Conjuntos relaciones y grupos

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1 Matemáticas NS Conjuntos relaciones y grupos Tema opcional

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3 Índice 1. Conjuntos y relaciones Introducción Operaciones con conjuntos Relaciones Relaciones de equivalencia. Conjunto cociente Aplicaciones Introducción a la teoría de Grupos Grupos Subgrupos Homomorfismos de grupos Teorema de Lagrange Clases de un grupo módulo un subgrupo Teorema de Lagrange Grupos cíclicos Propiedades de los elementos de torsión Consecuencias del teorema de Lagrange

4 4 ÍNDICE

5 1 Conjuntos y relaciones 1.1. Introducción Los conjuntos pueden se utilizados como el fundamento de las matemáticas. No vamos a dar la teoría axiomática de conjuntos, vamos a hacer una introducción informal a ellos. Podemos definir un conjunto como una colección de objetos ( el conjunto de los enteros positivos, el conjunto de los colores del arco iris,...). Algunos conjuntos pueden ser descritos por enumeración de sus elementos, por ejemplo A = {a, b, c}, B = {rojo, amarillo, verde, azul}. Estos conjuntos son finitos. El número de elementos del conjunto recibe el nombre de cardinal del conjunto, A = 3 y B = 4. Otros conjuntos, como los conjuntos infinitos, pueden ser descritos por una propiedad que les caracteriza o por una regla de construcción. P = {2, 4, 6, 8,...}, I = {2n 1/n N}. Se utiliza el simbolo para indicar que un elemento pertenece a un conjunto (16 P, 23 I). Definición Se dice que A es un subconjunto de B y se denota por A B si todo elemento de A esta en B. Definición Dos conjuntos A y B son iguales si A B y B A. Es decir, x A x B. El conjunto universal es el conjunto que contiene todos los elementos con los que estamos trabajando. Lo denotamos por U. 5

6 6 1. CONJUNTOS Y RELACIONES Definición El complementario de un conjunto A es el conjunto de elementos que no pertenecen a A. Se denota por A c, A o A Operaciones con conjuntos Definición La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos. Se denota por A B, A B = {x x A o x B}. Definición La intersección de dos conjuntos A y B, se denota por A B el el conjunto formado por todos los elementos comunes de A y B. A B = {x x A y x B} Definición El conjunto diferencia A B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. A B = {x x A y x B} = A B.

7 1.2. OPERACIONES CON CONJUNTOS 7 Definición La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B se define como A B = (A B) (B A) = (A B) (A B). Observación. A B = (A B) (A B). A continuación vamos a enumerar propiedades de estas operaciones. Proposición Se verifican las siguientes propiedades Idempotente A A = A A A = A Ley de absorción (A B) A = A (A B) A = A Conmutativa A B = B A A B = B A Asociativa A B C = (A B) C = A (B C) A B C = (A B) C = A (B C) Distributiva de la unión respecto a la intersección y viceversa A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

8 8 1. CONJUNTOS Y RELACIONES El conjunto universal U y el conjunto vacio verifican, Propiedades del complementario Leyes de Morgan A = A A U = A A = A U = A. A = A A A = U A A =. A B = A B A B = A B Proposición El principio de dualidad. Si una cierta igualdad en los conjuntos es cierta tambien lo es su dual. La dual de una igualdad se obtiene intercambiando e, y los conjuntos y U. Definición Dado un conjunto A se define el conjunto partes de A, P(A), como el conjunto de todos los subconjuntos que contienen a A. Ejemplo. Si A = {1, 2, 3} P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A}. Proposición Sea A un conjunto finito y A = n. Entonces P(A) = 2 n. Demostración. ( En ) efecto, sabemos que el núnero de subconjuntos de k elementos de un conjunto de n n elementos es. Entonces el número de subconjuntos de A es k ( n Relaciones ) ( n + 1 ) ( n n 1 ) ( n + n ) = (1 + 1) n = 2 n. Definición El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, se denota por A B, es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) con a A y b B, A B = {(a, b) a A, b B}. Definición Una relación R entre dos conjuntos A y B es un subconjunto del conjunto A B. Si el par (x, y) R se dice que x está relacionado con y y se escribe xry.

9 1.3. RELACIONES 9 Ejemplo. Sean A = {a, b,, c,, d}, B = {1, 2, 3} y R = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (c, 2)}. si los conjuntos A y B son finitos, las relaciones se pueden representar utilizando los diagramas de flechas. Otra manera de representar las relaciones es mediantes un gráfico cartesiano. Una relación puede venir dada por la matriz de la relación, M R = Definición Una relación binaria en A es una relación en A A. Las relaciones binarias pueden venir dadas por su grafo dirigido. Ejemplo El siguiente grafo dirigido

10 10 1. CONJUNTOS Y RELACIONES corresponde a la relación binaria S = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 4), (4, 3)} Una relación binaria puede cumplir las siguientes propiedades, 1. Reflexiva Para todo a A, ara. 2. Simétrica Si arb, entonces bra. 3. Antisimétrica Si arb y bra, entonces a = b. 4. Transitiva Si arb y brc, entonces arc. Definición Una relación que cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva es una relación de orden Relaciones de equivalencia. Conjunto cociente. Definición Una relación que cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva es una relación de equivalencia. Las relaciones de equivalencia en un conjunto A establecen una igualdad entre los elementos del conjunto. Definición Sea una relación de equivalencia definida en A y a A. La clase de equivalencia de a, [a], es el conjunto de todos los elementos que estan relacionados con a. [a] = {x A x a} Proposición Sea una relación de equivalencia en A. Entonces, (i) Para todo a A, a [a].

11 1.4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA. CONJUNTO COCIENTE. 11 (ii) [a] = [b] a b. (iii) Si a b, entonces las clases [a] y [b] son disjuntas. Por verificar la propiedad reflexiva se tiene I. Si [a] = [b] entonces a [b] y por lo tanto a b. Por otra parte, si a b, se tiene x [a] = x a y por hipótesis a b = x b = x [b], y [a] [b]. De manera totalmente análoga se demuestra que [b] [a]. De los dos contenidos se tiene la igualdad de las clases. Para demostrar la tercera propiedad supongamos que existiese c [a] [b] entonces c a y c b y por la reflexiva y transitiva a b. Se tendría entonces [a] = [b], contradicción con la hipótesis. Definición Sea una relación de equivalencia definida en A. El conjunto cociente A/ es el conjunto formado por todas las clases de equivalencia. Una relación de equivalencia definida en un conjunto establece una partición en el conjunto. Las partes son las clases de equivalencia. Ejemplo 1 En el conjunto A A siendo A = {1, 2, 3, 4, 5} se define la relación (a, b) (c, d) a + d = b + c. Veamos que cumple las propiedades de una relación de equivalencia. Reflexiva Simétrica. Si (a, b) (a, b) ya que a + b = a + b. (a, b) (c, d) a + d = b + c (c, d) (a, b). Transitiva { (a, b) (c, d) (c, d) (e, f) Sumando las dos últimas igualdades se tiene = { a + d = b + c c + e = d + f a + d + c + e = b + c + d + f a + e = b + f (a, b) (e, f). Estudiemos las clases de equivalencia 4 = (1, 5) = {(1, 5)} 3 = (1, 4) = {(1, 4), (2, 5)} 2 = (1, 3) = {(1, 3), (2, 4), (3, 5)} 1 = (1, 2) = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} 0 = (1, 1) = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5)} 1 = (2, 1) = {(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4)} 2 = (3, 1) = {(3, 1), (4, 2), (5, 3)} 3 = (4, 1) = {(5, 1), (5, 2)} 4 = (5, 1) = {(5, 1)}

12 12 1. CONJUNTOS Y RELACIONES El representante de una clase puede ser cualquier elemento de la clase. El conjunto cociente consta de todas las clases equivalencia. El cardinal de A A/ es 9. Ejemplo 2. Congruencia módulo n. En el conjunto de los enteros se define la relación de congruencia módulo n a b ( módulo n) b a es múltiplo de n. Es fácil comprobar que la congruencia es una relación de equivalencia. Estudiemos las clases de la congruencia módulo 5. El conjunto cociente es Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4} Aplicaciones 0 = {..., 10, 5, 0, 5, 10,...} 1 = {..., 9, 4, 1, 6, 11,...} 2 = {..., 8, 3, 2, 7, 12,...} 3 = {..., 7, 2, 3, 8, 13,...} 4 = {..., 6, 1, 4, 9, 14,...} Definición Una aplicación f : A B es una correspondencia entre los conjuntos A y B de manera que todo elemento del conjunto inicial tenga una y solo una imagen. El conjunto A es el dominio de la aplicación, B es el codominio y la imagen de la aplicación es f(a) = {y = f(x)/x A}. Definición Una aplicación f : A B es inyectiva si elementos distintos tienen imágenes distintas. Es decir, x y = f(x) f(y). La implicación anterior es equivalente a f(x) = f(y) = x = y. Definición Una aplicación f : A B es sobreyectiva, suprayectiva o exhaustiva si f(a) = B. Esto es, y B x A tal que f(x) = y. Definición Una aplicación f : A B es biyectiva si es inyectiva y sobre. Definición Una aplicación f : A B es invertible si la correspondencia inversa f 1 : B A es aplicación. Proposición La aplicación f : A B es invertible si y solo si f es una biyección.

13 2 Introducción a la teoría de Grupos 2.1. Grupos Consideramos G un conjunto y * una operación binaria definida en G. Definición El par (G, ) es un grupo si verifica i. * es ley de composición interna, ii. Propiedad asociativa para todo x, y G, x y G. x (y z) = (x y) z x, y, z G. iii. Existencia de elemento neutro. Existe un e G que verifica x e = e x = x x G. iv. Todo elemento tiene su simétrico. Para todo x G existe x G que verifica x x = x x = e. Si además se cumple la propiedad conmutativa, para todo x, y G (G, ) es un grupo conmutativo o abeliano. x y = y x, Si la operación * es la multiplicación, el elemento neutro es el elemento unidad 1 y el simétrico es el inverso. Si la operación * es la adición, el elemento neutro es el cero y el simétrico es el opuesto. Proposición Se verifican las siguientes propiedades, (a) Ley de simplificación x y = x z = y = z y x = z x = y = z 13

14 14 2. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE GRUPOS (b) El elemento neutro es único (c) El simétrico de cada elemento es único. (d) Las ecuaciones tienen solución. x a = b y c y = d (e) El simétrico del simétrico de cualquier elemento es el mismo, x = x. (f) x y = y x. Demostración. (a) Multiplicando a la izquierda por el simétrico de x los dos miembros de la ecuación se tiene, x (x y) = x (x z), y aplicando la propiedad asociativa y la del elemento neutro ( x x) y = ( x x) z = e y = e z = y = z. Con la multiplicación a la derecha se obtiene la otra ley de simplificación. (b) Supongamos que existiesen dos elementos neutros e y e. Entonces, e e = e (por ser e elemento neutro) e e = e (por ser e elemento neutro) de donde e = e. (c) Supongamos que x y x 1 son ambos simétricos de x. Por la propiedad asociativa x (x x 1 ) = ( x x) x 1 x e = e x 1 x = x 1. (d) x a = b multiplicamos a la derecha por el simétrico de a (x a) ā = b ā asociativa x (a ā) = b ā elemento neutro x e = b ā x = b ā. De manera análoga se obtiene la solución de la otra ecuación.

15 2.1. GRUPOS 15 (e) Es claro que de x x = x x = e se tiene que x = e. (f) De la unicidad del elemento neutro y de se tiene el resultado. Ejemplos. (x y) x y = (x y) (y x) = x (y y) x = (x e) x = x x = e x y (x y) = (y x) (x y) = y (x x) y = (y e) y = y y = e. 1. Los enteros con la suma, (Z, +), son un grupo abeliano. 2. Los racionales con la suma, (Q, +) y los racionales menos el 0 con la multiplicación, (Q,.), son grupos abelianos. 3. Los reales con la suma, (R, +) y loa reales menos el 0 con la multiplicación, (R,.), son grupos abelianos. 4. Las matrices con coeficientes reales de dimensin m n con la adición, (R (m.n), +), tienen estructura de grupo abeliano, en particular los vectores (R n, +). 5. Las clases residuales de Z módulo 4 con la suma (Z (4), +). Escribimos la tabla (Tabla de Caley) Observamos que las propiedades comutativa, neutro y opuesto se comprueban facilmente con la ayuda de la tabla. 6. (Z (p),.) con p primo. Veamos la tabla de Caley para p = El grupo de las permutaciones de orden n con la composición de aplicaciones(p n, ). Consideramos las permutaciones de orden 3, utilizamos la notación de las permutaciones cíclicas (tambien se puede utilizar la imagen de la aplicación),

16 16 2. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE GRUPOS p 1 = p 2 = p 3 = p 4 = p 5 = p 6 = se representa por e se representa por (2, 3) se representa por (1, 2) se representa por (1, 2, 3) se representa por (1, 3, 2) se representa por (1, 3). Consideramos la operación composición de aplicaciones, por ejemplo p 2 p 4 = = (1, 3) = p Este elemento lo colocamos en la fila 4 y la columna 2. Escribimos la tabla p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 p 1 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 p 2 p 2 p 1 p 4 p 3 p 6 p 5 p 3 p 3 p 5 p 1 p 6 p 2 p 4 p 4 p 4 p 6 p 2 p 5 p 1 p 3 p 5 p 5 p 3 p 6 p 1 p 4 p 2 p 6 p 6 p 4 p 5 p 2 p 3 p 1 Proposición El grupo (G, ) es conmutativo si y solo si x y = x y Demostración. Si el grupo es conmutativo se tiene que x y = y x = x y.

17 2.2. SUBGRUPOS 17 Supongamos ahora que se verifica x y = x y, entonces aplicando las propiedades de la proposición (e), (f), la hipótesis y (e) sucesivamente, se tiene y el grupo es conmutativo Subgrupos x y = x y = y x = y x = y x, Definición Dado un grupo (G, ) y un subconjunto H G, H. (H, *) es un subgrupo de (G, ), y se denota (H, ) (G, ), si H es un grupo con respecto a la operación * definida en G. Los subgrupos (G, ) y ({e},*) se llaman subgrupos impropios de G. Los restantes subgrupos se llaman propios. Proposición Teorema de caracterización Sea H, H G y (G, ) grupo. Entonces, (H, ) (G, ) x, y H, se verifica que x y H. Demostración. = ) Supongamos que (H, ) es subgrupo, si y H por la existencia de simétrico y H y como * es ley de composición interna en H x y H. ) Sea x H. Entonces x x = e H y e x = x H, por lo que queda demostrado la existencia del neutro y del simétrico de cada elemento en H. Para probar que * es ley de composición interna, basta observar que x y = x y H. Por último, la asociatividad de la operación en H se deduce de la asociatividad de la operación en G. Proposición Sea I un conjunto de índices, y sean Hi, i I subgrupos de un grupo (G, ). Entonces, Hi es un subgrupo de G. i H Demostración. Sean x, y Hi para todo i I. Por ser Hi subgrupos, x ȳ Hi para todo i I. Entonces, x ȳ Hi. i H 2.3. Homomorfismos de grupos Definición Sean (G, ) y (H, ) grupos y sea f : G H una aplicación entr ellos. Se dice que f es un homomorfismo si verifica f(x y) = f(x) f(y). Un homomorfismo inyectivo recibe el nombre de monomorfismo; un homomorfismo suprayectivo, epimorfismo; un homomorfismo biyectivo, isomorfismo; y un isomorfismo de G en sí mismo, automorfismo. Si existe un isomorfismo entre (G, ) y (H, ), se dice que ambos grupos son isomorfos, y se denota (G, ) (H, ).

18 18 2. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE GRUPOS Proposición Sean (G, ) y (H, ) grupos y sea f : G H un homomorfismo entre grupos. Se verifica que i. { f(x y 1 ) = f(x) f(y) 1 f(y 1 x) = f(y) 1 f(x) ii. f(e G ) = e H. iii. f(x 1 ) = (f(x)) 1. Demostración. i. Como f es homomorfismo de grupos f(x y 1 ) f(y) = f((x y 1 ) y) = f(x (y 1 y)) = f(x e G ) = f(x), y operando a la derecha por f(y) 1, (f(x y 1 ) f(y)) f(y) 1 = f(x) f(y) 1 f(x y 1 ) = f(x) f(y) 1. La demostración de la otra igualdad es totalmente análoga. ii. Sustituyendo x por y en las igualdades anteriores se tiene el resultado. iii. Basta sustituir x por e G en las primera igualdad y utilizar el apartado anterior, f(e G y 1 ) = f(e G ) f(y) 1 = e H f(y) 1 f(y 1 ) = f(y) 1. Definición Sean (G, ), (H, ) grupos, y sea f : G H un homomorfismo entre ellos. Se llaman núcleo e imagen de f a los conjuntos ker(f) = {g G/f(g) = e} Im(f) = f(g) = {h H/ existe g G : f(g) = h} Proposición Sean G, H grupos, y f : G H un homomorfismo. Si G es abeliano, f(g) es abeliano. Demostración. f(x)f(y) = f(xy) = f(yx) = f(y)f(x).

19 2.4. TEOREMA DE LAGRANGE Teorema de Lagrange Clases de un grupo módulo un subgrupo Definición Sea H un subgrupo de un grupo G. Se llama clase por la izquierda de G módulo H a cada conjunto gh = {gh : h Hcong G}. Análogamente, se llama clase por la derecha de G módulo H a cada conjunto Hg = {hg : h H con g G}. Proposición Sea H un subgrupo de un grupo G. Entonces, la relación H definida en G según es una relación de equivalencia, con [g] = gh. x H y x 1 y H Demostración. La relación H es reflexiva ya que x 1 x = e H por ser H subgrupo. Es simétrica, puesto que, si x H y = x 1 y H y como H es subgrupo = (x 1 y) 1 = y 1 x H = y H x. Es transitiva ya que, si x H y y H z = x 1 y H y 1 z H = (x 1 y)(y 1 z) = x 1 z H = x H z. Veamos ahora las clases de equivalencia. Tenemos que demostrar la igualdad de los conjuntos gh = [g]. Supongamos gh gh, entonces g 1 gh = hinh de donde g H gh y gh [g]. Reciprocamente, si x [g] entonces, g 1 x = h para un cierto h H. De donde x = gh gh.. Observación Las clases a la izquierda módulo H constituyen una partición de G. Proposición Sea H un subgrupo de un grupo G. Para todo g G existe una biyección entre H y gh. Demostración. Sea Veamos que es una aplicación inyectiva, si α : H gh h α(h) = gh. α(x) = α(y) = gx = gy = x = y. Por otro lado es claro que α(h) = gh y la aplicación es sobre. El cardinal de estos dos conjuntos es el mismo, H = gh.

20 20 2. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE GRUPOS Teorema de Lagrange Definición Se llama índice de H en G, y se denota [G : H], al número de clases por la izquierda de G modulo H. Teorema (Lagrange) Sea H un subgrupo de un grupo finito G. Entonces, H divide a G. En particular, se tiene que G = [G : H] H Esto es consecuencia de que la relación de equivalencia H particiona G en [G : H] clases distintas y todas las clases tiene el mismo cardinal H Grupos cíclicos Definición Se dice que un grupo (G, ) es cíclico si existe al menos un elemento a G tal que G = {a n : n Z}. Se dice que a es un generador de G y se denota por G =< a >. Definición Sea (G, ) un grupo. Se define el orden de a G como el cardinal del subgrupo generado por a. orden(a) = < a >. Si el orden(a) es finito se dice que a es un elemento de torsión en G. Proposición Sea (G, ) un grupo finito, a G y n = orden(a). Entonces, se tiene que, a n = e < a >= {a, a 2,..., a n 1, a n = e} y todos los elementos de este conjunto son distintos. Demostración Puesto que G es finito el conjunto {a n : n Z} tiene que ser finito. Sea n el menor natural que verifica a n = e, entonces los elementos del conjunto a, a 2,..., a n 1, a n = e son todos distintos. En efecto, si a r = a s, s < r < n entonces a r s = e contradicción con la definición de n Propiedades de los elementos de torsión Proposición Sea (G, ) un grupo y a, b G elementos de torsión. Entonces, i. a k = e ord(a) es divisor de k, ord(a) k. ii. ord(a) = 1 a = e. iii. ord(a 1 ) = ord(a) Demostración.

21 2.5. GRUPOS CÍCLICOS 21 i. Suponemos que ord(a) = n. Si a k = e, y k = nc + r con r < n < k. Entonces, a k = a nc a r = a r = e. Por lo tanto, r = 0 y n es divisor de k. El recíproco es trivial. ii. ord(a) = 1 a 1 = a = e < a >= e. iii. Si a n = e, entonces (a n ) 1 = (a 1 ) n = e 1 = e Consecuencias del teorema de Lagrange Corolario Para todo g G con G finito el ord(g) es un divisor de G. Demostración. Esto es debido a que el ord(g) = < g > y por el teorema de Lagrange si un grupo es finito, el orden de un subgrupo es divisor del orden de grupo. Corolario Sea G un grupo de orden p 1 primo. Entonces, G es cíclico. Demostración Sea g G y g e. Como los únicos divisores de p son 1 y p, si ord(g) = 1 entonces g = e. Por lo tanto ord(g) = p y G =< g >.