Formulario y Tablas de Probabilidad para los Cursos de Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría

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1 Formulario y Tablas de Probabilidad para los Cursos de Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría Ernesto Barrios Zamudio 1 José Ángel García Pérez2 Departamento Académico de Estadística Instituto Tecnológico Autónomo de México Octubre 2009 Versión 1.00 Índice 1. Formulario Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad Distribuciones Bivariadas Distribución Normal Bivariada Tablas de Probabilidad Distribución Binomial Distribución Poisson Distribución Normal Estándar Distribución Gamma Distribución t de Student Distribución χ 2 Ji-Cuadrada Distribución F Distribución del estadístico d de Durbin-Watson Tabla de Números Aleatorios Números Seudoaleatorios Material tomado de los documentos de trabajo DE-A09.1 y DE-A09.3, de los mismos autores. 1 ebarrios@itam.mx 2 ja.garciap0@gmail.com 1

2 Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría 2 1. Formulario 1.1. Variables Aleatorias Valor Esperado de g(x) E(g(X)) = g(x)p(x = x), x g(x)f X (x)dx si X es discreta si X es continua Propiedades de la función generadora de momentos M X+a (t) = e at M X (t) M bx (t) = M X (bt) M X+a (t) = e a b t M X ( t b b ) Tercero y Cuarto Momentos con respecto a la Media E[(X µ) 3 ] = E(X 3 ) 3E(X)E(X 2 ) + 2(E(X)) 3 E[(X µ) 4 ] = E(X 4 ) 4E(X)E(X 3 ) + 6(E(X)) 2 E(X 2 ) 3(E(X)) 4 Coeficientes de Asimetría y de Kurtosis C A = α 3 = µ 3 µ 3/2 2 C K = α 4 = µ 4 µ 2 2 Método de Transformación de Variables Sea U = h(y ), con h monótona creciente o decreciente en y. Entonces f U (u) = f Y (y) dy du, donde y = h 1 (u)

3 1.2. Distribuciones de Probabilidad Notas: Γ(α) = Función Función Distribución Notación Soporte R X de E(X) Var(X) Generadora Probabilidad de Momentos Uniforme discreta unif{x 1,...,x K } x {x 1,...,x K } 1 K 1 K K i=1 x i 1 K K (x i E(X)) 2 1 k i=1 i etxi Bernoulli Be(p) x {0,1} p x (1 p) 1 x p p(1 p) pe t + (1 p) Binomial Bin(n,p) x {0,1,...,n} Poisson Po(λ) x {0,1,2,...} Uniforme continua unif(a, b) a x b 0 ( ) n p x (1 p) n x np np(1 p) [pe t + (1 p)] n x λ x e λ x! 1 b a Normal N(µ,σ 2 ) < x < 1 σ 2π exp { 1 2 Gama Gama(α,β) x R + x α 1 e x/β u α 1 e u du. ( x µ ) 2 } σ Entonces: Γ(α + 1) = α Γ(α); Γ(1/2) = π; Γ(1) = 1; Γ(n + 1) = n!, para n = 1,2,... Distribución exponencial: X Exp(λ). Entonces, X Γ(1, 1/λ) y E(X) = 1/λ. Distribución Ji-cuadrada: Y χ 2 n. Entonces, Y Γ(n/2,2/λ) y E(Y ) = n. λ λ e λ(et 1) a + b 2 (b a) 2 12 e tb e ta t(b a) µ σ 2 e µt+ 1 2 σ2 t 2 Γ(α)β α αβ αβ 2 (1 βt) α Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría 3

4 Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría Distribuciones Bivariadas Función de Densidad Condicional f(x 2 x 1 ) = f X 1,X 2 (x 1,x 2 ) f X1 (x 1 ) Valor Esperado de g(x 1,X 2 ) E[g(X 1,X 2 )] = g(x 1,x 2 )P(X 1 = x 1,X 2 = x 2 ) x 1 x 2 g(x 1,x 2 )f X1,X 2 (x 1,x 2 )dx 1 dx 2 Función Generadora de Momentos Conjunta M X1,X 2 (t 1,t 2 ) = E(e t1x1+t2x2 ) Covarianza y Coeficiente de Correlación σ 12 = Cov(X 1,X 2 ) = E [(X 1 E(X 1 ))(X 2 E(X 2 ))] = E(X 1 X 2 ) E(X 1 )E(X 2 ) ρ X1X 2 = σ 12 σ 1 σ 2 Método de Transformación de Variables Sean las variables aleatorias Y 1 y Y 2 funciones de las variables aleatorias X 1 y X 2, de manera que las ecuaciones en y 1 y y 2 tienen solución única para x 1 y x 2 en términos de y 1 y y 2. Esto es, Y 1 = g 1 (X 1,X 2 ) x 1 = h 1 (y 1,y 2 ) y Y 2 = g 2 (X 1,X 2 ) x 2 = h 2 (y 1,y 2 ) Si las funciones y 1 y y 2 tienen derivadas parciales continuas en todos los puntos (x 1,x 2 ), y el determinante Jacobiano g 1 g 1 J(x 1,x 2 ) = x 1 x 2 g 2 g 2 0, para todo (x 1,x 2 ) x 1 x 2 Entonces, f Y1,Y 2 (y 1,y 2 ) = f X1,X 2 (h 1 (y 1,y 2 ),h 2 (y 1,y 2 )) J (h 1 (y 1,y 2 ),h 2 (y 1,y 2 )) 1.

5 Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría Distribución Normal Bivariada Función de Densidad Conjunta { [ (x1 ) 2 ( ) ( ) ( ) ]} 2 1 f X1,X 2 (x 1,x 2 ) = 2πσ 1 σ exp 1 µ 1 x1 µ 1 x2 µ 2 x1 µ ρ 2 2(1 ρ 2 2ρ + ) σ 1 σ 1 σ 2 σ 1 Función Generadora de Momentos Conjunta { M X1,X 2 (t 1,t 2 ) = exp (t 1 µ 1 + t 2 µ 2 ) + 1 ( σ t ρσ 1 σ 2 t 1 t 2 + σ2t 2 2 ) } 2 Valor Esperado y Varianza Condicionales E(X 2 X 1 = x 1 ) = µ 2 + ρ σ 2 (x 1 µ 1 ) σ 1 Var(X 2 X 1 = x 1 ) = σ2(1 2 ρ 2 )

6 Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría 6 2. Tablas de Probabilidad 2.1. Distribución Binomial X Binom(n,θ) p = P(X x) = x k=0 ( ) n θ k (1 θ) n k = 1 α k p α 0 x n Tabla 2A. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 5,6,7,8,9). θ x n = n = n = n = n =

7 Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría 7 Tabla 2B. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 10,11,12,13,14). θ x n = n = n = n = n =

8 Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría 8 Tabla 2C. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 15,16,17,18). θ x n = n = n = n =

9 Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría 9 Tabla 2D. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 19,20,21). θ x n = n = n =

10 Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría 10 Tabla 2E. Probabilidades acumuladas de la distribución binomial (n = 22,23). θ x n = n =

11 Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría 11 Tabla 2F. Probabilidades acumuladas de la distribución binomial (n = 24,25). θ x n = n =

12 Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría Distribución Poisson X Poisson(λ) x λ k e λ p = P(X x) = k! k=0 = 1 α p α 0 x Tabla 2A. Probabilidades acumuladas p de la distribución Poisson. λ x Tabla 2B. Probabilidades acumuladas p de la distribución Poisson. λ x

13 Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría Distribución Normal Estándar Z N(0,1) p = P(Z z) = z φ Z (u)du = 1 α donde φ Z (u) = 1 p α e 1 2 u2 2π 0 z Nota: Si X N(µ,σ 2 ), entonces Z = (X µ)/σ N(0,1). Luego, ( P(X x) = P Z x µ ) σ Tabla 2A. Probabilidades acumuladas p de la distribución normal estándar. z

14 Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría 14 Tabla 2B. Probabilidades acumuladas p de la distribución normal estándar. z

15 Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría Distribución Gamma donde p = P(X x) = X Γ(κ,1) x 0 φ Γ (u)du = 1 α φ Γ (u) = 1 p α Γ(κ) uκ 1 e u 0 x Nota: Si Y Γ(κ, λ), entonces, X = λy Γ(κ, 1). Luego, P(Y y) = P(X λy) Tabla 2. Probabilidades acumuladas p de la distribución κ x

16 Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría Distribución t de Student T t ν siendo ν los grados de libertad. p = P(T t) = t φ T (u)du = 1 α donde φ T (u) = 1 Γ ( ) ν+1 2 νπ Γ ( ) ν 2 ) ν+1 (1 + u2 2 ν p 0 α Tabla 2. Valores críticos t (α;ν) de la distribución t de Student. p α ν

17 Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría Distribución χ 2 Ji-Cuadrada Y χ 2 ν siendo ν los grados de libertad. donde p = P(Y y) = φ χ 2(u) = y 0 φ χ 2(u)du = 1 α 1 2 ν/2 Γ(ν/2) uν/2 1 e u/2 0 x p α Tabla 2. Valores críticos χ 2 (α;ν) de la distribución χ2 ν Ji-Cuadrada. p α ν

18 Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría Distribución F F F ν1,ν 2 siendo ν 1 y ν 2 los grados de libertad. donde φ F (u) = Γ( ν 1+ν 2 2 p = P(F f) = f 0 ) ν ν 1/2 1 ν ν2/2 2 Γ(ν 1 /2)Γ(ν 2 /2) φ F (u)du = 1 α u (ν1/2) 1 (ν 2 + ν 1 u) (ν1+ν2)/2 0 f p α Nota: Si F F ν1,ν 2, entonces, p = P(F F (1 α;ν1,ν 2)) = P ( F 1 F (α;ν2,ν 1) ) = 1 α

19 Tabla 2A. Valores críticos F (α;ν1,ν 2) de la distribución F. p = 0.90 α = 0.10 ν 1 ν Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría 19

20 Tabla 2B. Valores críticos F (α;ν1,ν 2) de la distribución F. p = 0.95 α = 0.05 ν 1 ν Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría 20