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1 Oliverio J. Santana Jaria Sistemas Digitales Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas Curso Representación n de números n en coma flotante Para La números representar fraccionarios números muy enteros pequeños muy es grandes necesarios o Los utilizar expresar cantidad muchos bits Introducción Introducir notación estos científica números es sin una aumentar forma muy demasiado útil la Describir que de bits usados números objetivos se basa en las en coma representación de operaciones la este notación flotane tema básicas científica de son: números de la aritmética en coma flotante, utilizando Representación de números en coma flotante 2 1

2 Introducción Números Representación Aritmética en coma flotante Resumen Estructura y binaria bibliografía de en números coma flotante binarios en coma flotante del tema Los Por que la números coma fraccionaria en coma fija tiene son aquellos una posición números fijaen los Representación coma flotante 3 Esto dedicar ejemplo, 5 bits si a tenemos la parte entera números y 3 de a la 8 fraccionaria bits podemos Números en coma fija No fraccionaria aunque supone podemos la entera una sea usar cero severa sea más cero de limitación 53 bits para la parte entera fraccionaria aunque la parte parte entera fraccionaria Representación de números en coma flotante 4 2

3 El Un en números Signo: sistema de numeración en coma flotante estábasado Mantisa: la notación científica que se utiliza para representar Exponente: número indica muy representa en indica grandes si coma el número el la flotante desplazamiento magnitud o muy positivo tiene pequeños del número tres de o negativo la partes: coma fraccionaria Números coma flotante Los +/ Mantisa x Base exponente Representación en flotante 5 No desplazando números la decimales coma fraccionaria en coma flotante de manera se normalizan, que la Dado parte estáimplícita entera del número siempre valga cero siempre que necesario Números la cero, parte en representar el formatola base del número, ya que en tampoco entera de un número normalizado coma es flotante necesario representarla = x 10 9 signo: + mantisa: exponente: 9 Representación de números en coma flotante 6 3

4 Introducción Números Representación Aritmética en coma flotante Resumen Estructura y binaria bibliografía de en números coma flotante binarios en coma flotante del tema El Nos binarios formato centraremos ANSI/IEEE utilizado coma en flotante el para formato la estádefinido representación simple por precisión, de el estándar números que Representación de números 7 Números binarios en coma flotante Existen utiliza 32 bits para la representación número otros de bits, formatos como el similares de doble pero precisión con distinto (64 bits) signo exponente mantisa 1 bit 8 23 bits Representación de números en coma flotante 8 4

5 La mantisa magnitud de forma de un normalizada número binario se almacena en la Incluso más estáimplícito el Mantisa en simple precisión la parte número forma a la podemos entera izquierda, normalizada manera en la aprovechar por representación que siempre lo que el 1 otro no más tiene hay bit a la un si que izquierda normalizamos 1 almacenarlo, la posición estéen x 2 4 Para x x 2 5 Por necesidad el Representación de números en coma flotante 9 formato un simplificar el formato, sería interesante evitar la En exponente este motivo, un bit el de signo adicional representa para representar usando un Exponente simple precisión Si denominado en exceso, que consiste en sumar El desplazamiento que combinaciones utilizamos desplazamiento los se pueda formatos representar 8 posibles, bits calcula será(255 exponente para valor representar desde y restando luego real 1) en 0 hasta coma dividiendo / del 21 el = al número 127 exponente, 255 flotante, entero por más este 2hay grande 28 Representación de números en coma flotante 10 5

6 El Este bits valores formato en formato entre de 126 se simple exceso utiliza y 127 precisión para 127representar tiene un exponentes de con 8 Exponente en simple precisión exponente = = exponente = = exponente = = exponente = = El valor 127( ) del exponente se reserva para exponente = = exponente = = Representación de números en coma flotante 11 El representar dos casos especiales representar Si también cero se estárepresentando el cero Casos la mantisa distinta de cero se trata de un número no particulares en simple precisión Si normalizado, parte es decir, supondremos que el bit implícito de la resultado entera no es 1 sino 0, y el 126 un valor la número mantisa 128 de dos (NaN Not ( ) una es casos cero distinta operación se especiales a estárepresentando de Number) del cero inválida, exponente se estárepresentando decir, el se infinito el reserva valor no el para es Representación de números en coma flotante 12 6

7 Utilizaremos como ejemplo el número Esto El Se signo siguiente trata Ejemplos nos seráun de permite paso 0número en calcular consiste positivo, simple el en valor normalizar por lo que precisión de la mantisa el el número bit de x 2 12 Ahora falta por calcular el valor del exponente mantisa Representación de números en coma flotante 13 Con esta información podemos representar el número Ejemplos en simple precisión exponente 12 exponente = 139 exponente bit 8 bits 23 bits Representación de números en coma flotante 14 7

8 Ahora el número haremos un ejemplo en sentido inverso usando La Dado Ejemplos mantisa que el nos bit en proporciona de signo es 1, simple la el precisión magnitud número es del negativo número El valor del exponente se calcula de la siguiente forma: Representación de números en coma flotante 15 Con esta información obtenemos el número Ejemplos en simple precisión exponente exponente 145 exponente = x Representación de números en coma flotante 16 8

9 valores muy pequeños muy grandes (exponente (exponente negativo) se usa positivo) para representar o valores El permite cantidad Ventajas la coma flotante fraccionaria formato representar de en es bits según flexible: coma a la convenga números flotante parte se pude entera de dedicar simple 128 o a la bits parte precisión cualquier con solo 32 Introducción Números Representación de números en 17 Representación Aritmética en coma flotante Resumen Estructura y binaria bibliografía de en números coma flotante binarios en coma flotante del tema Representación de números en coma flotante 18 9

10 La Antes habituales, Se suma y la pero resta los se dos llevan exponentes a cabo con deben las ser reglas iguales Cada Suma El exponente uno en coma flotante el mismo desplazamiento de el posición valor operar valor a del desplazada en hay exponente derecha el se que exponente repite la igualar a mantisa hasta derecha que los del los exponentes implica número dos números incrementar con menor tengan En El infinito la suma (overflow) existe la del posibilidad valor la de mantisa desbordamiento a Representación números en coma flotante 19 Es mantisa exponente desbordamiento se debe corregir desplazando la Suma en coma flotante que importante obtendríamos una se posición desborde controlar un número a al la la realizar derecha posibilidad no representable esta y sumando operación, que el uno ya al Representación de números en coma flotante 20 10

11 En La con la uno resta o varios existe ceros la posibilidad en los bits más obtener significativos, un número lo Es que la posición obligaría a normalizar el resultado exponente normalización se realiza desplazando la mantisa a Resta en coma flotante Una izquierda y restando uno al exponente por cada Si no importante este posible representable desplazada formato desborde solución controlar tampoco sería a la es cero usar posibilidad suficiente, (underflow) el formato entonces no que normalizado el el número La Representación de números en coma flotante 21 Existe necesario Las multiplicación mantisas que los se multiplican exponentes es más sencilla como sean enteros porque iguales en no coma fija También resultado Los exponentes se suman Multiplicación n en coma flotante a Si cualquiera de los operandos es cero, el resultado también controlar cero o la a posibilidad es que de infinito posible la el multiplicación resultado del que de exponente, que se sea produzca sea representable necesario por un lo desbordamiento que normalizar hay que el Representación de números en coma flotante 22 11

12 La división consiste dividir las mantisas y restar al Existe exponente del dividendo es cero el resultado el exponente cerodel divisor También resultado divisor es cero se considera desbordamiento División n coma flotante a Si el dividendo y el divisor son cero, el resultado se identifica controlar cero como o un a posibilidad es que de infinito número posible la el división resultado desconocido del que exponente, que se sea produzca sea representable necesario por un lo desbordamiento que normalizar hay que el Introducción Números Representación de números en 23 Representación Aritmética en coma flotante Resumen Estructura y binaria bibliografía de en números coma flotante binarios en coma flotante del tema Representación de números en coma flotante 24 12

13 Los Existe números cantidad números relativamente muy en grandes coma flotante o reducida muy pequeños permiten bitscon representar una Los en las un formato para representar números binarios Resumen ordenadores coma flotante, lo que determina cómo se realizan específicas operaciones aplicaciones números para suelen en aritméticas de operaciones coma cálculo utilizar flotante numérico, con unidades en son ellos coma muy separadas por flotante frecuentes que los en Fundamentos de Sistemas Digitales (7ªedición) Representación de números en coma flotante 25 Principios Capítulo Capítulo Thomas L. Floyd Daniel PrenticeHall, 2000 PrenticeHall, D. de 2Gajski Diseño Bibliografía 1997Digital Representación de números en coma flotante 26 13

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