Desde la secundaria estamos acostumbrados a trabajar con polinomios, los cuales identificamos con expresiones de la forma

Transcripción

1 Polinomios Desde la secundaria estamos acostumbrados a trabajar con polinomios, los cuales identificamos con expresiones de la forma p(x) = a 0 + a 1 x a n x n (1) donde x es la variable y a 0, a 1,..., a n son constantes que podrían ser números naturales, enteros, racionales, reales o pertenecer a algún otro conjunto. Lo que pasa es que podemos considerar los polinomios de más de una forma. Por ejemplo, es usual pensar que un polinomio es una función en los números reales. Pero lo que se obtiene por este enfoque será llamado aquí más bien función polinomial. Más bien el punto de vista algebraico es el que nos interesa. Un polinomio sería una expresión como en el lado derecho de (1) en una indeterminada x, sin ningún significado concreto adicional. Es interesante el ejercicio de tratar de representar expresiones del tipo (1) en términos puramente conjuntistas. Dejamos al lector la tarea. Operaciones y propiedades Un polinomio es una expresión de la forma (1) donde a 0, a 1,..., a n son elementos de un anillo D que, para efectos de este curso, podrían ser los números enteros, los racionales o los reales y x es un elemento que no esté en D. Llamamos grado del polinomio a la potencia más alta de x en (1) que tenga un coeficiente no cero. Vamos a empezar sumando polinomios. Suponga que tenemos dos polinomios p(x) = a 0 + a 1 x a n x n q(x) = b 0 + b 1 x b m x m. (2) Suponga también que los coeficientes son números enteros, racionales o reales (o que están en algún dominio de integridad). La regla de suma es fácil: sumamos los coeficientes de términos similares. Digamos que m n, tendríamos p(x) + q(x) = (a 0 + b 0 ) (a n + b n )x n b m x m. (3) Por ejemplo, si p(x) = 3 + x y q(x) = 5 + x 2x 2 + x 3, tenemos p(x) + q(x) = 2 + 2x 2x 2 + x 3. 1

2 Un poco más complicada es la multiplicación de polinomios (al menos desde el punto de vista de los coeficientes). De acuerdo con la propiedad distributiva deberíamos formar la expresión p(x)q(x) = n i=0 m a i b j x i x j = j=0 n i=0 m a i b j x i+j y agrupar términos semejantes (aquellos con la misma potencia de x). Esto nos daría una expresión de la forma j=0 p(x)q(x) = a 0 b 0 + (a 1 b 0 + a 0 b 1 )x c k x k a n b m x n+m (4) donde c k = a i b k i con la suma extendiéndose por aquellos i que cumplen 0 i n y también 0 k i m. En el ejemplo anterior tendríamos p(x)q(x) = x + 7x 2 5x 3 + x 4 (5) El conjunto de polinomios en una variable x y con coeficientes en D se denotará D[x]. Con las definiciones dadas no es difícil ver que D[x] cumple las propiedades de anillo: 1. La suma es conmutativa 2. La suma es asociativa 3. Existe elemento neutro p(x) = 0 (el polinomio cuyos coeficientes son todos cero) para la suma 4. Existe el inverso aditivo para la suma 5. El producto es conmutativo 6. El producto es asociativo 7. Existe el elemento neutro p(x) = 1 (el polinomio cuyo único coeficiente no cero es a 0 = 1) para la multiplicación 8. La multiplicación distribuye con respecto a la suma 2

3 Las demostraciones se dejan de ejercicio. Hay más: podemos ver que D[x] es un dominio de integridad en los casos que nos interesan, es decir no hay divisores de cero. En efecto, esto sería así para cualquier dominio de integridad D. Probémoslo: Suponga que p(x) y q(x) son polinomios no nulos (no todos los coeficientes son cero) como en (2) y que p(x)q(x) = 0. En las expresiones de (2) siempre podemos suponer que a n 0 y que b m 0. Sin embargo, de la ecuación (4) se deduciría que a n b m = 0 que que este es el coeficiente de x n+m. Pero entonces tendríamos que a n = 0 o b m = 0, de acuerdo con las propiedades de D. Esto es una contradicción. Por lo tanto alguno de los polinomios p(x) o q(x) debe ser no nulo. A pesar de que no existen inversos multiplicativos en D[x] para polinomios de grado mayor a 0, es interesante el tratar de encontrarlos. No vamos a proceder con plena rigurosidad en lo que sigue ya que el material se cubre en un curso más avanzado. Supongamos que queremos encontrar un polinomio en D[x] que sea el inverso de 1 x. La tradicional división larga de polinomios que se aprende en secundaria nos permite hacer esto. Eso sí, debemos colocar 1 x en ese orden y resignarnos a que los residuos aumenten de grado. Encontraríamos que el procedimiento nunca para y que se obtiene 1 1 x = 1 + x + x2 + x 3 + x Intuitivamente, esto nos indica que se requieren polinomios de grado infinito para encontrar el inverso de 1 x. Lo mismo va a ocurrir para cualquier polinomio de grado mayor o igual a 1. Estos polinomios infinitos son de mucha utilidad en la matemática y se introducen en un curso más avanzado bajo el nombre de series de potencias. Funciones polinomiales Otro enfoque para el estudio de los polinomios es el de considerarlos funciones. Por ejemplo, si p(x) Q[x] es de la forma p(x) = a 0 + a 1 x a n x n, entonces podemos definir una función p : Q Q tal que f(c) = a 0 + a 1 c a n c n. Eso es lo que se conoce como función polinomial. Note cómo usamos la misma notación para el polinomio y para la función polinomial, a pesar de ser objetos distintos. Al igual que para otras funciones, decimos que c D es una raíz (o cero) de la función polinomial p(x) D[x] si p(c) = 0. Un resultado importante es el siguiente. 3

4 Teorema 1 Una función polinomial que no sea idénticamente igual a cero y de grado n puede tener a lo sumo n raíces. Prueba: Procedemos por inducción sobre el grado de la función polinomial. El lector podrá verificar fácilmente que una función polinomial de grado 0 y que no sea nula no tiene raíces. Suponga ahora que toda función polinomial de grado menor o igual a n tiene a lo sumo n ceros. Sea p(x) una función polinomial de grado n + 1. Si no tuviera raíces el teorema se cumple. Por lo tanto podemos suponer que tenga al menos una raíz c. Si tendríamos p(x) = a 0 + a 1 x a n+1 x n+1 Restando ambas expresiones obtenemos 0 = a o + a 1 c a n+1 c n+1. p(x) = a 1 (x c) a i (x j c j ) +... a n+1 (x n+1 c n+1 ) Del ejercicio 5 deducimos que j 1 x j c j = (x c) x i c j 1 i = (x c)q j (x) i=0 donde q j (x) es una función polinomial de grado j 1. Por lo tanto, una factorización sencilla nos da como resultado p(x) = a 1 (x c) a i q j (x) +... a n+1 q n+1 (x) = (x c)q(x), donde q(x) tiene grado n. De la expresión p(x) = (x c)q(x) deducimos que toda raíz de p(x) debe ser raíz de x c ó de q(x). Por hipótesis de inducción q(x) tiene a lo sumo n raíces y es fácil ver que la única raíz de x c es x = c. Por lo tanto p(x) tiene a lo sumo n + 1 raíces, con lo cual hemos probado el teorema. El siguiente teorema parece obvio, sin embargo requiere prueba. Note que, por definición, dos polinomios iguales darían lugar a funciones iguales. 4

5 Teorema 2 Si dos funciones polinomiales son iguales entonces los polinomios que definen son también iguales. Prueba: Si dos funciones polinomiales p(x) y q(x) son iguales entonces la forma polinomial r(x) = p(x) q(x) tendría infinitas raíces (todo número sería una raíz). Supongamos que r(x) no es el polinomio nulo. Entonces (usando el ejercicio 2) el grado n de r(x) es finito. Por lo tanto, de acuerdo con el teorema anterior, r(x) no puede tener más de n ceros. Esto es una contradicción. Algoritmo de la división La estructura propia de los polinomios permite expresar polinomios complicados en términos de productos de polinomios más sencillos. En esta sección estudiaremos esas propiedades para polinomios en D[x] cuando D son los números racionales o los números reales (es general cuando D es un cuerpo). Suponga que tenemos polinomios p(x), q(x) y a(x) en D[x] y que se cumple la relación a(x)q(x) = p(x). Entonces decimos que a(x) divide a p(x) (a(x) p(x)). También es común decir que a(x) es un factor de p(x). Hay ocasiones en que la relación de divisibilidad de polinomios se cumple de manera trivial y no dice nada sobre la estructura de los polinomios. Este es el caso con los polinomios de grado cero (las constantes). Estos polinomios dividen de manera obvia a cualquier polinomio: Sea p(x) un polinomio y a(x) = a 0 una constante, entonces p(x) = a 0 (a 1 0 p(x)) = a(x)q(x) (6) donde q(x) es claramente un polinomio en D[x]. Por ejemplo, el polinomio p(x) = x se puede escribir como x = 1 2 ( 2x ) (7) A estos divisores de p(x) los llamamos divisores impropios y no van a ser de nuestro interés. En consecuencia llamamos divisores propios de p(x) a aquellos polinomios a(x) de grado mayor que uno tales que exista un polinomio q(x) de grado mayor que uno y que cumpla 5

6 p(x) = a(x)q(x) (8) Al igual que en el caso de los números enteros, el algoritmo de la división juega un papel fundamental en el estudio de las factorizaciones (y otras propiedades) de polinomios. El siguiente teorema es fundamental. Teorema 3 Sean a(x) y p(x) dos polinomios en D[x] con a(x) 0. Entonces existen polinomios q(x) y r(x) tales que p(x) = a(x)q(x) + r(x) (9) donde r(x) tiene grado estrictamente menor al grado de a(x). Prueba: Escribamos y donde a n y b m son distintos de cero. p(x) = b 0 + b 1 x b m x m a(x) = a 0 + a 1 x a n x n Note que si p(x) tiene grado menor a a(x), entonces podemos tomar q(x) = 0 y r(x) = p(x) y con esa escogencia se cumple la conclusión del teorema. Así que supongamos que el grado de p(x) es mayor o igual al de a(x), es decir m n. La idea a utilizar es que es fácil crear una combinación lineal de p(x) y a(x) que sea de grado menor al grado de p(x). La principal observación es que p(x) (b m /a n )x m n a(x) (10) es un polinomio de grado estrictamente menor a m, pues los términos de grado m se cancelan en la resta. Habiendo hecho la observación, procedemos por inducción generalizada sobre m el grado de p(x). Recuerde que estamos trabajando para m n. Si m = n, de acuerdo con la observación anterior, el polinomio b(x) = p(x) (b m /a n )x m n a(x) es de grado menor a n, por lo tanto si escribimos p(x) = a(x)(b m /a n )x m n + b(x) (11) 6

7 notamos que la escogencia q(x) = (b m /a n )x m n y r(x) = b(x) satisface la conclusión del teorema. Supongamos ahora que podemos hacer la descomposición (9) para cualquier polinomio de grado menor o igual a m. Requerimos probar lo mismo para un polinomio cualquiera p(x) de grado m + 1. La ecuación (11) sigue siendo válida y, al igual que antes, el grado de b(x) es menor o igual a m. Pero es aquí donde aplicamos la hipótesis de inducción para encontrar q 0 (x) y r 0 (x) con el grado de r 0 (x) menor que el grado de a(x) y tales que Sustituyendo (12) en (11) tenemos b(x) = a(x)q 0 (x) + r 0 (x). (12) p(x) = a(x) ( (b m /a n )x m n + q 0 (x) ) + r 0 (x). (13) Claramente la asignación q(x) = (b m /a n )x m n + q 0 (x) y r(x) = r 0 (x) nos indica que el resultado también es cierto en este caso. Por el principio de inducción hemos probado el teorema. Lo siguiente es una muestra del uso que podemos dar al algoritmo de la división. Suponga que a(x) = x c. Tendríamos p(x) = (x c)q(x) + r(x) (14) Como el grado de r(x) es menor que uno (que es el grado de x c) entonces r(x) = r es una constante. Considere ahora la igualdad (14) vista como funciones polinomiales. Evaluando ambos lados en x = c se tiene que r = p(c). Por lo tanto, p(x) = (x c)q(x) + p(c). (15) En particular, si c es una raíz de p(x) tendríamos que p(x) = (x c)q(x). Es fácil ver que existen polinomios sobre Q o sobre R que no tienen raíces (x es un ejemplo válido en ambos casos). Sin embargo, existen cuerpos donde esto no pasa. Los números complejos D agregan el número 1 (una raíz de x 2 + 1)para obtener lo que se conoce como un cuerpo algebraicamente cerrado, es decir uno donde todo polinomio tiene raíces. Este resultado se conoce como el teorema fundamental del álgebra. Su prueba llevó mucho tiempo y esfuerzo y fue concretada por Gauss a finales del siglo XVIII. 7

8 Ejercicios 1. Muestre que 4(x 8) 3 (x 2 3x + 1) 2 es un polinomio y encuentre su grado y sus coeficientes. 2. Pruebe que el grado de la suma de dos polinomios es menor o igual al mayor de los grados de cada uno de los polinomios. Encuentre un ejemplo donde no haya igualdad. 3. Pruebe que el grado del producto de dos polinomios es la suma de los grados de cada uno de los polinomios. 4. Sea p(y) un polinomio en la variable y y q(x) un polinomio en la variable x. Si hacemos la sustitución formal y = q(x) para obtener p(q(x)) muestre que esto es un polinomio. Cuál es su grado? 5. Pruebe que, si x, y Q, entonces n 1 x n y n = (x y) x i y n 1 i 6. Divida 3x 3 5x x 3 por 3x + 1. i=0 7. Demostrar que q(x) y r(x) son únicos en (9). 8. Use el procedimiento implícito en el Teorema 1 para escribir el polinomio p(x) = 8x 4 31x 3 + 2x 2 7x + 4 en la forma p(x) = (x + 4)q(x) donde el grado de q(x) es x = 1 es una raíz de x 3 + 4x 2 7x 10. Cuáles son las otras raíces? 10. Sea p(x) = a 0 + a 1 x x n (note que a n = 1) y suponga que c 1,..., c n son n raíces distintas de p(x). Pruebe que a 0 = ( 1) n c 1... c n y que a n 1 = c 1... c n. 8