Ecuaciones de segundo grado

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Ecuaciones de segundo grado www.math.com.mx"

Transcripción

1 Ecuaciones de segundo grado José de Jesús Angel Angel MathCon c

2 Contenido. La ecuación cuadrática. La ecuación x d.. Resúmen de la ecuación x d Gráficas de la ecuación x d La ecuación (mx) d 7.. Resúmen de la ecuación (mx) d Gráficas de la ecuación (mx) d La ecuación ax + bx.. Resúmen de la ecuación ax + bx Gráficas de la ecuación ax + bx Trinomios cuadrados perfectos.. Gráficas de trinomios cuadrados perfectos Completando el Trinomios cuadrados perfectos 7 7. La fórmula general 0

3 La ecuación cuadrática Definición La ecuación de la forma ax + bx + c se llama ecuación cuadrática. La cantidad = b ac se llama el discriminante de la ecuación La ecuación ax + bx + c, se suele llamar también ecuación de segundo grado o ecuación parabólica, ya que la gráfica que describe es una parábola. Definición Un número x 0 tal que al sustituirlo en la ecuación es cero ax 0+bx 0 +c = 0 se llama raíz o cero de la ecuación cuadrática Estudiaremos aquí diferentes forma de ecuaciones de segundo grado, tratando de encontrar sus raíces y su discriminante. Las formas de ecuaciones que estudiaremos son:. x d. (mx) d. ax + bx. Trinomios cuadrados perfectos.. Completar el trinomio cuadrado perfecto.. La forma general.

4 La ecuación x d La ecuación de la forma (mx) d es una diferencia de cuadrados, por lo que se aplica la fórmula (mx) d = (mx + d)(mx d). Ejemplos: Ejem. x, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: x = (x + )(x ). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x + )(x ) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son x =, x =, ya que al sustituir (x + )(x ) = 0 y (x + )(x ) = 0 se cumplen las igualdades. x = = x = 0 ()()( ) = Ejem. x, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: x = (x + )(x ). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x + )(x ) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son x =, x =, ya que al sustituir (x + )(x ) = 0 y (x + )(x ) = 0 se cumplen las igualdades.

5 . La ecuación x d x = = x = 0 ()()( ) = Ejem. x 9, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: x 9 = (x + )(x ). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x + )(x ) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son x =, x =, ya que al sustituir (x + )(x ) = 0 y (x + )(x ) = 0 se cumplen las igualdades. x = = x = 0 ()()( 9) = Ejem. x, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: x = (x + )(x ). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x+)(x ) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son x =, x =, ya que al sustituir (x+)(x ) = 0 y (x +)(x ) = 0 se cumplen las igualdades. x = = x = 0 ()()( ) =

6 .. Resúmen de la ecuación x d Ejem. x, esta ecuación se puede factorizar como sigue: x = (x+)(x ). Se deduce que las raíces son x =, x =, ya que al sustituir (x + )(x ) = 0 y (x + )(x ) = 0 se cumplen las igualdades. x = = x = 0 ()()( ) = 00.. Resúmen de la ecuación x d Para el caso especial de las parábolas de la forma x d de acuerdo a los ejemplos anteriores podemos resumir lo siguiente: Ecuación Raíz Raíz Discriminante x x x 9 x x x d d d d En general podemos concluir que la ecuación de la forma x d tendrá como raíces a d y d y su discriminate será (d ).

7 .. Gráficas de la ecuación x d.. Gráficas de la ecuación x d y x y x x x y x 9 y x x 9 x Ejercicios propuestos:. Encontrar las raíces, el discriminante, y la gráfica de las siguientes ecuaciones: a) x b) x c) x 9 d) x e) x 8 f ) x 00. Qué sucede con las ecuaciones de la forma x + d?. Hacer el mismo análisis y comprobar que tienen las mismas raíces d, d, el discriminante es mismo d. Pero la gráfica ahora abre hacia abajo.

8 La ecuación (mx) d La ecuación de la forma (mx) d es una diferencia de cuadrados, por lo que se aplica la fórmula (mx) d = (mx + d)(mx d). Ejem. x, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: x = (x + )(x ). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x + )(x ) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son (x + ) = 0 x =, (x ) = 0 x =, ya que al sustituir (x + )(x ) = 0 y (x + )(x ) = 0 se cumplen las igualdades. x = x = = 0 ()()( ) = Ejem. x, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados también: x = (x + )(x ). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x + )(x ) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son (x + ) = 0 x =, (x ) = 0 x =, ya que al sustituir (x + )(x ) = 0 y (x + )(x ) = 0 se cumplen las igualdades.

9 . La ecuación (mx) d 8 x = x = = 0 ()()( ) = Ejem. x 9, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados también: x = (x + )(x ). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x + )(x ) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son (x + ) = 0 x =, (x ) = 0 x =, ya que al sustituir (x + )(x ) = 0 y (x + )(x ) = 0 se cumplen las igualdades. x = x = = 0 ()()( 9) = Ejem. 9x, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: 9x = (x + )(x ). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x + )(x ) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son (x + ) = 0 x =, (x ) = 0 x =, ya que al sustituir (x + )(x ) = 0 y (x + )(x ) = 0 se cumplen las igualdades. x = x =

10 . La ecuación (mx) d 9 = 0 ()(9)( ) = Ejem. 9x, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: 9x = (x + )(x ). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x + )(x ) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son (x + ) = 0 x =, (x ) = 0 x =, ya que al sustituir (x + )(x ) = 0 y (x + )(x ) = 0 se cumplen las igualdades. x = x = = 0 ()(9)( ) = Ejem. 9x 9, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: 9x 9 = (x + 9)(x 9). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x + )(x ) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son (x + ) = 0 x =, (x ) = 0 x =, ya que al sustituir (x + )(x ) = 0 y (x + )(x ) = 0 se cumplen las igualdades. x = x = = 0 ()(9)( 9) =

11 .. Resúmen de la ecuación (mx) d 0.. Resúmen de la ecuación (mx) d Para el caso especial de las parábolas de la forma (mx) d de acuerdo a los ejemplos anteriores podemos resumir lo siguiente, de hecho las raíces se derivan de la factorización (mx + d)(mx d) y el discriminante del cálculo ( )(m )( d ) = m d. Ecuación Raíz Raíz Discriminante (x) (x) (x) 9 (x) (x) (x) 9. (mx) d. d m. d m. m d

12 .. Gráficas de la ecuación (mx) d.. Gráficas de la ecuación (mx) d y x y x y x 9 x x x 9 y 9 x y 9 x y 9 x 9 9x 9x 9x 9 Ejercicios propuestos:. Encontrar las raíces, el discriminante, y la gráfica de las siguientes ecuaciones: a) x 9 b) 9x 9 c) x. Qué sucede con las ecuaciones de la forma (mx) +d?. Hacer el mismo análisis y comprobar que tienen las mismas raíces d m, d m, el discriminante es mismo m d. Pero la gráfica ahora abre hacia abajo.

13 La ecuación ax + bx La ecuación de la forma ax + bx por la factorización x(ax + b), siempre tiene la raíz el cero y la otra raíz es b a. Ejem. x +x, esta ecuación se puede factorizar como sigue: x +x = x(x+). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad x(x+) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son x = 0, x =. x = 0 = x = = Ejem. x + x, esta ecuación se puede factorizar como sigue: x + x = x(x + ). Se deduce que las raíces son x = 0, x =. x = 0 = x

14 .. Resúmen de la ecuación ax + bx = = Ejem. x + x, esta ecuación se puede factorizar como sigue: x + x = x(x + ). Se deduce que las raíces son x = 0, x =. x = 0 x = = =.. Resúmen de la ecuación ax + bx Para el caso especial de las parábolas de la forma ax + bx, siempre tiene la raíz cero, y la otra raíz es b a que se deriva de la factorización ax + bx = x(ax + b) y el discriminante es b. Ecuación Raíz Raíz Discriminante x + x 0 x + x 0 x + x ax + bx 0 b a b

15 .. Gráficas de la ecuación ax + bx.. Gráficas de la ecuación ax + bx y x x y x x y x x x + x x + x x + x

16 Trinomios cuadrados perfectos Una ecuación de segundo grado ax + bx + c es un trinomio cuadrado perfecto si es posible factorizarlo como el cuadrado de una suma, es decir si ax +bx+c = (mx+n). Desarrollando el binomio (mx + n) = (mx) + mxn + n, entonces la ecuación cuadrática es un trinomio cuadrado perfecto si b = c a. Si a =, entonces la expresión x + bx + c será un trinomio cuadrado perfecto si b = c, y (x + bx + c) = (x ± c). El signo se elige de acuerdo al signo de b. Ejemplos: Ejem. Sea x + x +, en este caso a =, entonces será trinomio cuadrado perfecto si b = c, como c = y =. Ya que b =, sí es un TCP, y x + x + = (x + ). Ejem. Sea x + x + 9, en este caso a =, entonces será trinomio cuadrado perfecto si b = c, como c = 9 y 9 =. Ya que b =, sí es un TCP, y x + x + 9 = (x + ). Ejem. Sea x + 8x +, en este caso a =, entonces será trinomio cuadrado perfecto si b = c, como c = y =. Ya que b =, sí es un TCP, y x + 8x + = (x + ). Ejem. Sea x + 0x +, en este caso a =, entonces será trinomio cuadrado perfecto si b = c, como c = y =. Ya que b =, sí es un TCP, y x + 0x + = (x + ). Ejem. Sea x + x +, en este caso a =, entonces será trinomio cuadrado perfecto si b = c, como c = y =. Ya que b =, sí es un TCP, y x + x + = (x + ).

17 .. Gráficas de trinomios cuadrados perfectos Ejem. Sea x 0x +, en este caso a =, entonces será trinomio cuadrado perfecto si b = c, como c = y =. Ya que b =, sí es un TCP, y x 0x + = (x ). Como un TCP siempre se reduce a una expresión (x ± d), entonces las dos raíces son siempre iguales y son x 0 = d... Gráficas de trinomios cuadrados perfectos y x x y x x 9 y x 8 x x + x + x + x + 9 x + 8x y x 0 x x + 0x y x x x + x y x 0 x x 0x +

18 Completando el Trinomios cuadrados perfectos En algunos casos se puede encontrar las raíces de una ecuación cuadrática vía un trinomio cuadrado perfecto (TCP). El completar un binomio a un trinomio cuadrado perfecto se deriva de la siguiente idea: Si (a+b) = a +ab+b, y por otro lado tenemos a un binomio m +nm, entonces decimos que acompletamos el binomio m +nm a un trinomio cuadrado perfecto sumando y restando un d de tal manera que tenga la forma a + ab + b, para esto hacemos m = a, entonces b = n, por lo tanto para obtener un TCP en m + nm basta sumar y restar ( n ), así m + nm + ( n ) ( n ) = (m + n ) ( n ) Para encontrar las raíces de la última igualdad se procede como sigue: (m + n ) ( n ) = 0 (m + n ) = ( n ) (m + n ) = ±n m = ± n n De donde las raíces son m 0 = 0 y m = n, en el caso de tener una expresión del tipo m + nm + d, entonces se separa el binomio m + nm, y al final se considera a d para obtener las raíces como se hace en los ejemplos, y siguientes.

19 . Completando el Trinomios cuadrados perfectos 8 Ejemplos: Ejemplo La ecuación x + x puede resolverse también acompletando el cuadrado de la siguiente manera:. Completando el cuadrado x + x +. Factorizando (x + ). Igualando a cero (x + ) = 0. despejando a x: y x x (x + ) = 0 (x + ) = x + = ± x = ± Por lo tanto las raíces son: x 0 = 0, y x =. 7 Ejemplo La ecuación x + x + se resuelve acompletando el cuadrado de la siguiente manera:. Completando el cuadrado (x + x + ) +. Factorizando (x + ). Igualando a cero (x + ) = 0. despejando a x: y x x (x + ) = 0 (x + ) = x + = ± x = ± Por lo tanto las raíces son: x 0 =, y x =. 7

20 . Completando el Trinomios cuadrados perfectos 9 Ejemplo La ecuación x +x 7 puede resolverse acompletando el cuadrado de la siguiente manera:. Completando el cuadrado (x + x + 9) 9 7. Factorizando (x + ) 0. Igualando a cero (x + ) = 0. despejando a x: (x + ) = 0 (x + ) = x + = ± x = ± Por lo tanto las raíces son: x 0 =, y x = y x x 7 Ejemplo La ecuación x +0x+9 se resuelve acompletando el cuadrado de la siguiente manera:. Completando el cuadrado (x + 0x + ) + 9. Factorizando (x + ). Igualando a cero (x + ) = 0. despejando a x: (x + ) = 0 (x + ) = x + = ± x = ± Por lo tanto las raíces son: x 0 =, y x = y x 0 x 9

21 7 La fórmula general Existe una fórmula general para encontrar las raíces de una ecuación de segundo grado ax + bx + c, esta fórmula puede aplicarse siempre a los casos anteriores. Las raíces de una ecuación cuadrática son x 0, = b ± b ac a y = b ac, se llama discriminante de la ecuación. A partir del discriminate, podemos clasificar a las parábolas de la siguiente manera: Caso Si > 0, entonces la ecuación tiene dos raíces reales diferentes. La gráfica de la parábola atraviesa el eje x en dos puntos diferentes. Caso Si = 0, entonces la ecuación tiene dos raíces reales iguales. La gráfica de la parábola toca un solo punto del eje x. Caso Si < 0, entonces la ecuación tiene dos raíces complejas (imaginarias) diferentes. La gráfica de la parábola no atraviesa el eje x.

22 7. La fórmula general Ejemplos: Ejemplo La ecuación x +x puede resolverse por la fórmula general de la siguiente manera:. Calculado el discriminate = b ac = ()( ) = + 8 = 9. Por lo tanto la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes.. x 0 = b + 9 a. x = b 9 a = + = = =. Las raíces son: x 0 =, y x =. y x x 8 7 Ejemplo La ecuación x x + puede resolverse por la fórmula general de la siguiente manera:. Calculado el discriminate = b ac = ( ) ()() = 0 =. Por lo tanto la ecuación no tiene soluciones reales.. La gráfica de la ecuación no pasa por el eje x y x x 7 Ejemplo La ecuación x + x + 9 puede resolverse por la fórmula general de la siguiente manera:. Calculado el discriminate = b ac = ()(9) = 0. Por lo tanto la ecuación tiene dos soluciones reales iguales.. x 0 = b a = =. x = b a = =. Las raíces son: x 0 =, y x = y x x 9 7

Solución de ecuaciones de segundo grado completando el trinomio cuadrado perfecto

Solución de ecuaciones de segundo grado completando el trinomio cuadrado perfecto Solución de ecuaciones de segundo grado completando el trinomio cuadrado perfecto Cuando no es posible factorizar la ecuación, se completa el trinomio cuadrado perfecto con la única finalidad de poder

Más detalles

Notas del curso de Introducción a los métodos cuantitativos

Notas del curso de Introducción a los métodos cuantitativos Ecuación de segundo grado Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma, ax + bx + c = 0 en la que el coeficiente a debe ser diferente de cero. Sabemos que una ecuación es una

Más detalles

Ecuaciones. 3º de ESO

Ecuaciones. 3º de ESO Ecuaciones 3º de ESO El signo igual El signo igual se utiliza en: Igualdades numéricas: 2 + 3 = 5 Identidades algebraicas: (x + 4) x = x 2 + 4 4x Fórmulas: El área, A,, de un círculo de radio r es: A =

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones CONCEPTOS ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones en las que aparece una o varias incógnitas. En

Más detalles

VOCABULARIO HABILIDADES Y CONCEPTOS

VOCABULARIO HABILIDADES Y CONCEPTOS REPASO_RECUPERACION_III_PERIODO_MATEMATICAS_9.doc 1 DE 7 Nombre: Fecha: VOCABULARIO A. Valor absoluto de un número complejo B. Eje de simetría C. Completar el cuadrado D. Número complejo E. Plano de números

Más detalles

Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización

Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Arecibo Polinomios de grado 2 Una ecuación cuadrática es una ecuación

Más detalles

Polinomios. 1.- Funciones cuadráticas

Polinomios. 1.- Funciones cuadráticas Polinomios 1.- Funciones cuadráticas Definición 1 (Función polinomial) Sea n un entero no negativo y sean a n, a n 1,..., a, a 1, a 0 número s reales con a n 0. La función se denomina función polinomial

Más detalles

3. POLINOMIOS, ECUACIONES E INECUACIONES

3. POLINOMIOS, ECUACIONES E INECUACIONES 3. POLINOMIOS, ECUACIONES E INECUACIONES 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.1.- POLINOMIOS FACTORIZACIÓN. REGLA DE RUFFINI Un polinomio con indeterminada x es una expresión de la forma: Los números

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES 1. Determinar si cada una de las siguientes igualdades es una ecuación o una identidad:

Más detalles

Inecuaciones y Ecuación cuadrática

Inecuaciones y Ecuación cuadrática Inecuaciones Desigualdades Inecuaciones y Ecuación cuadrática Llamaremos desigualdades a expresiones de la forma a > b, a < b, a b ó a b. Las desigualdades cumplen con las siguientes propiedades: Propiedad

Más detalles

Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado Ecuaciones de segundo grado 11 de noviembre 009 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita método de solución, formula general e incompletas Algebra Ecuaciones de segundo grado con una incógnita Las

Más detalles

Curso de Matemática. Unidad 2. Operaciones Elementales II: Potenciación. Profesora: Sofía Fuhrman. Definición

Curso de Matemática. Unidad 2. Operaciones Elementales II: Potenciación. Profesora: Sofía Fuhrman. Definición Curso de Matemática Unidad 2 Profesora: Sofía Fuhrman Operaciones Elementales II: Potenciación Definición a n = a. a.a a multiplicado por sí mismo n veces. a) Regla de los signos Exponente Par Exponente

Más detalles

Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714)

Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714) Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714) UNIDAD N 1 (FUNCIONES) Profesora: Yulimar Matute Octubre 2011 Función Constante: Se

Más detalles

x= 1± 1 24 = 1±5 = 6 0 = 6 18 18 = 1 3 x= 7± 49 60 = 7± 11 10

x= 1± 1 24 = 1±5 = 6 0 = 6 18 18 = 1 3 x= 7± 49 60 = 7± 11 10 1.- Ecuaciones de segundo grado. Resolver las siguientes ecuaciones. a) 5x 2 45 = 0, despejando x 2 = 9, y despejando x (3 y 3 son los únicos números que al elevarlo al cuadrado dan 9) obtengo que x1 =

Más detalles

Ejercicio 1: Realiza las siguientes divisiones por el método tradicional y por Ruffini: a)

Ejercicio 1: Realiza las siguientes divisiones por el método tradicional y por Ruffini: a) Tema 2: Ecuaciones, Sistemas e Inecuaciones. 2.1 División de polinomios. Regla de Ruffini. Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma y/o resta de varios monomios. Terminología: o Grado del polinomio:

Más detalles

INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA CASOS DE FACTORIZACIÓN El futuro tiene muchos nombres. Para los débiles es lo inalcanzable. Para los temerosos, lo desconocido.

Más detalles

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO ECUACIONES ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 1.- IGUALDADES Y ECUACIONES Las expresiones compuestas de dos miembros enlazados por el signo = se llaman igualdades, y ponen de manifiesto

Más detalles

CENTRO DE BACHILLERATO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

CENTRO DE BACHILLERATO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS CENTRO DE BACHILLERATO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Al concluir la unidad, el alumno conocerá y aplicará las propiedades relacionadas con el lugar geométrico llamado circunferencia, determinando los distintos

Más detalles

LICEO MARTA DONOSO ESPEJO

LICEO MARTA DONOSO ESPEJO LICEO MARTA DONOSO ESPEJO PRODUCTOS NOTABLES Se llaman productos notables aquellos resultados de la multiplicación que tienen características especiales, como veremos a continuación: PRODUCTOS NOTABLES:

Más detalles

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO Resúmenes de Matemáticas para la E.S.O. ECUACIONES ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 1.- IGUALDADES Y ECUACIONES Las expresiones compuestas de dos miembros enlazados por el signo = se

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Método Gráfico

Profr. Efraín Soto Apolinar. Método Gráfico Método Gráfico El último método que estudiaremos es el más sencillo. Se trata de considerar a la ecuación como una máquina que transforma los números. Para eso, crearemos una función. Función (Definición

Más detalles

1. Línea Recta 2. 2. Rectas constantes 3 2.1. Rectas horizontales... 3 2.2. Rectas verticales... 4

1. Línea Recta 2. 2. Rectas constantes 3 2.1. Rectas horizontales... 3 2.2. Rectas verticales... 4 Líneas Rectas Contenido. Línea Recta. Rectas constantes.. Rectas horizontales.............................. Rectas verticales.............................. Rectas con ecuación y = ax.. Rectas con a > 0................................

Más detalles

La función cuadrática

La función cuadrática La función cuadrática En primer semestre estudiamos las ecuaciones cuadráticas. También resolvimos estas ecuaciones por el método gráfico. Para esto, tuvimos que convertir la ecuación en una función igualándola

Más detalles

ax 2 +bx+c=0 ax 2 +bx=0 ax 2 +c=0 ax 2 =0 SESIÓN 2. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado.

ax 2 +bx+c=0 ax 2 +bx=0 ax 2 +c=0 ax 2 =0 SESIÓN 2. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado. SESIÓN. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado. Comenzamos con la definición de ecuación de segundo grado. Ejemplos: 3y-y = 3x -48= Son ejemplos de ecuaciones de segundo grado, pues el mayor exponente

Más detalles

REPASO_RECUPERACION_III_PERIODO_MATEMATICAS_9_ DE 6

REPASO_RECUPERACION_III_PERIODO_MATEMATICAS_9_ DE 6 REPASO_RECUPERACION_III_PERIODO_MATEMATICAS_9_2016 1 DE 6 Nombre: Fecha: REPASO_RECUPERACION_III_PERIODO_MATEMATICAS_9_2016 2 DE 6 REPASO_RECUPERACION_III_PERIODO_MATEMATICAS_9_2016 3 DE 6 VOCABULARIO

Más detalles

Inecuaciones en dos variables

Inecuaciones en dos variables Inecuaciones en dos variables Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numéricas o algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad,,,. Inecuaciones de primer grado

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS PARÁBOLA DEFINICIÓN DE PARÁBOLA

MATEMÁTICAS BÁSICAS PARÁBOLA DEFINICIÓN DE PARÁBOLA Facultad de Contaduría Administración. UNAM Parábola Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa MATEMÁTICAS BÁSICAS PARÁBOLA DEFINICIÓN DE PARÁBOLA La parábola se define como el lugar geométrico de los puntos

Más detalles

División de Polinomios. Ejercicios de división de polinomios. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx

División de Polinomios. Ejercicios de división de polinomios. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx División de Polinomios Ejercicios de división de polinomios www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2008 Contenido 1. Introducción 2 2. División de monomios 3 3. División

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS

FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS Representemos, en función de la longitud de la base (x), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro 1 metros. De ellos, cuáles son las medidas

Más detalles

3.2 DIVIDIR UN POLINOMIO POR x a. REGLA DE RUFFINI

3.2 DIVIDIR UN POLINOMIO POR x a. REGLA DE RUFFINI TEMA 3 ÁLGEBRA MATEMÁTICAS CCSSI 1º BACH 1 TEMA 3 ÁLGEBRA 3.1 DIVISIÓN DE POLINOMIOS COCIENTE DE MONOMIOS El cociente de un monomio por otro monomio de grado inferior es un nuevo monomio cuyo grado es

Más detalles

Funciones y Ecuaciones Cuadráticas

Funciones y Ecuaciones Cuadráticas Funciones y Ecuaciones Cuadráticas Solución de ecuaciones de Segundo Grado completando el trinomio cuadrado perfecto Cuando no es posible factorizar a la ecuación, se procede a completar el trinomio cuadrado

Más detalles

Polinomios Primero que todo vamos a definirlos como aquella expresión algebraica de la forma: P(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 +...

Polinomios Primero que todo vamos a definirlos como aquella expresión algebraica de la forma: P(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 +... Polinomios Primero que todo vamos a definirlos como aquella expresión algebraica de la forma: P(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 +... + a 1 x 1 + a 0 Siendo a n, a n -1... a 1, a o números,

Más detalles

Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado Ecuaciones de segundo grado Contenidos 1. Expresiones algebraicas Identidad y ecuación Solución de una ecuación. Ecuaciones de primer grado Definición Método de resolución Resolución de problemas 3. Ecuaciones

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.

Sistemas de Ecuaciones Lineales. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com. Sistemas de Ecuaciones Lineales Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2008 Contenido 1. Sistemas de Ecuaciones Lineales 2

Más detalles

Productos Notables. Ejercicios de productos y cocientes notables. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx

Productos Notables. Ejercicios de productos y cocientes notables. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx Productos Notables Ejercicios de productos y cocientes notables www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2008 Contenido 1. Introducción 2 2. El cuadrado de una suma (a

Más detalles

Clase 9 Sistemas de ecuaciones no lineales

Clase 9 Sistemas de ecuaciones no lineales Clase 9 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo, 2016 con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal, se llama

Más detalles

Desarrollo Algebraico

Desarrollo Algebraico Capítulo 4 Desarrollo Algebraico E n el presente capítulo aprenderás técnicas para simplificar expresiones algebraicas, reduciendo la mayor cantidad de términos de cada expresión para lograr una apariencia

Más detalles

2.4. Números complejos

2.4. Números complejos 2.4 Números complejos 95 83 Relaciones temperatura-latitud a tabla siguiente contiene promedios de temperaturas anuales para los hemisferios norte y sur a varias latitudes. atitud Hemisf. N. Hemisf. S.

Más detalles

PAIEP. Factorización de Expresiones algebraicas

PAIEP. Factorización de Expresiones algebraicas Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Factorización de Expresiones algebraicas Factorizar una expresión algebraica consiste en reescribir la expresión

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES. Juan Jesús Pascual. Inecuaciones

EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES. Juan Jesús Pascual. Inecuaciones MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES Juan Jesús Pascual Inecuaciones Índice ejercicios resueltos A. Inecuaciones lineales con una incógnita B. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita

Más detalles

PRODUCTOS NOTABLES. Definición: son aquellos productos cuyo desarrollo se conocen fácilmente por simple observación. Y son:

PRODUCTOS NOTABLES. Definición: son aquellos productos cuyo desarrollo se conocen fácilmente por simple observación. Y son: PRODUCTOS NOTABLES Definición: son aquellos productos cuyo desarrollo se conocen fácilmente por simple observación. Y son: Cuadrado de la suma de dos cantidades Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

Más detalles

Proyecciones. Producto escalar de vectores. Aplicaciones

Proyecciones. Producto escalar de vectores. Aplicaciones Proyecciones La proyección de un punto A sobre una recta r es el punto B donde la recta perpendicular a r que pasa por A corta a la recta r. Con un dibujo se entiende muy bien. La proyección de un segmento

Más detalles

Guía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA

Guía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Fuente: PreUniversitario Pedro de Valdivia Guía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado es una ecuación susceptible de llevar a la forma a + b + c = 0,

Más detalles

Método de fórmula general

Método de fórmula general Método de fórmula general Ahora vamos a utilizar el método infalible. La siguiente fórmula, que llamaremos «fórmula general» nos ayudará a resolver cualquier ecuación cuadrática. Fórmula General La fórmula

Más detalles

POLINOMIOS. Matemática Intermedia Profesora Mónica Castro

POLINOMIOS. Matemática Intermedia Profesora Mónica Castro POLINOMIOS Matemática Intermedia Profesora Mónica Castro Objetivos Definir y repasar los conceptos básicos de polinomios. Discutir los distintos métodos de factorización de polinomios. Establecer distintas

Más detalles

Ecuaciones de primer y segundo grado

Ecuaciones de primer y segundo grado Ecuaciones de primer y segundo grado Las ecuaciones de primer y segundo grado es una ecuación porque es una igualdad entre expresiones algebraicas. Ecuaciones de primer grado con una incógnita Ejemplo

Más detalles

TEMA 1: Funciones elementales

TEMA 1: Funciones elementales MATEMATICAS TEMA 1 CURSO 014/15 TEMA 1: Funciones elementales 8.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN: Una función es una ley que asigna a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro. Con esto una función hace

Más detalles

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA C u r s o : Matemática Material N 6 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado es una ecuación de la forma, o que

Más detalles

ECUACIONES E INECUACIONES.

ECUACIONES E INECUACIONES. CAPÍTULO 3 ECUACIONES E INECUACIONES www.mathspace.jimdo.com mathspace.jimdo@gmail.com 3.1. ECUACIONES Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable,

Más detalles

5. Producto de dos binomios de la forma: ( ax + c)( bx d )

5. Producto de dos binomios de la forma: ( ax + c)( bx d ) PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN. Productos Notables: Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre dos o más polinomios que poseen características especiales o expresiones particulares,

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Método de despeje

Profr. Efraín Soto Apolinar. Método de despeje Método de despeje Cuando tenemos una ecuación cuadrática incompleta es muy buena idea hacer un despeje para resolverla. Este método es el más sencillo para este tipo de ecuaciones. Resuelve la siguiente

Más detalles

ax 3 -bx 2 = x 2 (ax-b) 2b 5 -b 3 = b 3 (2b 2-1)

ax 3 -bx 2 = x 2 (ax-b) 2b 5 -b 3 = b 3 (2b 2-1) CPU Calle Mercado # 555 Teléfono 3 366191 FACTORIZACIÓN Caso I: Factor Común Cómo Reconocer: Existe un factor común en todos los términos. Los números pueden factorizarse en este caso si existe máximo

Más detalles

ECUACIONES POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA

ECUACIONES POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones ECUACIONES POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA Las ecuaciones polinómicas son aquellas equivalentes a una ecuación cuyo primer

Más detalles

UNIDAD V LA PARÁBOLA

UNIDAD V LA PARÁBOLA UNIDAD LA PARÁBOLA OBJETIO PARTICULAR Al concluir la unidad, el alumno identificará y aplicará las propiedades relacionadas con el lugar geométrico llamado parábola, determinando los distintos parámetros,

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Productos notables

Profr. Efraín Soto Apolinar. Productos notables Productos notables Cuando realizamos operaciones entre polinomios con el fin de resolver problemas, es muy frecuente encontrar algunas operaciones que por su naturaleza, aparecen en muchos fenómenos. Debido

Más detalles

TIPOS DE FUNCIONES. Ing. Caribay Godoy Rangel

TIPOS DE FUNCIONES. Ing. Caribay Godoy Rangel TIPOS DE FUNCIONES Repasar los conceptos de dominio, rango, gráfica, elementos esenciales y transformaciones de las funciones: lineal, cuadrática, racional, trigonométrica, exponencial y logarítmica. FUNCIONES

Más detalles

ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO

ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO CONTENIDO 1. Definición de cónica y cono de revolución. Determinación de las cónicas por medio de sus coeficientes.1 Determinación del tipo de curva considerando los coeficientes

Más detalles

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz. UNIDAD IV: LA PARABOLA. 4.1. Caracterización geométrica. 4.1.1. La parábola como lugar geométrico. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta

Más detalles

Lección 2.3. Ecuaciones y Desigualdades Cuadráticas. 02/16/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 23

Lección 2.3. Ecuaciones y Desigualdades Cuadráticas. 02/16/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 23 Lección.3 Ecuaciones y Desigualdades Cuadráticas 0/16/017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 3 Capítulo o Actividades.3 Sección 1.5 Ecuaciones Cuadráticas y Aplicaciones. Realice los ejercicios impares

Más detalles

Clase N 09. Algebra y ecuaciones de primer grado I I

Clase N 09. Algebra y ecuaciones de primer grado I I Pre-universitario Manuel Guerrero Ceballos Clase N 09 Algebra y ecuaciones de primer grado I I Resumen de la clase anterior Álgebra Ecuación de primer grado definiciones operaciones ecuación numérica ecuación

Más detalles

Capítulo 2. Desigualdades y valor absoluto

Capítulo 2. Desigualdades y valor absoluto Capítulo Desigualdades valor absoluto 1 Desigualdades valor absoluto Valor absoluto El valor absoluto de un número real es su distancia al cero Puesto que un número real puede ser positivo, negativo o

Más detalles

Expresiones algebraicas

Expresiones algebraicas Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es una combinación de letras y números relacionadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las

Más detalles

1. Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:

1. Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Para factorizar polinomios hay varios métodos:. Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva

Más detalles

UNIDAD 2 ÁLGEBRA. Definiciones, Operaciones algebraicas, MCM, MCD. Dr. Daniel Tapia Sánchez

UNIDAD 2 ÁLGEBRA. Definiciones, Operaciones algebraicas, MCM, MCD. Dr. Daniel Tapia Sánchez UNIDAD 2 ÁLGEBRA Definiciones, Operaciones algebraicas, MCM, MCD Dr. Daniel Tapia Sánchez El Álgebra En esta unidad aprenderás a: Sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas. Reconocer

Más detalles

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.5: Aplicaciones de la derivada. Máximos y mínimos (absolutos) de una función. Sea f una función definida en un conjunto I que contiene un punto

Más detalles

TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE

TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE PROBLEMAS RESUELTOS + Dada F() =, escriba la ecuación de la secante a F que une los puntos (, F( )) y 4 (, F()). Eiste un punto c en el intervalo [, ]

Más detalles

Ecuaciones Ecuación cuadrática Ejercicios resueltos. x 2 8x + 15 = 0. x = 8 ± 4 2

Ecuaciones Ecuación cuadrática Ejercicios resueltos. x 2 8x + 15 = 0. x = 8 ± 4 2 Ecuaciones Ecuación cuadrática Ejercicios resueltos 1. Resolver la ecuación: ( 3)( + 4) = 1( ) ( 3)( + 4) = 1( ) + 5 1 = 1 4 8 + 15 = 0 coeficientes de la ec. cuadrática: a = 1, b = 8, c = 15 Discriminante

Más detalles

TRANSFORMACIONES DE f (x) = x 2 9.1.1 9.1.2. Ejemplo 1

TRANSFORMACIONES DE f (x) = x 2 9.1.1 9.1.2. Ejemplo 1 Capítulo 9 TRANSFORMACIONES DE f () = 2 9.1.1 9.1.2 A fin de lograr un buen dominio de la modelación de datos relaciones en situaciones cotidianas, los alumnos deben ser capaces de reconocer transformar

Más detalles

Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y=o), si los hubiese, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática.

Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y=o), si los hubiese, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática. Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y=o), si los hubiese, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática. Una ecuación de segundo grado, ecuación cuadrática o resolvente es una

Más detalles

1º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5-2. 3º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5 -2-2 -2 (-5) 1-5 0+[-2 (-5)] 4º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5-2-2 10-20 1-5 10-15. 2º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5

1º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5-2. 3º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5 -2-2 -2 (-5) 1-5 0+[-2 (-5)] 4º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5-2-2 10-20 1-5 10-15. 2º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5 1. OPERACIONES BÁSICAS Monomio: Producto de números y letras. Ej: 3x²y a) Suma: Se pueden sumar los que tengan las mismas letras elevadas a los mismos exponentes. Ej: 3x²y xy + 4x²y = 7x² xy b) Producto:

Más detalles

INTEGRALES DE LA FORMA k dx

INTEGRALES DE LA FORMA k dx Integrales de la forma ( + + ) ax bx c V INTEGRALES DE LA FORMA k ( ax + bx + c), con k ± 1, - Las nueve fórmulas estudiadas en el capítulo anterior son las que habrán de utilizarse en este tema. Simplemente

Más detalles

Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos:

Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: 1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. 1 Ecuaciones. 1. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Repasar las operaciones básicas con números reales. Repasar

Más detalles

UNIDAD III CONTENIDO TEMÁTICO FACTORIZACIÓN

UNIDAD III CONTENIDO TEMÁTICO FACTORIZACIÓN UNIDAD III CONTENIDO TEMÁTICO FACTORIZACIÓN I.S.C. Alejandro de Fuentes Martínez ESQUEMA--RESUMEN RESUMEN DE LA UNIDAD III Concepto de Factorización. Máximo común divisor Casos de factorización Factorización

Más detalles

Funciones algebraicas

Funciones algebraicas Funciones algebraicas Las funciones polinomiales tienen una gran aplicación en la elaboración de modelos que describen fenómenos reales. Algunos de ellos son: la concentración de una sustancia en un compuesto,

Más detalles

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Y DE TRINOMIOS DE SEGUNDO GRADO

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Y DE TRINOMIOS DE SEGUNDO GRADO FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Y DE TRINOMIOS DE SEGUNDO GRADO Factorización de un trinomio cuadrado perfecto Un trinomio cuadrado perfecto es una expresión algebraica de la forma a 2 +2ab+b

Más detalles

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Definición de monomio. Expresión algebraica formada por el producto de un número finito de constantes y variables con exponente natural. Al producto de las constantes

Más detalles

Recordar las principales operaciones con expresiones algebraicas.

Recordar las principales operaciones con expresiones algebraicas. Capítulo 1 Álgebra Objetivos Recordar las principales operaciones con expresiones algebraicas. 1.1. Números Los números naturales se denotarán por N y están constituidos por 0, 1, 2, 3... Con estos números

Más detalles

PRODUCTO NOTABLE. Producto Notable

PRODUCTO NOTABLE. Producto Notable PRODUCTO NOTABLE Producto Notable Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir: Un trinomio

Más detalles

Clase 4 Función cuadrática

Clase 4 Función cuadrática Clase 4 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo de 2016 Definición Una relación de la forma f(x) = ax 2 + bx+c, donde a 0 y b, c R, se llama función cuadrática.

Más detalles

Lección 6: Factorización de Casos Especiales. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009

Lección 6: Factorización de Casos Especiales. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Lección 6: Factorización de Casos Especiales Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Identificarán polinomios que representan una Diferencia de

Más detalles

Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas fórmula cuadrática y casos especiales

Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas fórmula cuadrática y casos especiales Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas fórmula cuadrática y casos especiales Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Arecibo Ecuación cuadrática en forma general Una ecuación

Más detalles

UNIDAD II FUNCIONES. Ing. Ronny Altuve Esp.

UNIDAD II FUNCIONES. Ing. Ronny Altuve Esp. República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda Administración Mención Gerencia y Mercadeo UNIDAD II FUNCIONES Ing. Ronny Altuve Esp. Ciudad Ojeda, Septiembre de 2015 Función Universidad

Más detalles

Las actividades que se mandan son de factorización. Tienes hasta el día viernes a las 2 de la tarde para enviar tus actividades resueltas

Las actividades que se mandan son de factorización. Tienes hasta el día viernes a las 2 de la tarde para enviar tus actividades resueltas TRABAJO 3 TURNO MATUTINO PARA LOS GRUPOS A, B, C Y D DE MATEMÁTICAS DEL TERCER GRADO PROFESOR: IGNACIO GUZMÁN ARTEAGA TRABAJO PARA LOS DÍAS DEL 23 AL 27 DE OCTUBRE. Las actividades que se mandan son de

Más detalles

Clase 3 Funciones lineal y cuadrática

Clase 3 Funciones lineal y cuadrática Clase 3 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo de 2014 Función lineal Definición Una relación de la forma f(x) = mx+n, donde m, n R, se llama función lineal

Más detalles

DERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD

DERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD DERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o El teorema de Lagrange dice que: f(3)

Más detalles

Cada función polinomial genera distintas gráficas en el plano cartesiano. Hay casos especiales de la función polinomial general.

Cada función polinomial genera distintas gráficas en el plano cartesiano. Hay casos especiales de la función polinomial general. UNIDAD I. FUNCIONES Y RELACIONES.5. Funciones algebraicas: Polinomiales. Las expresiones algebraicas pueden clasificarse en monomios, binomios, trinomios y polinomios. Monomios. Expresiones de un término.

Más detalles

TEMARIO EXAMEN MATEMÁTICA SÉPTIMO AÑO BÁSICO 2012 3 DE DICIEMBRE

TEMARIO EXAMEN MATEMÁTICA SÉPTIMO AÑO BÁSICO 2012 3 DE DICIEMBRE SÉPTIMO AÑO BÁSICO 2012 NÚMEROS Ejercicios combinados con enteros, con y sin paréntesis. Solución de problemas con enteros Solución de problemas, aplicando proporción directa e inversa. Propiedades de

Más detalles

Números complejos (lista de problemas para examen)

Números complejos (lista de problemas para examen) Números complejos (lista de problemas para examen) En esta lista de problemas trabajamos con la construcción de números complejos (como pares ordenados de los reales) y con su representación en la forma

Más detalles

Expresiones algebraicas y ecuaciones. Qué es una expresión algebraica? Valor numérico de una expresión algebraica. Algebra

Expresiones algebraicas y ecuaciones. Qué es una expresión algebraica? Valor numérico de una expresión algebraica. Algebra Expresiones algebraicas y ecuaciones Melilla Qué es una expresión algebraica? Los padres de Iván le han encargado que vaya al mercado a comprar 4 kg de naranjas y 5 kg de manzanas. Pero no saben lo que

Más detalles

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS página 87

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS página 87 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS página 87 página 88 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA 5 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 5. CONCEPTOS Y DEFINICIONES La palabra ecuación viene del latín, de aequatus, participio pasivo

Más detalles

ECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES. Matemáticas 3º eso

ECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES. Matemáticas 3º eso ECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES Matemáticas 3º eso Identidades y ecuaciones Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que aparecen números y letras llamadas incógnitas ligados por operaciones.

Más detalles

VIII. CIRCUNFERENCIA

VIII. CIRCUNFERENCIA VIII. IRUNFERENI 8.. L IRUNFERENI OMO LUGR GEOMÉTRIO Definición: Una circunferencia es el lugar geométrico de un punto ( ) P, cualquiera, que se mueve sobre el plano, de tal manera que su distancia a un

Más detalles

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL 6. 1 UNIDAD 6 DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los que apliques la factorización de polinomios cuyos términos tienen coeficientes

Más detalles

5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES

5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES EJERCICIOS PROPUESTOS 5.1 Divide los siguientes monomios. a) 54x 5 9x 2 b) 63x 12 3x 5 c) 35xy 6 7y 3 d) 121x 2 y 6 11yx 4 a) 54x 5 9x 2 5 5 4x 2 5 4 x 5 9x 9 x 2 6x 3 c) 35xy 6 7y 3 3 6 5xy 3 3 5 x y

Más detalles

Operatoria con Expresiones Algebraicas

Operatoria con Expresiones Algebraicas PreUnAB Clase # 5 Julio 2014 Expresiones Algebraicas Definición Se llama expresión algebraica a un conjunto de valores constantes (2. 3, 7, etc) y valores variables (x, a, y, etc), relacionados entre sí

Más detalles

PRÁCTICO: : POLINOMIOS

PRÁCTICO: : POLINOMIOS Página: 1 APUNTE TEÓRICO-PRÁCTICO PRÁCTICO: : POLINOMIOS UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Razonamiento y Resolución de Problemas Carreras: Lic. en Economía, Lic. en Administración, Lic. en

Más detalles

Se llama factores o divisores, a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí, dan como producto la primera expresión.

Se llama factores o divisores, a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí, dan como producto la primera expresión. FACTORIZACION Se llama factores o divisores, a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí, dan como producto la primera expresión. Al proceso de encontrar los factores o divisores a partir

Más detalles

Clase. Función cuadrática y ecuación de segundo grado

Clase. Función cuadrática y ecuación de segundo grado Clase Función cuadrática y ecuación de segundo grado Aprendizajes esperados Aplicar los conceptos matemáticos asociados al estudio de la función cuadrática. Graficar una función cuadrática, determinando

Más detalles

5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES

5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES EJERCICIOS PARA ENTRENARSE División y regla de Ruffini 5.26 Realiza estas divisiones. a) (12x 2 yz 6xy 3 8xyz 2 ) (2xy) b) (15x 4 3x 3 9x 2 ) (3x 2 ) c) (5a 3 b 2 10ab 2 15a 3 b 4 ) (5ab 2 ) a) (12x 2

Más detalles

Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de primer grado Ecuaciones de primer grado º ESO - º ESO Definición, elementos y solución de la ecuación de primer grado Una ecuación de primer grado es una igualdad del tipo a b donde a y b son números reales conocidos,

Más detalles