HOJA 1 SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Transcripción

1 Distintas formas de contar HOJA 1 SISTEMAS DE NUMERACIÓN 1) Escribe los primeros 10 números si cuentas en base 2, 3 y 5. 2) Escribe los dos números anteriores a los siguientes: 555 6) ; 100 7) ; ) 3) a) Utilizando una colección de pesas de 1kg, 2 kg, 4 kg, 8 kg, 16 kg,... pesa con ellas kilos, empleando el menor número posible de pesas. b) Escribe la cantidad que has pesado ( la pesada ) en función del número de pesas utilizadas y del valor de las mismas. c) Desarrolla el número en suma de potencias de 10. Compara la expresión obtenida con la pesada anterior. d) Repetir los apartados anteriores con el número ) Un recibo se paga en el banco con 432 monedas de 20 céntimos. Teniendo en cuenta las monedas actuales, cuál es el número mínimo de billetes y monedas que necesitaremos para expresar esta cantidad? 5) Qué ventajas presenta contar en base doce respecto al número de divisores? Cómo contarías hasta 12 utilizando los dedos de una mano? Podrías contar hasta 60 con los dedos de las dos manos? 6) Echa tres dados y anota los tres números que salen en orden. Multiplica el resultado del primer dado por 2, súmale 5 luego, multiplica después por 5. Suma a lo que resulte el número del segundo dado, multiplica por 10 y suma finalmente el resultado del tercer dado. Si restas 250 se puede adivinar lo que ha salido en cada dado. Por qué? 7) Escribe en base 4 la cifra que representa a la cantidad de 245 naranjas. Escribe una cantidad de 5 cifras en esta base y calcula cuántas naranjas representa expresadas en el Sistema Decimal. 8) Si se tienen 4 cartones de una docena de huevos cada uno. Cómo escribiremos la cantidad total de huevos expresada en base 13? 9) a) Si tenemos 254 manzanas y queremos expresar esta cantidad en un sistema de numeración de base 5 ; Cuántas unidades simples, cuántas de primer orden, de segundo, etc., tendrá esta cantidad en dicha base 5? Cómo quedará escrita? 1

2 b) Cuántas manzanas tenemos en una bolsa si al contarlas en un sistema de numeración de base 9, resultan: 5 unidades de 1º orden y 2 unidades de 3º orden? 10) Tenemos en un cesto 127 naranjas, cuántas unidades simples, de segundo orden, de tercero etc., tendrá el número que expresa esta cantidad en un sistema de numeración cuya base de agrupación es la docena? Cómo se escribe dicho número? Recíprocamente : si en la base 12, un número consta de 3 unidades de 1º orden y una unidad de 3º orden, qué cantidad de naranjas está expresando? 11) Escribe los números ) y ) en forma polinomial. 12) Escribir los siguientes números en base decimal: 432 5) ; ) ; 346 7) ; 551 6) 13) Convertir los siguientes números de base diez a las bases indicadas: 432 a base 5 ; 1963 a base 12 ; 404 a base 4. 14) De los siguientes números 104 5), 131 4), ) y ) Cual es el mayor? 15) Un profesor de matemáticas califica los exámenes de la siguiente manera: el primer problema vale un punto, el segundo 2, el tercero 4, el cuarto 8 y así sucesivamente. Un problema, o está bien o está mal, no hay término medio. Un alumno aprueba si al menos la mitad de todos los problemas están bien. Un estudiante obtuvo en el examen de junio, que constaba de 10 problemas 581 puntos. Averigua qué problemas hizo bien y si aprobó el examen. 16) Un circuito eléctrico cuenta con cinco interruptores. Cada uno de ellos puede estar en la posición 0 (off) o en la posición 1 (on). Luego la situación del circuito irá desde (todos en off, apagados) hasta (todos en on, encendidos) (El 1 er interruptor corresponde al número de la derecha). Averigua cuántas posiciones puede tener el circuito Qué interruptores están en on en la posición 19? 17) Las tres cifras de un número suman 18; si se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, se obtiene 594. La cifra de las decenas es media aritmética de las otras dos. Hallar dicho número. 18) La suma de las tres cifras de un número es 7. La cifra de las centenas es la suma de las decenas más el doble de las unidades. Si se invierte el orden de las cifras, el número disminuye en 297 unidades Calcularlo. 2

3 Expresión en una base x 19) a) Expresar el número 725 en base 7. Expresar el número 927 en base 3. b) Cuántas manzanas tenemos en un cesto, si al expresar la cantidad en base 4 se escribe con dos unidades de cuarto orden, una unidad de segundo orden y tres unidades simples? 20) Qué bases hacen estas igualdades ciertas?: 32 = 44 x) ; 31 4) = 11 x) ; 15 x) = 30 y). 21) En qué base, el número 37 del sistema decimal, se expresa con 5 unidades simples y 4 unidades de segundo orden? 22) Hallar a para que el número 10a5 6) sea igual que a2aa 4) 23) En qué sistema de numeración se duplica 25 x) al invertir sus cifras? 24) En qué base de un sistema de numeración, el triple de 54 x) es 250 x)? 25) Un número N se representa en una base b como 51 y en la base b+1 como 44. Calcular dicha base y expresar el número N en base 9 26) En qué base de sistema de numeración el número 571 del sistema decimal se escribe con 4 unidades simples y 7 unidades de tercer orden? 27) En un número de dos dígitos la suma de dichos dígitos es 12. Si los dígitos se presentan en orden cambiado, al nuevo número hay que sumarle 18 para que sea igual al primero. Cuál era el número original? 28) En qué sistema de numeración se cumple que 55 x) + 43 x) = 131 x)? 29) Si contamos 326 naranjas en una cesta, qué base tendrá el sistema de numeración en el que esta cantidad se escribe con 6 unidades simples y 5 de tercer orden? a. Escribe el número 54 en base 7. b. En qué base la expresión obtenida en el apartado anterior representa a 126 unidades del sistema decimal. 30) Un número expresado en base n se escribe 435 n) y expresado en la base n+1 se escribe 326 n+1). Determinar la base n y cómo se expresa dicho número en base decimal. 31) El número de hojas de un libro, contadas en una base b tiene 2 unidades simples, 2 unidades de segundo orden y 3 unidades de tercer orden. Si las contamos en la base 3

4 b+1, se expresa con 3 unidades simples, 2 de segundo orden y 2 de tercer orden. Cuántas hojas tiene dicho libro, expresadas en el sistema decimal? 32) El número 224 es el cuadrado del 13 en una determinada base. Calcular dicha base. 33) Cuál es la base n en el que los tres números 123 n) ; 140 n) ; 156 n) cumplen que la diferencia entre un número y el inmediatamente anterior es la misma? 34) Sabiendo que los números 353 n), 372 n) y 411 n) están en progresión aritmética, calcular en que base n están escritos. 35) Encuentra la base del sistema de numeración en la que el doble del número 698 (n es igual a la suma de los números 479 (n y 907 (n. Comprueba el resultado. 36) Un número es mayor que 600 y menor que 700, la cifra de las unidades es la tercera parte de las decenas y el número obtenido invirtiendo el orden de las cifras vale 4/7 del primitivo. Hallar dicho número. 37) Un número de tres cifras en base 7, tiene sus cifras invertidas de orden cuando se expresa en base 9. Hallar dicho número. Cambio de base 38) Cambiar 42 8) a base 2. 39) Cambia ) a base 5. 40) Si un número se escribe en el sistema de base 3 con seis cifras, cuántas podrá tener en el sistema de base 11? 41) Dados los números A = ) y B = ) expresarlos en base 12. Algoritmos de la suma y resta 42) En el sistema de numeración de base 5 se adopta la siguiente clave a = 0, e = 1, m = 2, s = 3, y t = 4. La suma de "mates" + "mates" es 43) En el sistema de numeración de base 4 se adopta la siguiente clave a = 0, e = 1, m = 2 y p = 3. La suma de "mama" + "papa" es 44) Sumar: ) ) ) 4

5 45) Encontrar los números ocultos en las siguientes operaciones: 2 5) ) = _03 5) ; ) - 2_2_ 3) = 1_2_1 3). 46) Expresar en la base 8, los números: ) y ) Efectuar su suma y su diferencia en esta base. 47) Expresar los números 1A3 de la base 12 (siendo A = 10), y 1161 de la base 8; ambos en base 6. Efectuar la suma de estos números trabajando en dicha base 6. 48) Encontrar en qué base se verifica esta igualdad 229 x) - 99 x) = 140 x) Y esta otra? : 55 x) + 43 x) = 131 x) 49) Dados los números R = ) y M = ) expresar ambos en base 8 y calcular 2R 3M, efectuando las operaciones en dicha base 8. 50) La resta por suma del complementario consiste en lo siguiente: Para hacer la resta se encuentra el complementario de 476 (lo que le falta para alcanzar 999), que es 523. Se realiza la suma = A continuación, se toma el número a la izquierda (1) y se transforma en una unidad que se suma a lo que queda del número ( = 143) y ést e resulta ser el resultado de la resta inicial. Por qué? Realiza otras restas por el complementario comprobando el resultado. 51) Sabiendo que a es 2 unidades mayor que b, efectúa la resta siguiente: a b b 7) - b a a 7) 52) Sabiendo que los números de la forma abba y baab están escritos en base 8 y que a b = 2 halla el resultado de la resta a b b a (8 - b a a b (8 Algoritmos de multiplicación y división 53) Multiplicar 216 8) x 54 8) ; ) x 101 2) usando el algoritmo en celosía. 54) Escribir la tabla de multiplicar en base 6 y efectuar en dicha base, la siguiente multiplicación : ) x 54 6). 55) Halla la base del sistema en el que el número 554 x) representa el cuadrado de 24 x) 5

6 56) En qué sistema de numeración se verifica 54 x) x 3 x) = 250 x) 57) Sabiendo que en cierto sistema de numeración 36 x) + 45 x) = 103 x) calcula el producto de 36 x) x 45 x) 58) Para multiplicar dos números desde el 5 x 5 al 9 x 9, cada uno de un dígito, la multiplicación sarda procede así: Cada número se representa en una mano por un número de dedos extendidos igual a la cantidad en que el número sobrepase de cinco. El resultado se obtiene sumando los números extendidos, multiplicando por 10 y añadiendo a lo obtenido el producto de los números flexionados. Es cierto siempre? 59) El número 17 está escrito en cierta base distinta de la decimal, de forma que su cuadrado en dicha base se escribe con tres cifras de la forma 5. a) Averigua los posibles valores de la base de que se trata. b) Si el cuadrado de 17 se escribe de la forma 1 _ 5, encuentra exactamente las bases y la cifra que falta para encontrar ) El número 1111 a) es el cuadrado del número 26 a) en una determinada base a. Averigua la base de que se trata. 61) Realiza los siguientes cálculos en la base correspondiente 123 (7 x 13 (7-13 (7 x 46 (7 62)En cierto pueblo se usa un sistema de numeración distinto al decimal. Aquí aparece la nota de compra de un cliente en el mercado: Producto Nº kg Euros/Kg Importe Tomates Patatas Pollo Total 1103 a) Encuentra en qué sistema está escrito y exprésalo en el sistema decimal. Explica por escrito tus razonamientos. Discute con tus compañeros el procedimiento empleado. b) Cuál es el mayor número de seis cifras que podemos escribir en dicho sistema de numeración? c) En grupos de 4 o 5 alumnos, realizad un informe por escrito que recoja los siguientes puntos: - Características de nuestro sistema de numeración. - Características específicas del sistema de numeración empleado en el problema anterior. - Comparación de nuestro sistema de numeración con el sistema utilizado en el problema. Diferencias y analogías. 6

7 HOJA 1 SOLUCIONES 1.- Base 2: Base 3: Base 5: ) ) ; 66 7) ) ; 444 5) ) 3.- Los pesos disponibles son de 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 y 1024 kg. Cualquier otro excedería el peso a medir (1111 kg). Si empezamos por el peso mayor posible, veremos que 1111 = 1 x x x x x x 1 kg., o bien, como potencias de 2: 1111 = 1 x x x x x x 2 0 kg. que se puede comparar con la descomposición en potencias de diez: 1111 = 1 x x x x 10 0 Del mismo modo: 203 = 1 x x x x x 2 0 = 2 x x x 20 ct. = 8640 ct = 86,40 euros que pueden pagarse como: 86,40 = 1 x x x x x x 0, tiene por divisores 1, 2, 3, 4, 6, 12 mientras que 10 tiene solamente 1, 2, 5, 10. Contando con el pulgar cada falange de los cuatro dedos restantes se completa 12. Si con la otra mano le unimos que cada dedo sea una docena, al completar los cinco dedos se habrá contado Si los tres dados dieran como resultado a, b, c las operaciones que se habrían hecho serían: [5 (2 a + 5) + b] c = 100 a + 10 b + c de forma que al restar 250 se obtendría un número formado por las tres tiradas del dado, escrito abc = ) 8.- Hay 4 x 12 = 48 huevos = 39 13) = ) 205 9) = 167 manzanas 10.- Si en base 12 escribimos A = 10, B = 11, entonces 127 = A7 12) y ) = ) = 2 x x x x ) = 3 x x x x 5 0 7

8 ) = 4 x x = ) = 1 x x x = ) = 3 x x = ) = 5 x x = = ) 1963 = ) 404 = ) ) = 29 ; 131 4) = 29 ; ) = ) = 27 El mayor es ) 15.- Como los problemas se puntúan en forma creciente de potencias de 2, la solución vendrá dada al expresar 581 puntos conseguidos en base 2: 581 = ) De modo que hizo bien los problemas 1, 3, 7 y 10. Como resolvió solo 4 problemas, no aprobó Como cada interruptor tiene 2 posiciones, el número de posibilidades será de = 2 5 = 32 La posición 19 puede expresarse como ) de donde estarán encendidos los interruptores 1º, 2º y 5º si empezamos a contar por la derecha Sea el número abc. La primera condición afirma que a + b + c = 18 La segunda condición abc cba = 594, y la tercera es que b = a + c / 2 La condición 2ª significa: (100 a + 10 b + c) (100c + 10 b + a) = 99 a 99 c = 594 De donde a c = 6 así que sustituyendo a = 6 + c queda el sistema: b + 2 c = 12 y b = c + 3 de donde c = 3, b = 6, a = Sea el número abc. La condición 1ª afirma que a + b + c = 7. La 2ª nos dice que a = b + 2c y la 3ª se puede formular como a + 10 b c = c + 10 b a a = c + 3 Resolviendo el sistema queda a = 4, b = 2, c = 1, es decir, el número es el a) 725 = ) 927 = ) b) ) = 2 x x = = 44 x) = x x = ) = 11 x) = x x = x) = 30 y) 5 + x = 3 y Buscando soluciones no puede ser x = 4, y = 3 ya que x presenta como cifra un 5, pero sí cabe x = 7, y = 4 ; x = 10, y = 5; etc. 8

9 = 45 x) = x x = a 5 6) = a 2 a a 4) a = a + 4 a a a = x) = 52 x) 2. (5 + 2 x) = x x = x) = 250 x) 3. (4 + 5 x) = 5 x + 2 x 2 2 x 2-10 x 12 = 0 x = b) = 44 b+1) b = (b+1) b = ) = = 36 = 40 9) = 704 x) 571 = x 2 x 2 = 81 x = Sea el número ab. La condición 1ª afirma que a + b = 12, mientras que la condición 2ª sostiene que ba + 18 = ab que puede escribirse como: a + 10 b + 18 = b + 10 a 9b + 18 = 9 a b + 2 = a que sustituido en la primera condición nos da: 2b + 2 = 12 b = 5 a = x) + 43 x) = 131 x) 5 + 5x x = 1 + 3x + x 2 x 2 6x 7 = 0 De donde x = = 506 x) = x 2 5 x 2 = 320 x = 8 a) 54 = 105 7) b) 105 x) = x 2 = 126 x = n) = 326 n+1) 5 + 3n + 4n 2 = (n+1) + 3 (n+1) 2 = n + 3 n 2 n 2 5n 6 = 0 n = b) = 223 b+1) 2 + 2b + 3b 2 = (b+1) + 2 (b+1) 2 b 2 4b 5 = 0 b = x) 2 = 224 x) (3 + x) 2 = 4 + 2x + 2x 2 x 2-4x 5 = 0 x = n) n) = (4n + n 2 ) (3 + 2n + n 2 ) = 2n n) n) = (6 + 5n + n 2 ) (4n + n 2 ) = n + 6 2n 3 = n + 6 n = n) 353 n) = (2 + 7n + 3n 2 ) (3 + 5n + 3n 2 ) = 2n n) n) = (1 + n + 4n 2 ) (2 + 7n + 3n 2 ) = n 2-6n 1 2n 1 = n 2 6n 1 n 2 = 8n n = 8 9

10 x 698 n) = 2 x (8 + 9n + 6n 2 ) = 12 n n n) n) = (9 + 7n + 4n 2 ) + (7 + 9n 2 ) = 13n 2 + 7n + 16 De donde, con la igualdad de ambas expresiones, n 2 = 11n n = A partir de un número abc si las unidades es la tercera parte de las decenas, las decenas serán el triple de las unidades y el número sería a 3c c. Si se invierten las cifras se obtiene un número que son los 4/7 del original, por tanto c 3c a = 4/7 (a 3c c) (a + 30c c) = 4/7 (c + 30c a) 7 a c = 124 c a 786 c = 393 a 2 c = a Como el número cumple 600 < 2c 3c c < 700 c = 3 y el número es el a b c 7) = c b a 9) c + 7b + 49 a = a + 9b + 81c 80c + 2b = 48 a 40 c + b = 24 a Probando posibilidades caben estas tres para el número original abc: 281, 503, 784 Pero la primera y tercera no sirven por estar en base ) = = 34 = ) ) = = 91 = 331 5) 40.- El número máximo de seis cifras en base 3 será: ) = = 728 = ) ) = = 660 = ) ) = 51 = 43 12) 42.- mates + mates = ) ) = ) 43.- mama + papa = ) ) = ) ) ) ) = ) ) ) = 303 5) ) ) = ) ) = 1283 = ) ) = 297 = 451 8) ) ) = ) ) ) = ) A 3 12) = 267 = ) ) = 625 = ) 423 6) ) = ) 10

11 x) - 99 x) = 140 x) (2x 2 + 2x + 9) (9x + 9) = 4x + x 2 2x 2 7x = 4x + x 2 x 2 = 11x Excluyendo x = 0 queda x = x) + 43 x) = 131 x) (5x + 5) + (4x + 3) = x 2 + 3x + 1 9x + 8 = x 2 + 3x + 1 x 2-6x - 7 = 0 x = P = ) = 2096 = ) Q = 239 = 357 8) 2. P = ) 3. Q = ) ) ) = ) 50.- Sea la resta A B. En la resta por el complementario se realizan las siguientes operaciones: A + (999 B) = (A B) Al quitar la unidad de millar se está restando 1000 y al añadir esa cifra a las unidades se suma 1, de manera que en realidad se resta = 999 llegándose al resultado de la resta original abb 7) - baa 7) = (49 a + 7b + b) - (49b + 7 a + a) = 41 a - 41 b Como a = b + 2 esto dará 41 (b + 2) 41 b = 82 = 145 7) 52.- abba 8) - baab 8) = (512 a + 64 b + 8 b + a) (512 b + 64 a + 8 a + b) = 441 a 441 b Como a = b + 2 será 441 (b + 2) 441 b = 882 = ) ) x 54 8) = ) ) x 101 2) = ) ) x 54 6) = ) x). 24 x) = 554 x) (4 + 2x) 2 = 4x x + 16 = 5x 2 + 5x + 4 x 2-11x - 12 = 0 x = x). 3 = 250 x) (4 + 5x). 3 = 15 x + 12 = 2 x 2 + 5x 2 x 2-10 x 12 = 0 x 2-5 x 6 = 0 x = x) + 45 x) = 103 x) (3x + 6) + (4x + 5) = x x + 11 = x x 2-7x 8 = 0 x = ) x 45 8) = ) 58.- Se si trata del producto a x b en una mano habrá extendidos (a 5) dedos y en la otra (b 5). Los flexionados serán 5 (a-5) = 10 a en la primera mano y 10 b en la otra. La operación realizada entonces sería: 10 [(a-5) + (b-5)] + (10-a) (10-b) = 10 (a + b 10) + ( a 10 b + ab) = a b 11

12 59.- La cifra de las unidades en 7 x 7 = 49 resulta ser 5, por lo que la base debe ser divisor de 44 pero al tiempo superior a 7 puesto que hay una cifra 7 en el número. Pues bien, dado que 44 = los divisores posibles son 2, 4, 11, 22, 44 excluyéndose los dos primeros como base posible por el motivo antes indicado. 17 x) 2 = (x + 7) 2 = x x + 49 que no excluyen ninguna de las bases posibles (11, 22 y 44) a) = 1111 a) (2 a + 6) 2 = 4 a a + 36 = a 3 + a 2 + a + 1 Sólo se podría tratar con reglas (como la de Ruffini) para obtener la solución, por lo que adoptaremos otro enfoque. Al multiplicar 26 a) por sí mismo, la cifra de las unidades vendrá dada por 6 x 6 = 36 que da como resultado 1. Si es así, la base a es un divisor de 35. Como 35 = 7. 5 los divisores y posibles bases serán 5, 7 y 35. La primera no puede ser porque hay una cifra 6 en el número. Si la base fuera 35 el resultado tampoco sería 1111 a) luego sólo puede ser a = ) x 13 7) = ) 13 7) x 46 7) = 664 7) ) ) = 635 7) 62.- Con la suma 231 x) x) + 32 x) = 1103 x) podemos averiguar de qué base x se trata. La suma de las unidades = 3 significa que la base es superior a 3 puesto que no se ha formado ningún grupo de orden superior. En las siguientes unidades = 0 lo que significa que el resultado en decimal (8) ha permitido formar un grupo de orden superior (y la base sería 8) o dos grupos (y la base sería 4). Con las siguientes unidades si la base fuera 8 aparecería como resultado un 3 (habiéndole sumado una unidad originada en la suma anterior), que no es el caso. Si la base es 4, se habrían formado dos unidades a partir de la suma anterior con lo que = 5 que se escribiría 11, como realmente sucede, luego la base es 4. El mayor número de seis cifras posible será ) 12