ESTADÍSTICA APLICADA. PRÁCTICAS CON SPSS. TEMA 2

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1 ESTADÍSTICA APLICADA. PRÁCTICAS CON SPSS. TEMA ANÁLISIS DE LA VARIANZA CON UN FACTOR El análisis de la varianza estudia el efecto de una o varias variables independientes denominadas factores sobre la variable dependiente. Es una generalización del contraste de medias para dos muestras con datos independientes y se aplica en las situaciones en las que sean tres o más de tres los grupos que se quieren comparar. Los grupos se definen a partir de los factores. Recordemos que las hipótesis iniciales para el análisis de la varianza son: 1. Las poblaciones de donde proceden las muestras tienen que ser normales. Si el tamaño de muestra es suficientemente grande, por el Teorema Central del Límite, se consigue la normalidad. 2. Tienen que tener la misma varianza (homocedasticidad). 3. Las muestras tienen que haber sido elegidas al azar, asegurándose así la independencia. En el caso del análisis de la varianza con un factor tendremos: - Una variable independiente o factor - Una variable dependiente cuantitativa. Se pretende analizar el comportamiento de la variable dependiente en los k niveles o grupos establecidos en la variable independiente. Para realizarlo con SPSS, el fichero debe configurarse de modo que aparezcan en las columnas la variable dependiente y la independiente y después se selecciona: Analizar/Comparar medias/anova de un factor. En la ventana Dependientes del cuadro de dialogo que aparece seleccionamos la/s variable/s cuantitativa/s de nuestro archivo sobre la/s que se quiere estudiar el efecto de la variable independiente o factor, que se coloca en la ventana Factor. Ejemplo 1. Vamos a llevar a cabo un análisis de la varianza con las opciones que el programa tiene establecidas por defecto. Con el archivo Datos de empleados.sav vamos a comprobar si los diferentes grupos definidos por la variable catlab (categoría laboral) difieren en la variable salario (salario actual). Para ello: Seleccionar la variable salario y trasladarla a la lista Dependientes Seleccionar la variable catlab y trasladarla al cuadro Factor. 1

2 El visor de resultados ofrece la siguiente tabla: Salario actual Suma de cuadrados gl Media cuadrática F Sig. Inter-grupos , , ,481,000 Intra-grupos , ,459 Total , Puesto que el p-valor es menor que 0.05 debe rechazarse la hipótesis de igualdad de medias. Por tanto, los salarios difieren según la categoría laboral. BOTÓN OPCIONES Las opciones de este procedimiento permiten seleccionar: Estadísticos: o Descriptivos. Ofrece estadísticos descriptivos referidos tanto a cada grupo como al total muestral. o Efectos aleatorios y fijos. Los niveles de un factor pueden establecerse de dos maneras distintas: fijándolos (se utilizan solamente los niveles que se desea estudiar o los niveles que posee la variable, es la forma habitual de proceder) o seleccionándolos aleatoriamente entre la población de posible niveles del factor. En el primer caso se habla de factor de efectos fijos; en el segundo de factor de efectos aleatorios. Si se elige esta opción, el visor ofrece distintos estadísticos para cada tipo de efectos. o Prueba de homogeneidad de las varianzas. El estadístico F del ANOVA de un factor se basa en el cumplimiento de dos supuestos fundamentales: normalidad y homocedasticidad. Normalidad significa que la variable dependiente se distribuye normalmente en todas las poblaciones muestreadas; si los tamaños de los grupos son grandes, el estadístico F se comporta razonablemente incluso con distribuciones poblacionales sensiblemente alejadas de la normalidad. Homocedasticidad o igualdad de varianzas significa que todas las poblaciones muestreadas poseen la misma varianza; con grupos de distinto tamaño, el incumplimiento de este supuesto debe ser cuidadosamente vigilado. Esta opción permite contrastar este supuesto mediante la prueba de Levene. o Brown-Forsythe y Welch. Representan una alternativa robusta al estadístico F del ANOVA cuando no se puede asumir que las varianzas son iguales. Gráfico de las medias: Permite obtener un gráfico de líneas con la variable factor en el eje horizontal y la variable dependiente en el vertical (igual que el gráfico de perfil en el Anova con más de dos factores). 2

3 Valores perdidos. Los casos con valores perdidos pueden excluirse del análisis utilizando criterios diferentes: o Excluir casos según análisis. Excluye del ANOVA los casos que tienen algún valor perdido en la variable factor o en la variable dependiente que está siendo analizada. Es la opción por defecto. o Excluir casos según lista. Excluye de todos los ANOVA solicitados los casos que tienen algún valor perdido en la variable factor o en cualquiera de las variables trasladadas a la lista Dependientes. Ejemplo 2. Repetimos el análisis marcando las opciones anteriores (salvo efectos aleatorios y fijos). El visor de resultados muestra las siguientes tablas: N Media Desviación típica Descriptivos Salario actual Error típico Intervalo de confianza para la media al 95% Mínimo Máximo Límite inferior Límite superior 363 $27, $7, $ $27, $28, $15,750 $80, $30, $2, $ $30, $31, $24,300 $35, $63, $18, $1, $60, $67, $34,410 $135,000 Total 474 $34, $17, $ $32, $35, $15,750 $135,000 Prueba de homogeneidad de varianzas Salario actual Estadístico de Levene gl1 gl2 Sig. 59, ,000 Puesto que el p-valor es menor que 0.05, se debe rechazar la hipótesis de igualdad de varianzas y concluir que, en las poblaciones definidas por las tres categorías laborales, las varianzas de la variable salario no son iguales. Pruebas robustas de igualdad de las medias Salario actual Estadístico gl1 gl2 Sig. Welch 162, ,312,000 Brown-Forsythe 306, ,906,000 Estas pruebas son una buena alternativa al estadístico F cuando no es posible asumir que las varianzas poblacionales son iguales. Puesto que, en ambos, el p-valor es menor que 0.05 se puede rechazar la 3

4 hipótesis de igualdad de medias y concluir que los salarios medios de las poblaciones comparadas no son iguales. El gráfico de las medias es el siguiente: $ Media de salario $ $ $ Categoría laboral BOTÓN POST-HOC El estadístico F del ANOVA únicamente permite contrastar la hipótesis de que los promedios comparados son iguales. Rechazar esta hipótesis significa que las medias poblacionales comparadas no son iguales, pero no permite precisar dónde en concreto se encuentran las diferencias detectadas: difieren entre sí todas las medias?, hay una media que difiere de las demás?, etc Para saber qué media difiere de qué otra se debe utilizar un tipo particular de contrastes denominados comparaciones multiples post hoc o comparaciones a posteriori. Estas comparaciones permiten controlar la tasa de error al efectuar varios contrastes utilizando las mismas medias, es decir, permiten controlar la probabilidad de cometer errores tipo I (Probabilidad de rechazar la hipótesis cuando ésta es verdad) al tomar varias decisiones. Todas las opciones de este cuadro de diálogo ofrecen información similar: permite, una vez rechazada la hipótesis nula del ANOVA de que todas las medias son iguales, averiguar qué medias en concreto difieren de qué otras. Asumiendo varianza iguales se pueden seleccionar uno o más de los siguientes métodos: DMS, Bonferroni, Sidak, Scheffé, REGW,.. No asumiendo varianza iguales se pueden seleccionar alguno de los siguientes métodos: T2 de Tamhane, T3 de Dunnett,.. 4

5 Ejemplo 3. Repetimos el análisis anterior seleccionando la opcion Tuckey del recuadro asumiendo varianzas iguales y la opción Games- Howell del recuadro no asumiendo varianzas iguales. Variable dependiente: Salario actual HSD de Tukey Games-Howell (I) Categoría laboral (J) Categoría laboral Comparaciones múltiples *. La diferencia entre las medias es significativa al nivel.05. Intervalo de confianza al 95% Diferencia de Límite Límite medias (I-J) Error típico Sig. inferior superior -$3, $2, ,277 -$7, $1, $36, * $1, ,000 -$39, $33, $3, $2, ,277 -$1, $7, $33, * $2, ,000 -$38, $27, $36, * $1, ,000 $33, $39, $33, * $2, ,000 $27, $38, $3, * $ ,000 -$4, $1, $36, * $2, ,000 -$40, $31, $3, * $ ,000 $1, $4, $33, * $2, ,000 -$37, $28, $36, * $2, ,000 $31, $40, $33, * $2, ,000 $28, $37, La primera columna indica los métodos que se han seleccionado. A continuación aparecen todas las posibles combinaciones dos a dos entre los niveles de la variable factor (categoría laboral), las diferencias entre los salarios medios de cada dos grupos, el error típico de esas diferencias y el nivel de significación asociado a cada diferencia. Los grupos cuyas medias difieren significativamente al nivel de significación establecido (0.05 por defecto) están marcados con un asterisco. Puede comprobarse que el número de diferencias significativas detectadas no es el mismo en los dos métodos. Puesto que no se pueden considerar las varianzas poblacionales iguales, tomaremos la solución del método Games-Howell. Por tanto, todos los promedios comparados difieren significativamente: los directivos poseen un salario medio mayor que el de los agentes de seguridad y éstos mayor que el de los administrativos. Los intervalos de confianza permite estimar entre qué límites se encuentra la verdadera diferencia entre las medias de los grupos. Estos intervalos también permiten tomar decisiones sobre si dos promedios difieren o no significativamente (dependiendo de que el intervalo incluya o no el valor cero). La siguiente tabla ofrece una clasificación de los grupos basada en el grado de parecido existente entre sus medias. 5

6 Salario actual Subconjunto para alfa =. 05 Categoría laboral N 1 2 HSD de Tukey a,b 363 $27, $30, $63, Sig.,227 1,000 Se muestran las medias para los grupos en los subconjuntos homogéneos. a. Usa el tamaño muestral de la media armónica = 58,031. b. Los tamaños de los grupos no son iguales. Se utilizará la media armónica de los tamaños de los grupos. Los niveles de error de tipo I no están garantizados. En el subconjunto 1, están incluidos los administrativos y los de seguridad cuyas medias no difieren significativamente (p-valor=0.227) y en el grupo 2 solo están los directivos que difieren de los anteriores. Esta clasificación por grupos no está disponible en todos los métodos, ésta es la razón por la cual, a pesar de que no puede asumirse que las varianzas sean iguales, la clasificación en subconjunto homogeneos se ha realizado con el método de Tuckey. 6

7 2. ANÁLISIS DE VARIANZA FACTORIAL Los modelos factoriales de análisis de varianza (factorial=más de un factor) sirven para evaluar el efecto individual y conjunto de dos o más factores sobre una variable dependiente cuantitativa. Un ANOVA factorial permite estudiar, por ejemplo, si el salario (variable dependiente) de los varones y de las mujeres es diferente (efecto del primer factor) y, al mismo tiempo, si varios grupos de edad tienen distinto salario (efecto del segundo factor). Pero también permite estudiar si las diferencias entre varones y mujeres se repiten o no en cada grupo de edad, es decir, permite determinar si la interacción entre los factores sexo y grupos de edad afecta a la variable dependiente. Utilizar más de un factor en un mismo diseño posee la ventaja de poder estudiar el efecto de la interacción entre factores. En un modelo de dos factores, los efectos de interés son tres: los dos efectos principales (uno por cada factor) y el efecto de la interacción entre ambos factores. En un análisis de varianza factorial existe una hipótesis nula por cada factor y por cada posible combinación de factores. La hipótesis nula referida a un factor afirma que las medias de las poblaciones definidas por los niveles del factor son iguales. La hipótesis referida al efecto de una interacción afirma que tal efecto es nulo. Para contrastar estas hipótesis, el ANOVA factorial se sirve de estadísticos F. Para llevar a cabo un análisis de varianza de más de un factor seleccionar la opción: Modelo lineal general/univariante. Para obtener un ANOVA factorial con las especificaciones establecidas por defecto: Seleccionar una variable cuantitativa y trasladarla al cuadro Dependiente. (salario actual) Seleccionar dos o más variables categóricas y trasladarlas a las listas Factores fijos o Factores aleatorios Factores fijos. Un factor de efectos fijos es aquel cuyos niveles los establece el investigador. Los niveles concretos que toma un factor de efectos fijos constituyen la población de niveles sobre los que se hace inferencia. (sexo y categoría laboral) Factores aleatorios. Un factor de efectos aleatorios es aquel cuyos niveles son seleccionados de forma aleatoria entre todos los posibles niveles del factor. Los niveles concretos que toma un factor de efectos aleatorios constituyen sólo una muestra de la población de niveles sobre los que se hace inferencia. Ejemplo 4. Con el archivo Datos de empleados.sav se va a estudiar si los grupos definidos por la variable catlab (categoría laboral), por un lado, y los grupos definidos por la variable sexo, por otro, difieren en la variable salario. 7

8 La primera tabla muestra el nombre de las variables independientes, incluidas las etiquetas de los valores, y el número de casos que hay en cada grupo. Cuando hay el mismo número de observaciones por celda se habla de ANOVA equilibrado. Categoría laboral Sexo La tabla resumen del ANOVA es la siguiente: Factores inter-sujetos Etiqueta del valor N h Hombre 258 m Mujer 216 Variable dependiente: Salario actual Suma de cuadrados Fuente tipo III gl Media cuadrática F Sig. Modelo corregido ,104(a) , ,780,000 Intersección , , ,313,000 catlab , , ,782,000 sexo , ,568 59,359,000 catlab * sexo , ,737 14,114,000 Error , ,444 Total , Total corregida , a R cuadrado =,699 (R cuadrado corregida =,697) La fila modelo corregido se refiere a todos los efectos del modelo tomados juntos (el efecto de los dos factores, el de la interacción y el de la constante o intersección). El p-valor asociado es menor que 0.05 lo que indica que el modelo explica una parte significativa de la variación observada en la variable dependiente salario. El valor R 2 = indica que los tres efectos incluidos en el modelo están explicando el 69.9% de la varianza de la variable dependiente salario. La fila intersección se refiere a la constante del modelo. Esta constante forma parte del modelo y es necesaria para obtener las estimaciones de las medias de las casillas. Además permite contrastar, en el caso de que esto tenga sentido, la hipótesis de que la media total de la variable dependiente vale cero en la población. Las dos filas siguientes recogen los efectos principales, es decir, los efectos individuales de los dos factores incluidos en el modelo: categoría laboral y sexo. Los p-valores menores de 0.05 indican que los grupos definidos por categoría laboral poseen salarios medios significativamente diferentes y que los salarios medios entre hombres y mujeres son significativamente diferentes también. La siguiente fila contiene información sobre el efecto de la interacción catlab*sexo. Como el p-valor es menor que 0.05, el efecto de la interacción es significativo. Sólo con este dato ya se puede anticipar 8

9 que las diferencias salariales que se dan entre las distintas categorías laborales no son las mismas en los varones y las mujeres, o dicho de otra forma, las diferencias entre hombres y mujeres no son las mismas en las distintas categorías laborales. La fila error ofrece información sobre la fuente de variación error o residual. La penúltima fila (Total) muestra la suma de los cuadrados de las puntuaciones de la variable dependiente (información carente de utilidad, ahora mismo). Y la última fila recoge la variación total: la variación debida a cada efecto más la variación error. BOTÓN POST HOC Si algunos de los estadísticos F asociados a los efectos principales resulta significativo, puede ser interesante realizar comparaciones post hoc (explicadas anteriormente). Ejemplo 5. Repetimos el análisis anterior incluyendo análisis post hoc (Tukey y Games-Howell) para el factor categoría laboral. Para sexo no tiene sentido puesto que tiene dos niveles. El visor de resultados presenta las siguientes tablas cuya interpretación es la misma que la realizada en el Ejemplo 3. Variable dependiente: Salario actual DHS de Tukey Games- Howell (I) Categoría laboral (J) Categoría laboral Comparaciones múltiples Basado en las medias observadas. *. La diferencia de medias es significativa al nivel,05. Intervalo de confianza al Diferencia 95%. entre Límite Límite medias (I-J) Error típ. Sign. inferior superior -$3, $1, ,225 -$7, $1, $36,139.26* $1, ,000 -$38, $33, $3, $1, ,225 -$1, $7, $33,038.91* $2, ,000 -$37, $28, $36,139.26* $1, ,000 $33, $38, $33,038.91* $2, ,000 $28, $37, $3,100.35* $ ,000 -$4, $1, $36,139.26* $2, ,000 -$40, $31, $3,100.35* $ ,000 $1, $4, $33,038.91* $2, ,000 -$37, $28, $36,139.26* $2, ,000 $31, $40, $33,038.91* $2, ,000 $28, $37,

10 Puesto que el método de Tuckey asume varianzas poblacionales iguales y el de Games-Howell no, nuestra decisión debe basarse en aquel que se ajuste a las características de los datos (lo veremos más adelante en pruebas de homogeneidad del apartado opciones). La siguiente tabla ofrece un resumen (basado en el método de Tuckey) del resultado obtenido con las comparaciones simples: Salario actual DHS de Tukey Categoría laboral Significación Subconjunto N $27, $30, $63,977.80,179 1,000 BOTÓN GRÁFICOS Las comparaciones multiples post hoc suelen proporcionar toda la información necesaria para poder interpretar correctamente un efecto principal significativo. Pero no ocurre lo mismo con los efectos de las interacciones. La interpretación correcta de una interacción suele requerir la ayuda de un gráfico de líneas, también llamado gráfico de perfil. En un gráfico de perfil sobre la interacción entre dos factores, en el eje vertical se representa la escala de las medias de la variable dependiente, en el eje horizontal se representan los niveles del primer factor y cada línea del gráfico representan los niveles del segundo factor (una línea para hombres y otra para mujeres). Para obtener un gráfico de perfil referido a una interacción doble: Trasladar a los cuadros Eje horizontal y Líneas distintas (dos factores) los factores cuya interacción se desea representar. Pulsar el botón añadir para hacer efectiva la selección. Utilizar los botones Cambiar y Borrar para modificar o eliminar combinaciones previamente elegidas. Para obtener un gráfico de perfil referido a una interacción triple: Antes de pulsar en Añadir, trasladar el tercer factor al cuadro Gráficos distintos. Ejemplo 6. Realizamos el gráfico de líneas con Catlab en el eje horizontal y Sexo en lineas distintas. 10

11 Medias marginales estimadas de Salario actual Medias marginales estimadas $ $ $ $ $ Sexo Hombre Mujer $ Categoría laboral Las medias no estimables no se representan En el gráfico aparecen representadas las medias de salario calculadas en cada subgrupo (salvo para seguridad-mujer, que no hay elementos). Vemos que los hombres cobran más que las mujeres en todas las categorías. Además en el grupo de directivos las diferencias son muchos más acentuadas. Por tanto, las diferencias de salario entre hombres y mujeres parecen no ser la misma a lo largo de las categorías laborales. (Nota: añadir al fichero de datos 10 mujeres de seguridad con salario y 10 mujeres directivo con salario y repetir el procedimiento) 11

12 BOTÓN OPCIONES El cuadro de diálogo Opciones permite obtener información relacionada con varios aspectos complementarios del análisis. Los que se utilizaran en este curso son los siguientes: Estadísticos descriptivos. Media, desviación típica y tamaño de cada nivel y de cada combinación de niveles. Estimaciones de los parámetros. Los modelos ANOVA contienen una serie de parámetros a partir de los cuales se obtienen las medias que el modelo estima para cada nivel o combinación de niveles. Las estimaciones de las medias se obtienen combinando los parámetros involucrados en la obtención de cada media. La tabla muestra, además, el error típico asociado a cada estimación y un estadístico T que permite contrastar la hipótesis de que un determinado parámetro vale cero en la población. Cada estimación aparece acompañada del intervalo de confianza. Prueba de homogeneidad. Ofrece el estadístico de Levene sobre homogeneidad de varianzas, el cual permite contrastar la hipótesis de que la varianza de la variable dependiente es la misma en el conjunto de poblaciones definidas por la combinación de factores. Ejemplo 7. Repetimos el análisis anterior marcando estas opciones. Los estadísticos descriptivos son: Estadísticos descriptivos Variable dependiente: Salario actual Sexo Categoría laboral Media Desv. típ. N Hombre $31, $7, $30, $2, $66, $18, Total $41, $19, Mujer $25, $5, $47, $8, Total $26, $7, Total $27, $7, $30, $2, $63, $18, Total $34, $17,

13 Las estimaciones de parámetros que ayudan a estimar las medias son: Estimaciones de los parámetros Variable dependiente: Salario actual Parámetro B Error típ. t Significación Intervalo de confianza al 95%. Límite inferior Límite superior Intersección 47213, ,233 15,880, , ,007 [sexo=h] 19029, ,763 6,007, , ,509 [sexo=m] 0(a)..... [catlab=1] , ,544-7,295, , ,176 [catlab=2] , ,936-16,701, , ,396 [catlab=3] 0(a)..... [sexo=h] * [catlab=1] , ,681-3,757, , ,026 [sexo=h] * [catlab=2] 0(a)..... [sexo=h] * [catlab=3] 0(a)..... [sexo=m] * [catlab=1] 0(a)..... [sexo=m] * [catlab=3] 0(a)..... a Al parámetro se le ha asignado el valor cero porque es redundante. De forma que, el salario medio de un administrativo hombre se calcula de la siguiente manera: El salario medio de una mujer administrativa es: Intersección 47213,500$ Hombre 19029,743$ ,811$ Interacción ,280$ Total 31558,150$ Intersección 47213,500$ Mujer ,811$ Interacción El salario medio de una mujer directivo es: Total 25003,69$ Intersección 47213,500$ Mujer Directiva Interacción Total 47213,500$ 13

14 La prueba de Levene nos lleva a que las varianzas son diferentes. Contraste de Levene sobre la igualdad de las varianzas error(a) Variable dependiente: Salario actual F gl1 gl2 Significación 33, ,000 Contrasta la hipótesis nula de que la varianza error de la variable dependiente es igual a lo largo de todos los grupos. a Diseño: Intercept+sexo+catlab+sexo * catlab 14