TEMA 4: Análisis de sistemas

Transcripción

1 Dinámica de Sitema -4.- TEMA 4: Análii de itema 4..- Introducción Efecto de lo polo en el comportamiento Etabilidad Señale de prueba, tipo de repueta repueta y comportamiento Análii de la repueta tranitoria de un itema de primer orden Análii de la repueta tranitoria de un itema de egundo orden Repueta en frecuencia Análii de comportamiento 4. Introducción 4. Efecto de lo polo en el comportamiento Como e decribió en el tema anterior, la función de tranferencia que caracteriza un itema puede er decompueta en fraccione parciale, donde el denominador de cada una de la fraccione e un monomio con el polo correpondiente: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( 3 m m n m p r p r p r p p p z z z z k G = = K De eta forma, la repueta del itema a una eñal determinada puede coniderare como la uma de la repueta de cada uno de la fraccione obtenida en la decompoición: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( F p r F p r F p r F G Y m m = = K Ete hecho cobra un epecial interé ya que olo pueden preentare cinco tipo de polo o grupo de polo (ver Figura.-.: real negativo, real poitivo, imaginario

2 Dinámica de Sitema conjugado, complejo conjugado con parte real negativa y complejo conjugado con parte real negativa ). Img. Img. Img. Img. Img. Real Real Real Real Real Figura.-. Poible grupo de polo que pueden preentare Por tanto, i previamente e ha hecho un etudio de la repueta que preenta cada uno de eto cinco tipo de polo; dado un itema y u polo correpondiente, erá muy encillo etimar, in realizar ningún tipo de imulación o cálculo, el comportamiento final del mimo. A continuación e preentan el tipo de repueta de cada uno de lo tipo de polo a la eñal ecalón : Polo Reale Cuando la función de tranferencia preenta polo reale, en la decompoición en fraccione aparecen término en la forma: r con p R ( p ) Lo do cao poible on p > o p < ; En el cao de er p > (el polo e poitivo), coniderando como entrada la eñal ecalón e obtendrá una repueta como la motrada en la Figura.-.. Figura.-. Repueta a la eñal ecalón para un polo real poitivo -4.-

3 Dinámica de Sitema En el cao de er p < (el polo e negativo), la repueta a la función ecalón e la preentada en la Figura.-.3. Figura.-.3 Repueta a la eñal ecalón para un polo real negativo Lo razonamiento matemático que jutifican la repueta obtenida e preenta en la iguiente eccione. Por ahora, cabe realtar que cuando aparecen polo reale negativo, el itema preenta una tendencia a etabilizare alrededor de un valor determinado, por tanto, de acuerdo a lo expueto en lo primero tema, el itema contendrá algún bucle de realimentación negativo. Por el contrario, i tiene polo reale poitivo, el itema preenta una tendencia al crecimiento exponencial, lo cual ignifica que contendrá algún bucle de realimentación poitivo. Polo Imaginario conjugado Cuando la función de tranferencia preenta un par de polo imaginario conjugado, en la decompoición en fraccione aparecen término en la forma: r ( jω) + ( + jω) con ω R En ete cao, para la eñal ecalón e obtendrá una repueta como la motrada en la Figura.-.4. Figura.-.4 Repueta a la eñal ecalón para do polo imaginario conjugado -4.3-

4 Dinámica de Sitema Como puede obervare e trata de una ocilación mantenida. Ya e verá má adelante que la frecuencia de dicha ocilación coincide con ω. Por tanto, cada vez que aparezcan una pareja de ete tipo de polo el itema preentará un comportamiento ocilatorio. Polo complejo conjugado Por último la función de tranferencia puede preentar polo que tengan parte real e imaginaria. Aparecen también en pareja de conjugado en la forma: r ( p jω) + ( p + jω) con p y ω R En ete cao, el comportamiento del itema erá una combinación del efecto de parte real y de la parte imaginaria. Cabe eñalar do cao. En el primero p <, la repueta e como la que e muetra en la figura: Figura.-.5 Repueta a la eñal ecalón para do polo imaginario con parte real poitiva Dado que el itema preenta parte real negativa, tenderá a etabilizare alrededor de un valor determinado, pero como el polo tiene parte imaginaria, dicha tendencia preentará un comportamiento ocilatorio. En conecuencia el itema contendrá algún bucle de realimentación negativo que preenta comportamiento ocilatorio. El egundo cao e preenta cuando p >, la repueta e como la que e muetra en la figura: -4.4-

5 Dinámica de Sitema Figura.-.6 Repueta a la eñal ecalón para do polo imaginario con parte real negativa En ete cao, debido a la parte real poitiva, el itema preentará un bucle de realimentación poitiva con comportamiento ocilatorio. 4.3 Etabilidad 4.3. Definición Pueden encontrare ditinta definicione que etablecen el concepto de etabilidad. Dependiendo del modelo de repreentación utilizado (repreentación externa o interna) la definición e hará de un modo u otro. En cualquier cao, el reultado al caracterizar la etabilidad de un itema debe er equivalente para cualquiera de lo criterio utilizado. Cuando e utiliza un modelo de repreentación externa e uele utilizar el concepto de etabilidad IO ( ounded Imput ounded Output). Definición Un itema inicialmente en repoo e etable i para cualquier eñal de entrada acotada la repueta del itema e acotada. Coincidiendo con lo reultado preentado en la ección anterior, e poible afirmar que la condición necearia y uficiente para que un itema ea etable e que todo lo polo de u Función de Tranferencia tengan parte real negativa. De eta forma, hallando la raíce de la Ecuación Caracterítica e puede etudiar i el itema e etable o no

6 Dinámica de Sitema Si por el contrario, el itema e analiza utilizando un modelo de etado, la etabilidad e caracteriza a partir del concepto de punto de equilibrio. Definición Sea la ecuación de etado x & = g( x, f ), e denomina etado de equilibrio x e a la configuración que cumple: x& = g( x, f ) = t. e Obérvee que la definición de punto de equilibrio e hace para itema autónomo, e decir, la función de entrada f y en conecuencia g no dependen explícitamente del tiempo. Por tanto, para determinar lo punto de equilibrio de un itema habrá que coniderar la entrada contante o, en todo cao, expreada como función explicita del vector etado. La forma de encontrar lo punto de equilibrio conite en igualar el modelo de etado a cero y etablecer que valore del vector etado atifacen dicha ecuación. De forma genérica reolver ete tipo de ecuacione no e encillo i e trata de itema no lineale. En eto cao uelen uare método numérico que permiten aproximar la olución o olucione. Cuando e trata de itema lineale, etá claro que el punto de equilibrio e obtiene de: [ A ] X + [ ] F = Lo cual repreenta un itema lineal de ecuacione al que e poible aplicar la técnica cláica de reolución matricial. Eta claro pue que en un itema L.T.I hay un olo etado de equilibrio i la matriz [A] no e ingular. Eta afirmación no e extenible a lo itema no lineale, para lo que puede dare el cao de exitir, incluo, infinito punto de equilibrio. Ete último hecho jutifica la aparición de una extena y rica colección de comportamiento cuando e conideran no linealidade, lo que contrata con lo itema lineale para lo que e poible etablecer un limitado número de comportamiento. E poible caracterizar la etabilidad a partir de lo punto de equilibrio

7 Dinámica de Sitema Definición Se dice que un etado de equilibrio x e e global y aintóticamente etable, i para un valor de la entrada contante o cero, toda olución converge aintóticamente hacia x e al incrementar indefinidamente la variable tiempo ( t ). En el cao de un itema lineal e muy fácil caracterizar i el punto de equilibrio e etable o no: Condición de etabilidad itema lineal Un etado de equilibrio de un itema L.T.I e aintóticamente etable i lo autovalore de la matriz A tienen parte real negativa. (alvo cancelación interna de polo). Lo autovalore de la matriz [A] on la raíce de la ecuación: det (I -A) = Como e vio en el tema anterior, eta ecuación e correponde con la ecuación caracterítica del itema, o lo que e lo mimo, la ecuación reultante de igualar a cero el denominador de la función de tranferencia. Por tanto e inmediato etablecer que lo autovalore de la matriz [A] on lo polo de la función de tranferencia que repreenta el itema; lo cual e lógico, pue de todo lo expreado hata ahora e podía intuir que un itema con un punto de equilibrio inetable preentará un comportamiento inetable egún el criterio IO. Lo punto de equilibrio etable uelen denominare atractore, ya que la trayectoria del itema en el epacio de etado uelen converger hacia dicho punto tal y como i fueran atraído por lo mimo. Por el contrario, lo punto de equilibrio inetable uelen denominare repulore ya que la trayectoria en el epacio de etado uelen alejare de ello, tal y como i fueran repelido por dicho punto

8 Dinámica de Sitema 4.3. Tet de etabilidad La forma má encilla de determinar la etabilidad de un itema e pue etudiando la raíce de u ecuación caracterítica. Dede Matlab eto repreenta una tarea muy encilla: Ejemplo: Sea la ecuación caracterítica : encontrar u raíce. Con el comando: Pol = [ 4 5] introducimo el polinomio. La raíce e encuentran con: root(pol) la repueta del itema: an = i i -4.8 También e fácil conocer lo polo del itema i ete viene repreentado por un modelo de etado, bata con encontrar lo autovalore de la matriz [A]. Ejemplo: Sea el itema cuya matriz de tranición [A] e de la forma: [A]= 3 encontrar lo polo del itema. A=[ ; -3 ; -];Lo polo on lo autovalore de la matriz, que e calculan con el comando: eig(a), la repueta del itema e: an =

9 Dinámica de Sitema A continuación e preenta un conocido algoritmo que permite determinar i un polinomio preenta polo con parte real poitiva. E conocido con el nombre de Criterio de Routh-Hurwitz. CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ Se trata de un procedimiento algebraico para determinar u un polinomio tiene algún cero en el emiplano derecho, lo que implicaría la inetabilidad del itema. De forma general e upone el polinomio :... = m m m m Con m+ El Criterio etablece: - Si un coeficiente e negativo o cero cuando al meno uno de lo otro coeficiente e poitivo entonce exite una raíz en el emiplano derecho o e imaginaria. En dicho cao el itema e inetable y el algoritmo acaba aquí. - Si todo lo coeficiente etán preente, on reale y poitivo entonce e igue aí:.- Se ordenan coeficiente de la iguiente manera m m L K Se obtienen luego fila adicionale de coeficiente Donde Z Y V V U U U m m m m M M M M M L L L

10 Dinámica de Sitema U U U 3 3 = 4 5 = 6 7 = V V U3 U = U U5 U = U Lo cálculo e continúan en cada fila hata que e produzca algún coeficiente igual a cero. Toda la fila e calculan iguiendo el mimo procedimiento, cuando ea neceario, e añade un cero al final de una fila. El conjunto completo de lo coeficiente e triangular. La etabilidad e evalúa obervando la primera columna: 3 - Si todo lo coeficiente de la primera columna tienen el mimo igno, el itema e etable. - Si e producen n cambio de igno, entonce, exiten n raíce en el emiplano derecho. - Si aparece una fila entera de cero indica que exiten raíce en el eje imaginario o en el de igno opueto en el eje real. - Si en alguna fila el primer término e cero mientra que la demá no, e por un valor ε arbitrario, e continúa el algoritmo egún el procedimiento habitual y luego e evalúan todo lo término para ε. Ejemplo: Sea la ecuación caracterítica = La aplicación del algoritmo da como reultado: -4.-

11 Dinámica de Sitema = = = 5 º- El itema e inetable ( no todo lo coeficiente tienen el mimo igno). º- Tiene do raíce en el emiplano derecho (Obervar que hay do cambio de igno, de poitivo a negativo y de negativo a poitivo) Ejemplo: Sea la ecuación caracterítica = La aplicación del algoritmo produce: El itema preentará pue o un comportamiento ocilatorio o inetable. Para determinar i la raíce on conjugada imaginaria o preentan parte real poitiva e utiliza un polinomio auxiliar formado por lo coeficiente de la última fila no nulo (Polinomio Auxiliar ( ) = + 6 = F ) A continuación e utituyen lo coeficiente de la fila nula por lo coeficiente obtenido al derivar dicho repecto a ( continúa el algoritmo egún el procedimiento habitual. df d () = ) y e -4.-

12 Dinámica de Sitema Según lo anterior el itema no preenta raíce con parte real poitiva, por lo tanto preenta un par de raíce imaginaria conjugada. En efecto, bata con utilizar matlab para obtener la raíce : Raíce : - ; -4j; +4j Ejemplo: Sea la ecuación caracterítica = La primera fila preenta un cero en u primer elemento. Ete e utituye por e y e continúa el algoritmo en u forma habitual ε 4 4 4ε ε ε + 4ε 4ε Para ε la primera columna e : Hay do cambio de igno, por lo tanto hay do raíce con parte real poitiva. De hecho, Si e reuelve el problema con matlab e comprueba que la raíce on: i ; i ; -.798; i ; i -4.-

13 Dinámica de Sitema El algoritmo de Routh-Hurwitz con frecuencia e utiliza e utiliza para evaluar la influencia de un parámetro obre la etabilidad del itema. Ejemplo: Evaluar lo valore de k para lo que la ecuación caracterítica k = preenta polo etable. Aplicando el algoritmo: 3 k k k Si el itema e etable no debe haber cambio en la primera columna. Para k el cao de la tercera fila: > k <. Para el cao de la cuarta fila: k >. Por tanto, el itema e etable para: < k < 4.4 Señale de prueba, tipo de repueta y comportamiento. La eñal de entrada a un Sitema Dinámico no uele conocere por anticipado. Ademá, en la mayoría de la ituacione la entrada no puede expreare analíticamente. Sin embargo e puede diponer de eñale de prueba típica que permitan analizar el comportamiento del itema. La eñale típica de prueba fueron introducida en el capítulo anterior: función ecalón, función rampa, función impulo, función enoidal. Dependiendo del itema o ituación a analizar e ua con preferencia un tipo u otro de eñal: -4.3-

14 Dinámica de Sitema Sitema con entrada de choque Función impulo Perturbacione Súbita y prolongada en el tiempo Función ecalón Entrada creciente con el tiempo Función rampa Sitema con entrada ocilatoria Función enoidal Uando eta eñale e poible itematizar el análii de lo itema. En término etricto, el comportamiento de un itema viene dado por la trayectoria de u variable de etado en el epacio de etado. E decir, en un epacio de dimenión igual al número de variable de etado, e dibujan la uceiva configuracione que va preentando el itema. Eta gráfica determina una curva que repreenta el comportamiento del itema. Su etudio cobra epecial interé cuando e etán utilizando técnica de repreentación interna (ver Figura.-.7). x x ( ) x t x x ( ) Condicione Iniciale x() x x ( ) Trayectoria en el Epacio de Etado Repueta Temporal t Figura.-.7 Relación entre la repueta temporal y la trayectoria de etado Por otra parte, la evolución temporal eguida por cada una de la alida de un itema reciben el nombre de repueta temporal (ver Figura.-.7). Como e decribió en el tema anterior, la repueta temporal puede dividire en do parte Repueta etacionaria y Repueta tranitoria. La etimación del valor final alcanzado por la repueta etacionaria de un itema lineal etable puede realizare aplicando el Teorema del valor final (para el cao de utilizar un modelo de repreentación externa) o bien determinando el punto de equilibrio (cuando e hace uo de un modelo de etado). Lo itema lineale etable pueden preentar tre tipo de comportamiento o de repueta temporal: -4.4-

15 Dinámica de Sitema Ocilatorio: La evolución de la variable de etado y la repueta temporal coniten en ocilacione que no decrecen con el tiempo. Ejemplo: el movimiento de un muelle in fricción. Subamortiguado: La evolución de la magnitude fundamentale del itema realizan una erie de ocilacione de amplitud decreciente ante de alcanzar el etado etacionario. Ejemplo: muelle con amortiguación. Sobreamortiguado: Se alcanza el régimen etacionario in ocilacione. 4.5 Análii de la repueta tranitoria de un itema de primer orden. Se utilizará como ejemplo de itema de primer orden un itema formado por un termómetro que eta a una temperatura ambiente θ a y e le umerge en un baño con temperatura θ + θ ( ver figura). a b θ a + θ b Figura.-.8 Sitema térmico Conidéree que el itema etá linealizado (ver apartado.4 en el tema ) en torno a la temperatura ambiente θ a y que la diferencia intantánea de la temperatura repecto al ambiente e θ () t aí que en t = θ ( ) =. En general, lo valore de lo parámetro térmico de un itema e encuentran ditribuido a lo largo de la utancia. Para un análii precio hay que recurrir a modelo de parámetro ditribuido. No obtante, para implificar el análii, e upondrá que e poible repreentar la caracterítica térmica del itema mediante un modelo de parámetro concentrado. Se conidera que el itema termómetro-líquido etá caracterizado por una reitencia térmica R ( medida en grado por vatio) que e opone -4.5-

16 Dinámica de Sitema al flujo de calor w i (medido en julio por egundo), y el termómetro etá caracterizado por u capacidad térmica C ( medida en julio por grado) que indica la energía calorífica necearia para que el termómetro aumente u temperatura un grado. Por tanto, ya que la temperatura alcanzada por el termómetro depende de la energía calorífica acumulada y éta, a u vez, varía con el flujo de calor entrante w i, e poible dθ ecribir: C = wi. Ademá, el flujo de energía calorífica depende de la diferencia de dt θ l θ temperatura entre el termómetro y el líquido, e decir: wi =. En conecuencia e R poible ecribir la iguiente ecuación diferencial: dθ RC + θ = θ b dt la cual repreenta un itema de primer orden. Etá claro que el modelo de etado coincide con eta mima ecuación. La función de tranferencia e: Θ( ) = Θ ( ) RC + b 4.5. Repueta a la eñal ecalón Conidéree el cao en que la temperatura del baño e mantiene contante o ea θ b = cte y el termómetro e deja umergido en el líquido a partir de t =. La contante de tiempo τ del itema e define como τ = RC. Se trata de encontrar la repueta cuando la eñal de entrada reponde a la eñal Si t < ecalón: θ b () t = θ b Si t Como θ ( ) = olo hay que coniderar la repueta forzada Θ τ + () = Θ () Dado que θ () t = θ bu() t e trata de una Función Ecalón : Θ () b b b θ b =

17 Dinámica de Sitema Por tanto Θ θ τ + + τ b () = = θ Haciendo la Tranformada Invera de Laplace: b Expanión en Fraccione Simple. θ t () t = e τ θ b t Se comprueba que en = t θ ( ) ( e ) θ = = b t τ y el valor final para t = lim θ () t = lim e θ b = θ b t t dθ El valor en equilibrio e alcanza cuando = por lo tanto utituyendo en la dt ecuación diferencial θ = θ. Lo cual coincide con el reultado de aplicar el teorema del e b valor final. La gráfica que repreenta el reultado obtenido e la iguiente x e x( τ) = -- 3 Figura.-.9 Repueta a la eñal ecalón de un itema de primer orden con C.I. nula Una de la caracterítica má importante e que para = τ θ τ =, 63θ ; o ea e t ( ) b alcanza el 63, % de la temperatura final

18 Dinámica de Sitema Si el itema hubiee tenido condicione iniciale no nula θ ( ) habría que haber coniderado el cálculo de la repueta libre: θ () t Θ L () = θ L ( t) = θ () e τ + Ahora la repueta del itema adopta una repreentación como e ve en la Figura.-.. Oberve cómo dependiendo de i la condicione iniciale etán por encima o por debajo del punto de equilibrio, la repueta obtenida e creciente o decreciente. Figura.-. Repueta a la eñal ecalón con condicione iniciale no nula E neceario detacar que toda la conideracione hecha hata ahora e baan en uponer que el polo del itema e negativo, y por lo tanto, el itema e etable. En τ el cao de no er aí, no encontraríamo ante un itema inetable. En ete cao, dependiendo de la condicione iniciale, el itema actuaría como un círculo virtuoo i el valor inicial e mayor que el punto de equilibrio y como un círculo vicioo i el valor inicial etá por debajo del punto de equilibrio, ver Figura.-.. Figura.-. Repueta a la eñal ecalón de un itema de primer orden inetable -4.8-

19 Dinámica de Sitema 4.5. Punto de Equilibrio en itema de er Orden De acuerdo con todo lo expueto, el punto de equilibrio del itema de lineal de primer dx f orden: = A x + f e : x e =. dt A E fácil etudiar la etabilidad del punto de equilibrio al repreentar la variación de la dx derivada de x ( ) repecto de x. La gráfica obtenida e una recta, donde el punto de dt equilibrio viene determinado por el corte con el eje de ordenada. Si el valor de A e mayor que cero, dicha gráfica e correponde con una recta de pendiente poitiva ver Figura.-.. Figura.-. Punto de equilibrio de un itema de primer orden E poible analizar la naturaleza etable o inetable del punto de equilibrio a partir de dicha gráfica. En efecto, i el itema parte de una condición inicial x() mayor que el dx punto de equilibrio, la gráfica proporciona un valor > lo que upone que el itema dt tenderá a hacer x cada vez mayor, iendo repelido del punto de equilibrio. Si e da el cao de que la condición inicial e menor que el punto de equilibrio la gráfica aocia un valor dx < lo que ignifica el valor de x tenderá a hacere cada vez menor; de nuevo el punto dt de equilibrio actúa como repulor. Por tanto, no encontramo ante un cao de equilibrio inetable. Ete reultado e conecuente con el análii de etabilidad realizado con anterioridad. ata con encontrar la ecuación caracterítica de la ecuación diferencial para comprobar que i A > el polo e real poitivo y por tanto, e trata de un itema inetable. Por el contrario, i A< la gráfica que e obtiene e una recta de pendiente negativa ( ver Figura.-.). En ete cao, i el itema parte de una condición inicial mayor que el -4.9-

20 Dinámica de Sitema dx punto de equilibrio, la gráfica proporciona un valor < lo que upone que el itema dt tenderá a hacer que x e acerque cada vez má al punto de equilibrio, e decir atraído hacia él. Si e da el cao de que la condición inicial e menor que el punto de equilibrio dx la gráfica proporciona un valor >, lo que ignifica que, de nuevo, el valor de x dt tenderá a acerque cada vez má al punto de equilibrio; el punto de equilibrio actúa como un atractor. Por tanto, no encontramo ante un cao de equilibrio etable. Oberve que la etabilidad o inetabilidad no dependen del valor de. Dicho valor ólo determina, junto con A, cuál erá el punto de equilibrio. La etabilidad olo depende de A. 4.6 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN Para analizar la repueta tranitoria de un itema de º orden e utilizará una maa con un reorte que preenta una amortiguación. Ete modelo e preentó en el apartado.3.5 del tema. Figura.-.3 Maa con reorte y amortiguación Para ete itema la ecuación diferencial que modela la evolución de la alida e: m x+ µ x+ k x = F E cotumbre ecribir el modelo de egundo orden en la forma: -4.-

21 Dinámica de Sitema Para coneguir eta expreión bata con realizar la iguiente tranformacione: A partir de eta última identidade e poible alcanza una expreión imilar a la anterior. La función de tranferencia de ete itema e: El modelo de etado queda (tra realizar la tranformacione decrita en el tema 3) : 4.6. Repueta a la eñal ecalón El cálculo de la repueta a la eñal ecalón e obtendrá al realizar el cálculo de la tranformada invera de la expreión: Conideraremo que la condicione iniciale on nula (con lo cual ólo hay que calcular la repueta forzada) y que la parte real lo polo e negativa (e trata por tanto de un itema etable). -4.-

22 Dinámica de Sitema Dependiendo del tipo de polo el comportamiento del itema y la repueta temporal erá de una forma u otra. A continuación e analizan lo poible cao: A) Exitencia de do polo reale negativo: Repueta Sobreamortiguada. Ete cao tiene lugar cuando el factor amortiguamiento e menor que uno ( ξ > ).El denominador de la función de tranferencia e puede ecribir como el producto de do monomio encillo y el cálculo egún la tabla de tranformada e: Debido al que lo polo no tienen parte imaginaria, la repueta no preenta ocilacione (ver Figura.-.4). Ete hecho queda patente al obervar la expreión obtenida: una diferencia entre funcione exponenciale. Figura.-.4 Repueta Sobreamortiguada ) Exitencia de un polo real doble: Repueta Críticamente amortiguada. Ete cao tiene lugar cuando el factor amortiguamiento e igual a uno ( ξ = ). El denominador de la función de tranferencia e puede ecribir como el cuadrado de un monomio y el cálculo egún la tabla de tranformada e: -4.-

23 Dinámica de Sitema Al igual que en el cao anterior, la repueta no preenta ocilacione ( ver Figura.-.5). Realmente, el comportamiento críticamente amortiguado e un cao epecial del comportamiento obreamortiguado, con la particularidad de que la repueta críticamente amortiguada e la má rápida de toda la obreamortiguada. Figura.-.5 Repueta críticamente amortiguada C) Exitencia de do polo complejo conjugado: Comportamiento Subamortiguado. Ete cao tiene lugar cuando el factor amortiguamiento e menor que uno ( ξ < ) pero poitivo. La exitencia de polo con parte imaginaria determina la aparición de ocilacione (ver Figura.-.6). El cálculo egún la tabla de tranformada e: -4.3-

24 Dinámica de Sitema Figura.-.6 Repueta ubamortiguada D) Exitencia de do polo imaginario conjugado: Repueta Ocilatoria. Ete cao tiene lugar cuando el factor amortiguamiento e igual a cero ( ξ = ). Al no exitir componente real la repueta no e etabiliza y mantiene la ocilación de forma indefinida (ver Figura.-.7). En eto cao e dice que el itema e marginalmente etable). El cálculo egún la tabla de tranformada e: Oberve que la frecuencia de ocilación del itema coincide con ω n. A eta magnitud e le llama frecuencia natural de ocilación ya que repreenta la frecuencia a la que ocilaría el itema ino hubiee amortiguación. Figura.-.7 Repueta ocilatoria -4.4-

25 Dinámica de Sitema 4.6. Epecificacione temporale de itema ubamortiguado E frecuente caracterizar lo itema ubamortiguado mediante la repueta a la eñal ecalón. Exiten divera relacione entre lo ditinto valore que alcanza la repueta y lo parámetro que definen el itema. De ete modo, obre una repueta ubamortiguada típica, ver Figura.-.8, e poible definir el valor del obreimpulo o obreelongación máxima M, el tiempo de ubida T, el tiempo de pico Tp y el tiempo de etablecimiento Te. Figura.-.8 Epecificacione temporale itema de º orden ubamortiguado La expreione que relacionan eto valore con lo parámetro del itema on: Tiempo de Subida: Sobreimpulo máximo o obreelongación: Tiempo de pico: Tiempo de etablecimiento al 5%: Tiempo de etablecimiento al %: -4.5-

26 Dinámica de Sitema El tiempo de etablecimiento repreenta el tiempo que neceita el itema para que la diferencia entre el valor de la eñal y el valor límite en etado etacionario difieran un porcentaje determinado. Por ello e definen do tiempo de etablecimiento: Te 5 cuando la eñal etá a meno de un 5% del valor final; Te cuando etá a meno de un %. Igualmente uele definire un termino imilar para itema críticamente amortiguado, cuya expreión e: Tiempo de etablecimiento amortiguación crítica al 5%: Tiempo de etablecimiento amortiguación crítica al %: Punto de Equilibrio en itema de er Orden De la ecuación del modelo de etado e deduce que el punto de equilibrio e: Ha de quedar claro que, para que el análii de ete apartado tenga entido, el valor de la entrada ha de er nulo o contante en el tiempo. Dado que hay do variable de etado, el epacio de etado e de dimenión do, en ete cao recibe el nombre de plano de etado. En conecuencia, la evolución temporal del itema determinará una trayectoria en el plano de etado. La forma de dicha trayectoria dependerá de lo valore iniciale y del tipo de punto de equilibrio. Dado un itema, el dibujo de ditinta trayectoria a partir de divera condicione iniciale recibe el nombre de retrato de etado. El retrato de etado de un itema e una herramienta de análii importante pue proporciona una idea global de cómo e comportará el itema ean cuale ean la condicione iniciale

27 Dinámica de Sitema En el cao de un itema de egundo orden lineal, e muy fácil caracterizar lo ei tipo de retrato de etado poible. En primer lugar. Si el itema preenta do polo reale negativo, el retrato repreenta una configuración de nodo etable (ver Figura.-.9). La trayectoria convergen al punto de equilibrio etable ( i lo do polo fueran iguale, la curva e convertirían en recta, e trataría de un itema críticamente amortiguado). Figura.-.9 Nodo etable En el cao de que el itema preente do polo con parte real negativa y parte imaginaria, el retrato de etado etá formado por epirale que convergen al punto de equilibrio, eta configuración e denomina foco etable ( ver Figura.-.). La epirale repreentan la ocilacione del itema ubamortiguado. Figura.-. Foco etable Si el itema preenta do polo imaginario conjugado, el retrato de etado muetra una configuración de centro (ver Figura.-.). Aparecen trayectoria cerrada alrededor del punto de equilibrio. El tamaño de la trayectoria depende de la -4.7-

28 Dinámica de Sitema condicione iniciale, lo cual coincide con el comportamiento de un itema marginalmente etable, en el que la elongación de la ocilación depende de la condicione iniciale coniderada. Figura.-. Configuración de centro En el cao de que el itema preente un punto de equilibrio inetable, pueden diferenciare tre cao diferente. Si lo polo on reale de igno diferente, el retrato repreenta un punto de equilibrio en illa de montar. Oberve en la Figura.-. como hay una trayectoria que converge al punto de equilibrio, mientra la demá divergen del mimo. No obtante, eta trayectoria e en realidad una trayectoria inetable, ya que cualquier deviación de la mima produce un alejamiento del punto de equilibrio. Figura.-. Punto de equilibrio en illa de montar Si el itema preenta do polo complejo conjugado con parte real poitiva el retrato no muetra una configuración de foco inetable (ver Figura.-.3). La trayectoria -4.8-

29 Dinámica de Sitema divergen del punto de equilibrio en forma de epiral. Evidentemente la repueta temporal preenta un comportamiento divergente ocilatorio. Figura.-.3 Foco inetable Por último, cabe la poibilidad de que el itema preente do polo reale poitivo. En ete cao el retrato de etado preenta una configuración de nodo inetable como el que e muetra en la Figura.-.4. inetable Figura.-.4 Nodo inetable 4.7 Repueta en frecuencia El etudio de la repueta de un itema a una eñal ocilatoria periódica, como e el cao de una eñal enoidal, e conoce como repueta en frecuencia. Hay tre razone principale para coniderar el etudio de la repueta en frecuencia: Mucho fenómeno naturale on de naturaleza enoidal ( vibracione mecánica, vibracione electromagnética etc)

30 Dinámica de Sitema Cualquier eñal periódica puede repreentare mediante una erie de componente enoidale La eñale enoidale on importante en lo itema de comunicacione, en la tranmiión de eñale potencia etc. Cuando e aplica una entrada enoidal a un Sitema Lineal Invariante en el Tiempo (LTI), éte tiende a vibrar con u propia frecuencia natural, pero también tiende a eguir a la frecuencia de la eñal de entrada. Si el itema e etable y hay amortiguamiento la preencia en la alida de la frecuencia natural deaparece progreivamente de manera que en el etado etacionario la frecuencia de la repueta e la mima que en la entrada. La alida en Etado Etacionario permanente difiere de la entrada olamente por la amplitud y el ángulo de fae. Aí pue, para predecir la alida de un itema LTI ante una entrada enoidal bata conocer do término: la relación entre la amplitud de la entrada y la amplitud de la alida y el ángulo de fae entre la ocilación de entrada y la ocilación de alida. Amba relacione dependen de la frecuencia de entrada. El cálculo de amba e realiza mediante un procedimiento batante encillo. Dado un itema decrito por u Función de Tranferencia F (), e define la Función de Tranferencia Senoidal como la expreión reultante de hacer la utitución: = jω F ( jω ) Re { F( jω )} + j Im g{ F( jω )} =. La relación entre la amplitude E / S para una frecuencia ω viene dada por la expreión: ( jω ) Re{ F( jω )} g{ F( jω )} F = +. Im El ángulo de fae E / S e obtiene mediante la expreión: Im ϕ( j ω ) = arg[ F( jω )] = arctg Re g{ F( jω )} { F( jω )}

31 Dinámica de Sitema De eta forma, la repueta en etado etacionario de un itema LTI etable ante una entrada del tipo vendrá dada por ( t) = A enω t U ( jω ) en[ ω + ϕ] ( t) = A F t x e Ejemplo: Calcular la alida en Etado Etacionario de un itema decrito por () = + u = F ante la eñal de entrada ( t) en t )- Cálculo de F ( jω ) F ( jω) ( jω) ( + jω)( jω) ( jω) 4 ω = = = = + j + jω 4 + ω 4 + ω 4 + ω )- Cálculo de F ( jω) F ( jω) = ω ω ω = 6 + 4ω = 4 + ω = ( 4 + ω ) 4 + ω 4 + ω como la frecuencia de la eñal de entrada e rad/ la relación E/S en amplitud e: )- Cálculo de ϕ : ϕ ( jω) Im g = arctg Re F ( j ) = ω = ( F( jω) ) ( 4 ω ω = arctg + ) = arctg = arctg { F( jω) } 4 ϕ 4 + ω ( j ) = arctg =.3734 rad ω -4.3-

32 Dinámica de Sitema La repueta etacionaria del itema e: x e ( t) =.39 en[ ω t.3734] Ete mimo reultado puede obtenere mediante matlab con el comando evalfr. En primer lugar hay que definir el itema: y=tf([],[ ]) Tranfer function: El comando evalfr devuelve el valor complejo de F ( jω ) al er evaluada en una frecuencia determinada:» G=evalfr(y,j*) G = i A partir de eto valore olo queda obtener el módulo: ab(g) an =.96 Y a continuación el ángulo de fae: angle (G) an = Como e oberva, lo reultado coinciden con lo obtenido anteriormente Lo habitual e evaluar lo término F ( jω) y ϕ( ω) j para ditinta frecuencia. Lo reultado pueden repreentare de varia forma. Por una parte, uelen repreentare la evolución de ambo término por eparado, frente al valor de la frecuencia. Se trata de lo conocido diagrama de bode. En ete tipo de repreentación, el valor de ( ) jω F uele expreare en decibelio: log( F ( jω))

33 Dinámica de Sitema Lo diagrama de bode pueden obtenere fácilmente aplicando método manuale, no obtante, aquí e utilizará matlab para obtener dicho diagrama. Ejemplo: Determinar mediante un diagrama de bode la repueta en frecuencia de 3 F () = Lo comando en matlab on: y=tf([],[ 9.5]) bode(y,w); el reultado obtenido e la iguiente figura ode Diagram From: U() - Phae (deg); Magnitude (d) To: Y() Frequency (rad/ec) Figura.-.5 Diagrama de ode Oberve que ete itema de º orden preenta una frecuencia en el que e alcanza una amplitud de ocilación e máxima. Ete uele ocurrir con determinado itema. Otra manera de etudiar gráficamente la repueta en frecuencia e el diagrama polar. En ete tipo de gráfico, e repreenta la evolución el número complejo F ( jω ) para cada uno de lo valore que puede tomar ω. Se obtiene repreentando en el eje de ordenada la parte real de F ( jω ) y en el eje de accia la parte imaginaria de F ( jω ) obtener fácilmente ete tipo de diagrama Matlab permite

34 Dinámica de Sitema Ejemplo: Determinar mediante un diagrama polar la repueta en frecuencia 3 de F () = Lo comando en matlab on: y=tf([],[ ]) w=:.:; [modulo(:,),fae(:,)]=bode(y,w); polar(fae*pi/8,modulo); Figura.-.6 Diagrama polar Como puede obervare en la Figura.-.6, el diagrama preenta una frecuencia a la que el módulo (ditancia al origen de coordenada) e máximo. Ete reultado coincide con el del ejercicio anterior. El etudio de la repueta en frecuencia e una herramienta e muy útil para el análii de itema, pue permite obtener cierta magnitude de gran importancia, tale como el ancho de banda, el margen de fae y el margen de ganancia. La primera e de gran importancia en el dieño y etudio de equipo de comunicacione, la do egunda repreentan un elemento eficaz que determina la etabilidad relativa del itema, iendo de gran utilidad en lo proceo de control automático

35 Dinámica de Sitema 4.8 Análii de comportamiento En el cao de coniderar itema lineale, el análii de comportamiento e muy encillo. Exiten tre comportamiento poible: Etable, Ocilatorio e Inetable. En el cao de que el itema ea etable, debe exitir una etructura de realimentación negativa dominante, que hace que el itema converja iempre al punto de equilibrio etable. El itema preentará un comportamiento ocilatorio iempre que haya una realimentación negativa dominante que preente polo imaginario puro. En ete cao, el punto de equilibrio preentará una configuración de centro y la repueta temporal e mantiene ocilando continuamente in amortiguación. Cuando el itema preenta un comportamiento inetable exitirá una etructura de realimentación poitiva dominante, dependiendo de la condicione iniciale el itema e comportará como un circulo vicioo o como un círculo virtuoo. E muy importante realtar que iempre que e conideren itema lineale, exite uno y olo un punto de equilibrio. Pueden exitir múltiple bucle de realimentación negativa y poitiva, pero iempre dominará una realimentación negativa o una poitiva que determinará la naturaleza etable o inetable del itema. En cambio, en lo itema no lineale, e poible la exitencia de má de un punto de equilibrio, eto tiene varia e importante conecuencia. En primer lugar puede uceder que coexitan bucle de realimentación de ditinta naturaleza, in que ninguno domine de forma completa. Un ejemplo e preenta en la ecuación logítica (ver ección.3. del tema ) donde e produce la alternancia de dominio de un bucle obre otro. Ademá, en mucho cao ya no e poible hablar de itema etable de forma global ya que e poible la coexitencia de punto de equilibrio etable con punto de equilibrio inetable. En efecto, ete hecho e ilutra en el iguiente ejemplo. Ejemplo: Etudiar lo punto de equilibrio del itema: dx dt = +. A x x

36 Dinámica de Sitema Si e utiliza la repreentación del plano de fae (velocidad del etado frente a etado) puede obervare cómo exiten do punto de equilibrio dx correpondiente a aquella configuracione donde e cumple =. dt Como e aprecia en la Figura.-.7, cualquier condición inicial ituada a la derecha de lo punto de equilibrio tendrá aociada una velocidad negativa que hará que el itema converja hacia el primer punto de equilibrio. Figura.-.7 Etudio de la inetabilidad Si la condición inicial etá ituada entre lo do punto de equilibrio, la velocidad aociada a eta configuración erá poitiva, con lo cual el itema e repelido por el egundo punto de equilibrio y atraído por el primero. Finalmente Si la condición inicial e encuentra a la izquierda del egundo punto de equilibrio la velocidad aociada a ea condición inicial erá negativa y el itema erá repelido por el punto de equilibrio. De eta forma, e fácil comprobar que el itema preenta un punto de equilibrio etable y un punto de equilibrio inetable. La mima concluión podría habere obtenido de forma má riguroa utilizando una técnica de linealización. Como e ve en la Figura.-.7, i el itema e linealiza alrededor del primer punto de equilibrio, e obtiene una recta de pendiente negativa, lo cual implica un comportamiento etable, in embargo, i e linealiza alrededor del egundo punto de equilibrio, e obtiene un recta de pendiente poitiva que etá aociada a un comportamiento inetable. La no linealidade permiten modelar comportamiento complejo como lo que e aprecian en la vida cotidiana. Aí, a partir de un modelo lineal de egundo orden y coniderando fenómeno no lineale encillo como el efecto de aturación, ha ido poible explicar el mecanimo de diferenciación celular en organimo complejo a partir de célula inicialmente homogénea. E el llamado fenómeno de la morfogénei etudiado por Turing y Prigogine ( Aracil y Gordillo, 999)

37 Dinámica de Sitema Fenómeno má complejo pueden er etudiado mediante modelo nolineale, aí, en la última década e han realizado efuerzo en el etudio de lo ciclo límte (que repreentan ocilacione automantenida, ver Figura.-.8), y en la aparición de fenómeno caótico. Figura.-.8 Retrato de etado (A) y evolución temporal () de un ocilador de Vader-Pol Lo itema caótico preentan como caracterítica que en lugar de un punto de equilibrio atractor preentan una zona atractora llamada atractor extraño. La caracterítica principal de eto itema e la hiperenibilidad a la condicione iniciale. Lo que Lorenz expreó con el conocido término de efecto maripoa. Figura.-.9 Atractor extraño de Lorentz