LA TEORÍA DE LOS CONJUNTOS APROXIMADOS PARA EL DESCUBRIMIENTO DE CONOCIMIENTO ROUGH SETS THEORY TO KNOWLEDGE DISCOVERY

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1 LA TEORÍA DE LOS CONJUNTOS APROXIMADOS PARA EL DESCUBRIMIENTO DE CONOCIMIENTO ROUGH SETS THEORY TO KNOWLEDGE DISCOVERY YAILÉ CABALLERO Departamento de Computacón. Unversdad de Camagüey, Cuba. RAFAEL BELLO Departamento de Computacón. Unversdad Centra de Las Vas, Cuba. LETICIA ARCO Departamento de Computacón. Unversdad Centra de Las Vas, Cuba BEITMANTT CÁRDENAS Unversdad Dstrta Francsco José de Cadas, Bogotá, Coomba. YENNELY MÁRQUEZ Departamento de Computacón. Unversdad de Camagüey, Cuba MARÍA M. GARCÍA Departamento de Computacón. Unversdad Centra de Las Vas, Cuba Recbdo para revsar Octubre 31 de 2008, aceptado Juno 2 de 2009, versón fna Juo 17 de 2009 RESUMEN:La Teoría de os Conjuntos Aproxmados (RST) abró una nueva dreccón en e desarroo de teorías sobre a nformacón ncompeta y es una poderosa herramenta para e anáss de datos. En esta nvestgacón se demuestra a posbdad de usar esta teoría para generar conocmento a pror sobre un conjunto de datos. Se desarroa una propuesta para caracterzar a pror conjuntos de entrenamento, usando meddas de estmacón de a RST. La propuesta ha sdo estudada expermentamente usando bases de datos nternaconaes y se han obtendo resutados satsfactoros. PALABRAS CLAVE: descubrmento de conocmento, Teoría de os Conjuntos Aproxmados. ABSTRACT:The Rough Set Theory (RST) opened a new drecton n the deveopment of ncompete nformaton theores and s a powerfu too for the anayss of data. In ths nvestgaton the possbty s demonstrated of usng ths theory to generate knowedge on a data set. A proposa s deveoped to characterze sets of tranng, usng measures of estmaton of the RST. The proposa has been studed expermentay usng nternatona data bases and satsfactory resuts have been obtaned. KEYWORDS: knowedge dscovery, Rough Sets Theory. Dyna, Año 77, Nro. 162, pp Medeín, Juno de ISSN

2 262 Cabaero et a 1. INTRODUCCIÓN Para os centífcos os datos representan observacones cudadosamente recogdas de agún fenómeno en estudo; en os negocos, os datos guardan nformacones sobre mercados, competdores y centes; en procesos ndustraes, recogen vaores sobre e cumpmento de objetvos. E verdadero vaor de os datos radca en a posbdad de extraer de eos nformacón út para a toma de decsones o a exporacón y comprensón de os fenómenos que e deron ugar [1]. E anáss de datos es mportante en ramas como: bonformátca, medcna, economía y fnanzas, ndustra, medo ambente, entre otras, donde e preprocesamento de estos es esenca. Una de as teorías más recentes empeada para e anáss de datos es a Teoría de os Conjuntos Aproxmados RST (Rough Set Theory) [2]. Esta teoría se consdera como una de as cnco áreas caves y no tradconaes de a Integenca Artfca y de a Teoría de a Informacón Incompeta, pues consttuye una herramenta muy út para e manejo de a nformacón no competa o mprecsa [3]. Los métodos para estudar a cadad de os conjuntos de entrenamentos (CE) usuamente son apcados post aprendzaje, de modo que tenen ncudo e costo computacona de apcar e método de aprendzaje; encontrar métodos que permtan una evauacón a pror de CE es un probema atamente reevante en a área de aprendzaje automatzado. Como se verá en e presente artícuo esta probemátca motvó a presente nvestgacón por o que se dan eementos necesaros en este sentdo en e epígrafe 2. Luego, se ntroducen conceptos mportantes acerca de a Teoría de os Conjuntos Aproxmados en e epígrafe 3 y posterormente, en e epígrafe 4 se presenta a propuesta reaconada con e descubrmento de conocmento a través de a Teoría de os Conjuntos Aproxmados. 2. CARACTERIZACIÓN A PRIORI DE LOS CONJUNTOS DE ENTRENAMIENTO PARA LA CLASIFICACIÓN SUPERVISADA Usuamente se evaúa a cadad de conocmento resutante de apcar agún método de aprendzaje usando e conjunto de contro; es decr, a evauacón es post aprendzaje. A partr de os datos dsponbes se apcan dferentes métodos de aprendzaje para determnar cuá produce un mejor conocmento. E estudo de a reacón entre e conjunto de entrenamento y a efcenca y efcaca ograda en e proceso de aprendzaje se reaza usando e método de prueba y error de una forma expermenta. Es decr, se reazan sucesvos procesos de entrenamento y se vadan os resutados acanzados. De modo que resuta de gran nterés poder estmar a cadad de os datos antes de proceder a aprendzaje para evtar trabajos nnecesaros. Sn embargo, tanto os métodos de aprendzaje como os métodos para mejorar estos conjuntos dependen de a nformacón orgna contenda en eos. E estudo de cadad de conjunto de entrenamento puede servr de base para tomar decsones sobre cómo desarroar e aprendzaje. Es decr, dado un conjunto de entrenamento (tranng set, TS) se desea tener una funcón f ta que f(ts) dé un ndcador de cuán bueno parece ser TS para extraer desde é conocmento necesaro para construr un casfcador. E probema es encontrar esa funcón f. Exsten pocos trabajos en este sentdo [4, 5, 6, 7, 8]. Uno de eos es para estmar a cadad, en térmnos de bas y de a varanza, de conjunto de entrenamento a través de coefcente de Bhattacharyya y una dstrbucón gaussana mutvarada. Este trabajo se mta a probemas descrtos por dos cases soamente [4]. En 1994, Mche y coaboradores reazan un estudo para estmar, a partr de característcas de os conjuntos de entrenamento y meddas estadístcas apcadas a dchos conjuntos, qué casfcadores supervsados puderan usarse [5, 6]. Sn embargo, no se obtene nformacón a pror de a cadad de desempeño de os casfcadores seecconados. En [8] se reaza un estudo, a partr de as meddas cáscas de os

3 Dyna 162, Conjuntos Aproxmados, para estmar a cadad de os conjuntos de entrenamento para redes Perceptron mutcapa. 3. LA TEORÍA DE LOS CONJUNTOS APROXIMADOS La Teoría de Conjuntos Aproxmados (Rough Sets Theory) fue ntroducda por Z. Pawak en 1982 [2]. Se basa en aproxmar cuaquer concepto, un subconjunto duro de domno, como por ejempo, una case en un probema de casfcacón supervsada, por un par de conjuntos exactos, amados aproxmacón nferor y aproxmacón superor de concepto. Con esta teoría es posbe tratar tanto datos cuanttatvos como cuatatvos, y no se requere emnar as nconsstencas prevas a anáss; respecto a a nformacón de sada puede ser usada para determnar a reevanca de os atrbutos, generar as reacones entre eos (en forma de regas), entre otras. La nconsstenca descrbe una stuacón en a cua hay dos o más vaores en confcto para ser asgnados a una varabe [9]. 3.1 Prncpaes defncones de a Teoría de os Conjuntos Aproxmados La fosofía de os conjuntos aproxmados se basa en a suposcón de que con todo objeto x de un unverso U está asocada una certa cantdad de nformacón (datos y conocmento), expresado por medo de agunos atrbutos que descrben e objeto [10]. Defncón 1. Sstema de Informacón y sstema de decsónsea un conjunto de atrbutos A={a 1, a 2,,a n } y un conjunto U no vacío amado unverso de ejempos (objetos, entdades, stuacones o estados) descrtos usando os atrbutos a ; a par (U,A) se e denomna Sstema de nformacón [16]. S a cada eemento de U se e agrega un nuevo atrbuto d amado decsón, ndcando a decsón tomada en ese estado o stuacón, entonces se obtene un Sstema de decsón (U,A {d}), donde d A. Defncón 2. Reacón de nseparabdad A cada subconjunto de atrbutos B de A B A está asocada una reacón bnara de nseparabdad denotada por R, a cua es e conjunto de pares de objetos que son nseparabes uno de otros por esa reacón [11]. R = x, y UxU : f x, a = f y, a a B (1) {( ) ( ) ( ) } Una reacón de nseparabdad (ndscernbty reaton) que sea defnda a partr de formar subconjuntos de eementos de U que tenen gua vaor para un subconjunto de atrbutos B de A, B A, es una reacón de equvaenca. Los conceptos báscos de a RST son as aproxmacones nferores y superores de un subconjunto X U. Estos conceptos fueron orgnamente ntroducdos con referenca a una reacón de nseparabdad R. Sea R una reacón bnara defnda sobre U a cua representa a nseparabdad, se dce que R(x) sgnfca e conjunto de objetos os cuaes son nseparabes de x. Así, R ( x ) = { y U : yrx }. En a RST cásca, R es defnda como una reacón de equvaenca; es decr, es una reacón bnara R UxU que es refexva, smétrca y transtva. R nduce una partcón de U en cases de equvaenca correspondente a R(x), x U. Este enfoque cásco de RST es extenddo medante a aceptacón que objetos que no son nseparabes pero sí sufcentemente cercanos o smares puedan ser agrupados en a msma case [12]. E objetvo es construr una reacón R a partr de a reacón de nseparabdad R pero fexbzando as condcones orgnaes para a nseparabdad. Esta fexbzacón puede ser reazada de mútpes formas, así como pueden ser dadas varas defncones posbes de smtud. Exsten varas funcones de comparacón de atrbutos (funcones de smtud), as cuaes están asocadas a tpo de atrbuto que se compara. Sn embargo, a reacón R debe satsfacer agunos requermentos mínmos. S R es una reacón de nseparabdad defnda en U, R es una reacón de smtud extendda de R s y soo s x U, R ( x ) R '( x ) y x U, y R '( x ), R ( y ) R '( x ), donde R (x) es a case de smtud de x, es decr, R (x)={y U: yr x}. R es refexva, cuaquer case de smtud puede ser vsta como un agrupamento de cases de nseparabdad y R nduce un

4 264 Cabaero et a cubrmento de U [13]. Esto muestra que un objeto puede pertenecer a dferentes cases de smtud smutáneamente, o que sgnfca que e cubrmento nducdo por R sobre U no es necesaramente una partcón. La aproxmacón de un conjunto X U, usando una reacón de nseparabdad R, ha sdo nducda como un par de conjuntos amados aproxmacones R nferor y R superor de X. Se consdera en esta tess una defncón de aproxmacones más genera, a cua maneja cuaquer reacón refexva R. Las aproxmacones R nferor ( R ( X ) ) y R superor ( R ' * ( X ) ) de X están defndas respectvamente como se muestra en as expresones (2) y (3). { x X : R '( x X } R ' * ( X ) = ) (2) U R ' * ( X ) = R '( x ) (3) x X Tenendo en cuenta as expresones defndas en 2 y 3, se defne a regón ímte de X para a reacón R [14]: * BN B ( X ) = R ' ( X ) R ' * ( X ) (4) S e conjunto BN B es vacío entonces e conjunto X es exacto respecto a a reacón R. En caso contraro, BN B ( X ) φ, e conjunto X es nexacto o aproxmado con respecto a R. E uso de reacones de smtud ofrece mayores posbdades para a construccón de as aproxmacones; sn embargo, se tene que pagar por esta mayor fexbdad, pues es más dfíc desde e punto de vsta computacona buscar as aproxmacones reevantes en este espaco mayor [15]. Usando as aproxmacones nferor y superor de un concepto X se defnen tres regones para caracterzar e espaco de aproxmacón: a regón postva que es a aproxmacón R nferor, a regón ímte que es e conjunto BN B y a regón negatva (NEG(X)) que es a dferenca entre e unverso y a aproxmacón R superor. Los conjuntos R * (X) (denotado tambén como POS(X)), R * (X), BN B (X) y NEG(X) son as nocones prncpaes de a Teoría de Conjuntos Aproxmados. ' * 3.2 Meddas de nferenca cáscas de a Teoría de os Conjuntos Aproxmados La Teoría de os Conjuntos Aproxmados ofrece agunas meddas para anazar os sstemas de nformacón. A contnuacón se muestran as prncpaes. En as expresones 5 a a 8 se empean as aproxmacones R nferor ( R ' * ( X ) ) y R superor ( R ' * ( X ) ) de X, as cuaes están defndas en as expresones 2 y 3 respectvamente. Precsón de a aproxmacón. Un conjunto aproxmado X puede ser caracterzado numércamente por e coefcente amado precsón de a aproxmacón, donde X denota a cardnadad de X, X φ. Observe a expresón (5). R '* ( X ) α ( X ) = (5) * R ' ( X ) Obvamente, 0 α(x) 1. S α(x)=1, X es duro (exacto), s α(x)<1, X es aproxmado (vago, nexacto), sempre respecto a conjunto de atrbutos consderado [16]. Cadad de a aproxmacón. E coefcente sguente R '* ( X ) γ ( X ) = (6) X expresa a proporcón de objetos que pueden ser correctamente casfcados en a case X. Además, 0 α(x) γ (X) 1, y γ (X) =0 s y soo s α (X)=0, mentras γ (X)=1 s y soo s α (X)=1 [16]. Consderando que X 1,,X son as cases de sstema de decsón, se defne a medda: Cadad de a casfcacón. Este coefcente descrbe a nexacttud de as casfcacones aproxmadas: = 1 Γ ( DS ) = R '* ( X ) U (7) La medda cadad de a casfcacón expresa a proporcón de objetos que pueden estar correctamente casfcados en e sstema.

5 Dyna 162, S ese coefcente es gua a 1, entonces e sstema de decsón es consstente, en otro caso es nconsstente [16]. Funcón de pertenenca aproxmada. Esta funcón cuantfca e grado de soapamento reatvo entre R (x) (case de smtud de x) y a case a a cua e objeto x pertenece. Se defne como sgue: X R '( x ) µ X ( x ) = R '( x ) (8) La funcón de pertenenca aproxmada puede ser nterpretada como una estmacón basada en frecuencas de Pr(x X x, R (x)), es decr, a probabdad condcona de que e objeto x pertenezca a conjunto X [17]. 4. CARACTERIZACIÓN A PRIORI DE LOS CONJUNTOS DE ENTRENAMIENTO BASADA EN LAS MEDIDAS DE ESTIMACIÓN DE LOS CONJUNTOS APROXIMADOS En este epígrafe se proponen nuevas meddas de a Teoría de os Conjuntos Aproxmados y se desarroa una propuesta para, a partr de estas, predecr a pror a cadad de un conjunto de entrenamento, y además poder seecconar qué tpo de casfcador supervsado será e más convenente usar en e proceso de aprendzaje: una red neurona (Perceptron mutcapa), un árbo de decsón (C4.5) o un método de aprendzaje perezoso (k NN). 4.1 Nuevas meddas para evauar os sstemas de decsón, basadas en a Teoría de os Conjuntos Aproxmados. En este epígrafe se proponen varantes generazadas tanto para a precsón como para a cadad de a casfcacón supervsada, porque en muchas apcacones os expertos pueden ponderar as cases o se pueden segur heurístcas para defnr en qué medda as cases son mportantes. Precsón generazada de a casfcacón. En esta medda por cada case se da a posbdad de consderar un peso que nfuya en a evauacón de sstema de decsón. Α G ( DS ) = = 1 ( α ( X ) w ( X )) = 1 w ( X ) (9) Donde es a cantdad de cases de sstema de decsón, α ( X ) se cacua como se ndca en a expresón 5. En a expresón 8 se defnó a funcón de pertenenca aproxmada; e cácuo de a meda de esta funcón apcada a os objetos de a case, puede ser consderada como una medda de mportanca de a case, es decr, e vaor para w(x ). Cadad generazada de a casfcacón. En esta expresón tambén se permte ponderar por cases a promedar a cadad de cada aproxmacón. Γ ( DS ) = G = 1 ( γ ( X ) w ( X )) = 1 w ( X ) (10) Donde es a cantdad de cases de sstema de decsón, γ ( X ) se cacua como se ndca en a expresón 8. En [18] se propone a funcón de compromso aproxmado, esta cuantfca en qué grado a R (x) (case de smtud de x) cubre a case X, y está dada por a expresón 11. X R '( x ) ν X ( x ) = X (11) La meda de compromso aproxmado de os objetos a a case, puede ser consderada como un vaor para ser asgnado a peso de cada case (w(x )), en a expresón 12. En as expresones 9 y 10, w(x ) es e peso de a case X y es un vaor entre 0 y 1, este vaor puede ser defndo por os expertos. E hecho de consderar a meda de a pertenenca aproxmada y e compromso aproxmado por cases, respectvamente, consttuye una manera de dar vaor a estos w(x ). Resuta nteresante no soo consderar os resutados expermentaes de meddas que descrben a os datos por cases, sno tambén tener una manera de cuantfcar e

6 266 Cabaero et a comportamento de conjunto de datos de manera genera. Por ta motvo, se propone e coefcente de aproxmacón genera, defndo por a expresón 12. Este coefcente muestra una proporcón entre a cantdad de objetos que puderan ser ben casfcados (aqueos que pertenecen a a aproxmacón nferor de as cases) y a cantdad de objetos que puderan o no pertenecer a as cases de sstema de decsón. Coefcente de aproxmacón genera. Se evaúa a cadad de sstema de nformacón sn dferencar por cases. R '* ( X ) = 1 Τ ( DS ) = (12) * R ' ( X ) = 1 Donde es a cantdad de cases de sstema de decsón, R * (X ) es a aproxmacón nferor (descrta en a expresón 2) y R * (X ) su aproxmacón superor (descrta en a expresón 3). 4.2 Estudo expermenta de a reacón entre as meddas de nferenca y e desempeño de os casfcadores Para e estudo expermenta se seecconaron os conjuntos de datos sguentes: Baance Scae, Breast Cancer Wsconsn, Bupa (Lver Dsorders), Dermatoogy, E Co, Heart Dsease (Hungaran), Irs, Lung Cancer, Monks 1, Pma Indans Dabetes, Promoter Gene Sequence, Tc Tac Toe, Wne Recognton, Yeast, Zoo, Gass, Hayes Roth, Soybean, Ionosphere, Pagebocks, Postoperatve, Waveform, Credt Screenng, Hepatts y Lymphography. E esquema sguente de estudo expermenta se apcó a cada conjunto de datos estudado: 1. Formacón de muestras de entrenamento y contro. Se obtuveron os conjuntos de entrenamento y contro, sguendo e prncpo de vadacón cruzada, se seeccona e 75% de os objetos para e entrenamento y e 25%, para conjunto contro. 2. Proceso de casfcacón supervsada. Se reazó e proceso de casfcacón supervsada a través de a herramenta Weka, específcamente con os casfcadores supervsados k Vecnos más Cercanos (IBK), red neurona Perceptron mutcapa y C4.5 (J48). 3. Cácuo de as Meddas de Inferenca. Para cada conjunto de entrenamento se cacuaron as meddas: Precsón de a aproxmacón (expresón 5), Cadad de a aproxmacón (expresón 6), Cadad de a casfcacón (expresón 7), Precsón generazada de a casfcacón (expresón 9), Cadad generazada de a casfcacón (expresón 10) y Coefcente de aproxmacón genera (expresón 12), descrtas en os epígrafes 3 y 4. E peso (w(x )) que se utzó para cacuar as meddas defndas en as expresones 9 y 10 fueron a meda de a pertenenca aproxmada por cases y a meda de compromso aproxmado por cases, respectvamente. Se mpementó e sstema MIRST1.0 que permte e cácuo de estas meddas de nferenca. 4. Cácuo de correacones estadístcas Con ayuda de SPSS 13.0 se buscan os coefcentes de Correacón de Pearson entre as meddas de nferenca descrtas en as expresones 7, 8 y e desempeño por cases de os casfcadores; así como os coefcentes de correacón entre as meddas descrtas en as expresones 7, 9, 10, 12 y os resutados de desempeño genera de a casfcacón supervsada. Se ega a coefcentes de correacón en todos os casos cercanos a 1, con una sgnfcacón batera menor que 0.01, con o que se puede asegurar que e coefcente de correacón es sgnfcatvo (p<0.01). 4.3 Generacón de conocmento a partr de as meddas de nferenca usando métodos de aprendzaje automatzado. Resuta nteresante poder nferr conocmento a partr de estos resutados, es decr, que para un determnado conjunto de entrenamento, sea posbe decdr cuá casfcador supervsado (entre k NN, MLP y C4.5) es más convenente apcar y poder además, dar una vaoracón cuatatva de resutado de a precsón genera que arrojará dcho casfcador para ese conjunto

7 Dyna 162, de entrenamento (baja, meda, ata, muy ata). Para esto se ha utzado e generador de regas C4.5 y además una red Perceptron mutcapa, y se comparan os resutados arrojados por ambos. Además, una vez que se haya seecconado e casfcador supervsado dóneo para un conjunto de entrenamento determnado, se puede nferr e vaor de su precsón, a través de método estmador de funcones k Vecnos más Cercanos (k NN). Construccón de conjuntos de datos para e entrenamentopara esto se crearon ses nuevos conjuntos de datos, dos correspondentes a cada casfcador supervsado estudado: un conjunto de datos con os vaores de a precsón dscretzados y otro con os vaores numércos de a precsón. Estos conjuntos de datos tendrán cuatro atrbutos predctores, representados por as meddas: Cadad de a casfcacón, Precsón generazada de a casfcacón, Cadad generazada de a casfcacón y Coefcente de Aproxmacón Genera, todos con vaores entre cero y uno. E atrbuto objetvo (case), para os tres conjuntos de datos con a precsón dscretzada, tendrá os vaores: A No apcabe, precsón muy baja B Apcabe, precsón baja C Apcabe, precsón meda D Apcabe, precsón ata E Apcabe, precsón muy ata Para poder categorzar a precsón de os casfcadores de estudo en A, B, C, D y E, se cacuaron os percentes de a precsón de cada casfcador a través de SPSS De esta manera se asocaron os vaores de a precsón a as dferentes categorías según: A vaores nferores a 20 percent B vaores entre e 20 y 40 percent C vaores entre e 40 y 60 percent D vaores entre e 60 y 80 percent E vaores mayores que e 80 percent Aquí se pueden apcar otras técncas de dscretzacón para categorzar a precsón de casfcador en A, B, C, D, E, por ejempo e método de dcretzacón basado en a entropía, dscretzacón basada en e error [19]. Se construyeron os conjuntos de datos a partr de os resutados de as meddas de nferenca y a precsón de os casfcadores. Cada conjunto de datos está formado por 250 ejempos, pues a cada uno de os 25 conjuntos de datos con os cuaes se reazó e estudo, se e dvdó aeatoramente en dez muestras de entrenamento y prueba. Generacón de regas de forma automatzada A través de método C4.5 se reaza e proceso de casfcacón supervsada, con e objetvo de determnar, para un nuevo conjunto de datos (nuevo ejempo), una vaoracón cuatatva de a precsón que obtendrían os casfcadores que se estudaron. Aquí se utzan para e entrenamento os tres conjuntos de datos con os vaores dscretos de a precsón. Los resutados de desempeño de C4.5 para estmar a precsón de os casfcadores a partr de as meddas propuestas, se muestran en a taba 1. Estos son os resutados de apcar una vadacón cruzada para dez muestras de prueba. Taba 1. Meddas de desempeño genera a usar e método C4.5 Tabe 1. Measures of genera performance obtaned usng C4.5 method Meddas de desempeño genera Para precsón de os casfcadores k NN MLP C4.5 Instancas casfcadas correctamente (%) 95,906 95,313 96,491 Estadígrafo de Kappa 0,909 0,897 0,923 Meda de error absouto 0,045 0,050 0,050 Raíz de error cuadrátco medo 0,164 0,203 0,185 Error absouto reatvo (%) 9,811 10,976 10,943 Casfcacón supervsada usando una red neurona Perceptron mutcapase construye una red neurona con cuatro neuronas en a capa de entrada, una capa ocuta y cnco neuronas en a

8 268 Cabaero et a capa de sada, una para cada categoría. De esta manera se tene una red neurona que se entrena con tres conjuntos de datos (uno para cada casfcador de estudo con e atrbuto objetvo dscretzado (case)), capaz de decdr dado un nuevo conjunto de entrenamento s es apcabe o no a cada casfcador, y en caso de ser apcabe, además da una vaoracón de a precsón que se obtendrá (baja, meda, ata, muy ata). E desempeño de esta red neurona para a prueba de vadacón cruzada (dez partcones) se muestra en a taba 2. Taba 2. Meddas de desempeño genera a usar e Perceptron Mutcapa Tabe 2. Measures of genera performance obtaned usng the Mutayer Perceptron Meddas de desempeño genera Para precsón de os casfcadores k NN MLP C4.5 Instancas casfcadas correctamente (%) 92,949 92,308 91,667 Estadígrafo de Kappa 0,876 0,863 0,857 Meda de error absouto 0,070 0,081 0,081 Raíz de error cuadrátco medo 0,184 0,219 0,199 Error absouto reatvo (%) 18,58 21,355 21,303 Cuando se presenta un nuevo conjunto de entrenamento, es decr un nuevo ejempo, para predecr a pror e casfcador dóneo a apcar, se procede según os pasos sguentes: P1. Se partcona aeatoramente e nuevo ejempo en conjunto de entrenamento (75%) y prueba (25%), esto se reaza dez veces y de esta forma se obtenen dez conjuntos de entrenamento y dez de prueba. P2. A cada uno de os dez conjuntos de entrenamento, obtendos en e paso P1 se e cacuan as meddas: Cadad de a casfcacón, Precsón generazada de a casfcacón, Cadad generazada de a casfcacón y Coefcente de Aproxmacón Genera. Se obtene para cada medda e vaor promedo de os dez resutados. P3. E nuevo ejempo ahora está descrto por cuatro atrbutos asocados a as meddas, cuyos vaores son os resutados de as medas obtendas en e paso P2. P4. Se determna para cada casfcador (k NN, MLP, C4.5) a cadad de a precsón según as cases: A No apcabe, precsón muy baja B Apcabe, precsón baja C Apcabe, precsón meda D Apcabe, precsón ata E Apcabe, precsón muy ata Esto puede reazarse a través de C4.5 o e Perceptron mutcapa, ambos entrenados con os conjuntos de datos con os vaores dscretos de a precsón de os casfcadores. P5. Se escoge como casfcador dóneo aque que según e paso P4 e corresponda mejor vaor de a case, en e orden (E, D, C, B, A). Estmacón de vaor de a precsón de casfcador más apropado Luego de eegr e casfcador con e que se obtendrá más ata precsón para un conjunto de entrenamento dado, se estma este vaor a partr de os conjuntos de datos con os vaores contnuos de a precsón de os casfcadores, a través de método k NN. Se cacua e vaor de k óptmo y se obtene un vaor aproxmado de a precsón de casfcador seecconado. Los resutados obtendos después de reazar una vadacón cruzada (dez muestras de prueba) se pueden observar en a taba 3.

9 Dyna 162, Taba 3. Meddas de desempeño genera a usar e método k NN Tabe 3. Measures of genera performance obtaned usng k NN method Meddas de desempeño genera Para precsón de os casfcadores k NN MLP C4.5 Coefcente de correacón 0,969 0,914 0,913 Meda de error absouto 0,004 0,040 0,073 Raíz de error cuadrátco medo 0,200 0,198 0,344 Error absouto reatvo (%) 5,915 8,840 10, CONCLUSIONES REFERENCIAS Las meddas de nferenca basadas en a Teoría de os Conjuntos Aproxmados: Cadad de a casfcacón (medda cásca), así como Precsón generazada de a casfcacón, Cadad generazada de a casfcacón y e Coefcente de aproxmacón genera, as cuaes se referen a desempeño de todo e sstema de decsón, están atamente correaconadas con e desempeño genera de os casfcadores supervsados taes como e Perceptron mutcapa, C4.5 y k NN. De gua forma, están atamente correaconadas as meddas Cadad de a aproxmacón y Precsón de a aproxmacón, as cuaes hacen una partcuarzacón por cases, con e desempeño por cases de os casfcadores antes menconados. La propuesta de construr conjuntos de datos de entrenamento a partr de os resutados de as meddas de nferenca de a RST y os de a precsón de casfcadores supervsados (Perceptron mutcapa, k NN, C4.5), resutó extosa para a generacón de conocmento, obtenéndose buenos desempeños en a casfcacón supervsada a a hora de nferr a pror a precsón que se obtendrá con un nuevo conjunto de entrenamento. Todo o anteror muestra que e empeo de a Teoría de os Conjuntos Aproxmados permte a construccón de agortmos para resover de forma efcente dversas tareas en e campo de aprendzaje automatzado. [1] RUIZ, R., de atrbutos para datos de gran dmensonadad, n Departamento de Lenguajes y Sstemas Informácos. 2006, Unversdad de Seva: Seva. [2] PAWLAK, Z., ROUGH SETS. Internatona journa of Computer and Informaton Scences, : p [3] CHIN, K.S., J. Lang, and C. Dang. Rough Set Data Anayss Agorthms for Incompete Informaton Systems. n Rough Sets, Fuzzy Sets, Data Mnng, and Granuar Computng. 9th Internatona Conference, RSFDGRC Chongqng, Chna. [4] DJOUADI, A. The quaty of tranng sets estmates of the Bhattacharyya Coeffcent. Trans. On Pattern Recognton anayss and Machne earnng 12(1): [5] FENG, C. AND D. MICHIE. STATLOG'S ML Agorthm. Machne Learnng, Neura and Statstca Cassfcaton. D. Mche, D. J. Spegehater and C. C. Tayor: [6] MICHIE, D., D. J. Spegehater, et a. The Statog Project. Machne Learnng, Neura and Statstca Cassfcaton. D. Mche, D. J. Spegehater and C. C. Tayor: [7] BEYNON, M. J. Degree of Dependency and Quaty of Cassfcaton n the Extended Varabe Precson Rough Sets Mode. Rough Sets, Fuzzy Sets, Data Mnng, and Granuar

10 270 Cabaero et a Computng. 9th Internatona Conference, RSFDGRC2003, Chongqng, Chna [8] CABALLERO, Y., R. BELLO, et a. Estudo de conjuntos de entrenamentos para redes tpo MLP usando meddas de a teoría de os conjuntos aproxmados. I Smposo Iberoamercano de Integenca Artfca dentro de Informátca 2004, La Habana [9] PARSONS, S., Current approaches to handng mperfect nformaton n data and knowedges bases. IEEE Trans. On knowedge and data engnnerng, (3). [10] BAZAN, J., et a. A Vew on Rough Set Concept Approxmatons. n Rough Sets, Fuzzy Sets, Data Mnng, and Granuar Computng. 9th Internatona Conference, RSFDGRC Chongqng, Chna. [11] KOMOROWSKI, J. and Z. Pawak, Rough Sets: A tutora. Rough Fuzzy Hybrdzaton: A new trend n decson makng. Sprnger, 1999: p [12] SLOWINSKI, R. and D. Vanderpooten, Smarty reaton as a bass for rough approxmatons, n Advances n Machne Integence & Soft Computng p [13] SKOWRON, A. and J. Stepanuk. Integent systems based on rough set approach. n Internatona Workshop Rough Sets. State of the Art and Perspectves [14] DEOGUN, J.S. Expotng upper approxmatons n the rough set methodoogy. n Frst Internatona Conference on Knowedge Dscovery and Data Mnng Canada. [15] PAL, S.K. and A. Skowron, Rough Fuzzy Hybrdzaton: A New Trend n Decson Makng, ed. S. Sprnger Verag [16] SKOWRON, A. New drectons n Rough Sets, Data Mnng, and Granuar Soft Computng. n 7th Internatona Workshop (RSFDGRC'99), Yamaguch, Japan Lecture Notes n Artfca Integence [17] GRABOWSKI, A., Basc Propertes of Rough Sets and Rough Membershp Functon. Journa of Formazed Mathematcs, [18] CABALLERO, Y., et a. New Measures for Evauatng Decson Systems usng Rough Set Theory: The Appcaton n Seasona Weather Forecastng. n Thrd Internatona ICSC Symposum on Informaton Technooges n Envronmenta Engneerng (ITEE'07) Car von Ossetzky Unverstät Odenburg. Aemana: Sprnger Verag. [19] WITTEN, I. and E. Frank, Transformaton: Engneerng the nput and output, n Data Mnng. Practca Machne Learnng Toos and Technques, I. Wtten and E. Frank, Edtors p

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