A continuación obligamos, aplicando el producto escalar, a que los vectores:

Transcripción

1 G1.- Se sabe que el tiángulo ABC es ectángulo en el vétice C, que petenece a la ecta intesección de los planos y + z = 1 e y 3z + 3 = 0, y que sus otos dos vétices son A( 2, 0, 1 ) y B ( 0, -3, 0 ). Halla C y el áea del tiángulo ABC. Calculaemos el punto C imponiendo las condiciones del poblema: En pime luga ponemos en paaméticas la ecta intesección de los planos dados: Como no apaece el valo de x, ésta no se encuenta sometida a ninguna esticción y podemos hace x = λ, esolviendo el sistema fomado po los dos planos obtenemos: z=1, y=0; con ello cualquie punto de la ecta seá de la foma: C λ ( λ, 0, 1 ). A continuación obligamos, aplicando el poducto escala, a que los vectoes: C λ A ( 2-λ, 0, 0 ) y C λ B ( - λ, -3, -1 ), sean otogonales: C λ A.C λ B = 0 po tanto: ( 2-λ, 0, 0 ). ( - λ, -3, -1 ) = 0-2 λ + λ 2 = 0 λ 1 = 0 y λ 2 = 2 ( obseva que de las dos soluciones la segunda no es válida paa el poblema, poqué apaece? ). Sustituyendo en C λ ( λ, 0, 1 ) obtenemos el punto C pedido: C ( 0, 0, 1 ). Po último, paa halla el áea del tiángulo, nos basta obtene la mitad del módulo del poducto vectoial de los vectoes CA y CB: S = 1 2 CA CB CA CB = i j k : ( 0, 2, -6 ) S = ( ) = 10 u 2. COMPLEMENTOS: Dibuja, tomando un sistema de efeencia otonomal, la ecta y los puntos B y C del poblema. Obseva como dada la ecta en paaméticas podemos escibi un punto cualquiea de ella como P λ ( x(λ), y(λ), z(λ) ); esto nos pemite halla puntos que se deslizan sobe ectas y que se encuentan sometidos a condiciones específicas. Ej. Halla un punto de la ecta x 2 x + 1 y + 2 = =, cuya distancia a P (2, 0, -1) sea 15 u

2 G2.- Halla la pependicula común a las ectas: x = 1 y = 1 z = α ; s x = β y = β 1 z = 1 Existen vaios métodos paa esolve este poblema ( debes epasalos, pues es un poblema clásico de geometía ), lo vamos a hace dando la ecuación implícita de la ecta pependicula a las dos dadas ( intesección de dos planos), paa ello calculamos dos planos con las caacteísticas siguientes: π : Plano que contiene a la ecta y es pependicula a la ecta s. π s : Plano que contiene a la ecta s y es pependicula a la ecta. Paa calcula estos planos necesitaemos los siguientes elementos: Punto de la ecta : P ( 1, 1, 0 ); vecto de diección de la ecta : d ( 0, 0, 1 ) Punto de la ecta s: P s ( 0, -1, -1); vecto de diección de la ecta s: d s ( 1, 1, 0 ) Poducto vectoial de los vectoes d y d s : d d s ( -1, 1, 0 ). El plano π debe contene a la ecta, po ello nos vendá deteminado po el punto P y el vecto d, como además debe se pependicula a la ecta s tomaemos como segundo vecto del plano el poducto vectoial ( vecto pependicula a las dos ectas) d d s : 0 1 x 1 π 0 1 y 1 = 0 π x + y 2 = z El plano π s debe contene a la ecta s, po ello nos vendá deteminado po el punto P s y el vecto d s, como además debe se pependicula a la ecta tomaemos como segundo vecto del plano el poducto vectoial ( vecto pependicula a las dos ectas) d d s : 1 1 x π s 1 1 y + 1 = 0 π s z + 1 = z + 1 Po ello la ecuación de la ecta pedida es: p x + y 2 = 0 z + 1= 0

3 G3.- Sean los puntos A (1, 2, 1), B (2, 3, 1), C(0, 5, 3) y D(-1, 4, 3). a) Pueba que los cuato puntos están en el mismo plano. Halla la ecuación de dicho plano. b) Demuesta que el polígono de vétices consecutivos ABCD es un ectángulo. c) Calcula el áea de dicho ectángulo. a) Podíamos halla el plano que contiene a tes de los puntos y estudia si el oto punto está incluido en dicho plano; peo como nos lo pide en el oto oden lo haemos así: Paa que los cuato puntos sean coplanaios los vectoes: AB( 1, 1, 0), AC(-1, 3, 2) y AD(-2, 2, 2) deben se linealmente dependientes y paa ello estudiamos el deteminante coespondiente: = 0 los vectoes son linealmente dependientes los puntos son coplanaios Paa halla la ecuación del plano tomaemos como punto de éste el punto A, y como vectoes 1 1 x 1 paalelos a él: AB y AC, con esto obtenemos: 3 1 y 2 = 0 x y + 2z 1 = z 1 b) Paa hacelo, demostamos que el ángulo $ A es ecto y que los vectoes AB y DC, AD y BC son, espectivamente, equipolentes: AB. AD = AB. AD cos A $ (1, 1, 0). ( -2, 2, 0 ) = cos A $ cos $ A = 0 $ A = AB( 1, 1, 0), DC(1, 1, 0) y AD(-2, 2, 2), BC( -2, 2, 2) ABCD es un ectángulo. c) Paa halla el áea de dicho ectángulo calculamos el valo absoluto del poducto i j k vectoial de AB y AD: ABxAD = = 4 k S = AB x AD = 4 u

4 G11.- Las ectas: x + y 2 = 0 x + y 6 = 0 y s 2x + 2y + z 4 = 0 x + y z 6 = 0 contienen los lados de un cuadado. a) Calcula el áea del cuadado. b) Halla la ecuación del plano que contiene al cuadado. A pesa de que el ejecicio da po supuesto que los lados del cuadado están contenidos en las ectas dadas, vamos a compoba que eso es cieto, paa ello las dos ectas deben se paalelas. Estudiamos sus posiciones elativas; tomemos un vecto de diección de cada una de ellas; paa hacelo hallaemos el poducto vectoial de los vectoes nomales a los planos que foman las ecuaciones implícitas de y s: x + y 2 = 0 n 1 ( 1, 1, 0 ) ; 2x + 2y + z 4 = 0 n 2 ( 2, 2, 1 ) x + y 6 = 0 i j k n 1 ( 1, 1, 0 ); x + y z 6 = 0 d ( 1, -1, 0 ) ; i j k n 2 ( 1, 1, -1) d s ( -1, 1, 0 ) Al se d y d s popocionales, las dos ectas son paalelas o coincidentes; paa obseva a que posición coesponde de las dos anteioes tomamos un punto de cada una de las ectas y fomamos el vecto que los une: En : paa x = 0 y = 2, z = 0 R ( 0, 2, 0 ) En s : paa x = 0 y = 6, z = 0 S (0, 6, 0 ) Luego el vecto seá: RS ( 0, 4, 0 ), que, evidentemente no es popocional a los anteioes, po tanto las dos ectas son paalelas. a) Paa halla el áea del cuadado, basta eleva al cuadado la distancia ente ambas ectas; este poblema se puede esolve de vaias fomas, lo haemos aplicando la fómula: RS d s dist(,) s = dist( R,) s = ; RS x d s ( 0, 0, 4 ) RS x d s = 4; d s d s = 2 dist(, s) = 42 u., po tanto paa la supeficie pedida: S = 8 u2. b) Paa obtene el plano que contiene a ambas ectas, tomaemos como vectoes paalelos al plano los vectoes: RS ( 0, 4, 0 ) y d ( 1, -1, 0 ), y como punto del plano, el punto R ( 0, 2, 0 ) 0 1 x π = 4 1 y 2 = 0 Π : z = z

5 x = 1 + λ G4.- Considea el plano π 2x + y z + 7 = 0, y la ecta: y = 1 + λ z = 1+ 3λ a) Halla la ecuación de un plano pependicula a π y que contenga a la ecta. b) Hay algún plano paalelo a π que contenga a la ecta?, en caso afimativo detemina sus ecuaciones. a) Un plano que contenga a la ecta y que sea pependicula a π nos vendá deteminado po un punto P de la ecta un vecto de diección de la ecta d y un vecto pependicula al plano; po tanto, de las ecuaciones de la ecta y el plano, obtenemos diectamente: P ( 1, 1, 1 ) ; d ( 1, 1, 3 ) ; n ( 2, 1, -1 ), y paa la ecuación del plano pedido: 1 2 x y 1 = 0 4x - 7y + z + 2 = z 1 b) Paa que exista algún plano paalelo al plano π que contenga a la ecta, ambos deben se paalelos, estudiamos sus posiciones elativas : 2 ( 1 + λ ) λ - ( λ )+ 7 = 0 0 λ + 9 = 0 ecta y plano no tienen puntos en común ecta y plano π paalelos existe un plano π que contiene a y es paalelo a π. Buscamos la ecuación de dicho plano, paa ello tomaemos la ecuación del haz de planos que z 1 contienen a la ecta, fomamos la ecuación continua de : x 1= y 1=, a pati de 3 x y = 0 ella la ecuación implícita: con lo que la ecuación buscada es: 3x z 2 = 0 x y + k ( 3x z 2 ) = 0 ( 3k + 1 ) x y kz 2k = 0; de todos los planos que contienen a buscamos aquel que es paalelo a π, po ello sus vectoes pependiculaes deben se popocionales: vecto pependicula al plano π: n ( 2, 1, -1 ), vecto pependicula a π : 3k + 1 n (3k + 1, -1, -k), imponemos la popocionalidad: = 1 = k k = - 1, con ello el 2 plano buscado es: π 2x + y - z - 2 = 0.

6 G5.- Halla la distancia ente las ectas: x = 0 z 2 y 1 = 3 y s x 1= 1 z y = 0 Vamos a esolve el ejecicio de dos fomas distintas: a) En pime luga lo haemos hallando un punto en cada una de ellas de foma que la distancia ente ellos coincida con la distancia ente las dos ectas, es deci calculamos los puntos en las ectas mas póximos ente si; estos puntos se encontaán en la pependicula a ambas, po tanto si los unimos con un vecto, éste debe se otogonal a los vectoes de diección de las ectas y s, ésta seá la condición que nos pemita halla los puntos en cuestión. Hallamos la ecuaciones paaméticas: x = 0 x = 2 µ y = λ ; s y = 0 z = 5 3λ z = µ Con ello, un punto de la ecta seá de la foma R λ ( 0, λ, 5-3λ ), y un punto de la ecta s seá de la foma: Sµ ( 2 - µ, 0, µ ) ; fomamos el vecto que une estos dos puntos: R λ Sµ ( 2 - µ, - λ, µ + 3λ-5 ) Imponemos la condición de que el vecto hallado sea pependicula a los vectoes: d ( 01,, 3) y d s ( 101,,), vectoes de diección de las ectas y s, espectivamente: R λ Sµ d ( 2 - µ, - λ, µ + 3λ-5 ). ( 0, 1, -3 ) = 0 - λ - 3µ - 9λ +15 = 0 10λ + 3µ = 15 R λ Sµ d s ( 2 - µ, - λ, µ + 3λ-5 ). ( - 1, 0, 1 ) = µ +µ + 3λ - 5=0 3λ + 2µ = 7 Resolvemos el sistema anteio en λ y µ : µ = 25/11, λ = 9/11 ; paa los puntos tenemos: R ( 0, 9/11, 28/11 ) y S ( -3/11, 0, 25/11 ) d(s,) = d(r, S) = = = u b) Podemos halla la distancia ente dos ectas que se cuzan aplicando la fómula: d(,s) = d d = s [ d, ds, RS] d d i j k s,, = Calculamos [ d ds RS] = ( 1, 3, 1 ) d = = ds = 11 d(,s) = u ;

7 G6.- Considea los puntos: P(6, -1, -10), Q(0, 2, 2) y R, que es el punto de x + y + z 1= 0 intesección del plano: π 2x + λ y + z 2 = 0 y la ecta y = 1 Detemina λ sabiendo que los puntos P, Q y R están alineados. En pime luga calculaemos el punto intesección de la ecta y el plano en función del paámeto, paa ello esolveemos el sistema fomado po los tes planos: dos de la ecuación implícita de la ecta y el plano dado π ( en ealidad lo que esolvemos son los infinitos sistemas que dependen de λ ) con ello obtendemos el punto R λ : 2x + λy + z 1= 0 x + y + z 1= 0 y = 1 2x + z = 2 λ x + z = 0 R λ ( 2 - λ, 1, λ - 2 ) Encontamos el punto R pedido imponiendo la condición de alineación de los tes puntos, paa ello sean popocionales: debe ocui que los vectoes: PQ y PR λ PQ ( -6, 3, 12 ) ; PR λ ( - λ - 4, 2, λ + 8 ), imponiendo la condición de popocionalidad: λ 4 2 = = 6 3 λ λ = 0; y el punto R tendá de coodenadas: ( 2, 1, -2 )

8 x 2y + z = 0 G7.- Considea el punto A ( 0, 1, -1 ), la ecta : y el plano 2x z = 4 π x 2y z = 2. Halla la ecuación de la ecta que pasa po A, es paalela a π y cota a. Paa halla la ecta pedida lo podemos hace hallando el plano π que contiene al punto A y es paalelo al plano π, a continuación hallaemos el punto A intesección del plano π con la ecta, y po último, la ecta pedida seá la ecta que pasa po los puntos A y A : Haz de planos paalelos a π x 2y z = 2 π k x 2y z 2 + k = 0, de todos ellos hallamos el que pasa po A: k = 0 k = 3, con lo que el plano π x 2y z + 1 = 0. Intesección del plano π con la ecta : x 2y z = 1 x 2y + z = 0 Paa esolve este sistema aplicamos el 2x z = 4 método de Came: = = 8 x = = 14, y = = z = = ; x = - 14 / 8, y = - 5 / 8, z = 4 / 8, luego: A ( - 14 / 8, - 5 / 8, 4 / 8 ) Hallamos, po último, la ecuación de la ecta calculando su ecuación continua: x y 1 z = = x 8y 8 z + = =

9 G8.- Dados los vectoes: u ( 2, 1, 0 ) y v ( - 1, 0, 1 ), halla un vecto unitaio w que sea coplanaio con u y v, y otogonal a v. Paa que los tes vectoes sean coplanaios el vecto w debe se combinación lineal de u y v, es deci deben existi dos númeos eales λ y µ tal que: w = λ u + µ v w = λ ( 2, 1, 0 ) + µ ( - 1, 0, 1) w ( 2 λ - µ, λ, µ ). Paa que w y v sean otogonales, su poducto escala debe se ceo: w. v = ( 2 λ - µ, λ, µ ). ( - 1, 0, 1) = ( 0, 0, 0 ) - 2 λ + µ + µ = 0 λ = µ, con lo que el vecto w debe se de la foma: w ( λ, λ, λ ), λ R* ( R* : númeos eales sin el ceo ) COMPLEMENTOS: Obseva que existen infinitos vectoes que cumplen las condiciones pedidas, a qué se debe?. De los posibles valoes paa λ, hemos eliminado el valo ceo, poqué?. G9.- Sean los puntos A ( 1, 0, - 1 ) y B( 2, -1, 3 ). a) Calcula la distancia del oigen de coodenadas a la ecta que pasa po A y po B. b) Calcula el áea del paalelogamo de vétices consecutivos ABCD sabiendo que la ecta deteminada po los vétices C y D pasa po el oigen de coodenadas. a) Paa halla la distancia de un punto ( O ) a la ecta que pasa po A y B, empleaemos la fómula: AO AB do (, ) =, siendo : AO( 101,, ); AB( 1, 14, ) y AB = 18 = 3 2, calculamos el AB i j k poducto vectoial y su módulo: AO AB = = i + 5j + k AO AB( 151,, ) AO AB = 27 = 3 3, y paa la distancia pedida: d(o,) = = u. 2 b) Po tatase de un paalelogamo si la ecta deteminada po los vétices C y D pasa po el oigen de coodenadas, la distancia ente A y C coincidiá con la distancia del oigen de coodenadas a 6 ecta que pasa po A y B: d(a, C ) = 2 u. ; y paa la ota dimensión: d(a, B) = AB = 18 = 3 2 u Po tanto el áea del paalelogamo seá: S = = 3 3 u 2

10 G10.- Calcula el áea del tiángulo de vétices A ( 0, 0, 1 ), B ( 0, 1, 0 ) y C, siendo C la poyección otogonal del punto ( 1, 1, 1 ) sobe el plano x + y + z = 1 Calculamos, en pime luga, la poyección otogonal del punto P (1, 1, 1) sobe el plano π x + y + z 1 = 0 Paa ello obtendemos una ecta que pase po P y sea pependicula a π, a continuación hallamos el punto C ( poyección de P sobe el plano π ) como intesección de la ecta y el plano π : La ecta nos vendá deteminada po el punto P y un vecton pependicula al plano π ; el vecto n lo obtenemos diectamente de la ecuación del plano : n ( 1, 1, 1), con lo que la ecta tendá de ecuación: x = 1 + λ y = 1 + λ z = 1 + λ Hallamos, a continuación, el punto C: (1 + λ) + (1 + λ) + (1 + λ) = λ = 1 λ = - 2/3, y sustituyendo en : C( 1/3, 1/3, 1/3 ). Po último paa calcula el áea del tiángulo pedida lo haemos calculando la mitad del módulo del poducto vectoial de los vectoes AB y AC : AB ( 0, 1, -1 ) ; AC ( 1/3, 1/3, - 2/3 ) AB AC = i j k = i j k AB AC = = S = u

11 G12.- Considea las ectas: x = y x + y = 1, y s z = 2 z = 3 Halla la ecuación de una ecta que cote a y a s, y que sea pependicula al plano z = 0. Encontaemos la ecuación de la ecta pedida como intesección de dos planos π y π que tendán las caacteísticas siguientes: El plano π debeá contene a la ecta y se pependicula al plano z = 0, paa ello lo obtendemos a pati de un punto P de la ecta, un vecto d de diección de y un vecto n pependicula a z = 0: Ponemos en paaméticas: ecuación: P ( 0, 0, 2 ) y x = λ y = λ z = 2, de foma inmediata obtenemos a pati de esta d ( 1, 1, 0 ) ; paa el vecto otogonal al plano : 0 1 x el plano π seá : π 0 1 y = 0 x y = z 2 n ( 0, 0, 1 ), po tanto El plano π debeá contene a la ecta s y se pependicula al plano z = 0, paa ello lo obtendemos a pati de un punto P de la ecta s, un vecto d s de diección de s y un vecto n pependicula a z = 0: x = 1 µ Ponemos s en paaméticas: s y = µ, a pati de ella obtenemos: P ( 1, 0, 3 ) z = 3 d s ( -1, 1, 0 ); con ellos y con n (0, 0, 1) paa π tenemos: π 0 1 x y 1 0 z 3 = 0 x + y = 1 Y paa la ecta pedida : p x y = 0 x + y = 1