Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm. y 4 cm, respectivamente. Cuánto mide el coseno del menor ángulo? 3 sin( α) = 5 4 cos( α) = 5 3 4

Transcripción

1 1 Los catetos de un triángulo rectángulo miden cm. y 4 cm, respectivamente. Cuánto mide el coseno del menor ángulo? Dada la construcción del triangulo, la medida del la ipotenusa estará dada por el teorema de Pitágoras, por ende Tal que + 4 x x + 4 Entonces la medida de dico lado corresponde a x 5 5 Entonces las razones trigonométricas solicitadas serán sin( α 5 4 cos( α 5 tan ( α 4 Si el coseno de un ángulo es 1. Cuál es el ángulo? Tal como se observa en el triangulo equilátero de lado uno, la relación del coseno de 60 equivale a lo solicitado, por ende sen( 60 cos( 0 cos( 60 sen( 0 1 tan 60 cotan 0 Si cosecante de un ángulo es, entonces cuál es el seno del mismo ángulo? Dado que la cosecante de un ángulo corresponde a la inversa del seno se tendrá que cosecante ( α 1 sen 1 1 sen α cosecante ( α ( α

2 La ipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 m y el cateto adyacente a un ángulo mide 8m. Cuál es el valor de la tangente del mismo ángulo? x 10 α 8 Por Pitágoras se tendrá que x x Por ende la tangente del ángulo estará dado por tan α x Al Simplificar quedara 4 Cual es el valor de la expresión ( 45 cos ( 0 sen +? Sabemos que ( 45 sen, por ende 1 sen ( 45 4 Del mismo modo cos 0, por ende cos ( 0 4 En consecuencia bastara adicionar adecuadamente En el siguiente triangulo calcula las seis razones trigonométricas para sus ángulos agudos Por construcción sen ( α cos ( α tan ( α csc( α sec ( α ctg ( α sen α 4 cos α tan α 4 del mismo modo se obtienen las relaciones para el ángulo β β α

3 Dado el rectángulo ABC, calcular la medida de los lados AB y BC Dada la posición del ángulo las razones más convenientes a usar, en mi umilde opinión, son la tangente y el seno del ángulo mostrado 4 4 tan ( 9 a 4,996 a tan 9 ( 4 4 sen( 9 c 6,561 c sen ( 9 Dado el triángulo EFG determinar la medida del ángulo EFG Simplemente usando el seno del ángulo se tendrá que sen , ( α α sen Por Pitágoras se tendrá que la medida faltante será x x x x 87 Por ende por medio de la tangente o el coseno llegamos a que tan ( α α tan 54, O bien cos( α α cos 54,

4 4 sen α Si 1 5 calcule el valor de cos( α tan ( α cot α 4 9 sec α 1 Pongámonos de acuerdo en algo. El valor máximo para seno y coseno es 1, por ende el problema no tiene ningún sentido. sen α Sin embargo podemos desarrollar el caso en que Por la estructura del seno tendemos que la relación establecida entre el cateto opuesto y la ipotenusa, por ende el triangulo a usar es e siguiente 5 1 Por Pitágoras tenemos que la medida faltante es 1 Por ende cos ( α tan ( α cot ( α sec sec α cot ( α 5 5 ( α

5 5 tan ( α + tan ( β Sabiendo que tan ( α + β 1 tan( α tan( β, determine la medida de tan ( 105 Por conveniencia se tendrá que tan ( 105 tan ( Por ende Racionalizando convenientemente tan 60 + tan tan ( tan 60 tan ( 1 x Un observador que viaja en un avión, orizontalmente, detecta un objetivo en tierra con un ángulo de depresión de 45. Luego de volar 1 km dico ángulo aumenta en 15. Qué distancia tendrá que volar, si mantiene la misma dirección, para pasar exactamente encima del objetivo? ( x 1 tan ( 45 + tan(60 x tan ( 60 tan ( 45 x x+ 1 x tan tan 45 por ende, igualando ambas expresiones se tendrá que ( x ( + ( xtan 60 tan 45 1 tan 45 Ordenando y despejando el valor de x se tendrá que ( x ( ( xtan 60 tan 45 1 tan 45 ( ( ( x tan 60 tan 45 1 tan 45 1 tan ( 1 ( ( x + tan 60 tan 45 1

6 6 Un observador de 1,7 metros de altura mira al extremo superior de una torre eléctrica con un ángulo de elevación de 0. Si el ángulo de elevación acia el extremo superior de la torre es 60 después de caminar 100 metros. Calcular la altura de la torre. Por construcción se tendrá que tan 60 tan 60 x x ( Del mismo modo tan tan x ( ( + x ( Por ende, bastara igualar las expresiones para tener que x ( x x tan tan 0 x x tan tan 0 + tan 0 x x tan 60 tan tan 0 x tan 60 tan tan 0 ( ( ( 100 tan 0 x tan 60 tan 0 Por ende, dado que x tan ( 60 se tendrá que ( ( ( 100 tan 0 tan 60 tan 60 tan 0 Mas la altura del observador, e en este caso es 1,70 metros, por ende la altura de la torre será H H H ( ( ( 100 tan 0 tan ( , 7 tan 60 tan ,7 + 1, , , 7 88,5 1

7 7 Desde dos puntos A y B ubicados sobre una misma dirección respecto a un cerro se observa la parte más alta del mismo, con ángulos de elevación de 0 y 60 respectivamente. Si la distancia del punto B al cerro es metros, calcular la distancia entre A y B x 1000 En este caso se tendrá que tan ( tan ( , Y, del mismo modo tan 0 tan x Igualando ambas expresiones se tendrá que ( ( ( x+ ( ( x + ( tan tan 60 x tan tan tan 60 x tan tan tan 0 ( 1000 tan 60 tan 0 x tan x x

8 8 Dos aviones se dirigen a un aeropuerto desde direcciones opuestas y a una misma altura. El piloto informa que está a 5 km de la torre con un ángulo de elevación de 7 ; el piloto B informa que está a 0 km de la torre, cuál es su ángulo de elevación? α Consecuentemente en relación al grafico mostrado se tendrá que tan ( 7 5 tan ( 7 18,89 5 Del mismo modo tan 0 Igualando ambas expresiones se tendrá que Despejando la tangente ( α 0 tan ( α ( α 0 tan 5 tan 7 tan ( α 5 tan 7 0 Por ende el ánguloα estará dado por el arco tangente de lo obtenido 1 5 tan 7 α tan,17 0

9 9 Una balsa se aproxima acia un faro. En un determinado instante, el faro es observado por el tripulante de la balsa con un ángulo de elevación de π/1. Al recorrer 6 metros adicionales vuelve a observar encontrando esta vez un ángulo de π/6. Encuentre la altura del faro (desprecie la altura del tripulante que izo la observación. Sera necesario explicar que la medida de los ángulos está dada en radianes, por ende tenemos dos opciones. 1. Convertir la medida de dicos ángulos a formato sexagesimal. Trabajar en radianes Opto por la primera opción Como se puede observar la estructura de la notación en radianes se basa en la medida de la longitud del arco subtendido por el ángulo inscrito, por ende bastara relacionar en base a una proporción. Y del mismo modo π π x x 1 π π x x 6 Por ende el problema se podrá describir de la siguiente forma x

10 10 Luego se tendrá que tan 0 tan 0 x ( x ( Y del mismo modo tan 15 6 tan x Igualando ambas expresiones se tendrá que ( ( + x ( ( x x tan tan 15 x x tan 0 6 tan 15 + tan 15 x x tan 0 tan 15 6 tan 15 x tan 0 tan 15 6 tan 15 x Por ende, dado que la medida de estaba dada por 6 tan ( 15 ( ( tan 0 tan 15 x tan 0 Se tendrá que 6 tan ( 15 ( ( tan 0 tan 0 tan 15

11 1.70 m 11 Un ombre que mide 1,70 metros de estatura observa su sombra a las 16:00 oras, asumiendo que amanece a las 6:00 y que el sol ace un círculo sobre el ombre cuánto mide su sombra? Basando los datos en una distribución de ángulos se puede asociar sin incurrir en errores que al amanecer corresponde al alguno de 180, en tanto que el anocecer al ángulo 0. (Claramente estamos ablando de un caso ideal, remotamente cercano a la realidad, pero adecuado para su resolución, por ende el mismo problema implica que el ángulo de elevación del Sol es aproximadamente 0, por lo tanto todo se reduce al siguiente triangulo am pm 0 Por ende la relación a establecer se basa en la tangente de 0, es decir 1, 70 metros 1, 70 metros tan ( 0 sombra sombra tan 0 (

12 1 El asta de bandera está clavada verticalmente en lo alto de un edificio a 6 metros de distancia de la base del edificio, los ángulos de elevación de la punta del asta y la parte superior del edificio son de 60 y 0 respectivamente Cuál es la longitud del asta de La bandera? Este problema me causo algunas divergencias en torno a la interpretación, sin embargo me parece adecuado expresarlo bajo el siguiente modelo 0 60 x 6 m Teniendo como base que la tangente de 0 corresponde a la relación entre la altura del edificio y el observador del mismo modo que la tangente de 60 corresponde a la atura del asta mas la del edificio con respecto a la posición del mismo observador tendremos que 6 6 tan ( 0 x x tan 0 Por ende, bastara igualar ( y tan ( x + x tan 60 ( 6+ 6 tan ( 60 tan ( 0 ( 6 + tan ( 0 6 tan ( 60 6tan60 ( 6tan0 ( tan ( 0 6 ( tan( 60 tan( 0 tan ( 0 6 tan 0 + tan 0 6 tan 60 Aun cuando me cabe la posibilidad de este contexto, el cual no e resuelto por carecer de más datos. ; 0 60 x 6 m

13 1 Teoremas del seno y del coseno Sea el triangulo ABC. Cuál es la medida del lado AB? Dado que es un triangulo isósceles se puede determinar fácilmente que la medida del ángulo faltante es 10 Por ende bastara aplicar el teorema del seno Es decir sen x ( 0 sen( 10 Entonces sen 10 x sen ( 0 Dos lados de un triangulo miden 4 y cm, respectivamente. El ángulo que forman mide 150. Calcular la medida del tercer lado En este caso bastara plantear el teorema del coseno para buscar la medida del lado faltante, x. x cos 150 Resolviendo x x

14 14 En un triangulo sus lados son 9, 10 y 17. Calcular la tangente de la mitad del ángulo mayor Tan solo como ejercicio será conveniente despejar la medida de cada ángulo, sin embargo el ángulo mayor estará asociado al lado mayor Por teorema del coseno, en todo triangulo a b + c b c cos α Por ende el coseno de dico ángulo estará dado por 1 b + c a α cos bc Por ende el ángulo buscado corresponde a cos ( α 9 10cos cos ( α α cos 1 1 Lo cual corresponde a α ( α 108 cos cos 0,6 16, α Aora, la mitad de dico ángulo es 6, α tan tan 6, Y la tangente de dico ángulo es

15 15 Una torre esta al pie de una colina cuya inclinación al plano orizontal es de 15, una persona se encuentra en la colina a1 metros de la base y observa la parte más alta de la torre con un ángulo de inclinación de 45. Cuál es la altura de la torre? 1 metros Comprendida la estructura del problema todo se relaciona fácilmente con un triangulo tal que sus ángulos interiores son conocidos, al igual que uno de sus lados Luego 1 sen ( 45 sen( 60 Entonces 1 sen 60 sen 45 Es decir 1 6 1

16 16 Al poco rato de aber despegado, dos aviones se cruzan en el aire cuando son las 16:00 oras. Uno se dirige en línea recta acia una isla ubicada 68,5 al N.O., mientras que el otro va acia una ciudad ubicada al este. Si le primero se desplaza con una velocidad de 650 km/ y el segundo a 80 km/. Qué distancia abrá entre ellos a las 17:0 oras? Considerando el punto O como el punto de encuentro, el primer avión se abrá desplazado 650 1,5 975 kilómetros en la recta OB, en tanto que el segundo avión se abrá desplazado 80 1,5 10 kilómetros en la recta OC. Esto da origen a una triangulo tal que conocemos dos lados y un ángulo, por lo tanto usamos el teorema del coseno Por ende, x cos x cos 158.5

17 17 Dos faros A y B distan 6. kilómetros entre sí. En un mismo instante ambos faros iluminan un punto C que se encuentra a 4,5 kilómetros de A y.8 kilómetros de B. Cuál es la posición del punto C respecto a cada uno de esos faros? El problema se puede plantear en base a un triangulo en que la medida de cada lado es conocida Bastara aplicar el teorema del coseno para determinar los respectivos ángulos y luego relacionar adecuadamente,8 6, + 4,5 6, 4,5 cos α Entonces cos ( α 6, + 4,5,8 6,4,5 1 6, + 4,5,8 Y aplicando el arco coseno se llegara a que α cos 6,4,5 Aplicando el mismo criterio para los ángulos β y δ se tendrá que 1 6, +,8 4,5 β cos 6,,8 1,8 + 4,5 6, δ cos,84,5

18 18 En un instante determinado un avión se encuentra a 8 kilómetros de la torre de control de un aeropuerto y a 7,5 kilómetros de un dirigible. Si ambos son observados bajo un ángulo de 0. a qué distancia de la torre se encuentra el dirigible? Claramente es otro problema de triángulos, por lo tanto el que usaremos es el siguiente Nuevamente aplicamos el teorema del coseno 7,5 8 distancia 8 distancia cos 0 + Lo cual da origen a una ecuación cuadrática En l personal no me agrada demasiado, por lo tanto opto por otro camino Aplicando el teorema del seno 7, sen( 0 1 α sen α sen ( 0.5 α.1 sen( 0 sen( α 7,5 Lo cual implica que el ángulo β se obtiene por la diferencia con 180, por ende es En consecuencia aplicando nuevamente el teorema del seno 7,5 d 7,5 sen d 1.75 sen 0 sen sen 0