POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS REALES

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1 José A. Jiéez Nieto POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL. U poteci de bse u úero rel y epoete u úero turl ( > ) es el producto de fctores igules l bse: ( veces) co > Ejeplo. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Observ que si el epoete es pr l poteci es siepre positiv y, si el epoete es ipr, l poteci tiee el iso sigo que l bse... Propieddes. Clculeos ( ) ( ) El producto de dos potecis de l is bse es otr poteci que tiee por bse l is y por epoete l su de los epoetes. + Clculeos hor : : El cociete de dos potecis de l is bse es otr poteci que tiee por bse l is y por epoete l difereci de los epoetes. : - co > + Clculeos el producto de potecis ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) El producto de dos potecis co el iso epoete es otr poteci que tiee por bse el producto de ls bses y por epoete el iso. b ( Clculeos el cociete : : ( ) : ( ) ( : ) ( : ) ( : ) El cociete de dos potecis co el iso epoete es otr poteci que tiee por bse el cociete de ls bses y por epoete el iso. : b ( : Clculeos, por últio, ( ) ( ) +++ L poteci de u poteci es otr poteci que tiee por bse l is y por epoete el producto de los epoetes. ( ) Mteátics o ESO Potecis y ríces de úeros reles

2 José A. Jiéez Nieto. Clcul ls siguietes potecis. ) ( ) e) f) ( ) g) 0 h) ( ). Escribe e for de u sol poteci. ) y e) ( ) ( ) f) 8 : g) 9 : h) : y i) ( 0) : j) ( ) : ( ). Escribe e for de u sol poteci. ) ( ) ( ) ( ) ( y) e) [( ) ( )] f) (8 : ) g) (9 : ) h) ( : y) i) [( 0) : ] j) [( ) : ( )]. Coplet los huecos. ) 0 ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) 7 ] ( ) e) ( ). POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO. L defiició dd teriorete de potecis de epoete turl eige que el epoete se >. Qué sucede etoces co ls epresioes,,,,, 0,? Se les puede sigr lgú úero de odo que sig siedo válids ls iss propieddes que tiee ls potecis de epoete turl? L respuest es firtiv. L justificció l teeos e el siguiete cudro, dode se plic l defiició de poteci y l propiedd del cociete de potecis. Aplicdo l defiició de poteci Aplicdo forlete l propiedd del cociete de potecis : 0 : : : Si estos dos resultdos debe ser el iso, coviee tor 0 : : Ls potecis de bse u úero rel y epoete etero se defie sí: ( veces) co > 0,, - co Co est defiició, ls propieddes de ests potecis so ls iss que ls de ls potecis de epoete turl. Ejeplo ( ) ) ( ) 0 ( ) 8 : 8 : ( ) ( ) ( : ) 7 Mteátics o ESO Potecis y ríces de úeros reles

3 José A. Jiéez Nieto. Clcul ls siguietes potecis. ) ( ) : ( ) [( ) ] e) ( 7) : f) ( ) g) 8 ( ) h) ( ) : ( ). Hll el vlor de ls siguietes epresioes. ) : : : : e) + f) 7. Siplific todo lo que pueds ls siguietes epresioes y clcul su vlor. ) ( ) ) ) 8 ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 9 ). POTENCIAS DE BASE 0. NOTACIÓN CIENTÍFICA. Utilidd de l otció potecil Si decios que el úero de quiiels de prtidos es.78.99, es fácil que l yorí se les olvide; pero si decios que es (, resultdos de u prtido, y, úero de prtidos), seguro que es ás fácil recordrlo. L velocidd de l luz e el vcío es proidete k/s. Est ctidd escrit e etros por segudo es /s. Co potecis se puede escribir sí: 0 8 /s. Epresió potecil de úeros uy grdes L s de l Tierr es, proidete kg. Utilizdo potecis se escribe 98 0 kg. U ño luz es l logitud que recorre l luz e u ño. Su vlor es, proidete, , que utilizdo potecis se escribe 9 0. Epresió potecil de úeros uy pequeños L s de u protó es kg. Co potecis se puede escribir de l for kg. Cudo se trbj co úeros uy grdes o uy pequeños surge el proble de cóo represetrlos de l for ás siple posible. Solvetreos est dificultd edite l utilizció de l otció cietífic. U úero e otció cietífic, N bcd 0 k, cost de: U prte eter ford por u sol cifr o ul ( es u úero etero del l 9). U prte decil. U poteci de bse 0 co epoete etero (k es u etero positivo o egtivo). E est otció el epoete k idic el orde de l gitud. Ejeplo. Veos lguos ejeplos de coversió otció cietífic. 7 tiee tres dígitos eteros y, por tto, hbrá que desplzr l co hci l izquierd dos lugres. Luego tiee u dígito etero pero es ulo. Hbrá, pues, que desplzr l co hci l derech hst el prier dígito o ulo, es decir, ueve lugres. Así, Mteátics o ESO Potecis y ríces de úeros reles

4 José A. Jiéez Nieto E l tbl djut se uestr lgus potecis de 0. Co epoete positivo Co epoete egtivo 0 0 u uidd 0 0' u déci u dece 0 0'0 u cetési u cete 0 0'00 u ilési u uidd de illr 0 0'000 u diezilési Opercioes e otció cietífic. Pr sur scos fctor coú 0 y suos l prte decil de cd úero ( 87 + ) Cudo los epoetes so distitos, por ejeplo , coo o podeos scr fctor coú se reduce epoete coú (el yor de ellos) y operos coo teriorete ( ) Pr restr dos úeros e otció cietífic se procede coo e l su: se reduce epoete coú (el yor de ellos) y, posteriorete, se rest l prte decil de bos úeros ( ) Pr ultiplicr dos úeros e otció cietífic se ultiplic ls prtes deciles y se ultiplic los epoetes. ( 0 ) ( 0 ) ( ) (0 0 ) Pr dividir dos úeros e otció cietífic se divide ls prtes deciles y se divide los epoetes. ( 0 ) : ( 0 7 ) ( : ) (0 : 0 7 ) Escribe e otció cietífic los siguietes úeros. ) billoes 7 billoésis 9. Escribe e otció decil los siguietes úeros. ) L costte de Plck, 7 0 es uo de los úeros positivos ás pequeños que se utiliz e físic. Escrito e otció decil , cuátos ceros hy después de l co tes de l prier cifr sigifictiv?. Efectú ls siguietes opercioes epresdo el resultdo e otció cietífic. ) ( 0 ) : ( 8 0 ) e) ' 0 ' 0 '7 0 + '9 7 f) (' 0 7 ) 7' 0 ('8 0 ) ' 0 ) ) Mteátics o ESO Potecis y ríces de úeros reles

5 José A. Jiéez Nieto. RAÍCES DE NÚMEROS REALES. Ateriorete se h clculdo l ríz cudrd de u úero por proicioes sucesivs utilizdo l estrtegi «eor-yor». Etedeos hor este étodo pr hllr l ríz de ídice culquier de u úero. Qué úero positivo ultiplicdo por sí iso tres veces d? Este úero se idic co el síbolo y se. ll ríz cúbic de. Por defiició, ( ) Aproició eter:,,, 8 ; 7 Luego < < El error coetido es eor que u uidd. Aproició decil:,,, 8 ; Luego ' < < ' El error coetido es eor que u déci. Aproició cetesil:,,, 889 ; 7 09 Luego ' < < ' 7 El error coetido es eor que u cetési. Ls sucesivs proicioes d que es l epresió decil de l ríz cúbic de. Este úero es irrciol (o periódico). Los úeros positivos cuyo cubo es,,, se desig por,,, y se ll ríces cúbics. Los úeros positivos cuy curt poteci es,,, se desig por,,, y se ll ríces curts. Ls ríces siguietes de úeros positivos se ll ríces quits, sets, séptis, y e geerl ríces eésis. Tods ls ríces se puede clculr utilizdo l poteci y l estrtegi «eor-yor». Ríz eési de u úero rel, se escribe, siedo u úero turl, es otro úero rel b que cuple b. b E l epresió, se ll ídice y rdicdo. b.. Núero de ríces. Rdicles de ídice pr Si el rdicdo es positivo, eiste dos ríces opuests. Por ejeplo, l ríz cudrd de puede ser ó. Pr distiguirls se escribe y. Si el rdicdo es 0 tiee por ríz 0. Si el rdicdo es egtivo o tiee ríces, pues igú úero b puede ser ríz de u rdicdo egtivo, y que b 0 cudo es pr. Por ejeplo, o tiee ríces y que o eiste igú úero b tl que b. Mteátics o ESO Potecis y ríces de úeros reles

6 José A. Jiéez Nieto Rdicles de ídice ipr E este cso todo úero tiee u sol ríz: positiv si el rdicdo es positivo, egtiv si el rdicdo es egtivo y ul si el rdicdo es 0. Por ejeplo, 8, 0 0, 8. E el siguiete cudro se resue lo terior: Ídice: Rdicdo: Nº de ríces > 0 ríces opuests Pr 0 ríz ul < 0 No tiee ríces > 0 ríz positiv Ipr 0 ríz ul < 0 ríz egtiv. Epres e for de poteci ls relcioes siguietes. ) y e) 97' '. Hll proicioes por defecto y por eceso de ls siguietes ríces co error eor que u déci. ) ' 8. 0 e) 0 f) 8'.. Rdicles equivletes. Dos rdicles diferetes que tiee ls iss ríces se dice que so equivletes. Por ejeplo, los rdicles, y tiee l is ríz: 0 Rdicles equivletes so los que tiee ls iss ríces. Si se ultiplic o divide el ídice de u rdicl y el epoete del rdicdo por u iso úero turl distito de 0, se obtiee otro rdicl equivlete. k k, : k : k, k 0 Est propiedd perite siplificr rdicles, obteer vrios rdicles co el iso ídice y coprr rdicles. El proceso es siilr l que se utiliz co ls frccioes. Pr siplificr rdicles se divide el ídice y el epoete del rdicdo (os yudos de l descoposició e fctores prios del rdicdo) por u divisor coú de bos (e lguos csos es cosejble dividirlos por el.c.d. de estos). Ejeplo. 8, dode heos dividido por, quí heos dividido por 8, heos dividido por el.c.d. (8, ) Mteátics o ESO Potecis y ríces de úeros reles

7 José A. Jiéez Nieto Pr obteer rdicles co el iso ídice se procede coo se eplic cotiució.. Se to coo ídice coú de todos los rdicles el.c.. de los ídices.. Se ultiplic el epoete de cd rdicdo por el cociete de dividir el.c.. por el ídice de dicho rdicl. Ddos dos rdicles que tiee el iso ídice, es eor (<) o yor (>) el que tiee eor o yor rdicdo, respectivete. Ejeplo. Reduce coú ídice y orde los siguietes rdicles:, y. Toos coo ídice coú el.c.. (,, ) y hllos los rdicles equivletes los ddos co ídice : 9 : ; : ; : 0 Ordeció: < < pues 9 < < 0. Siplific ls siguietes epresioes rdicles: 8, y. 0. Reduce coú ídice y orde los siguietes rdicles. ) 7, y 8, y 9.. Potecis de epoete rciol. Hst hor se h defiido ls potecis de epoete etero. A ls epresioes /, /, /7, /9, se les puede sigr lgú úero de odo que sig siedo válids ls iss propieddes que tiee ls potecis de epoete etero? A cotiució vos justificr l defiició de ests potecis. Aplicdo l defiició y ls propieddes de ls ríces E geerl: ( ) ( ) Pr que se sig cupliedo ls propieddes de ls potecis / / ( ) Pr que estos dos resultdos se el iso, coviee tor / ( / ) / Aplicdo l defiició y ls propieddes de ls ríces ( ) ( ) Pr que se sig cupliedo ls propieddes de ls potecis / ( ) / / ( ) Pr que estos dos resultdos se el iso, coviee tor / / U poteci de epoete rciol / es igul u rdicl dode: el deoidor de l frcció es el ídice del rdicl; el uerdor de l frcció es el epoete del rdicdo. / ; / Mteátics o ESO Potecis y ríces de úeros reles 7

8 José A. Jiéez Nieto Ejeplo. Clculeos ls siguietes potecis de epoete rciol utilizdo ls propieddes de ls ríces y ls de ls potecis. / / / ) 8 8 ; ( ) 8 / ; 8 ( ) / /. Escribe e for rdicl ls siguietes potecis de epoete rciol. ) / 7 / 7 / 9 / e) 0 f) 0/ g) 0 h) 8 / 7. Escribe coo potecis los siguietes rdicles. ) 7 9 e) f) 0 g) h).. Propieddes de ls ríces. Ls siguietes regls idic coo se oper co rdicles. Pr deostrrls bst elevr l poteci del ídice los dos iebros y coprobr que el resultdo es el iso. Veos, por ejeplo, el vlor de : Si elevos l cudrdo y plicos l defiició de ríz, ( ) ( ) ( ) Luego es u úero que, elevdo l cudrdo, d ; el úero que cuple est codició es Por tto, Propiedd Ejeplo Descripció El producto de dos rdicles del iso ídice b b es otro rdicl que tiee por ídice el coú y por rdicdo el producto de los rdicdos. El cociete de dos rdicles del iso ídice es : b : b : otro rdicl que tiee por ídice el coú y por rdicdo el cociete de los rdicdos. L poteci de u ríz es otr ríz que tiee por ( ) ( ) ídice el iso y por rdicdo l poteci del rdicdo. L ríz de u ríz es otr ríz que tiee por ídice el producto de los ídices y por rdicdo el iso. Ests propieddes perite itroducir o scr fctores del rdicl y siplificr ríces. Fíjte e los siguietes ejeplos. Ejeplo. Itroducir e l ríz los fctores que está fuer e ls siguietes epresioes: y Scr fuer de l ríz los fctores posibles e ls siguietes epresioes: 00 y Mteátics o ESO Potecis y ríces de úeros reles 8

9 José A. Jiéez Nieto 8. Reliz ls siguietes opercioes utilizdo rdicles y potecis de epoete rciol. ) 9 0' 8 9. Epres coo poteci y ríz úic ls siguietes epresioes. ) ( ) / : e) e) f) 0. L ríz cudrd de l ríz cúbic de u úero positivo, qué equivle? Po u ejeplo. Idic hor cóo se clcul l ríz set del úero positivo... Si sbes clculr l ríz cudrd de u úero, puedes hllr l ríz octv de culquier úero positivo? Aplíclo 8... Itroduce o sc fctores del rdicl. ) 7. Clcul ls siguietes divisioes de rdicles. ) : : :. Clcul, si utilizr l clculdor, ls siguietes ríces. ) 0 ' 8 f) e) f) g). 00 h) 00 0 ' 8 : e) 8 : 9 f) e) 7 9 : 8.. Rdicles seejtes. Dos rdicles so seejtes si tiee el iso ídice y el iso rdicdo. Ejeplo., y 0 so rdicles seejtes, pues 0. Observ que pr l obteció de rdicles seejtes os yudos scdo fctores de ls ríces. Recuerd que ls propieddes de ls ríces hcí refereci l producto y cociete de ésts. Ahor deás, si operos co rdicles seejtes, podreos relizr opercioes de sus y rests; pr ello es suficiete scr fctor coú e tles epresioes. Ejeplo. 0 ( ) ( + + ). Su los siguietes úeros scdo previete los fctores posibles. ) Su los siguietes rdicles reduciédolos previete rdicles seejtes. ) + y + y y y + 8 y Mteátics o ESO Potecis y ríces de úeros reles 9

10 José A. Jiéez Nieto.. Rciolizció. E ls opercioes co rdicles prece veces frccioes co rdicles e el deoidor. Rciolizr cosiste e hllr u frcció equivlete que o teg e el deoidor rdicles. El proceso seguir cosiste e ultiplicr por u epresió decud uerdor y deoidor. E quells frccioes e ls que e el deoidor figure u epresió del tipo, ultiplicreos uerdor y deoidor por l is epresió. Ls epresioes - b y + b, y ls del tipo - b y + b, se dice que so cojugds. E ls frccioes cuyo deoidor prezc lgu de ests epresioes, ls rciolizreos ultiplicdo uerdor y deoidor por l epresió cojugd del deoidor. Ejeplo. ( ) ( ) ( + ) ( + ) + ( )( ) + ( ) ( + ) ( + ) ( )( ) + ( ) ( ) + ( + ) ( + ) + 7. Rcioliz ls siguietes frccioes. ) 0 e) + f) 8. Hll el vlor de ls siguietes epresioes. ) Multiplic por su cojugd cd u de ls epresioes siguietes. ) + y 0. Rcioliz ls siguietes frccioes. 8 ) 7 9 y + Mteátics o ESO Potecis y ríces de úeros reles 0

11 José A. Jiéez Nieto SOLUCIONES A LOS PROPUESTOS.. Clcul ls siguietes potecis. ) ( ) e) f) ( ) g) 0 h) ( ) ) e). f) g).0 h) 79. Escribe e for de u sol poteci. ) ( 7) ( 7) : e) 7 : 7 f) 9 g) ( ) h) [( ) ] i) ( ) 9 : ( ) j) ( 9) 7 : ( 9) ) 7 (-7) 7 e) 7 f) g) h) (-) i) (-) j) (-9). Escribe e for de u sol poteci. ) y e) ( ) ( ) f) 8 : g) 9 : h) : y i) ( 0) : j) ( ) : ( ) ) 8 0 ( y) e) f) g) h) ( : y) i) (-) j). Coplet los huecos. ) 0 ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) 7 ] ( ) e) ( ) ) 9 8 e). Clcul ls siguietes potecis. ) ( ) : ( ) [( ) ] e) ( 7) : f) ( ) g) 8 ( ) h) ( ) : ( ) ) (-) - / (-) -0 / e) (-) -.7 f) g) (-) h) (-) -. Hll el vlor de ls siguietes epresioes. ) : : : : -9/ e) + / f) 7. Siplific todo lo que pueds ls siguietes epresioes y clcul su vlor. ) ( ) ) ) 8 ( ) ) ( ) ) ( ) -/ ( ) ( ) 9 ) ) (-) - (- ) - (-) - -/7-9/ 8. Escribe e otció cietífic los siguietes úeros. ) billoes 7 billoésis ) Escribe e otció decil los siguietes úeros. ) ) L costte de Plck, 7 0 es uo de los úeros positivos ás pequeños que se utiliz e físic. Escrito e otció decil , cuátos ceros hy después de l co tes de l prier cifr sigifictiv? 78 - '7 0 0'0KKK 07. Efectú ls siguietes opercioes epresdo el resultdo e otció cietífic. ) ( 0 ) : ( 8 0 ) e) ' 0 ' 0 '7 0 + '9 7 f) (' 0 7 ) 7' 0 ('8 0 ) ' 0 ) e) f) ) ) Mteátics o ESO Potecis y ríces de úeros reles

12 José A. Jiéez Nieto. Epres e for de poteci ls relcioes siguietes. ) y e) 97' ' ) y e) 97. Hll proicioes por defecto y por eceso de ls siguietes ríces co error eor que u déci. ) ' 8. 0 e) 0 f) 8' ) ' < 7 < ' ' < 8 < ' 7 9 '8 < 97'8 < 9' 9 7' <.0 < 7' e) - ' < -0 < -' f) No tiee ríces por qué?. Siplific ls siguietes epresioes rdicles: 8, y. 0 8, y. 0. Reduce coú ídice y orde los siguietes rdicles. ) 7, y 8, y 9 ) , 0 8, y 0 y < < 7 8 < <. Escribe e for rdicl ls siguietes potecis de epoete rciol. ) / 7 / 7 / 9 / e) 0 f) 0/ g) 0 h) 8 / ) 9 e) f) g) h) Escribe coo potecis los siguietes rdicles. ) 7 9 e) f) 0 g) h) ) / 7 -/ / 9 -/ e) / f) / g) f) -/ 8. Reliz ls siguietes opercioes utilizdo rdicles y potecis de epoete rciol. ) 9 0' 8 9 e) f) ) ' 9 e) ' 7 ' 9 9. Epres coo poteci y ríz úic ls siguietes epresioes. ) ( ) / : ) / ; / ; 7/0 ; e) 0 7 / ; e) -/ ; f) 8 f) / ; 0. L ríz cudrd de l ríz cúbic de u úero positivo, qué equivle? Po u ejeplo. Idic hor cóo se clcul l ríz set del úero positivo.. Se dej pr que lo resuelv el luo.. Si sbes clculr l ríz cudrd de u úero, puedes hllr l ríz octv de culquier úero positivo? Aplíclo 8.. Se dej pr que lo resuelv el luo.. Itroduce o sc fctores del rdicl. ) 7 ) e) f). Clcul ls siguietes divisioes de rdicles. ) : : : e) f) g). 00 h) 00 8 : e) g) 0 h) 8 : 9 f) 0' 87 ' e) ' 08 ' 7 9 : Mteátics o ESO Potecis y ríces de úeros reles

13 José A. Jiéez Nieto. Clcul, si utilizr l clculdor, ls siguietes ríces. ) 0 ' 8 0 ' e) 7 ) / 0 / 0 / 0 / 0 0 e) 9. Su los siguietes úeros scdo previete los fctores posibles. ) Su los siguietes rdicles reduciédolos previete rdicles seejtes. ) + y + y y y + 8 y ) ( y y y ) ( y y ) 7. Rcioliz ls siguietes frccioes. ) 0 e) + f) ) e) + f) - 8. Hll el vlor de ls siguietes epresioes. ) ) Multiplic por su cojugd cd u de ls epresioes siguietes. ) + y ) y 0. Rcioliz ls siguietes frccioes. ) ) ( + ) ( + y ) y - y Mteátics o ESO Potecis y ríces de úeros reles