar los factores o divisores a partir
Más detallesClase. Función cuadrática y ecuación de segundo grado
Clase Función cuadrática y ecuación de segundo grado Aprendizajes esperados Aplicar los conceptos matemáticos asociados al estudio de la función cuadrática. Graficar una función cuadrática, determinando
Más detalles5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES
EJERCICIOS PARA ENTRENARSE División y regla de Ruffini 5.26 Realiza estas divisiones. a) (12x 2 yz 6xy 3 8xyz 2 ) (2xy) b) (15x 4 3x 3 9x 2 ) (3x 2 ) c) (5a 3 b 2 10ab 2 15a 3 b 4 ) (5ab 2 ) a) (12x 2
Más detallesEcuaciones de primer grado
Ecuaciones de primer grado º ESO - º ESO Definición, elementos y solución de la ecuación de primer grado Una ecuación de primer grado es una igualdad del tipo a b donde a y b son números reales conocidos,
Más detalles