Transformación Decimal a Racional

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1 Números Racionales Llamaremos número racional a una relación entre dos cantidades escrita de la forma Donde q, el denominador, representara la cantidad de partes en que la unidad esta separada y p, el numerador, indica cuantas partes nos interesan. De esta forma, indica que la unidad se ha separado en partes, de p q las cuales nos interesan. Llamaremos Racional Propio a todo aquel en el cual el numerador sea inferior al denominador y llamaremos Racional Impropio a todo aquel en el cual el numerador sea mayor que el denominador. Ejercicio Dibuje los siguientes números racionales e indique cual es el numerador y cual el denominador. Indique cuales son propios y cuales impropios Todo racional impropio de puede convertir en fracción mixta considerando cuantas veces el denominador esta contenido en el numerador. Esta cantidad de veces indica la parte entera. Luego la diferencia entre el numerador de la fracción original y el producto de la parte entera y el denominador, entrega el numerador de la fracción mixta. Ejemplo: esta contenido vez en y 7 - =7 - =7 6 esta contenido veces en y -6 = -= 6 6 Ejercicios: Transforme a fracción mixta los siguientes racionales impropios: Es conveniente que en todo racional se simplifiquen el numerador y denominador con el fin de facilitar la expresión y la operatoria a seguir. Para esto nada mejor que aplicar algunos conceptos prácticos de la aritmética.

2 Operaciones con Racionales. Suma y Resta en Racionales. Para poder Adicionar o Sustraer dos o más racionales es conveniente que tengan el mismo denominador. Esto se logra cuando se determina el m.c.m. entre ellos. Luego se deberá amplificar cada fracción por un uno escrito en forma conveniente y posteriormente sumar o restar los numeradores. Ejemplo + Implica que el m.c.m de los denominadores es de modo que la expresión se puede escribir como lo que entrega +, es decir, que en este caso corresponde a un racional impropio y por lo tanto se puede anotar como fracción mixta, es decir. Graficamente hablando la representación correspondiente puede ser la siguiente + = + 6 implica que el mcm de los denominadores es de modo que la expresión se puede 7 escribir como 6 7 lo que entrega es decir Para Multiplicar dos racionales bastara con multiplicar los numeradores, anotar el resultado como numerador y luego multiplicar los denominadores y anotar el resultado en el denominador. Es conveniente simplificar antes de efectuar las multiplicaciones. = = = = = = = Para Dividir dos racionales bastara con invertir el segundo racional anotando su numerador como denominador y su denominador como numerador y luego multiplicar como ya se ha explicado.

3 7 7 : = = = : = : = = = = Uno de los detalles más importantes que los estudiantes suelen olvidar es que existe una prioridad respecto a las operaciones a realizar. Siempre se debe resolver los paréntesis en todo proceso, especialmente cuando representen numeradores o denominadores de racionales o expresiones racionales. Luego las multiplicaciones y divisiones. Y al final, cuando todo este desarrollado las sumas o restas correspondientes. Algunos procesos se simplifican cuando trabajamos con racionales, pero es común tomar las medidas en forma decimal, razón por la cual veremos como transformar desde un sistema a otro. Transformación de Fracción en Decimal Bastara con dividir el numerador por el denominador. Sin embargo es conveniente recordar que existen algunas características que nos simplificaran el proceso. Cuando el denominador está compuesto por factores primos de ó el decimal a obtener es finito Cuando el denominador está compuesto por factores primos distintos de ó el decimal a obtener es periódico Cuando el denominador esta compuesto por factores primos como el ó el y cualquier otro, el decimal a obtener es semiperiódico. Ejemplos = Decimal semiperiódico 7 7 = Decimal finito 0 = Decimal periódico 77 7 = = 6 Decimal finito 7 = = 7 Decimal periódico 8 = = Decimal finito = = 6 Decimal semiperiódico Ejercicio:

4 Determine si los siguientes racionales corresponden a decimales finitos, periódicos o semiperiódicos ,,,,,,,,, Para transformar un decimal a fracción se debe considerar los siguientes casos: Fracción decimal finita: Para transformar un decimal finito a fracción bastara con considerar la cifra como numerador y una potencia de 0 con tantos ceros como decimales tenga la cifra, como denominador. Ejemplo: 0. = = = 0 Mostración: Sea x un decimal finito cualquiera. X = 0.a, multiplicando por 0 se tendrá que 0X = a de donde X = 0.ab, multiplicando por 00 se tendrá que 00X = ab de donde a x = 0 ab x = 00 X = 0.abc, multiplicando por 000 se tendrá que 000X = abc de donde abc x = 000 Se puede observar claramente que el denominador obtenido corresponde a una potencia de 0 con tantos ceros como cifras decimales tiene el número. Fracción decimal periódica: Para transformar un decimal periódico a fracción bastara con considerar la cifra como numerador y como denominador una cifra con tantos como decimales tenga el número. Ejemplo: 0... = = 0... = = = = 8... =.. =

5 Comprobación: Sea x = x =. restando x = 0. se obtiene x = de donde x = Sea x = x =... restando x = 0... se obtiene x = de donde x = Sea x = x = restando x = se obtiene x = 7 de donde 7 x = Sea x = x =... restando x =... se obtiene x = 8 8 de donde x = Este último caso es digno de un estudio aparte, dado que parece no cumplir con los requerimientos del sistema, sin embargo:... = Sea x = x =... restando x = 0... se obtiene x = de donde x =

6 Luego Transformación Decimal a Racional + se puede escribir como + de tal que = = = Este caso indica claramente que No es conveniente aplicar un sistema en forma mecánica, dado que suele conducir a errores. Siempre es necesario y conveniente analizar cada uno de los pasos que estemos dando. Fracción decimal semiperiódica: Este es quizás uno de los difíciles de recordar por la complejidad de los pasos que involucra. Para transformar un decimal semiperiódico a fracción bastará con considerar la cifra completa menos el ante período como numerador y como denominador una cifra con tantos como decimales periódicos tenga el número y tantos ceros como cifras tenga el ante período. Ejemplo: 0...= - 8 = = = = + 0. = + = = + = = Nuevamente este caso se explica con detalle dado que es demasiado tentador caer en un error mecánico como el siguiente... = = en que se considera como el ante período Una forma correcta seria considerando como ante período, de tal que... = = De cualquier modo, siempre es conveniente revisar. 6

7 Ejercicios: ) Convierta los siguientes decimales en racionales ) Verifique los divisores de los siguientes números ) A) 6 B) C) D) E) 7 7 = ) Una fracción de términos positivos aumenta su valor si: I) el numerador aumenta. II) el denominador aumenta. III) el numerador disminuye. IV) el denominador disminuye A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo I y IV E) Sólo II y IV ) En un curso de 0 alumnos, los 8 son niñas. Si a mediados de año entran al curso niñas más Cuál será ahora la fracción de niños del total de alumnos del curso? A) D) B) E) C) 6) Una barra de aluminio mide 0, m. Por efecto de los cambios de temperatura, a las 6 h se ha dilatado en una centésima parte de su longitud. Cuánto mide a las 6 h? A) 0, m B) 0, m C) 0,0 m D) 0, m E) 0,00 m 7

8 D) A) n Transformación Decimal a Racional 7) Si n es un número entero negativo distinto de Cuál de las siguientes fracciones es la mayor? n B) n E) n C) n 8) Si a = ; b = y c =, entonces 7 Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? 0) En un Δ ABC, un ángulo interior mide x, el segundo mide 0 más que la mitad del anterior y el último mide un quinto de lo que mide el primero. Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor ángulo interior? A) 00º B) 0º C) 80º D) 0º E) 60º ) Un estanque tiene ocupadas sus tres octavas partes con agua. Si agregándole 00 litros el agua ocupa hasta la mitad del estanque, cuál es su capacidad? A) litros B).000 litros C).600 litros D).000 litros E).000 litros I) a b < c II) III) b < c a b a c < A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III ) En un triángulo rectángulo isósceles, ambos ángulos interiores agudos disminuyen un noveno su medida. Entonces la medida del tercer ángulo interior del triángulo resultante A) aumenta en un noveno. B) disminuye en un noveno. C) aumenta en un décimo. D) aumenta en un quinto. E) aumenta en dos novenos ) Un partido de fútbol se desarrolla en dos tiempos de minutos cada uno. Qué fracción del partido resta cuando han transcurrido 0 minutos del segundo tiempo? A) B) C) D) 8 E) 8 ) En un grupo de madres, de ellas no han tenido hijas, un sexto tuvo mellizas y las 6 restantes tienen sólo una hija. Cuántas madres hay en el grupo? A) 60 B) 0 C) 60 D) 0 E) No se puede determinar 8

9 ) En un curso, un día faltaron a clases los de los alumnos. Si ese día asistieron alumnos De cuántos alumnos se componía el curso? 8) Si a cinco enteros un medio se le suma el producto de tres octavos por cuatro quintos, se obtiene A) 0 A) 6 B) 8 C) 0 D) E) B) C) 7 0 ) Qué precio tiene una mercadería si los de los de ella valen $7.00? A) $.000 B) $.00 C) $.000 D) $7.00 E) $.000 6) Tenemos 6 botellas llenas y a mitad de capacidad, todas de lt, que contienen aceite. Para envasar dicho aceite en botellas de litro ocuparemos: A) botellas B) 6 botellas C) 0 botellas D) botellas E) botellas 7) Una persona compró dos séptimos de docenas de naranjas. Cuántas naranjas compró? A) docenas B) C) docenas D) docena E) naranja D) E) ) Si a = ; b = ; c = ; entonces, 7 con respecto al orden entre ellos, la alternativa correcta es: A) a< c< b B) b> a > c C) c> b> a D) a+ c= b E) a = b< c 0) Los racionales 7 7,,, 6 8 ordenados de mayor a menor son A) 7 7,,, 6 8 B) 7 7,,, 8 6 C) 7 7,,, 8 6 D) 7, 7,, 8 6 docenas. E) 7, 7,, 8 6

10 ) Cuántos paquetes de kg de azúcar se pueden hacer con sacos de 0 kg cada uno? A) 0 B) 0 C) 60 D) 0 E) 80 ) En un estanque de 7 litros de capacidad, ) Si p = y q = entonces, de las siguientes expresiones Cuál(es) equivale(n) a un número entero? I) (p + q)(p - q) II) 6pq III) 8 p q faltan 8 litros para llenarlo. Cuántos litros tenía el estanque? A) C) 8 B) 8 D) E) + ) : equivale a: + 8 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III 6) El valor de A) 8 = B) 0 A) C) E) B) D) C) 6 E) D) 7) Un basquetbolista convierte m tiros y falla n. Qué fracción de sus lanzamientos convierte? ) Cuánto es la mitad del recíproco de? A) m m+ n B) m n m+ n A) B) C) 8 C) x y D) m m n D) 8 E) E) m n 0

11 8) Cuánto vale kilo de duraznos? () kg valen $.0 () duraznos valen $00 A) () por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, () y () D) Cada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional ) Si a, b y c son tres números racionales positivos, cuál es el menor? () a b= () a c= A) () por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, () y () D) Cada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional 0) La fracción p q es negativa si: ) Si a () a = c () + c 7 =, cuál es el valor de a? c c = A) () por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, () y () D) Cada una por sí sola, (l) ó () E) Se requiere información adicional ) Sean x e y enteros no nulos. La fracción representa un número entero positivo, si; x y () x e y tienen el mismo signo () y > 0 x es múltiplo positivo de y A) () por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, () y () D) Cada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional Si a + c 7 =, cuál es el valor de a? c ) a = c ) c = A) () por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, () y () D) Cada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional

12 I. Transforma a decimal y reconoce el tipo de racional: ) 8) ) ) 7 ) 7 8 0) ) 8 ) 0 ) 7 ) 7 6) 7 ) 0 7) ) II. Transforma a fracción y simplifica: ) 0, ) 0, ) 0, ) 0,0 ),0 6) 0,7 7) 0, 87 8) 0, ) 0, 00 0) 0, 7 ), ), ), 7 ), III. Ordena de mayor a menor los siguientes conjuntos de números racionales: { { A = 0, ; 0, ; 0,; 0,; 0, ; 0,8 ; 0,8 } B = 0, ;, ; 0,;,;, ;, ;,08 } 7 C = 0,; ; 0, ; ; ; 0, ; 0,8 ; ; 0,6 } IV. Problemas: ) María obtuvo 8, puntos en la prueba de matemática y Carlos obtuvo 8, puntos. Quién obtuvo más y cuánto mas fue? ) Un alumno tiene ocho (8) notas durante un semestre, el solo se acuerda de 7 de ellas, pero sabe que su promedio fue,7 ; podrías averiguar cual es la nota que le falta, si las que recuerda son:,; 6, ;,7 ; 6, ;, ;,6 y,8 ) Durante una semana, contando el número de asistentes a la función de un cine, se obtuvieron los siguientes datos: el lunes 8 personas, el martes y el miércoles 00. El jueves se ocuparon del total de las sillas; el viernes ; el sábado y el domingo asistieron 60 personas que equivalen a del total. Calcula el 8 número de espectadores del jueves y viernes, y la fracción del total de sillas que se ocupó el lunes, el martes y el miércoles. ) Para cercar un terreno cuadrado se necesitan 7,0 metros de alambre. Cuánto mide cada lado del sitio?, cuánto alambre se ocuparía para cercar 7 sitios iguales? ) Para cercar un sitio cuadrado con corridas de alambre, se necesitan 77, m. Calcula la medida del lado del terreno.

13 V. Calcular Transformación Decimal a Racional ) 0,0 +,8, = ) 0,0 : - = ), [-, + (-, + )] + = 0,8,,6 :,,8 : 0,,6 0,,8 : 0, 0,0 0,6 : 0 ) = 8) =, (, +,) + 6,6 0,0 : 0,, 0,(,8,), 0,,6 : 0,6 ) = 8) =,8 0,,6 :,8 0,008 : 0,,6,8 0,, : 0, : 0, 6) = ) = VI. Calcular las siguientes potencias: ) ( 0,0 ) = ) ( 0,00 ) = ) ( 0, ) = ) ( 0,00 ) = ) ( 0,0 ) = 6) ( 0,0006 ) = 7) ( 0,006 ) = 8) ( 0,8 ) = ) ( 0,0 ) = 0) ( 0, ) = VII. Escribe en notación científica los siguientes números: ) ) ) 0,00 ) 0,0000 ) 0,000 6) 0,08 7) ) 0,0006 ) 0, ) 0 VIII. Escribe los siguientes números sin notación científica: ),8 0 ),8 0 ) 6),8 0 7) 8 0 8),87 0 ),0 0 ),0 0 ), 0 8 0, 0 0) 8 0 IX. En las siguientes expresiones escribe los números en notación exponencial y luego resuelve: ) 0,08 00 ) 0,6 0,00 ) ( 0,0006 ) ) ( ) ,00 0,00 0,0 6) = 0,000 ) ( ) 0,8 0,0000 7) = 0,008 0,000 0,00 0,00 8) = 0, ,06 ) = 0, ,000 0) = 0,00 ) 0,000 0,006 = 0,007 0,00

14 X. Resuelve las siguientes ecuaciones: x + = 6 x 6 = x + 0 = x 8 = 7 = x + 0 x = x = x = = x 7x 6x = x+ 6 x = x 7 = x 7 = 6x+ x 7 x = 80 6 x 7 x = x 0 x 8x + 6 = x 8 x x 7x= 80 x 6 7x= 0 ( x ) = x+ ( x ) + = ( x+ ) = ( x+ ) ( x+ ) = ( x+ ) 7 7 x x = 7 x x + = 8 x x x + + = 0 x + = + x = 8 8 x x x x + = + = + 6 x + x = x x =, 6 6 XI. Selección múltiple: ) La fracción se expresa en número decimal como: 0, c) -0,66 d) 0, 6 e) 0, 66 a) -0,6 b) 60 ) El decimal 0, 8 se expresa en fracción irreducible como: a) 8 b) 8 c) 8 d) 0 0 e) N. A. ) Si a = 0,6 ; b = 0, 6 ; c = 0,06 y d = 0, 60, la ordenación correcta es: a)b< a< c< d b) a< c< d < b c) c< d < b< a d) d < a< b< c e) c< a< d < b ) El valor de + 0, es: a) / b) 7, c) -/ d) 0, e) N. A. ) El valor de la expresión, a) 0, b) 0, 6 c),8 es: 0 d) /6 e) N. A.

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