Nº E. Bueno, A. Zarraga y A. Iztueta

Transcripción

1 º 980 AJUSTE DE MUESTRAS CO IFORMACIÓ AUILIAR E. Bueo, A. Zarraga A. Iztueta EUSKAL ESTATISTIKA ERAKUDEA ISTITUTO VASCO DE ESTADISTICA Duque de elligto, 000 VITORIA-GASTEIZ Tel.: Fax: E-ail: eustat@eustat.es

2 AJUSTE DE MUESTRAS CO IFORMACIÓ AUILIAR Elea BUEO Becaria de colaboració e EUSTAT Aioa ZARRAGA Becaria de colaboració e EUSTAT Ajeles IZTUETA Resposable de Metodología e EUSTAT RESUME La fase de ajuste elevació de uestras tiee por objetivo pasar de la uestra a la població, utilizado para ello toda la iforació dispoible aciedo copatibles los resultados etre diferetes ecuestas o fuetes. E el cuadero se describe la etodología utilizada para el ajuste estadístico de uestras, difereciado dos grupos de etodologías, segú la catidad de iforació auxiliar dispoible: Métodos co Máxia Iforació Auxiliar, utilizados cuado se dispoe de la distribució auxiliar ultivariate. Procediietos Iterativos, utilizados e el caso de que la iforació auxiliar dispoible sea la uivariate. E la itroducció se preseta distitos tipos de ajustes, difereciádolos el tipo de iforació auxiliar de que se dispoga, así coo ua otació básica utilizada posteriorete e los próxios apartados. El segudo apartado se cetra e el estudio de los étodos utilizados co Máxia Iforació Auxiliar, presetádose prieraete ua otació particularizada ás detallada al tipo de situació e el que se utiliza, así coo la expresió ateática de dicos estiadores. Seguidaete se realiza u aálisis de las propiedades estadísticas de los susodicos estiadores. Para ilustrar el fucioaieto de la etodología epleada u claro etediieto de la isa, se preseta uos secillos ejeplos. Tras ua pequeña referecia a los procediietos iforáticos utilizados para ipleetar estos étodos de ajuste, se ecioa las codicioes óptias para su aplicació. E el tercer apartado se preseta dos procediietos iterativos coo étodos de ajuste, para los casos e los que la distribució auxiliar que se dispoe es la uivariate: el Raig ua variate del iso, RAS, utilizada e el procediieto Redre del SPAD. Se preseta prieraete la otació a utilizar a cotiuació se realiza ua descripció de abos procediietos iterativos ilustrado sus etapas para u caso

3 secillo. Seguidaete, se aplica abos étodos a uos ejeplos, tabié siulados. Fialete se ace referecia a distitos procediietos iforáticos para la aplicació de abas etodologías, así coo las codicioes óptias para su aplicació. E el cuarto apartado se preseta ua pequeña coclusió coparació de los dos grupos de étodos de ajuste aalizados e el cuadero. PALABRAS CLAVE: Ajuste de uestras, Distribució Auxiliar Multivariate, Distribució Auxiliar Uivariate, procediietos iterativos, Raig, pesos, elevadores, estratificació, post-estratificació, variables auxiliares cualitativas cuatitativa. Agradeciietos a: Jaie Garrido, Jua José Ortiz Yolada Pérez.Idice

4 Idice ITRODUCCIÓ...3 ITRODUCCIÓ Y OBJETIVOS...3 CLASIFICACIÓ DE MÉTODOS DE AJUSTE...4 Tipos de Variables Auxiliares...4 Catidad de Iforació Dispoible...4 Métodos de Estiació...4 OTACIÓ BÁSICA...6 MÉTODOS CO MAIMA IFORMACIÓ AUILIAR...9 OTACIÓ...9 Variables Auxiliares Cualitativas...9 Variables Auxiliares Cuatitativas... PROPIEDADES DEL ESTIMADOR DE LA MEDIA...4 Variables Auxiliares Cualitativas...4 Variables Auxiliares Cuatitativas...7 EJEMPLOS...9 Variables Auxiliares Cualitativas...9 Variables Auxiliares Cuatitativas...3 PROCEDIMIETOS IFORMÁTICOS...7 SITUACIOES ÓPTIMAS PARA SU APLICACIÓ PROCEDIMIETOS ITERATIVOS CO IFORMACIÓ AUILIAR CUALITATIVA...9 OTACIÓ...9 DESCRIPCIÓ DEL PROCEDIMIETO...3 Raig Usual...34 Redre...38 EJEMPLOS...44 Raig Usual...46 Redre...49 PROCEDIMIETOS IFORMÁTICOS...5 Raig Usual...5 Redre...5 SITUACIOES ÓPTIMAS PARA SU APLICACIÓ COCLUSIOES Y PROPUESTAS BIBLIOGRAFÍA...55

5 Capítulo Itroducció Itroducció objetivos E este cuadero vaos a abordar u tea u coú e la estadística: Teeos ua població o uiverso de taaño, sobre la que quereos estiar el total de ua cierta característica Y. Al ser iposible, e geeral, ecuestar a todos los eleetos de ua població, lo que se ace es toar ua uestra de taaño de dica població, se estudia el coportaieto de dica característica e estos idividuos. Pero evideteete, el total de Y sobre los eleetos observados o va a ser el iso que su total poblacioal para coseguir obteer ua estiació de dico total, cosiderado las observacioes uestrales obteidas para Y, se utilizará uos elevadores. Co esta elevació coseguireos ua priera estiació del total poblacioal de la variable Y. La elevació tabié es usada para copesar la pérdida de uestra debida a la orespuesta. Esta últia copesació se puede realizar tato e cesos coo e ecuestas uestrales, pero se a de acer siepre que los respodietes o tega u perfil específico difereciado. E geeral, adeás de la variable objetivo Y, dispodreos de otras características observadas e la població e la uestra, deoiadas variables auxiliares, supoiedo ua cierta relació etre la variable objetivo las auxiliares. Por eso ucas veces deoiareos a la variable Y variable objetivo o depediete. Gracias a esta suposició, odificareos las elevacioes o pesos iiciales de los idividuos uestrales co el fi de ajustar a la distribució poblacioal coocida, las variables auxiliares. Etre los étodos de ajuste elevació epleados e la uestra, uos utiliza iforació auxiliar áxia otros iforació auxiliar argial. Aalizareos los étodos utilizados e la actualidad e EUSTAT para abas situacioes: itroducireos teóricaete los étodos etre todos los posibles, describireos estos procediietos de ajuste co la otació adecuada seguidaete los aplicareos a u ejeplo secillo. Se presetará tabié distitos software para su aplicació, así coo las vetajas desvetajas de cada uo de ellos. ITRODUCCIÓ 3

6 Clasificació de étodos de ajuste Existe distitos procediietos para el ajuste, segú qué tipo de variables auxiliares, así coo la catidad de iforació auxiliar de que se dispoe. Ver [] [] Tipos de Variables Auxiliares Se puede difereciar dos bloques de variables: Ver [0] Variables Auxiliares Cualitativas: so variables co u úero de odalidades fiito. Coo ejeplo de este tipo de variables, teeos el sexo, la relació co el ercado de trabajo, co odalidades coo estar ocupado, parado, iactivo,... Variables Auxiliares Cuatitativas: so variables cotiuas que toa valores e u itervalo que, por lo tato, estos valores puede ser ifiitos. Coo ejeplo de este tipo de variables está el total de facturació,... Catidad de Iforació Dispoible La siguiete clasificació vedrá deteriada por la iforació auxiliar dispoible. E todas las ecuestas existe ua estratificació de la població e celdas o estratos, utilizado para ello el cruce ultivariate de variables cualitativas. Se puede dar dos supuestos: cuado las variables auxiliares dispoibles so cualitativas, la iforació que se defie e los estratos es el úero de efectivos de cada uo de estos. E el caso de poseer Máxia Iforació Auxiliar se dispoe del úero de efectivos poblacioales de cada ua de las celdas de la estratificació. E el caso de poseer o-áxia Iforació Auxiliar lo que se dispoe es sólo la distribució argial uivariate de las variables auxiliares. Ver [6] [7]. cuado las variables auxiliares so cuatitativas, la iforació es referete a la distribució de las variables auxiliares a lo largo de los estratos obteidos. E el caso de Máxia Iforació Auxiliar, la iforació es el total, edia,... poblacioales de las variables auxiliares sobre cada uo de los estratos e el caso de o-áxia Iforació Auxiliar, la iforació que se tiee es el total poblacioal, edia,... de la variable auxiliar e cada ua de las odalidades de las variables auxiliares de estratificació uivariate. Métodos de Estiació Se parte de uos estiadores iiciales de los estadísticos objetivo de estudio, si cosiderar la iforació auxiliar: ver [5] Método de Horvitz-Topso ITRODUCCIÓ 4

7 Se obtiee los estiadores de los estadísticos objetivo de estudio toado coo pesos los iversos de las probabilidades de iclusió e la uestra para cada idividuo uestral. So, por lo tato, pesos asigados a idividuos. Método corregido de Horvitz-Topso Es utilizado co el fi de corregir la o-respuesta. El peso utilizado es el iverso del producto de la probabilidad de selecció la tasa de o-respuesta, cosiderada e estratos oogéeos de o-respuesta. E este caso, la poderació es por celdas, siedo ecesaria igual probabilidad de iclusió e la uestra para eleetos de ua isa celda. Los étodos de estiació que usa iforació auxiliar, se puede agrupar detro del odelo geeral de regresió últiple. MODELO DE REGRESIÓ MÚLTIPLE: supoe ua relació etre la variable objetivo Y las variables auxiliares. El odelo de regresió geeralete supuesto etre estas variables es el odelo de regresió lieal. Este estiador de regresió es uo de los procediietos de estiació ás geerales, e el que se puede utilizar varias variables auxiliares adeás éstas puede ser tato cotiuas coo oiales. A cotiuació vaos a ecioar alguos casos particulares del odelo de regresió: ver [], [7], [8] [9] El estiador de estratificació post-estratificació o, tabié deoiado, estiador usual de la RAZÓ: se obtiee al toar las variables auxiliares dicotóicas, asociadas a cada uo de los estratos resultates de la estratificació o post-estratificació, es decir, coicide co el estiador de regresió adaptado a u odelo de Aálisis de la Variaza. Los elevadores resultates so tabié por celdas so el cociete etre el total poblacioal uestral, e efectivos, e cada ua de las celdas de la estratificació. El estiador de la Razó: supoe toar u odelo de regresió lieal e el que el paráetro idepediete es ulo, es decir, se toa ua recta de regresió que pasa por el orige. El elevador que se obtiee es por celdas es la razó etre el total poblacioal el total uestral de ua variable cuatitativa e dica celda. Los estiadores de Raig: es u étodo que se resuelve de fora iterativa. os ecotraos co dos tipos de étodos Raig:. La iforació auxiliar es cualitativa los datos de que dispoeos so los efectivos argiales. Los elevadores de celdas resultates so los cocietes etre los efectivos argiales poblacioales los argiales aproxiados obteidos tras las iteracioes. Este es el Raig usual. Coo odelo de regresió es u caso particular del estiador usual de la Razó, e el que se toa las variables auxiliares de fora uivariate.. La iforació auxiliar es cuatitativa. Los datos e este caso, so totales argiales de las variables cuatitativas e la estratificació. Coo odelo de regresió es u caso particular del estiador de la Razó. ITRODUCCIÓ 5

8 MITOS: Existe variacioes de los dos étodos ateriores, étodos que so ua cobiació de los ateriores. Etre estos, ecioareos u étodo deoiado estiador odificado del Raig Ratio. otació básica Se cosidera que teeos ua població U ua uestra de la isa S: U{,,...,}, co,..., S{,,..,}, co,..., Defiios la variable objetivo Y coo u vector x: El total poblacioal a estiar es: Y... Y Y... Y Y Y A cada idividuo se le asiga u peso iicial z co,.., π π co,.., es la probabilidad de selecció del idividuo uestral e S, e el caso de u uestreo probabilista. Llaareos al peso fial: w co,...,. Estiador de HORVITZ-THOMPSO del total poblacioal de la variable objetivo Y: ver [4] [8] Yπ z Es isesgado respecto del total poblacioal de la variable Y, i.e., ITRODUCCIÓ 6

9 Su variaza es la siguiete: Yπ Y E siedo Var Y π π π l π l l,, l π π l π l la probabilidad de selecció del eleeto l siultáeaete. La estiació de esta variaza es Var Y π π l π π l, l π π l l E el caso particular de que e el uestreo se de igual probabilidad de selecció para todos los idividuos, teeos que estas probabilidades de selecció so: π,.., π l, l,.., E el uestreo aleatorio siple se cuple esta codició las expresioes ateriores toa la fora: Var dode S Yπ 3 Y f Var S π 4 dode s Y Y f Y s π 5 La otació respecto a las variables auxiliares la itroducireos a e las siguietes seccioes, particularizado e qué tipo de problea esteos, respecto de dica iforació auxiliar. ITRODUCCIÓ 7

10 ITRODUCCIÓ 8

11 Capítulo Métodos co Máxia Iforació Auxiliar Los étodos que a cotiuació vaos a aalizar se puede utilizar ta sólo cuado se dispoe de MÁIMA iforació auxiliar, esto es, cooceos los totales de las variables auxiliares sobre cada ua de las celdas de la estratificació. otació Se platea ua serie de restriccioes co el fi de que la distribució uestral poderada sea igual a la distribució poblacioal cojuta. A cotiuació vaos a itroducir la otació para represetar estas restriccioes, difereciado el caso, respecto del tipo de iforació auxiliar, e el que esteos. Variables Auxiliares Cualitativas La expresió atricial de las restriccioes es: ver [6] w I, 6 dode el vector de pesos w w,.., w,.., w el vector I es u vector x de s:.. I.. Las atrices so las atrices uestral poblacioal de diesió +x +x, respectivaete. Para la defiició de las copoetes de estas atrices, defiios ua serie de variables: Teeos L variables auxiliares cualitativas, cada ua co L, L,..., Ll,..., LL odalidades. Se realiza la estratificació de la població ediate el cruce ultivariate de estas L variables, obteiedo L L.. Ll.. LL estratos. Defiios las variables idetificadoras o dicotóicas de los estratos:, si estrato,.., l,.. L.. l.. L 0, ecaso cotrario MÉTODOS CO MÁIMA IFORMACIÓ AUILIAR 9

12 L.. Ll.. LL siedo el úero de variables dicotóicas. Teeos u vector poblacioal fila.. l.. L,..,.. l.. L,..,.. l.. L.... l L de diesió x u vector uestral fila.. l.. L,..,.. l.. L,..,.. l L l L de diesió x Para asegurar que: w w +.. w toaos la variable 0 idéticaete se represeta ediate: 0,.., 0,.., 0,..,,.., 0 vector fila poblacioal de diesió x 0,.., 0,..,,..,,.., 0 0 vector fila uestral de diesió x Las atrices está foradas por estos vectores fila: Desarrollado la expresió atricial, obteeos: w 0 0 w w +.. w w L L l Ll.. l..... l.. L,,..,,.., L L L Al ser las variables idetificadoras de los estratos, los datos poblacioales toa la fora: Los idicadores de las variables se a siplificado a u solo ídice, si ás que establecer u orde e las variables. MÉTODOS CO MÁIMA IFORMACIÓ AUILIAR 0

13 .. l.. L.. l... L.. l.. L.. l.. L 7 Resolveos el sistea, teiedo e cueta que es u ajuste de celdas por lo tato, todos los idividuos de u iso estrato tiee el iso peso, por lo que el sistea pasa a teer coo icógitas.. l.. L : elevadores asigados a las celdas. El sistea es el siguiete:.... l.. L.. l.. L.. l.. L L,.., l Ll,.., L l.. L.. l.. L.. l.. L L L 8 Es u sistea de L L... Ll... LL icógitas L L... Ll... LL + ecuacioes, e el que la últia es cobiació lieal de las ateriores, por lo que se reduce a u sistea x, e el que la atriz asociada es ua atriz A x diagoal. Los eleetos diagoales de esta atriz so el úero de efectivos uestrales e cada celda de la estratificació. Tras lo aterior, el sistea tiee Ua úica solució.. L l l.. L Bajo estas codicioes, la solució del sistea es:.. l.. L.. l.. L, 9.. l.. L L,.., L,.., L l l L L La estiació resultate tras utilizar estos elevadores es estiació de Estratificació, e la que el uestreo se supoe aleatorio estratificado. Esta estiació resulta del ajuste a los datos poblacioales que teíaos al ajuste e tales codicioes le llaaos ajuste de ESTRATIFICACIÓ. U caso particular de este tipo de ajuste es cuado la estratificació de la població o se realiza ates de la uestra, sio tras la uestra. E este últio ajuste la estiació que se obtiee se deoia estiació de Post-estratificació el étodo de ajuste étodo de POST-ESTRATIFICACIÓ. E abos, los elevadores de las celdas so el cociete etre el úero de efectivos poblacioales uestrales para cada ua de ellas. Ver [4], [6] [4] MÉTODOS CO MÁIMA IFORMACIÓ AUILIAR

14 Variables Auxiliares Cuatitativas E este caso, supodreos que teeos ua úica variable auxiliar cuatitativa. La estratificació de la població se realiza ediate uas variables preuestrales: preestratificació. Las restriccioes toa la isa fora atricial, co uas uevas atrices, que se defiirá a cotiuació: w I, 0 dode, coo ates, el vector de pesos es w w,.., w,.., w el vector I es u vector x de s: Para defiir estas atrices.. I.. defiios las variables auxiliares:.. l L, L L L l L,.., l l,.., L L, co.. l.. L la variable dicotóica idetificadora de cada uo de los estratos resultates es el valor de la variable cuatitativa para cada uo de los eleetos poblacioales. Defiios tabié: Obteeos los vectores: 0 0,..,,.., l L l L l L l vector fila de diesió x L,..,,.., l L l L l L l L el vector uestral fila de diesió x. Estos vectores so las copoetes filas de las atrices toa es:. La fora que MÉTODOS CO MÁIMA IFORMACIÓ AUILIAR

15 MÉTODOS CO MÁIMA IFORMACIÓ AUILIAR Desarrollaos la expresió atricial de las restriccioes obteeos el sistea: L L l l w w w w L L L w L l L l 0 0,..,,.., Es u sistea de L L L L L l icógitas L Ll L L L ecuacioes, e el que la últia es cobiació lieal de las ateriores, por lo que se reduce a u sistea x, e el que la atriz asociada es ua atriz x A diagoal co eleetos diagoales: L l.... que será o ulos sii: la sua de la variable auxiliar sobre cada estrato es distita de cero, lo que se puede coseguir pidiedo que la variable sea >0 los efectivos uestrales e cada estrato so o ulos La priera restricció o iflue, a que oralete, las variables cuatitativas que se aaliza so variables positivas, por ejeplo las ecoóicas: total de facturació,... Verificadas estas codicioes de o-sigularidad para la atriz del sistea, teeos que la úica solució que se obtiee es: L l L l L l Estos.... l L vuelve a ser los elevadores asigados a las celdas de la estratificació, teiedo e cueta que el ajuste que estaos realizado es por celdas.

16 El étodo resultate es el étodo de la RAZÓ RATIO, e el que toaos coo factores de elevació de las celdas los cocietes del total poblacioal de ua variable cuatitativa e dica celda etre su total uestral. Heos visto etoces que e abos casos, tato co iforació auxiliar cualitativa coo cuatitativa, el étodo de poderació os da u úico elevador para cada estrato, siepre que e cada estrato de la estratificació exista algú eleeto uestral. Propiedades del estiador de la edia Aaliceos las propiedades de los dos estiadores que eos cosiderado e el caso de áxia iforació auxiliar, es decir, para el estiador de post-estratificació el estiador de la razó. El estudio lo realizareos toado coo estadístico la Media Poblacioal de la variable objetivo. Variables Auxiliares Cualitativas El estiador que se obtiee e el uestreo aleatorio estratificado para la edia poblacioal es: Y st, dode, siedo Y la edia poblacioal sobre el estrato. Esta estiació se obtiee de fora aáloga tato e el caso de ua estratificació pre-uestral coo e el de estratificació post-uestral post-estratificació. Cosideraos e u prier oeto que teeos ua estratificació pre-uestral los valores so, por lo tato, fijos. Para cosiderar este estiador ecesitaos coocer, o, lo que es lo iso,,..,. Coocidos estos datos, estiaos la edia poblacioal de Y sobre cada celda:, dode se cosidera aora el total uestral sobre cada celda de la variable objetivo Y. Sustituios esta expresió e el estiador obteeos la estiació: Toaos ua ueració de los estratos resultates del cruce, e la que itervedrá a u sólo subídice. MÉTODOS CO MÁIMA IFORMACIÓ AUILIAR 4

17 MÉTODOS CO MÁIMA IFORMACIÓ AUILIAR 5 st Y 3 Ésta es la estiació de estratificació de la edia poblacioal de Y. A partir de ésta se obtiee fácilete la estiació del total poblacioal: Y Y st st Sustituedo de uevo e la expresió aterior, obteeos: st Y st Y 4 Vaos a estudiar aora el error que se produce al toar la estiació de estratificació para la edia poblacioal: > + j j st Cov Var Var Y Var, el error es: Var Y st $ Al tratarse de u uestreo aleatorio estratificado, teeos que el tério de las covariazas desaparece, debido a la idepedecia del uestreo e cada uo de los estratos la expresió de la variaza toa la fora st Var Var Y Var El uestreo es aleatorio siple e cada uo de los estratos la variaza e cada uo de ellos es: S Var De esta fora, la expresió fial de la variaza es S S Y Var st siedo S la variaza verdadera de la variable Y sobre el estrato. Estiaos la variaza e cada estrato por

18 MÉTODOS CO MÁIMA IFORMACIÓ AUILIAR 6 s Var co s la variaza uestral de Y sobre el estrato. Y a cotiuació obteeos ua estiació de la variaza del estiador de estratificació para la edia poblacioal: st s s Y Var 5 E la expresió de la estiació del error se ve, claraete, que el error de la estiació depede de la variaza de la variable objetivo Y e cada estrato, por lo que si estos estratos so oogéeos respecto de la variable objetivo, la variaza total será pequeña, siepre que todos los sea lo suficieteete grades. De esta fora se podrá cotrolar relativaete el error. El cotrol de la variaza de la variable objetivo sobre las celdas se puede coseguir toado las variables de estratificació lo ás altaete correlacioadas co la objetivo. Los estratos resultates ediate el cruce ultivariate de las variables será de esta fora oogéeos respecto de la variable objetivo. De fora aáloga cosideraos el estiador de post-estratificació. E este caso los valores so aleatorios, depede de la uestra, los deotaos coo ṋ. Ua vez toada la uestra, estos valores ṋ, que excede todos a cero, so fijos. El estiador que obteeos de la edia poblacioal toa fora aáloga al estiador de estratificació: Y Y E cada uestra, toaos la edia uestral e cada estrato obteeos el estiador de post-estratificació: Y Ua vez realizada la uestra, coo a eos dico, estos ṋ so fijos, por lo que la estiació de la variaza para este estiador es igual que para el estiador de estratificació la expresió que teeos es: S S Var Var Y Var Aora bie, esta variaza o es fija, desde el oeto que los ṋ o so fijos debeos allar por lo tato u valor proedio de dica variaza. Este valor proedio se alla si ás que toar la esperaza:

19 MÉTODOS CO MÁIMA IFORMACIÓ AUILIAR 7 [ ] S E S S E Y Var E S Aora bie E +, co lo que la expresió aterior se reduce a: [ ] + S S f Y E Var El prier tério correspode a la variaza del estiador de estratificació Yst Var, siedo el segudo el icreeto producido e la variaza al toar el estiador de postestratificació. Desarrollado este segudo tério obteeos la expresió: S S S dode es el úero proedio de uidades uestrales por estrato S es el proedio de las S. Se obtiee fialete, que el icreeto de la variaza obteido al toar el estiador de post-estratificació se atiee pequeño siepre que se atega razoableete grade. La estiació del proedio de la variaza que se obtiee es: [ ] + s s f Y E Var E este caso de post-estratificació, el cotrol de la variaza de la variable objetivo sobre las celdas se puede coseguir toado las variables auxiliares cualitativas altaete correlacioadas co la objetivo. Los estratos resultates ediate el cruce ultivariate de las variables auxiliares será de esta fora oogéeos respecto de la variable objetivo. Ver [4] [9]. Cocluios que el error coetido, tato co la estiació de estratificació coo co la post-estratificació, es directaete proporcioal a la variaza de la variable sobre las celdas e iversaete proporcioal al taaño uestral de los estratos. Variables Auxiliares Cuatitativas Ha dos tipos de estiacioes de razó e uestreo aleatorio estratificado: Estiació de razó separada Estiació de razó cobiada

20 La que osotros vaos a toar es la estiació de razó separada. Este estiador correspode a u odelo de regresió e el que la pediete de la recta de regresió o es ecesariaete la isa para cada ua de las celdas de la estratificació. El estiador de razó cobiada, si ebargo, supoe la isa pediete de regresió para todas las celdas. osotros cosiderareos e este cuadero el Estiador de la Razó Separada. El Estiador de la Razó Separada para la edia poblacioal es: ver [4] Y Rs Y 6 siedo Y la edia poblacioal sobre el estrato : Y estrato poblacioal es el cociete del total poblacioal de la variable sobre dico estrato etre su total uestral, tabié sobre el estrato:, co La estiació resultate es: co Y Rs estrato uestral Respecto a la variaza de este estiador, teeos que e el caso de uestreo aleatorio estratificado co taaños uestrales suficieteete grades e todos los estratos, la variaza de este estiador es: Var Y Rs f S + R Sx R S Sx ρ 7 si ás que, dado que se utiliza el estiador de la razó e cada celda de la estratificació, toar la variaza de dico estiador sobre cada ua de estas celdas, sobre las que se da u uestreo aleatorio siple: MÉTODOS CO MÁIMA IFORMACIÓ AUILIAR 8

21 Var Y R f estrato R x 8 co R la razó etre la edia uestral etre Y e el estrato, es decir, la pediete correspodiete a la recta de regresió etre la variable Y para el estrato : R x Al igual que e el caso de variables auxiliares cualitativas, cocluios que la variaza del estiador de la Razó Separado es iversaete proporcioal al taaño uestral de las celdas de la estratificació directaete proporcioal a la variaza del estiador de la razó sobre cada ua de estas celdas. Ejeplos E todos los ejeplos cosiderareos uestreos probabilistas co igual probabilidad de iclusió e la uestra para todos los eleetos de la isa, es decir, z /,..,. Vaos a cosiderar los datos alaceados e uas tablas, que e el caso particular e el que las variables auxiliares so cualitativas se llaa tablas de cotigecia. Variables Auxiliares Cualitativas Cosiderareos dos variables objetivo, correspodietes a los dos tipos de variables objetivo que se puede dar: cualitativa cuatitativa. Y es el úero total de eleetos de la població o-parados. Y es los igresos totales e u colectivo. Las variables auxiliares so dos: A: Sexo. Tiee categorías a. MÉTODOS CO MÁIMA IFORMACIÓ AUILIAR 9

22 B: ivel de istitució: estudios Priarios, Secudarios o Uiversitarios. Tiee 3 categorías, b3. Taaño de la població 0 uestral. Obteeos axb6 celdas: 6 variables la variable 0 co, 3 Variables auxiliares. Datos poblacioales. Tabla ESTUDIOS SEO Priarios Secudarios Uiversitarios TOTAL Hobre Mujer TOTAL Variables auxiliares. Datos uestrales. Tabla ESTUDIOS SEO Priarios Secudarios Uiversitarios TOTAL Hobre 3 Mujer TOTAL Variable objetivo Y. Datos uestrales. Y Tabla 3, Tabla de º de o-parados uestrales e cada estrato de la població. Y ESTUDIOS SEO Priarios Secudarios Uiversitarios TOTAL Hobre 0 0 Mujer TOTAL MÉTODOS CO MÁIMA IFORMACIÓ AUILIAR 0

23 Variable objetivo Y. Datos uestrales. Y Tabla 4, Igresos totales por es sobre los estratos. Y ESTUDIOS SEO Priarios Secudarios Uiversitarios TOTAL Hobre Mujer TOTAL Las atrices que obteeos para las variables auxiliares so: ab ab ab ab que es ua atriz 7x. E el caso geeral es ua atriz ab+x, siedo ab el º total de estratos e la estratificació de la població. La coposició la atriz se obtedrá e el caso de poseer la iforació alaceada e fora de ceso. La atriz es ua estiació de la atriz, de diesió 7x Aplicado la fórula 6, obteeos las restriccioes: w... w.. w w... w.. w 3 MÉTODOS CO MÁIMA IFORMACIÓ AUILIAR

24 MÉTODOS CO MÁIMA IFORMACIÓ AUILIAR Resolveos el problea de elevació e los estratos para abos casos caso de variable objetivo cualitativa, coo cuatitativa al uísoo. Su resolució es secilla, si ás que aplicar las fórulas 9 a partir de los datos de las tablas. Los elevadores que se obtiee so: ESTUDIOS SEO Priarios Secudarios Uiversitarios Hobre 44/ 44/ / Mujer 3/3,6675/3 3/3 La tabla de o-parados ajustada que obteeos es: Tabla3xelevadores ESTUDIOS SEO Priarios Secudarios Uiversitarios TOTAL Hobre Mujer TOTAL La tabla de igresos totales ajustada que obteeos es: Tabla4xelevadores

25 ESTUDIOS SEO Priarios Secudarios Uiversitarios TOTAL Hobre Mujer TOTAL Las estiacioes del total, tato para la variable cualitativa SER PARADO coo para la cuatitativa IGRESOS TOTALES, so: Y 0 úero de o-parados estiados Y 755 igresos totales esuales estiados Teeos etoces que: El total de o-parados, estiado, etre los 0 idividuos de la població es 0 idividuos, que la edia de o-parados e dica població es, por lo tato 0/00,5. Así iso, los igresos totales esuales estiados e la població so de 755 la edia estiada es de 755/03756,5 pesetas. Variables Auxiliares Cuatitativas Cosiderareos de uevo dos variables objetivo: ua cualitativa la otra cuatitativa. Y es el úero total de eleetos de la població o-parados. Y es el aorro esual. La variable auxiliar es los igresos totales esuales La estratificació de la població la realizaos e fució a dos variables: A: Vivir e zoa Rural o Urbaa. Tiee categorías a. B: Territorios Históricos: Bizaia, Araba o Gipuzoa. Tiee 3 categorías b3. Cosideraos taaño poblacioal 0 uestral. Obteeos axb6 celdas: 6 variables co, 3 la variable 0 MÉTODOS CO MÁIMA IFORMACIÓ AUILIAR 3

26 Variable auxiliar. Datos poblacioales. K K Tabla 5 Igresos esuales por estratos e la població. TERRITORIO HISTÓRICO ZOA Bizaia Araba Gipuzoa TOTAL Rural Urbaa TOTAL Variable auxiliar. Datos uestrales. K K Tabla 6 Igresos esuales por estratos e la uestra. PROVICIA ZOA Bizaia Araba Gipuzoa TOTAL Rural Urbaa TOTAL La otació que toaos es igual que e los casos ateriores, pero dode ates aparecía las variables, aora os aparece las variables, que a está defiidas e el apartado de esta secció. MÉTODOS CO MÁIMA IFORMACIÓ AUILIAR 4

27 Variable objetivo Y. Datos uestrales. Y Tabla 7, úero de o-parados e cada estrato de la uestra. Y, TERRITORIO HISTÓRICO ZOA Bizaia Araba Gipuzoa TOTAL Rural 0 0 Urbaa TOTAL Variable objetivo Y. Datos uestrales. Y Tabla 8, Aorro esual total sobre los estratos. Y, TERRITORIO HISTÓRICO ZOA Bizaia Araba Gipuzoa TOTAL Rural Urbaa TOTAL Aplicado la fórula 0 para las restriccioes, obteeos: w... w.. w w... w.. w MÉTODOS CO MÁIMA IFORMACIÓ AUILIAR 5

28 Los elevadores que se obtiee so: TERRITORIO HISTÓRICO ZOA Bizaia Araba Gipuzoa Rural 5, /75000 Urbaa 3, /0000, /50000, /0000, /75000, /50000 Co, segú a los abíaos defiido e la fórula La tabla de o-parados ajustada que obteeos es: Tabla7xelevadores Y TERRITORIO HISTÓRICO, ZOA Bizaia Araba Gipuzoa TOTAL Rural 0 0 Urbaa TOTAL MÉTODOS CO MÁIMA IFORMACIÓ AUILIAR 6

29 La tabla de aorros esuales totales ajustada que obteeos es: Tabla8 x elevadores Y TERRITORIO HISTÓRICO, Bizaia Araba Gipuzoa TOTAL Rural Urbaa TOTAL Las estiacioes del total, tato para la variable cualitativa ser parado coo para la cuatitativa aorro, so: Y 5 es el úero estiado de o-parados e la població Y es el aorro esual total estiado e la població Teeos etoces que: El total de o-parados, estiado, etre los 0 idividuos de la població es 5 idividuos, que la edia de o-parados e dica població es, por lo tato 5/00,75. Así iso, el aorro esual total estiado e la població es de pesetas al es la edia estiada es de 69990/063499,5 pesetas al es. Procediietos iforáticos Para la resolució del ajuste de uestras, cuado teeos Máxia Iforació Auxiliar, se puede utilizar distitos software: ECEL Coo oja de cálculo, ECEL os perite el cálculo de elevadores fácilete. Suado a esto, es ua erraieta de Office bajo IDOS, lo que facilita su aejo acceso. La dificultad e el epleo de esta erraieta para el ajuste es que ecesitaos elaborar ua acro para el cálculo de los elevadores. Esta acro, debe teer prefijadas las diesioes de las tablas de datos co las que se trabajará, lo que o perite su uso a bases de datos geerales. SAS Es u leguaje de prograació para el aejo trataieto de base de datos. os perite defiir fácilete los elevadores para el ajuste, pero el etoro de trabajo es eos cóodo que e el caso de Excel. MÉTODOS CO MÁIMA IFORMACIÓ AUILIAR 7

30 Otros Adeás de los ecioados, todos aquellos leguajes de prograació que perita el aejo de atrices so adecuados para el procediieto. Etre estos leguajes teeos el FORTRA, PASCAL, C++,... El úcleo del prograa será la defiició de uos elevadores, resultates del cociete etre totales poblacioales uestrales e cada uo de los estratos. Situacioes óptias para su aplicació Cosiderado todo lo ecioado ateriorete, teeos que la situació ecesaria para su aplicació será: El úero de celdas de la estratificació o debe ser u grade, a que e este caso, la dispersió de la uestra a lo largo de las celdas o será u desa, por lo tato, os podeos ecotrar co u úero u pequeño de eleetos e alguos de los estratos: todas aquellas celdas que tega u taaño iferior al íio de 0 ó 5 dará probleas. Para solucioar estos probleas se platea coo solució el colapso de celdas, que supoe ua pérdida de iforació poblacioal por lo tato tiee sesgo, pero se obtiee ua disiució de la variaza, a que ésta era iversaete proporcioal al taaño uestral de las celdas de esta fora coseguios que estos taaños se atega lo suficieteete grades. El étodo copesa la o-cobertura. E caso de utilizar juto a las probabilidades de iclusió e la uestra de los eleetos las tasas de o-respuesta obtedríaos u ajuste que copesaría la o-respuesta la o-cobertura. MÉTODOS CO MÁIMA IFORMACIÓ AUILIAR 8

31 Capítulo 3 Procediietos Iterativos co Iforació Auxiliar Cualitativa Los procediietos iterativos que vaos a presetar e este capítulo so el RAKIG USUAL ua variació de éste utilizada e el procediieto REDRE. Abos se utiliza cuado teeos variables auxiliares cualitativas teeos áxia iforació e las distribucioes uivariates de estas variables auxiliares. La estratificació se realiza co el cruce ultivariate de estas variables auxiliares. otació Se platea uas restriccioes co el fi de que la distribució uivariate poderada de la uestra iguale a la poblacioal. La represetació atricial de estas restriccioes sigue siedo la isa: w I La represetació de las atrices auxiliares la daos a cotiuació: Teeos L variables auxiliares cualitativas, cada ua co L, L,..., Ll,..., LL odalidades. Se realiza la estratificació de la població ediate el cruce ultivariate de estas L variables, obteiedo L L.. Ll.. LL estratos. El úero total de odalidades es L + L Ll LL E este caso, toaos las variables idetificadoras o dicotóicas de las odalidades: l, si tieelaodalidad l l 0, e caso cotrario co,.., e la uestra,.., e la població. L Ll LL variables dicotóicas. Toaos los vectores fila poblacioales,..,,.., de diesió x, co l l los uestrales l l,..,,.., l de diesió x, co l l l l l PROCEDIMIETOS ITERATIVOS CO IFORMACIÓ AUILIAR CUALITATIVA 9

32 Para asegurar que: w w +.. w toaos la variable 0 idéticaete se represeta ediate: 0,.., 0,.., 0,..,,.., 0 vector fila poblacioal de diesió x 0,.., 0,..,,..,,.., 0 0 vector fila uestral de diesió x Las atrices está foradas por estos vectores fila: # Es decir, so dos atrices de diesió +x +x Desarrollado la expresió atricial, obteeos: w 0 w 0 w w, +.. w Vaos a siplificar la otació, toado úicaete dos variables auxiliares co u úero de odalidades a b. ueraos las odalidades, de tal fora que si los datos que teeos so los argiales.. teeos que:. co a siedo a+b. co a + a + b Distribució uivariate de la ª variable Distribució uivariate de la ª variable de fora aáloga, defiios la otació para los datos uestrales de la distribució uivariate: # ueraos las odalidades de a. PROCEDIMIETOS ITERATIVOS CO IFORMACIÓ AUILIAR CUALITATIVA 30

33 . co. a co a + a + b Toado la represetació co variables auxiliares de estos datos, teeos: Resolveos el sistea co El ajuste es por celdas, teiedo todos los idividuos de ua isa celda el iso peso. Las icógitas pasa a ser etoces, los elevadores de las celdas co a, a + a + b. Y el sistea tiee la fora: a a+ a+ b a+ b a+ a., a E geeral se obtiee u sistea de + L L LL + +., a + a + b L L... L l... L 8 L icógitas L l ecuacioes, e el que la últia es cobiació lieal de las ateriores, por lo que se reduce a u sistea de L L... L l... L L icógitas L + L L L l L ecuacioes. E el caso de sólo dos variables auxiliares, teeos u sistea de ab icógitas a+b ecuacioes. E geeral a ás icógitas que ecuacioes, por lo que el sistea tedrá ifiitos elevadores posibles. Para evitar esto se toa u criterio de iiizació para ua fució, co lo que se obtedrá la uicidad de la solució. La fució que se toará será la fució distacia del vector de pesos iiciales al fial. Segú qué fució distacia se toe, se obtedrá distitas solucioes. Descripció del procediieto Vaos a describir a cotiuació los procediietos iterativos que se sigue, tato co el étodo Raig Usual coo co su variació e el Redre. Ates de describir la fórula iterativa de cada uo de los dos procesos vaos a presetar la situació, respecto de la iforació que se dispoe, que es coú para los dos procesos: PROCEDIMIETOS ITERATIVOS CO IFORMACIÓ AUILIAR CUALITATIVA 3

34 La tabla ultivariate co la iforació poblacioal es: A\B b Total b b.. b. a a a a ab a. Total.. a + a +. a + a + b. b a De esta tabla sólo cooceos los datos de las distribucioes uivariates que correspode a las celdas sobreadas. PROCEDIMIETOS ITERATIVOS CO IFORMACIÓ AUILIAR CUALITATIVA 3

35 Respecto a los datos uestrales, la tabla que se obtiee toa la siguiete fora: A\B b Total q q q qb. q q q q q q b q. q q q q qb q. q a qa q a qa qab q a. q a Total q. qa + q. qa + q. q a + q q. b a + b E este caso se cooce la distribució cojuta, la ultivariate. Heos reducido el caso geeral a la situació de úicaete dos variables auxiliares cualitativas bajo esta suposició vaos a presetar abos procesos iterativos. Para ello, vaos a ilustrar abos procesos iterativos aplicádolos a uas tablas secillas iagiarias: Siulació El taaño de la població es 0 la uestra tiee 0 idividuos. Los datos poblacioales que cooceos so los siguietes : A\B 3 Total 3. 0, , 5 Total. 0, 0, , 4. PROCEDIMIETOS ITERATIVOS CO IFORMACIÓ AUILIAR CUALITATIVA 33

36 La tabla de datos uestrales es q : A\B 3 Total 0, q q 0, q3 0,. 0, 5 q 0, q 0, 3 0, Total. 0, 3 q q 0, , 4. q q. 0, 5 q q Raig Usual El algorito iterativo que defie el étodo RAKIG es: ver [4] [5] w, w, co q, 0 0 q, 0 0 q, 0 q, a a q 0 q q a,, a q., 0 q, 0, q, el eleeto e la celda 0, 0., co para a + a + b Seguidaete vaos a aplicar la fórula iterativa al ejeplo siulado. Para ello, presetaos tablas e las que presetareos los pesos obteidos, así coo la distribució uestral poderada obteida al elevarla por estos pesos. PESOS0 0/0: Tabla uestral poderada por los pesos 0 q,0 : A\B 3 Total 0, 0,4 0,4 0,4 0, 0,4 Total 0,6 0,6 0,8 El prier paso de la iteració es el ajuste de la uestra respecto a la priera característica auxiliar o de estratificació. Los factores de elevació que se obtiee debido al ajuste so: PROCEDIMIETOS ITERATIVOS CO IFORMACIÓ AUILIAR CUALITATIVA 34

37 0,75 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 Y obteeos la siguiete tabla uestral e porcetajes poderada q,0 : A\B Total 0,5 0,3 0,3 0,75 0, 0,05 0, 0,5 Total 0,5 0,35 0,4 El segudo paso de esta priera iteració cosiste e ajustar la distribució uestral a la seguda variable de estratificació. Los factores de elevació de uestra e este segudo paso de la iteració so: 0,8,43 0,8,43 La tabla uestral e porcetajes obteida al elevar la uestra por estos uevos q : elevadores es, A\B Total 0, 0,343 0,3 0,763 0,08 0,057 0, 0,37 Total 0, 0,4 0,4 La tabla uestral se a desajustado aora respecto de la priera variable de estratificació, por lo que procedeos a la seguda iteració del procediieto: El prier paso de la seguda iteració. Los factores de elevació que se obtiee debido al ajuste so: 0,983 0,983 0,983,055,055,055 q : Y obteeos la siguiete tabla uestral e porcetajes poderada, A\B Total 0,8 0,337 0,95 0,75 0,084 0,06 0,06 0,5 Total 0,0 0,397 0,40 PROCEDIMIETOS ITERATIVOS CO IFORMACIÓ AUILIAR CUALITATIVA 35

38 El segudo paso de la seguda iteració. Los factores de so: 0,99,008 0,998 0,99,008 0,998 La tabla uestral e porcetajes que se obtiee al elevar la uestra por estos uevos q : elevadores es, A\B Total 0,7 0,34 0,94 0,75 0,083 0,06 0,06 0,49 Total 0, 0,4 0,4 El error producido co estos porcetajes uestrales ajustados respecto de los porcetajes poblacioales coocidos es del orde de 0,0035 dado que estaos trabajado úicaete co 3 dígitos, esta toleracia es suficiete para el ajuste, co lo que se da por fializado dico ajuste, co ta sólo dos iteracioes, cada ua de ellas co sus dos respectivos pasos. La tabla obteida es la de porcetajes uestrales ajustados a la població. Para obteer la tabla de úero de efectivos poblacioales estiados e cada celda de la estratificació, basta co ultiplicar a tabla por el taaño de la població 0. La tabla estiada de efectivos que obteeos es: A\B Total Total Coo se puede apreciar, la distribució uestral se a desajustado aora de la priera variable de estratificació tras el ajuste a la seguda, co lo que se vuelve a iterar el procediieto, iiciado aora el proceso co ua ueva tabla ajustada, la obteida tras la priera iteració del Raig. Esta fórula iterativa surge del siguiete proceso: Toaos la distribució uivariate de la priera variable auxiliar. Se podera. todas las celdas de esa fila por el factor, co el fi de ajustar la q q.,0,0 distribució argial auxiliar poderada de la uestra a la poblacioal. La distribució uestral obteida tras este prier paso se deota por, 0 q PROCEDIMIETOS ITERATIVOS CO IFORMACIÓ AUILIAR CUALITATIVA 36

39 Se ajusta la distribució uestral obteida co el fi de ajustar a la distribució argial de la seguda variable auxiliar. Para ello se toa el factor de elevació q..,0 q,0 Co los pasos ateriores se fializa ua iteració, tras la cual, la distribució uestral queda elevada por q..., 0 q.,0 q,0 q,0 La distribució resultate ajusta exactaete respecto de la distribució uivariate para la seguda variable auxiliar, pero debido al segudo paso se a desajustado ligeraete respecto de la distribució uivariate de la priera variable auxiliar. Para ua iteració cualquiera obteeos e el ajuste a la priera variable los factores q.., q, co lo que los pesos fiales so: e el segudo paso q.., q,, w, w, co e el estrato, q, q, El proceso se sigue iterado asta u úero fijo de iteracioes, o asta que se da la covergecia a la distribució poblacioal uivariate. Este proceso iterativo resulta de toar el sistea de restriccioes dividirlo e dos siteas:. U prier sistea e el que se platea las restriccioes correspodietes a la priera variable auxiliar e el que se cosidera que los pesos resultates so de la fora: w, w, c Resulta etoces u sistea de a icógitas a ecuacioes, co atriz asociada diagoal, de eleetos diagoales el úero de efectivos uestrales obteidos para cada odalidad de la priera variable auxiliar. Este sistea tiee úica solució siepre que dicos eleetos diagoales sea o ulos. El prier paso de cada iteració resulta etoces de la resolució de este sistea.. El segudo paso surge aálogaete de toar los pesos de la fora: w, w, c PROCEDIMIETOS ITERATIVOS CO IFORMACIÓ AUILIAR CUALITATIVA 37 se platea etoces u sistea de b ecuacioes b restriccioes, e el que las icóigtas so c. Este sistea tiee coo atriz asociada ua atriz diagoal co eleetos diagoales el úero de efectivos uestrales argiales obteidos para las odalidades de esta

40 seguda variable auxiliar. Bajo la ipótesis de o ulidad de estos eleetos, el sistea tiee ua úica solució, co lo que se obtiee la distribució poderada tras el segudo paso de la iteració por lo tato, al teer úicaete dos variables auxiliares, los pesos fiales para la iteració. E el caso de teer ás variables auxiliares, tedríaos ás sisteas plateados e cada iteració, tatos coo variables. La solució que se obtiee ediate el procediieto iterativo RAKIG, coicide adeás co la solució que se obtiee co el étodo de Ajuste de Míio Cuadrados: se platea u sistea co uas restriccioes, que correspode a la cosistecia co respecto de la iforació auxiliar poblacioal de la distribució uestral poderada, ua fució objetivo e el que se ide la exactitud de dica distribució uestral x poderada toado coo distacia ua fució de la fora D x,. Así, x se toa la fució distacia coo la sua de las distacias de las distribucioes uestrales uivariates co respecto a las poblacioales correspodietes a cada odalidad, obteiedo así la fució distacia a iiizar. Para resolver este problea de iiizació de ua fució objetivo co variables sujetas a ua serie de restriccioes se eplea el étodo de los ultiplicadores de Lagrage la resolució del iso ediate dicos ultiplicadores os lleva a la isa solució del Raig, lo que pasa que, ediate este últio el proceso es ás rápido. Respecto al Raig, podeos adeás obteer el ajuste para ua celda que sea para osotros de especial iterés de ua fora relativaete rápida, si ás que ediate ua copresió de las celdas restates e celdas colidates a la celda e cuestió. Coo veos el Raig es u procediieto iterativo que ajusta la distribució argial de las odalidades por variables auxiliares. Resaltar que cuado algua de las celdas e la estratificació o tiee igú eleeto uestral 0, etoces e el Raig se le asiga u úero de efectivos poblacioales aproxiado ~ 0 respectivaete ~ 0. El Raig coverge bajo ciertas codicioes de regularidad. Adeás se obtiee que e ~ estos casos de covergecia, los estiadores de los, los so asitóticaete isesgados, de distribució oral de íia variaza, es decir, so estiadores BA best asptocall oral estiators. Redre Es ua variació del étodo RAKIG USUAL. La fórula iterativa que lo defie es: PROCEDIMIETOS ITERATIVOS CO IFORMACIÓ AUILIAR CUALITATIVA 38

41 PROCEDIMIETOS ITERATIVOS CO IFORMACIÓ AUILIAR CUALITATIVA 39 + w w w b a,,,, + w Co:, w peso asigado al eleeto e la iteració -ésia. 0, w desiga el porcetaje poblacioal de eleetos co la odalidad, siedo esta odalidad ua de las de la priera variable auxiliar. Toado la oeclatura del úero + + b a a a co co Para siplificar aú ás la otació deotaos estos porcetajes poblacioales coo w w,, so los porcetajes uestrales poderados ediate los pesos obteidos tras la iteració. So porcetajes argiales correspodietes a las odalidades de la priera la seguda variable auxiliar, respectivaete. Para siplificar las expresioes toaos la otació:

42 PROCEDIMIETOS ITERATIVOS CO IFORMACIÓ AUILIAR CUALITATIVA 40 w q w q,,,, E el caso de estos porcetajes uestrales poderados so: + + b a a a co co, Estas expresioes se deduce directaete de toar,0 w. : represeta el úero de variables auxiliares. b a es u filtro para allar los factores que itervedrá e el peso obteido e cada iteració, al ser las variables b a co dicotóicas asociadas a cada celda de la estratificació. Es decir, segú la otació que eos toado e el problea,. Tras todo lo ecioado la fórula iterativa para REDRE es: + b a q q w w,,,, Geeralizaos la fórula iterativa aterior, al caso geeral de ás variables auxiliares obteeos: iables auxiliares q sua w w var º,,, siedo la sua e todas las odalidades e las que está el eleeto de la uestra, para todas las variables auxiliares.

43 Estos pesos se ultiplica luego por e EUSTAT, co el fi de que w, Así, esto es equivalete a toar coo pesos iiciales w,0, es decir, correspode a toar coo pesos iiciales los iversos de la probabilidad de iclusió e la uestra para cada idividuo, es decir, correspode a toar el estiador iicial de H-T e los uestreos probabilistas co igual probabilidad de iclusió z para todo idividuo uestral. Es u ajuste iterativo por celdas, e el que a todos los idividuos de ua isa celda se les asiga el iso peso. Veos cóo actúa el REDRE aplicado a uestro ejeplo de siulació: Priera iteració Elevadores 0,75/0,5+0,/0,3/,083 0,5/0,5+0,/0,3/ 0,583 0,75/0,5+0,4/0,3/,47 0,5/0,5+0,4/0,3/ 0,97 0,75/0,5+0,4/0,4/,5 0,5/0,5+0,4/0,4/ 0,75 Tabla uestral e porcetajes ajustada a la població: A\B 3 Total 0,08 0,83 0,5 0,64 0,7 0,09 0,5 0,359 Total 0,5 0,375 0,4 Seguda iteració Elevadores 0,75/0,64+0,/0,5/,09 0,5/0,359+0,/0,5/ 0,793 0,75/0,64+0,4/0,375/,8 0,5/0,359+0,4/0,375/ 0,88 0,75/0,64+0,4/0,4/,085 0,5/0,359+0,4/0,4/ 0,848 PROCEDIMIETOS ITERATIVOS CO IFORMACIÓ AUILIAR CUALITATIVA 4

44 Tabla uestral e porcetajes ajustada a la població: A\B 3 TOTAL 0, 0,36 0,7 0,698 0,093 0,08 0,7 0,30 TOTAL 0,04 0,397 0,398 0,999 Tercera iteració Elevadores 0,75/0,698+0,/0,04/,07 0,5/0,30+0,/0,04/ 0,905 0,75/0,698+0,4/0,397/,04 0,5/0,30+0,4/0,397/ 0,99 0,75/0,698+0,4/0,398/,04 0,5/0,30+0,4/0,398/ 0,98 Tabla uestral e porcetajes ajustada a la població A\B 3 TOTAL 0,4 0,39 0,8 0,75 0,084 0,074 0,7 0,75 TOTAL 0,98 0,403 0,399 Cuarta iteració Elevadores 0,75/0,75+0,/0,98/,0 0,5/0,75+0,/0,98/ 0,96 0,75/0,75+0,4/0,403/,04 0,5/0,75+0,4/0,403/ 0,95 0,75/0,75+0,4/0,399/,08 0,5/0,75+0,4/0,399/ 0,956 Tabla uestral e porcetajes ajustada a la població A\B 3 TOTAL 0,7 0,334 0,87 0,738 0,08 0,07 0, 0,63 TOTAL 0,98 0,404 0,399,00 PROCEDIMIETOS ITERATIVOS CO IFORMACIÓ AUILIAR CUALITATIVA 4

45 Quita iteració Elevadores 0,75/0,738+0,/0,98/,03 0,5/0,63+0,/0,98/ 0,98 0,75/0,738+0,4/0,404/,003 0,5/0,63+0,4/0,404/ 0,97 0,75/0,738+0,4/0,399/,009 0,5/0,63+0,4/0,399/ 0,977 Tabla uestral e porcetajes ajustada a la població A\B 3 TOTAL 0,9 0,335 0,9 0,744 0,079 0,068 0,09 0,56 TOTAL 0,98 0,403 0,399 Sexta iteració Elevadores 0,75/0,744+0,/0,98/,009 0,5/0,56+0,/0,98/ 0,993 0,75/0,744+0,4/0,403/ 0,5/0,56+0,4/0,403/ 0,985 0,75/0,744+0,4/0,399/,005 0,5/0,56+0,4/0,399/ 0,99 Tabla uestral e porcetajes ajustada a la població A\B 3 TOTAL 0, 0,335 0,9 0,746 0,078 0,067 0,08 0,53 TOTAL 0,98 0,40 0,399 0,999 Séptia iteració Elevadores 0,75/0,746+0,/0,98/,008 0,5/0,53+0,/0,98/ 0,999 0,75/0,746+0,4/0,40/ 0,5/0,53+0,4/0,40/ 0,99 0,75/0,746+0,4/0,399/,004 0,5/0,53+0,4/0,398/ 0,995 PROCEDIMIETOS ITERATIVOS CO IFORMACIÓ AUILIAR CUALITATIVA 43

46 Tabla uestral e porcetajes ajustada a la població A\B 3 TOTAL 0, 0,335 0,9 0,748 0,078 0,066 0,07 0,5 TOTAL 0,99 0,40 0,399 0,999 La distribució a quedado a ajustada co ua toleracia de 0,00, tras siete iteracioes. La tabla co el úero de efectivos estiados tras el ajuste a la distribució uivariate de las variables de estratificació es: A\B 3 TOTAL TOTAL La tabla estiada para uestro ejeplo siulado obteida co abos étodos es la isa. Este étodo de ajuste, el RAS, lo que platea es evitar tatas odificacioes de los pesos e cada iteració, por lo que toa el factor de odificació de los pesos coo ua edia de los factores resultates de los ajustes a las odalidades a las que perteece cada eleeto. Así, lo que ace es platear u úico sistea a solucioar, e el que obteeos a + b icógitas ecuacioes. Los pesos resultates toa etoces la fora w, w, - Los factores, c c co a a + a + b + c c se alla de resolver el sistea de restriccioes plateado el peso fial para cada eleeto resulta de elevar el peso iicial por la edia de los factores c c Ejeplos Cosiderareos dos variables objetivos, correspodietes a los dos tipos de variables objetivo que se puede dar: cualitativa cuatitativa. Y es el úero total de eleetos de la població o-parados. Y es la facturació total por es de la població. Las variables auxiliares so dos: PROCEDIMIETOS ITERATIVOS CO IFORMACIÓ AUILIAR CUALITATIVA 44