PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES ) (Part d un problma d Slctividad d Cincias y Tcnología 007) Sa f: R R la función dfinida por f() =. Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa =. Punto d tangncia: Si = f() = = Es (, ). Pndint d la tangnt: Como f () = m = f () =. Por tanto, la cuación d la rcta tangnt s (usando la cuación d la rcta n forma punto-pndint): y = ( ) y =. ) (Slctividad CCSS 0) Hall la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función f() = 3 n l punto d abscisa = 0. Punto d tangncia: = 0 f(0) = 0 = = : (0, ). Pndint: f '() = 3 3 = 6 3 m = f '(0) = 6 0 = 6 = 6 Ecuación: y + = 6( 0) y = 6 3) (Slctividad CCSS) Hall la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función f() = 3 n l punto d abscisa = 0. Punto d tangncia: = 0 f(0) = 0 = = : (0, ). Pndint: f '() = 3 3 = 6 3 m = f '(0) = 6 0 = 6 = 6 Ecuación: y + = 6( 0) y = 6 4) (Part d un problma d Slctividad d Cincias y Tcnología 007) Sa f : (, +) R la función dfinida por f() = Ln( + ) (Ln dnota la función logaritmo npriano). Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa = 0. Hallamos l punto d tangncia. Si = 0 f(0) = Ln = 0 Es (0, 0). Hallmos la pndint d la tangnt. f () = f (0) =. Lugo la tangnt s: y 0 = ( ) y =. 5) (Part d un problma d Slctividad d Cincias y Tcnología 008) Sa f : la función dada por f() =. Justifica qu la rcta d cuación y = s la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa =. Como f( /) = El punto d tangncia s ( /, ). Como f '() = La pndint d la tangnt s: m = f '( /) =. Por tanto, la cuación d la tangnt s: y = y = + y = 6) (Part d un problma d Slctividad d Cincias y Tcnología 009) Considra la curva d cuación y = 3 3. Halla la cuación d la rcta tangnt a la curva n l punto d abscisa =. Como f( ) = ( ) 3 3( ) =, l punto d tangncia s (, ). Y como f '() = 3 3 la pndint d la tangnt s m = f '( ) = 0 (s horizontal). Lugo la cuación s: y = 0 ( + ) y =. IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 7

2 7) (Slctividad d Cincias Socials 005) Hall la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función f dfinida d la forma f ( ) L( ) n l punto d abscisa =. (L dnota logaritmo npriano) Dl punto d tangncia, dond la rcta y la curva s tocan, conocmos =. La sgunda coordnada d dicho punto, al sr un punto d f, srá, por tanto: f() = +L( ) = +L = +0 = El punto s (, ) Para la pndint d la tangnt, ncsitamos la función drivada: f '( ) 0 = f '() = srá la pndint, pusto qu = s la primra coordnada dl punto d tangncia. Aplicando la cuación punto-pndint d la rcta, la tangnt srá: y = ( ) y = + y = 8) (Slctividad d Cincias Socials, antrior a 00) Dada la función f() = 3 7, a) Calcul los puntos d la gráfica d dicha función dond la tangnt tin pndint. Sgún la intrprtación gométrica d la drivada, la pndint d la rcta tangnt a una función n l punto (, f()) val f '(). Por l nunciado dl problma, dicha pndint db valr. Vamos l valor d para qu so ocurra: 3( ) (3 7) f '() = = = ( ) ( ) ( ) = = ( ) = (+) = = = 4 = Los puntos dond ocurr son, ntoncs: (, 4) y ( 3, ). 3 No nos pidn las cuacions d las rctas tangnts, pro usando la cuación punto pndint: y y 0 =m( 0 ), srían, rspctivamnt: y 4 = (+) y = +4 y = +3 y = (+3) y = 3+ y = b) Epliqu, razonadamnt, si pud istir algún punto d tangnt horizontal n sta función. Dbría sr 0 la pndint, para qu la rcta tangnt fus horizontal. Entoncs: f '() = 0 = 0 = 0, qu no s posibl. ( ) 9) a) Hall la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d y = 3 n cada uno d los puntos n los qu su pndint sa igual a 3 Para calcular la cuación d la rcta tangnt a una curva, ncsitamos un punto d dicha rcta y su pndint. El punto srá dond la rcta toqu a la curva; s dcir, s un punto qu stá sobr la curva. D st punto sólo conocrmos, por lo gnral, la coordnada ; la sgunda coordnada s hallará sustituyndo dicho valor d n la fórmula d la función. La pndint s, sgún la intrprtación gométrica d la drivada, l valor d la drivada n l valor dl dl punto d tangncia. IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 7

3 Una vz qu tnmos l punto d tangncia (a, f(a)) y la pndint m=f (a), la rcta tangnt srá, sgún la cuación punto-pndint: y f(a)=f (a)( a) En st problma no nos dan l punto d tangncia, sino la pndint: 3. La coordnada d dicho punto srá tal qu f ()=3, por la intrprtación gométrica d la drivada. Es dcir: f ()=3 3 =3 = = ó = Hay dos puntos dond so ocurr, por lo qu l problma tin dos solucions. ª: = f()=f()= =0 El punto d tangncia s (, 0). Como la pndint s 3, la rcta s: y 0=3( ) y=3 3 ª: = f()=f( )= = El punto d tangncia s (, ). Como la pndint s 3, la rcta s: y+=3(+) y=3+3 y=3+ b) Dada la función f() = 3 +a +b, calcul a y b para qu f() tnga un punto d inflión n (, ) Primramnt, db pasar por (, ), para qu puda ést sr un punto d inflión. Lugo f( )= ( ) 3 +a( ) +b= a+b=3 Por otra part, la dl punto d inflión vrifica qu f ()=0. O sa: f ( )=0 Como f ()=3 +a y f ()=6+a, srá: 6( )+a=0 a=6 a=3 Sustituyndo n a+b=3 3+b=3 b=0. si 0) (Slctividad CCSS 005) Sa la función f( ). Dtrmin la si cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa =. D los dos intrvalos dond nos dfinn f d forma distinta, = prtnc a [, +), dond f() =. Nos limitamos a sta fórmula d f, pus. Cuando = f() = = El punto d tangncia s (, ). La pndint d la rcta tangnt srá f (), sgún la intrprtación gométrica d la drivada. Como f () = f () = =. 4 Lugo la rcta tangnt srá, usando la cuación d la rcta n forma puntopndint: y = ( ) y = + + y = + ) (Slctividad CCSS 009) Sa la función f : R R dfinida mdiant: si 0 f() = 3 si 0 Hallar la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa =. Punto d tangncia: Si = f() = 3 + =. Es (, ). Pndint: m = f '() = 3 = IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 3 d 7

4 Ecuación: Sgún la intrprtación gométrica d la drivada, usando la cuación d la rcta n forma punto-pndint, srá: y = ( ) y = + y= ) (Slctividad CCSS 0) Sa la función 4 si 4 f ( ) si 4 4 si 4 Calcul la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función n l punto d abscisa = 3. Coordnadas dl punto d tangncia: (3, 4/3). Pndint n l punto d tangncia: m = f '(3) = 4/9, pus f '() = 4/ cuando < < 4, qu s lo qu corrspond a = 3, punto n studio. Ecuación d la tangnt: y y 0 = m( 0 ) 4 4 y ( 3) y 4( 3) 3 9y = 4 + 9y = y 9 3) (Slctividad Mat II 0) Sa la función f : (0, +) R dfinida por f() = ln( ) dond ln dnota la función logaritmo npriano. Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa =. Coordnadas dl punto d tangncia: Si = f() = ln( ) = = El punto dond s tocan la tangnt y la función s: (, ). Pndint d la tangnt: f '() = = m = f '() = Ecuación d la tangnt: y y 0 = m( 0 ) y = ( ) y = ( ) + = + y = + 4) (Slctividad Mat II 03) Sa f : (, ) R la función dfinida por si 0 f() = a b si 0 a) (,5 puntos) Dtrmina a y b sabindo qu f s drivabl n todo su dominio. Para sr drivabl, primro db sr continua (n los puntos dond no sa continua no pud sr drivabl, porqu si lo fus, sría continua, ya qu drivabilidad implica continuidad). Por tanto, s obligatorio avriguar si tin alguna discontinuidad, aunqu no hay qu clasificarla, d sr así. Intrvalo (, 0): f() = +, qu s continua ya qu las opracions con funcions continuas rsulta n una función continua: y = s continua n IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 4 d 7

5 todo R, y = = / también, porqu l dnominador nunca s hac 0 ( > 0 ). Lugo f s continua n todo (0, +). Intrvalo (0, ): f() = a b. Al sr lmntal, sta función srá continua n su dominio, qu s b 0 b. Como su dominio s, sgún nos dic l nunciado, (, ), b podría tomar cualquir valor mayor o igual qu y la función sría continua n st intrvalo (si b <, por jmplo b = 0.5, l dominio sólo llgaría hasta 0.5, por lo qu no podría star dfinida, ni sr continua por tanto, n (0, ), y sabmos qu sí lo stá). Es dcir, si b, f s continua n (0, ). = 0: Los puntos qu conctan una zona con otra dbn studiars apart. Para qu sa continua aquí, s rquir: ) f(0) = = =. ) Db istir lim f ( ). Dado qu la fórmula qu dfin a f no s la 0 misma a la izquirda y a la drcha d, dbmos calcular los límits latrals para rsolvr st límit: lim f ( ) = lim ( ) = = = 0 0 lim f ( ) = lim a b = a b 0 0 El límit complto istirá cuando coincidan ambos rsultados: a b = 3) Dbn coincidir lim 0 f ( ) con f(0), lo qu sucd con la igualdad antrior. Así qu f srá continua n su dominio si a b = sindo b. Drivmos f (sabmos qu s continua y drivabl n su dominio, por l nunciado): si 0 f '() = a si 0 b qu s lo qu podmos obtnr drivando dirctamnt, aplicando las fórmulas d las tablas d drivadas, qu son válidas n intrvalos abirtos, únicamnt (las drivadas son límits, y rquirn qu, para cada punto, s puda tndr a él dsd la drcha y la izquirda). Falta, ntoncs, hallar la drivada n = 0. La drivada por la izquirda coincidirá con l valor qu da la fórmula qu la dfin a la izquirda d = 0: f '(0 ) = 0 = =. Lo mismo por la drcha: f '(0 + a ) =. b Como sabmos qu f '(0), porqu f s drivabl, stos valors coincidn: a = a = b b Rsolvmos l sistma qu hmos obtnido d las dos condicions a las qu hmos llgado: a b b b b = (por sustitución d la ª n la ª) a b D dond: a = b = =. IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 5 d 7

6 Por tanto, a = y b =. b) ( punto) Halla la cuación d la rcta tangnt y d la rcta normal a la gráfica d f n l punto d abscisa = 0. Si = 0, tnmos: Punto d tangncia: Como f(0) =, sgún calculamos ants, s (0, ). Pndint d la tangnt: m = f '(0) = (también s obtuvo ants). Rcta tangnt: y y 0 = m( 0 ) y = ( 0) y = +. Rcta normal: La normal s la prpndicular a la tangnt n l punto d tangncia. La pndint d una rcta prpndicular a otra cuya pndint s m val /m. Por tanto, la pndint d la normal srá simpr: m' = / f '( 0 ), sindo 0 la abscisa dl punto d tangncia En nustro caso: m = / ( ) =. Lugo la normal srá: y y 0 = m'( 0 ) y = ( 0) y = +. 5) (Slctividad Mat II Junio 99) Sa f : R R la función dfinida por f() =. a) ( punto) Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa = a. Punto d tangncia: Como f(a) = a, s (a, a ). Pndint d la tangnt: f '() = m = f '(a) = a. Rcta tangnt: y y 0 = m( 0 ) y a = a ( a) y = a + a ( a). Rcta normal: No la pidn, pro nos jrcitamos calculándola. La normal s la prpndicular a la tangnt n l punto d tangncia. La pndint d una rcta prpndicular a otra cuya pndint s m val /m. Por tanto, la pndint d la normal srá simpr: m' = / f '( 0 ), sindo 0 la abscisa dl punto d tangncia En nustro caso: m = / a = a. Lugo la normal srá: y y 0 = m'( 0 ) y a = a ( a) y = a + a a + a ). b) ( punto) Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f qu s paralla a la rcta d cuación y + = 0. La pndint d y + = 0 y = + y = + / val. La pndint d la tangnt n (a, f(a)) s f '(a). S tin qu f '() =, por lo qu f '(a) = a. Como ambas rctas son parallas, coincidn sus pndints: f '(a) = a = a = ln = 0. Como f(a) = f(0) = 0 =, l punto d tangncia s (0, ). Así qu la rcta tangnt s: y y 0 = m( 0 ) y = ( 0) y = +. La normal, qu tampoco pidn (no s db contstar n un amn a algo qu no pidn), tndría por pndint m' = / =. Sría, pus (por l mismo punto): y = ( 0) y = + c) ( punto) Halla la cuación d la rcta qu pasa por l punto (, 0) y s tangnt a la gráfica d f. El punto qu nos dan no prtnc a la gráfica. El procso d cálculo s difrnt. Supongamos qu (b, f(b)) s l punto d tangncia, dond f(b) = b, pro no conocmos cuál s b. Vamos a avriguarlo. La pndint d la tangnt sría: f '(b) = b. IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 6 d 7

7 Lugo la rcta tangnt sría (a falta d conocr l valor d b): y y 0 = m( 0 ) y b = b ( b) Obligamos a qu sta rcta pas por (, 0): 0 b = b ( b) b = b b b b b = b + b b = b / b = Es dcir, hay una única solución para l valor buscado b: b =. Y como f() = y f '() =, la rcta tangnt pdida s: y y 0 = m( 0 ) y = ( ) y = + y = IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 7 d 7