Definición 3.1 Dado z = x + iy lc se define la función exponencial compleja como. exp(z) = e x (cos(y) + i sen(y))

Transcripción

1 Capítulo 3 Funciones elementales En este capítulo se introducen la funciones elementales variable compleja: la exponencial, el logaritmo y las funciones trigonométricas e hiperbólicas. Como veremos, muchas de las propiedades que estas funciones verifican en el caso real también se cumplen en el caso complejo. Pero también surgen propiedades distintas. Veremos, por ejemplo, que la exponencial compleja es una función periódica o que las funciones sen y cos no están acotadas en lc Función exponencial Definición 3.1 Dado z = x + iy lc se define la función exponencial compleja como exp(z) = e x (cos(y) + i sen(y)) Comparando esta expresión con la forma polar de los números complejos se tiene que exp(z) = e x y que y es un argumento de exp(z). Observamos que esta definición es coherente con la notación de Euler pues si z = 0 + iy, con y l - R, se tiene que e iy = cos(y) + i sen(y). También se utiliza la notación e z en vez de exp(z). En primer lugar comprobaremos que la función exponencial compleja extiende a la exponencial real. Si z = x + i0, con x l - R, se tiene que exp(x + i0) = e x. Proposición 3.1 La función exponencial es derivable y su derivada es ella misma. Ejemplo 3.1 Exprese en forma polar y represente gráficamente e iπ, e +iπ/ y e iπ/4. Ejemplo 3. Exprese en la forma e x+iy los números complejos, i, 3, i. 19

2 0 Ejemplo 3.3 Halle la imagen de la recta y = π/4 mediante la función exponencial. Ejemplo 3.4 Halle la imagen de la recta x = 1 mediante la función exponencial. Ejercicio 3.1 Razone que si w 0 siempre existe un z lc tal que e z = w. Ejercicio 3. Dados a, b l - R, halle la imagen de las rectas x = a e y = b mediante la función exponencial. Ejercicio 3.3 Halle la imagen del conjunto A = [1, ] [0, π] mediante la función exponencial. Proposición 3. Para cualesquiera z 1, z lc se verifica exp(z 1 + z ) = exp(z 1 ) exp(z ). (3.1) Corolario 3.1 Para cualquier z lc se verifica: 1. exp(z) 0,. exp( z) = 1 exp(z), 3. (exp(z)) n = exp(nz) n Z. Las propiedades vistas hasta ahora son comunes a las exponenciales real y compleja. Veremos que también hay propiedades que verifica una y la otra no. Por ejemplo, sabemos que la exponencial real es inyectiva. La exponencial compleja no lo es, pues como establece corolario siguiente, es una función periódica y sus periodos son de la forma kπi con k Z. Corolario 3. Para cualesquiera z 1, z lc se tiene que e z 1 = e z si, y solamente si, z 1 = z + kπi con k Z. Ejemplo 3.5 Halle las soluciones de la ecuación e z = 1 + i y represéntelas gráficamente. Ejercicio 3.4 Demuestre que la función exponencial es inyectiva si se restringe el conjunto de partida al conjunto A 0 = l - R ( π, π). Halle el conjunto imagen.

3 1 3.. El logaritmo complejo En el caso real, la función exponencial es inyectiva, y también sobreyectiva si restringimos el conjunto de llegada al intervalo (0, + ). Puede considerarse entonces la función inversa que es el logaritmo neperiano real. Para introducir el logaritmo en el caso complejo no puede seguirse exactamente el mismo procedimiento pues, como ya se ha mencionado, la función exponencial compleja no es inyectiva y, si se considera su inversa, se obtiene una correspondencia no unívoca. Para conseguir una función univaluada el procedimiento que seguiremos será elegir zonas donde la exponencial es inyectiva y considerar, en cada zona, la correspondiente función inversa. Así se construyen las denominadas ramas del logaritmo. Dado w lc analicemos las soluciones de la ecuación exp(z) = w Si z = x + iy y θ es un argumento de w, la ecuación se escribe e x e iy = w e iθ e igualando módulos se obtiene, en el campo de los números reales, la ecuación e x = w de donde 1 x = ln( w ), si w 0, y no tiene solución si w = 0. Igualando ahora argumentos se obtiene y = θ + kπ para k Z. Tenemos pues que y puede ser cualquier argumento del número complejo w. Se define entonces el logaritmo como sigue Definición 3. Sea w 0, se dice que z es un logaritmo de w si exp(z) = w. Si w = ρ y θ es un argumento de w, los logaritmos de w son log(w) = {ln(ρ) + i(θ + kπ), k Z}. (3.) Si de todos los posibles argumentos de w se elige el único que pertenece al intervalo ( π, π], se obtiene un único logaritmo que se denomina logaritmo principal. La instrucción log de Matlab calcula este logaritmo. Ejemplo 3.6 Calcule los logaritmos de: (a) 1 + i, (b) 1, (c) 1, (d) i. Ejercicio 3.5 Estudie si el logaritmo principal extiende a la función logaritmo neperiano real. 1 Empleamos la notación ln para el logaritmo neperiano real.

4 Ejercicio 3.6 Halle las soluciones de la acuación e z = 1 + (3)i que pertenecen al conjunto A 0 = l - R ( π, π). Según la definición anterior, el logaritmo asocia a cada número complejo w 0 un conjunto de números. Por tanto, el logaritmo así definido resulta una función multívoca esto es debido a que la función exponencial es una función periódica. Si deseamos obtener una función univaluada que sea inversa de la exponencial basta restringirse a un dominio donde ésta sea inyectiva. Si para α l - R se considera el conjunto A α = (, ) (α π, α + π), la función exp : A α lc resulta inyectiva y su conjunto imagen es lc \ H α, siendo H α = {z = ρe iα+π : ρ 0}. Tenemos entonces que la función exp : (, ) (α π, α + π) lc \ H α es biyectiva y, por tanto, podemos considerar su inversa que se denotará por log α. Tenemos entonces que si w lc H α, w posee infinitos logaritmos que son ln( w ) + iθ, donde θ es un argumento cualquiera de w. La función log α asocia a w el único de estos logaritmos perteneciente al conjunto A α = (, ) (α π, α + π). Utilizando la función arg α se tiene que log α (w) = ln w + i arg α (w). Definición 3.3 Dado α l - R, se llama log α a la inversa de la función exp : (, ) (α π, α + π) lc \ H α Se tiene entonces que log α : lc \ H α (, ) (α π, α + π) es log α (z) = ln z + i arg α (z) (3.3) De la definición se deduce que log α (z) log(z) y, por lo tanto, e log α (z) = z para todo z lc H α. También se verifica que si z A α = (, ) (α π, α + π), log α (exp(z)) = z, igualdad que es falsa si z / A α. Ejemplo 3.7 Calcule: log π ( 1), log 3π ( 1), log 0 (1), log π (1). Proposición 3.3 La función log α : lc \ H α lc es analítica en su dominio de definición y su derivada es d log α (z) = 1 dz z.

5 3 Ejemplo 3.8 Halle el dominio de definición de f(z) = log 0 (z ) y calcule su derivada. Ejercicio 3.7 Estudie si α l - R es cierto que log(e 1+i 3π ) = 1 + i 3π. Ejercicio 3.8 Estudie si log 0 puede extenderse como función continua a los puntos del semieje real negativo. Ejercicio 3.9 Dado α l - R, estudie si z, w lc\h α se cumple log α (z w) = log α (z)+log α (w). Ejercicio 3.10 Dado α l - R, estudie si z lc \ H α y n ln se cumple que log α (z n ) = n log α (z). Ejercicio 3.11 Halle el dominio de definición de f(z) = log 0 (1 z) y calcule su derivada Funciones trigonométricas e hiperbólicas En esta sección se definen las funciones trigonométricas e hiperbólicas y se estudian sus principales propiedades. Las funciones se introducen a partir de la función exponencial, extendiendo a las funciones trigonométricas e hiperbólicas del caso real. Veremos que no todas las propiedades del caso real se verifican en el caso complejo. Dado t l - R se tienen las expresiones Sumando y restando se obtiene sen(t) = eit e it i e it = cos(t) + i sen(t) e it = cos(t) i sen(t), cos(t) = eit + e it, ecuaciones que expresan el sen y el cos de un número real en función de la exponencial compleja. Parece entonces natural la definición siguiente: Definición 3.4 Para z lc se definen sen(z) = eiz e iz i cos(z) = eiz + e iz (3.4) (3.5)

6 4 Resulta obvio que estas funciones extienden al sen y al cos del caso real por lo que no hay ambigüedad en la notación. Proposición 3.4 Las funciones sen y cos son enteras y sus derivadas son: d sen(z) dz = cos(z) y d cos(z) dz = sen(z). Proposición 3.5 Se verifican las siguientes propiedades: 1. Las funciones sen(z) y cos(z) son periódicas de periodo π.. e iz = cos(z) + i sen(z) z lc. 3. sen( z) = sen(z) y cos(z) = cos( z) z lc. 4. sen (z) + cos (z) = sen(z 1 + z ) = sen(z 1 ) cos(z ) + sen(z ) cos(z 1 ), z 1, z lc. 6. cos(z 1 + z ) = cos(z 1 ) cos(z ) sen(z 1 ) sen(z ), z 1, z lc. Proposición 3.6 Se verifica que: 1. sen(z) = 0 si, y sólo si, z = kπ con k Z. cos(z) = 0 si, y sólo si, z = π/ + kπ con k Z. Ejemplo 3.9 Halle las soluciones de la ecuación sen(z) =. (Sol. z = ( π +kπ) i ln(+ 3) o z = ( π + kπ) i ln( 3) con k Z.) Ejercicio 3.1 Halle las soluciones de la ecuación cos(z ) = 0. (Sol. z = ± π + kπ con k Z + {0} o z = ± kπ πi con k Z ). El ejemplo siguiente muestra que no todas las propiedades del caso real se verifican en el caso complejo. Como sabemos, cuando x l - R, sen(x) 1. Esta propiedad no se cumple en lc. Ejemplo 3.10 Demuestre que sen(z) no está acotada cuando z lc. Análogamente al caso real se definen el resto de funciones trigonométricas. Las funciones hiperbólicas se definen como las reales.

7 5 Definición 3.5 Para z lc se definen senh(z) = ez e z y cosh(z) = ez + e z De estas definiciones resulta obvio que extienden a las funciones senh y cosh reales. Es inmediato comprobar las siguientes proposiciones: Proposición 3.7 Las funciones senh y cosh son enteras y sus derivadas son: d senh(z) dz = cosh(z) y d cosh(z) dz = senh(z). Proposición 3.8 Para z, z 1, z C se verifican 1. cosh (z) senh (z) = 1,. senh(z 1 + z ) = senh(z 1 ) cosh(z ) + cosh(z 1 ) senh(z ), 3. cosh(z 1 + z ) = cosh(z 1 ) cosh(z ) + senh(z 1 ) senh(z ). Ejercicio 3.13 Verifique la relaciones: (a) senh(iz) = i sen(z), (b) cosh(iz) = cos(z). El resto de las funciones hiperbólicas se definen como en el caso real: tgh(z) = senh(z), si cosh(z) 0 cosh(z) sech(z) = 1 cosh(z),... Ejercicio 3.14 Halle los ceros de senh(z) y cosh(z) Exponenciación y potenciación en lc En el caso de los números reales, si x, y l - R, x > 0, se tiene x y = e y ln(x) Extendiendo esta expresión al caso complejo podemos definir z w como sigue:

8 6 Definición 3.6 Para z 0 se define z w = e w log(z) Ejemplo 3.11 Halle i i, 1 i, i π. Ejemplo 3.1 Halle e 1/ y verifique que no coincide con exp(1/). Se observa que hay una ambigüedad en la notación: e z puede interpretarse como exp(z) o como la potencia e z, que son cosas diferentes. Cuando se escriba e z, salvo que se especifique otra cosa, se entenderá que es exp(z). Ejemplo 3.13 Estudie si es cierto que m, n ln y z 0 se cumple que z m/n coincide con n zm. Si se desea obtener una exponenciación univaluada se utiliza una ramas del logaritmo. Definición 3.7 Sea α l - R y w lc. Para z lc \ H α se define la potencia w de z como p w α(z) = e w log α (z) Proposición 3.9 La función p w α(z) es analítica en lc \ H α y su derivada es w z pw 1 α (z). Ejercicio 3.15 Sea f(z) = p 1/3 0 (z). 1. Calcule su dominio de definición A y el conjunto imagen B = f(a).. Sea g(z) = z 3. Estudie si es cierto que g(f(z)) = z z A. 3. Estudie si es cierto que f(g(z)) = z z B. Y para todo z lc?