2.2 Distribuciones de frecuencias unidimensionales.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "2.2 Distribuciones de frecuencias unidimensionales."

Transcripción

1 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable CAPITULO - AALISIS DE UA VARIABLE Itroduccó E este capítulo se dará u cojuto de strumetos que permtrá el aálss descrptvo de ua varable E prmer lugar se dcará la forma de orgazar y presetar la formacó, ua vez que se ha observado la poblacó y ha sdo meddo uo de los caracteres de todos y cada uo de los elemetos de la msma Esta operacó os llevará a la obtecó de ua dstrbucó de frecuecas Ua vez que se tee los datos orgazados medate esa dstrbucó hay que car el proceso de aálss de la varable Para ello, el prmer strumeto al que se puede recurrr, tato por su secllez como por lo fácl de su terpretacó, es la represetacó gráfca de ese carácter Co la represetacó gráfca de la varable o del atrbuto, segú proceda e cada caso, se cosgue teer ua vsó de cojuto del feómeo estudado de ua forma más rápda y perceptble que co la sola speccó umérca de la tabla o dstrbucó Para cotuar este proceso de aálss de ua varable hay que defr certos strumetos que os permta estudar sus característcas más relevates Etre las msmas cabe destacar las sguetes: ) forma de la dstrbucó; ) meddas de poscó (valor cetral o promedos); 3) dspersó; 4) asmetría; 5) curtoss Dstrbucoes de frecuecas udmesoales El adjetvo udmesoal hace refereca a que e uestro aálss solo se tedrá e cueta u carácter Al msmo se le va a represetar smbólcamete medate la letra X, metras que para sus posbles realzacoes (valores o modaldades, segú se trate de varable o de u atrbuto, respectvamete) se utlzará la letra múscula E lo sucesvo se etederá que el carácter observado es de tpo cuattatvo y que, e cosecueca, estamos trabajado co varables E realdad el tratameto que se le da a los atrbutos, e cuato a dstrbucó de frecuecas, es muy smlar al de las varables dscretas

2 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable Por dstrbucó de frecuecas se va a eteder al cojuto de valores que ha tomado ua varable co sus frecuecas correspodetes Smbólcamete, ua dstrbucó de frecuecas vedría dada por los pares (, ), dode so los valores de la varable y so sus frecuecas Hay que señalar, e esta defcó, que la frecueca asocada a u valor de la varable es el úmero de veces que se repte ese valor A la msma se le cooce como frecueca absoluta Dstrbucoes de frecuecas para valores o agrupados Puede cosderarse báscamete dos tpos de dstrbucoes de frecuecas Aquellas e las que los valores de la varable o está agrupados y las que preseta esos valores agrupados e tervalos Las prmeras se correspode a varables dscretas Este tpo de varables se caracterza, como ya se dcó e su mometo, por teer u úmero fto de valores o fto umerable, de forma que etre dos valores cosecutvos o este otro Pero auque estos valores sea observables resulta que, a veces, el úmero de ellos es ta elevado que resulta acosejable presetar la dstrbucó o tabla estadístca co los valores de la varable agrupados e tervalos Esta forma de proceder podría llevaros a pesar que estamos trabajado co varables cotuas, cuado e realdad o lo so, pues e el caso de éstas, a dfereca de las prmeras, detro de cualquer tervalo de valores se puede cosderar que hay ftos valores dsttos La forma estádar de dar ua dstrbucó de frecuecas co valores o agrupados es la que aparece e la Tabla Las frecuecas de esta tabla puede ser utaras o mayores que uo El prmer caso tee poco terés para la Estadístca, pues como ya se dcó e la captulo prmero, el objeto de la msma era el estudo de colectvos grades y uca las poblacoes co u úmero de elemetos muy reducdo Juto a las frecuecas absolutas de los valores de ua varable resulta habtual dar, també, lo que se cooce como frecuecas relatvas Para u valor cocreto, la frecueca relatva, que represetaremos por f, es el cocete etre la frecueca absoluta y el umero total de observacoes Es decr, f / Estas frecuecas se puede epresar e porcetajes o e tatos por uo A su vez, las frecuecas, tato las absolutas

3 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable como las relatvas, se puede dar de forma acumulada Las frecuecas absolutas acumuladas se represeta por y las relatvas acumuladas por F Tabla Dstrbucó de frecuecas para valores o agrupados Valores Frecuecas Frecuecas Frecuecas Frecuecas de la Absolutas Relatvas absolutas relatvas varable acumuladas acumuladas f / F / f F f f + F F + f f - + F F - + f f F S S f Ejemplo E la tabla adjuta se da la dstrbucó de las 500 hogares de u barro segú el úmero de sus membros Tamaño de los hogares º de hogares f F 40 0, , ,4 0 0, 3 0 0, 0 0, ,8 30 0, , , , , , , , ,95 3

4 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable 9 0 0, , , Esta dstrbucó, además de dar los valores de la varable y sus frecuecas absolutas, recoge las relatvas y las acumuladas Se trata de la dstrbucó de ua varable dscreta co u úmero fto de valores Dstrbucoes de frecuecas para valores agrupados Este tpo de dstrbucoes se asoca, fudametalmete, co varables cotuas, auque, como ya se ha señalado co aterordad, e alguos casos també es aplcable a varables dscretas, especalmete e aquellas stuacoes e las que la varable toma muchos valores, de forma que s éstos os e agrupara, la tabla resultaría demasado etesa y la fucó de sítess de la msma se perdería La elaboracó de la dstrbucó de frecuecas de ua varable cotua platea alguos problemas que o se da e el caso de varables dscretas Se trata de decdr el úmero de tervalos e los que hay que agrupar los valores de la varable así como s la ampltud o recorrdo de los msmos debe ser gual Estas cuestoes o tee ua respuesta determada de atemao La solucó depederá de cada caso cocreto, por lo que o tee setdo etrar e la casuístca de las dsttas stuacoes que pudera darse Otro problema surge cuado u valor de la varable cocde eactamete co u etremo del tervalo, co lo que hay dudas sobre su clusó e ese tervalo o el sguete Como solucó a este problema es habtual proceder a defr tervalos abertos por la zquerda y cerrados por la derecha, lo que mplca que tervalo defdo etre a y b cluye a todos los valores meores o guales que b pero mayores que a E geeral, ua dstrbucó de frecuecas para ua varable cotua será como la que se da e la Tabla A partr del cotedo de esta tabla hay que defr los sguetes coceptos: a) Ampltud del tervalo Es la dfereca etre el etremo superor y el feror Así para el tervalo -ésmo, la ampltud vedría dada por: 4

5 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable a L - L - () b) Marca de clase Es el puto cetral de cada tervalo Esta se suele represetar por Para el tervalo -ésmo vee será: ( L + L - )/ () Varable (tervalos L - L ) L 0 L L L L L 3 L - L L- - L Tabla Dstrbucó de frecuecas para valores agrupados Ampltud a a a a 3 a a Marca de clase 3 Frec abs 3 Frecueca relatva f / / 3 / / / S S f Frecueca Absoluta Acumulada Frecueca Relatva Acum F / / 3 / / / Esta agrupacó de los valores de la varable e tervalos, auque resulta operatvamete ecesara, colleva u problema grave que se cooce como error de agrupameto Este error es la cosecueca drecta de la pérdda de formacó provocada al clur u cojuto de observacoes e u msmo tervalo Así, ates de agrupar las observacoes e el tervalo -ésmo, se sabe cuales so los valores cocretos observados y sus respectvas frecuecas dvduales Ahora be, cuado esos valores se agrupa e u tervalo se perde esa formacó dvdualzada E esos casos lo que se hace es susttur a todos y cada uo de ellos por su valor medo que vee represetado por la marca de clase Pero esta solucó, como se verá más adelate, mplca asumr certos supuestos que os duce a error Este error es el coste de la pérdda de formacó que se causa por el agrupameto de las valores de la varable Ejemplo La dstrbucó del presupuesto semaal e almetacó de u cojuto de 65 famlas epresado e euros es el que fgura e la tabla sguete: 5

6 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable Presupuestos L- - L a Famlas f F , , ,3 45 0, ,5 40 0, , ,5 45 0, , , , ,3 5 0, , , , , , , ,089 65,0000 Total 65 E este caso se trata de ua varable cotua co sus valores agrupados e tervalos cuya ampltud es varable Este tpo de tervalos permte tratar de forma dstta a los valores de la varable, segú dode se localce la mayor parte de las observacoes E este setdo la ampltud de los tervalos es versa a la frecueca de los msmos Esta forma de proceder evta que la mayor parte de las observacoes se cocetre e u solo tervalo o e uos pocos 3 Aálss gráfco El tpo de represetacó gráfca depede e gra medda de la aturaleza del carácter de los elemetos de la poblacó co el que se esté trabajado Así, s se trata de ua varable se recurrrá al dagrama de barras e el caso de que sea dscreta y sus valores o esté agrupados Este dagrama se realza hacedo uso de u sstema cartesao e el que sobre el eje de abscsas se poe los valores de la varable y sobre el de ordeadas las frecuecas, tato absolutas ( ) como relatvas (f ) U ejemplo de este tpo de gráfco es el que se da e la Fgura, dode se ha represetado los datos del Ejemplo Hay que señalar que la achura de las barras será, e cualquer caso, ua cuestó de estétca, pues la msma o hace alusó, e gú caso, al valor de la varable al frecueca del msmo Dcho de otra forma, la superfce de la msma es depedete de la magtud que se represeta E este setdo ta váldo es el dagrama dado e la Fgura como el de la Fgura 6

7 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable Tato e la Fgura como e la Fgura se ha represetado las frecuecas absolutas Pero estas fguras o habría cambado para ada s e su lugar s se hubera trabajado co las frecuecas relatvas La úca dfereca es que el eje de ordeadas tomaría como valor mámo la udad, pero la proporcó etre las barras o camba de u gráfco a otro Fgura Dagrama de barras para la dstrbucó del Ejemplo Otra represtacó gráfca que també puede realzarse co los datos de ua varable dscreta es lo que se cooce como u dagrama escaloado o acumulatvo E este caso, sobre el eje de abscsas se sgue llevado los valores de la varable, metras que sobre el de ordeadas se coloca las frecuecas acumuladas, be absolutas ( ) o relatvas (F ) E la fgura 3 se ha represetado el dagrama escaloado para la varable del Ejemplo 7

8 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable Fgura Dagrama de barras para los datos del Ejemplo Fgura 3 Dagrama escaloado correspodete a los datos del Ejemplo F 0,7 0, Frete a este tpo de gráfco, cuado la aturaleza de la varable sea cotua, etoces la represetacó gráfca más adecuada es el hstograma o també coocdo como hstograma de frecuecas Este tpo de gráfcos podría utlzarse també e los casos de varables dscretas co valores agrupados, auque o resulta acosejable hacer uso de 8

9 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable los hstogramas para varables dscretas por los problemas que colleva asmlar ua varable dscreta a otra de tpo cotuo U hstograma se realza també hacedo uso de u sstema cartesao, dode sobre el eje de abscsas se lleva los valores de la varable Pero ahora ya o se trata de valores putuales, so de tervalos, y sobre éstos se levata rectágulos, que tee por base la ampltud del tervalo y por altura su frecueca El área de esos rectágulos deberá ser sempre proporcoal a la frecueca, de maera que cuado la ampltud de los tervalos o sea costate, etoces la altura de los rectágulos o será la frecueca so lo que se cooce como desdad de frecueca defda de la forma sguete: h,,3,, (3) a La Fgura 4 recoge el hstograma correspodete a los datos del Ejemplo E este caso se ha proceddo a calcular las correspodetes desdades de frecuecas també coocdas como alturas, dado que los tervalos so de ampltud varable Los datos umércos que se ha represetado so los que aparece e la Tabla 3 Tabla 3 Dstrbucó de los presupuestos famlares Presupuestos L- - L a Famlas , , , , , , , , , ,06 Total 65 h 9

10 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable Fgura 4 Hstograma para los datos del Ejemplo 0 Desdad de frecueca o alturas Presupuesto S e lugar de trabajar co las alturas se hubera llevado sobre el eje de ordeadas drectamete las frecuecas, etoces el hstograma correspodete es el que aparece e la Fgura 5 Como puede aprecarse, éste es muy dstto del ateror Este últmo o es correcto porque el área de cada rectágulo o es proporcoal a las frecuecas y, e cosecueca, muestra ua realdad dstorsoada Fgura 5 Hstograma para los datos del Ejemeplo Frecuecas Presupuestos 0

11 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable Al gual que para varables dscretas se defó el dagrama escaloado para represetar las frecuecas acumuladas, para el caso de cotuas se puede proceder de forma smlar Pero e este caso, a la gráfca correspodete, se le cooce como polígoo de frecuecas acumuladas Ejemplo 3 A 50 cletes de ua sttucó facera se les ha pregutado por el tempo que ha tedo que esperar e la cola de la caja para realzar ua gestó Sus respuestas se ha orgazado e la sguete tabla Tempo Cletes Obtega el polígoo de frecuecas acumuladas Ua vez que se ha señalado los strumetos gráfcos más habtuales e el aálss de varables, queda por troducr los correspodetes cuado de lo que se trata es de atrbutos Ahora, las modaldades o tee la dmesó umérca de los valores de las varables Esto hace que haya que pesar e otros tpo de gráfcos Etre los más

12 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable utlzados está los dagramas de tarta E estos casos lo que se hace es asgarle a cada modaldad del atrbuto u sector crcular proporcoal a su frecueca Para aclarar esta dea e la Fgura 6 se ha represetado la dstrbucó de la poblacó ocupada e España segú su stuacó profesoal, cosderado cuatro modaldades dsttas Fgura 6 Poblacó ocupada e España segú stuacó profesoal e 000 (Mles de persoas) Empresaro o membro de cooperatva Ayuda famlar Asalarados Otros Fuete: EPA Pága web del IE Este tpo de gráfcos permte vsualzar de forma be clara cual es la estructura de u atrbuto cocreto como es e este caso la stuacó profesoal de la poblacó ocupada, dode, como puede aprecarse la mayor parte de los ocupados so asalarados Además estos gráfcos se presta a que pueda realzarse comparacoes para el msmo atrbuto e dsttos ámbtos espacales (por ejemplo, España y la stuacó e las CCAA o co respecto a otros países) o temporales (por ejemplo, el año 000 co respecto a años aterores) Cuado, como e el caso ateror, ua de las modaldades o se apreca porque su frecueca es muy pequeña, etoces el gráfco se puede presetar como se hace e la Fgura 7

13 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable Fgura 7 Poblacó ocupada e España segú stuacó profesoal e 000 (Mles de persoas) 4,9 638, 3,7 508,9 Empresaro o membro de cooperatva Ayuda famlar Asalarados Otros Fuete: EPA Pága web del IE Este msmo atrbuto se ha represetado e la Fgura 8 hacedo uso de u dagrama de rectágulos Este strumeto gráfco es muy smlar al dagrama de barras vsto para varables dscretas Fgura 8 Poblacó ocupada e España segú stuacó profesoal e 000 (Mles de persoas) 508, , 0 Empresaro o membro de cooperatva 3,7 Ayuda famlar Asalarados Otros 4,9 Fuete: EPA Pága web del IE 3

14 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable Pero este repertoro de gráfcos o agota las posbldades de represetacó A los msmos se le puede añadr los pctogramas, cartogramas, etc S embargo, los señalados so los que se utlza co más frecueca y, e cualquer caso, segú el atrbuto co el que se esté trabajado habrá que seleccoar el más adecuado de etre la ampla gama de tpos de gráfcos estetes Fgura 9 Prámde de la poblacó de Adalucía 998 Edad Hombres Mujeres Efectvos masculos Efectvos femeos Para falzar este apartado dedcado a las represetacoes gráfcas vamos a dedcar uas líeas a u gráfco que tee la partculardad de que e el msmo se hace uso de ua varable cotua, como es la edad, y u atrbuto, como es el seo de la poblacó os estamos refredo a las prámdes de poblacó, strumeto gráfco de gra utldad e Demografía Se trata de dos hstogramas que comparte el msmo eje de abcsas, sobre el cual se lleva la edad de la poblacó Por otro lado, sobre el eje de ordeadas se lleva los efectvos poblacoales, tato de hombres como de mujeres Pero se trata de efectvos epresados o e cfras absolutas so e porcetajes o e cualquer poteca de dez Ua muestra de este tpo de gráfcos es el recogdo e la Fgura 9, dode se muestra la estructura por seo y edad de la poblacó de Adalucía para 998 4

15 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable 4 Forma de la dstrbucó Para poder estudar la forma de ua dstrbucó es precso dspoer de u úmero de observacoes de la varable sufcetemete grade, como para poder determar patroes de comportameto o regulardades e dchas observacoes Así, s se dspoe de muy pocas observacoes, o tee setdo hablar de la forma de la dstrbucó Para estudar la forma de la dstrbucó la mejor herrameta de la que podemos hacer uso es de su represetacó gráfca, ya sea el dagrama de barras o el hstograma A partr de estas gráfcas será posble, de forma fácl, coclur s las observacoes está cocetradas e toro a uos pocos valores de la varable o s ocurre lo cotraro, s la cocetracó tee lugar e u etremo del recorrdo de la varable o e el otro, etc Las formas más habtuales de la dstrbucó de ua varable so las de tpo campaforme (a), tato smétrcas como asmétrcas (b, c) Otro formas també habtuales so la que tee forma de jota, vertda o ormal (d, e), y las dstrbucoes e forma de U (f) Fgura 0 Formas de la dstrbucó de ua varable a b 5

16 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable c d e f 5 Promedos La reduccó estadístca que se cosgue medate la tabulacó, e la mayoría de los casos, o resulta sufcete s lo que se persgue es que el eceso de formacó o os mpda ver lo que hay detrás de ella Por tal razó, esa reduccó hay que llevarla hasta el etremo de quedaros co u solo dato que a su vez sea represetatvo de todo el cojuto A ese úco dato se le cooce de forma geérca como promedo Co la obtecó de promedos lo que se cosgue es determar cual es el vel medo de la varable y, además, faclta las comparacoes etre varables A los promedos se les cooce també como meddas de tedeca cetral E prcpo, el úco requsto que, de forma geeral, se le ege a cualquer promedo es que su valor esté compreddo etre los valores etremos de la varable Co esta úca codcó, el úmero de promedos que puede defrse es muy elevado, s be los más habtuales so la meda artmétca, la meda geométrca, la medaa, la moda, la meda cuadrátca, la meda armóca, etc 6

17 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable De todos ellos vamos a estudar la meda artmétca, la meda geométrca, la medaa y la moda 5 La meda artmétca La meda artmétca se defe como aquel valor que resulta de dvdr la suma de todas la observacoes etre el úmero de ellas El resultado de este cocete o cocdrá ecesaramete co valor alguo de la varable, pero s debe ser u valor del recorrdo de la msma y vedrá epresado e las msma udad de medda de esa varable Por la forma e que se ha defdo este promedo solo tee setdo aplcarlo a varables de aturaleza cuattatva, pues sus valores se puede sumar, pero o las modaldades de u atrbuto Formalmete, s es el valor -ésmo de la varable X, sedo el úmero de veces que se preseta ese valor, etoces la meda se defe como: ( 4) Ejemplo : Sea X ua varable que represeta el volume de facturacó de ua empresa a lo largo de los 5 días laborales de u mes: (mles ) 0,5,4 3, 4,8 5,8 6, E este caso la meda vedrá dada por: (0,5)() + (,4)(3) + (3,)(9) + (4,8)(6) + (5,8)(4) + (6,5)() 3,8 5 7 mles

18 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable El ejemplo ateror es váldo solo e el caso de dstrbucoes co datos o agrupados S los datos estuvera agrupados, etoces los valores dvduales de la varable so descoocdos, lo que mpde hacer uso de la epresó cálculo ateror Para dar solucó a este problema se procede asumedo la hpótess de que todas las observacoes de u tervalo se dstrbuye uformemete detro del msmo, por lo que es admsble susttur todos los valores del tervalo por su marca de clase S se opta por esta solucó, etoces es posble hacer uso de la epresó dada e (4) para el cálculo de la meda artmétca Ejemplo : S la para la empresa ateror, e lugar de cosderar las vetas e 5 días, cosderamos las vetas e 300 días, etoces los datos sería los de la tabla sguete: Vetas e pesetas (mles de ) 0,0,0,0 3,0 3,0 4,0 4,0 5,0 5,0 6,0 6,0 8,0,0,5 3,5 4,5 5,5 7, Ahora la ueva meda sería: ()(40) + (,5)(60) + (3,5)(0) + (4,5)(50) + (5,5)(30) + (7,0)(0) 3, mles Esta forma de obteer la meda artmétca mplca que o se calcula de forma eacta, pues la frecueca o tee porque dstrburse de maera uforme detro del tervalo, por lo que al proceder de esa forma se comete u error que se le cooce como error de agrupameto Este vee codcoado por el úmero de tervalos que se esté cosderado, así como por el tamaño de la poblacó Veamos este cocepto de forma umérca 8

19 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable Ejemplo 3 Obteer la meda de la varable del Ejemplo pero co los datos agrupados segú los tervalos de Ejemplo E este caso las 5 observacoes se preseta e la tabla sguete: Vetas e pesetas (mles de ) 0,0,0,0 3,0 3,0 4,0 4,0 5,0 5,0 6,0 6,0 8,0,0,5 3,5 4,5 5,5 7, Ahora, la meda artmétca sería: ()() + (,5)(3) + (3,5)(9) + (4,5)(6) + (5,5)(4) + (7,0)() 3,88 5 mles Como puede aprecarse el valor de la meda ha cambado, pasado de 3,8 a 3,88 La dfereca etre ambos es el error de agrupameto que se ha cometdo como cosecueca de trabajar co datos agrupados e tervalos S lo que se persgue es obteer la meda de ua varable e la que los valores de la msma o tee todos ellos la msma mportaca o sgfcacó, etoces se procede a obteer la meda artmétca poderada, e la que cada valor de la esa varable se multplca por sus respectvo peso o poderacó (w ) que refleja la mportaca de ese valor, pero que o es su frecueca S la suma de esos productos la dvdmos por la suma de las poderacoes, lo que se obtee es la meda artmétca poderada w w ( 5) 9

20 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable Ejemplo 4 U alumo ha realzado u eame que costaba de cco pregutas E cada ua de ellas ha obtedo las sguetes putuacoes: 5; 6,5; 7; 8 y 7,5 Obtega la ota fal del eame s las poderacoes de esas pregutas so: 0,; 0,5; 0,5; 0,5 y 0,5 (5)(0, ) + (6,5)(0,5) + (7)(0, 5) + (8)(0,5) + (7,5)(0,5) 7,05 frete a ua meda artmétca smple de 6,8 5 Propedades de la meda artmétca ª La suma de las desvacoes de los valores de la varable respecto de la meda vale cero Es decr: ( ) 0 La demostracó de esta propedad es como sgue: ( ) 0 ª La meda artmétca o varía s todas las frecuecas de su dstrbucó se multplca o dvde por ua costate Llamemos C a costate por la que se va a multplcar todas la frecuecas, de tal forma que C C E tal caso la meda será: C C C C C C C 0

21 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable 3ª La suma de las desvacoes al cuadrado de los valores de la varable respecto de ua (, cuado esa costate C cualquera se hace míma, S C ) ( C ) costate C cocde co la meda artmétca (Teorema de Kog): Para demostrar esta propedad basta co mmzar esa suma de desvacoes al cuadrado co respecto a C El valor de esa costate C será el que aule la prmera dervada y haga que la seguda sea postva ds ( C dc ) d ( C ) dc ( C )( ) 0 A partr de este resultado se obtee que: C de forma que s se dvde ambos membros de la gualdad por queda demostrada la tercera propedad de la meda 4ª S a todos los valores de ua varable le sumamos ua costate C, la meda artmétca queda aumetada e dcha costate Es decr, la meda se ve afecta por cambos de orge e la varable Para demostrar esta propedad vamos a defr ua ueva varable obtedrá la meda de y y C Ahora se + y y ( + ) C + C + C

22 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable 5ª S todos los valores de ua varable los multplcamos por ua costate C, la meda artmétca queda multplcada por dcha costate Es decr, la meda se ve afecta por cambos de escala e la varable Al gual que e caso ateror, defamos ua ueva varable la meda de y y C Ahora se obtedrá y y C C C 6ª S de u cojuto de valores obteemos dos o más subcojutos dsjutos, la meda artmétca de todo el cojuto se relacoa co todas las medas artmétcas de los dferetes subcojuto dsjutos Supogamos que agrupamos las observacoes e K subcojutos dsjutos: (,, ), (,,, ),,(,,, ), K K K K Ahora la meda es: ( ) + ( ) + + ( ) K K + + K K K K K K K K K 7ª La meda es el cetro de gravedad de la dstrbucó

23 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable Vetajas e coveetes de la meda artmétca Las prcpales vetajas so las sguetes: ª Hace uso de todos los valores para su cálculo ª Se puede calcular sempre 3ª Es úca Frete a estas vetajas el prcpal coveete es que se trata de u promedo sesble a los valores etremos de la varable, lo que e alguas ocasoes valda su utldad 5 La meda geométrca Sea ua dstrbucó de frecuecas (, ) La meda geométrca G se defe como la raíz -ésma del producto de los valores de la dstrbucó G Π ( 6) La meda geométrca goza de la propedad de que su logartmo es gual a la meda artmétca de los logartmos de los valores de la varable També la meda geométrca es sempre meor o gual que la meda artmétca Ejemplo 5 Las tasas de crecmeto de la ecoomía de u país durate dez años so las que aparece e la tabla sguete: Tasas (X) e % Años 3 Obteer la tasa meda aual de crecmeto 3

24 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable Para esta varable, y dada su aturaleza, el promedo más adecuado es la meda geométrca G 3 ( 0,0) ( 0,0) ( 0,03) ( 0,04) ( 0,05) ) 0, Se trata de u promedo que, para su cálculo, al gual que la meda artmétca, hace uso de toda la formacó de la varable S embargo es meos sesble a los valores etremos de lo que lo es la meda artmétca Frete a estas vetajas o vrtudes, este uevo promedo tee alguas lmtacoes Etre ellas destacaremos: a) es meos tutvo que la meda artmétca; b) su cálculo o es ta medato; c) e ocasoes o queda determada S algú valor de la varable es ulo, etoces G se aula S la varable toma valores egatvos este promedo da problemas La meda geométrca se utlza especalmete para promedar porcetajes, tasas, úmeros ídces, etc, y sempre que la varable presete varacoes acumulatvas Ejemplo 6 La poblacó de ua determada provca durate los años que se dca fue la sguete: Año Poblacó 375, 385,7 390,6 40,5 430,3 450,7 Obtégase la tasa de crecmeto medo aual Para obteer la tasa pedda se podría proceder de forma dsttas Supogamos e prmer lugar que calculamos calmete las tasas de crecmeto auales Estas tasas, que se Pt defe como:, so las que aparece e la sguete tabla: P t Año Tasa 0,08 0,07 0,0509 0,048 0,0474 A partr de estas cco tasas de crecmeto aual se podría calcular la meda artmétca, pero este o sería el promedo más adecuado, dada la aturaleza de esta varable (se El cocepto de tasa se epoe de forma algo más ampla e el Captulo 4 de este lbro 4

25 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable trata de tasas) E este caso el promedo más adecuado sería la meda geométrca S a esa tasa meda de crecmeto aual la llamamos r, etoces la msma vedría dada por: ((0,08)(0,07)(0,0509)(0,048)(0,0474) ) 0, r 5 Otra forma de abordar el problema es la sguete Segú se ha defdo las tasas de crecmeto se tee que: P P 0 P P P P 3 P P P P r + r + r 3 + r 4 + r 5 A partr de estas relacoes se llega a que P P ( + r )( + r )( + r )( + r )( + r ) Ahora be, s admtmos que durate todo el cojuto de años cosderado la tasa de crecmeto aual ha sdo la msma, etoces resulta que P ( ) 5 5 P0 + r, sedo r esa tasa de crecmeto medo aual costate E estas codcoes, s gualamos los dos resultados teemos que: ( + r) 5 ( r )( + r )( + r )( + r )( + r ) se tee que: r +, por lo que falmete 3 4 ( + r )( + r )( + r )( + r )( + ) r5 dode resulta que la tasa de crecmeto medo buscada se obtee como u fucó de la meda geométrca de las tasas de crecmeto auales Este resultado se puede geeralzar al caso de perodos de tempo, e cuyo caso se tedría: r ( + r )( + r )( + r )( + r )( + r ) 3 4 Falmete hay que dcar que s se procede de esta forma o es ecesaro calcular las tasas de crecmeto aual, pues r també se puede obteer de la forma sguete: 5 5

26 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable r P P ( + r )( + r )( + r )( + r )( + r ) P P0 P P P P 3 P P 4 3 P P 53 La medaa La medaa se puede defr de las sguetes formas: º Es aquel valor de la dstrbucó que ocupa el lugar cetral ua vez los valores ha sdo ordeados de forma crecete, de meor a mayor º Aquel valor de la dstrbucó, ua vez ordeada de meor a mayor, que deja a su zquerda y a su derecha el msmo úmero de observacoes 3º El prmer valor de la varable, ua vez ordeados de meor a mayor, cuya frecueca acumulada es mayor o gual que / Co estas defcoes de la medaa Me lo que vemos a decr es que este promedo o se puede epresar medate u fórmula Para determar el valor de la Me de ua dstrbucó hay que proceder de forma dstta segú se trate de dstrbucoes de frecuecas para varables dscretas o cotuas, pues e el prmer caso los valores de la varable o está agrupados y sus frecuecas puede ser utaras o mayores que la udad, metras que para el segudo caso los valores se preseta sempre agrupados Cuado se trabaja co varables dscretas co frecuecas utaras, la medaa es el valor cetral ua vez ordeados de meor a mayor S el úmero de observacoes fuera par, etoces la medaa sería la semsuma de los dos valores cetrales Ejemplo 7 Las otas de u eame de los dez alumos de ua clase so las sguetes: 3, 7, 6, 4, 8, 9, 5, 7, 4, 8 Obteer la ota medaa 6

27 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable E este caso lo prmero que habría que realzar es ordear de meor a mayor esos valores y como el úmero de ellos es par, etoces la medaa será la meda de los valores cetrales E este caso se tedrá que: Me 6,5 S se trata de ua dstrbucó para varables dscretas co frecuecas mayores que la udad y valores o agrupados, etoces el valor de la varable que correspode a la prmera frecueca acumulada mayor o gual que / será la medaa Ejemplo 8 Las otas de estadístca par los ce alumos de prmero de ua facultad de ecoómcas y empresarales so los que se da a cotuacó: otas ( ) Alumos ( ) Obteer la ota medaa E este caso, dado que los valores de la varable o está agrupados e tervalos, la medaa se correspode co el prmer valor de la varable cuya frecueca acumulada es mayor o gual que / La forma práctca de obteer ese valor cosste e añadr a la 7

28 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable tabla orgal ua columa adcoal que recoja las frecuecas acumuladas E este caso como /50, etoces la ota medaa resulta ser 5 Cuado se trabaja co datos agrupados, etoces los procedmetos aterores o srve E estos casos se busca el tervalo medao El msmo será el prmero cuya frecueca acumulada sea mayor o gual que / El valor de la medaa será uo de los valores compreddos detro de ese tervalo S admtmos que la frecueca de ese tervalo se dstrbuye uformemete detro del msmo, etoces la medaa será aquel valor que sumado al etremo feror del tervalo acumule u frecueca gual a / De acuerdo co este crtero, la medaa se podrá calcular, de forma apromada, medate la epresó (7) Me L + a ( 7) Ejemplo 9 Obteer la medaa para los datos del Ejemplo 8 s estos se dera agrupados de la forma sguete: otas ( ) Alumos () Para determar el valor de la medaa e este caso habría que proceder a su cálculo apromado medate la epresó dada e (7), para lo cual hay que determar el prmer lugar el tervalo medao, que e este ejemplo es el que se correspode co los valores 4-6 de la varable 8

29 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable Me L a 5,08 Como puede observarse este valor o cocde co el obtedo prevamete Ello se debe al error de agrupameto motvado por la falta de formacó que colleva o teer los datos desagregados, lo que os mpde coocer la frecueca de cada uo de los valores de la varable 53 Propedades de la Me ª La medaa hace míma la suma de todas las desvacoes absolutas M Me ª La medaa se ve afecta por cambos de orge y cambos de escala 3ª La medaa o se ve afectada s todas las frecuecas se multplca o dvde por ua msma costate 4ª La medaa o se fluda por los valores etremos de la varable 5ª Para el caso de dstrbucoes campaformes fuertemete asmétrcas, la medaa resulta u promedo mejor que la meda artmétca 6ª Dado que e su cálculo o tervee los valores etremos hace que se pueda obteer fáclmete cluso e preseca de tervalos abertos El prcpal coveete de la medaa es que, para su cálculo, o hace uso de toda la formacó que sumstra la varable 54 La moda La moda es aquel valor de la dstrbucó que más se repte o que preseta mayor frecueca 9

30 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable De esta defcó se deduce fáclmete que este promedo carece de terés e dstrbucoes de frecuecas utaras, pues e esos casos todos los valores tee détca frecueca por lo que el valor modal o este Este promedo se represeta por Mo Al gual que la medaa, tampoco tee formula del cálculo Para su determacó se procede de forma dstta segú se trate de dstrbucoes de frecuecas o agrupadas o agrupadas E el prmer caso se aplca smplemete la defcó Así, e térmos del Ejemplo 8 tedremos que Mo 5, pues ese valor de la varable es el que preseta ua frecueca mayor E este caso la Me y la Mo cocde E el segudo caso se procede de la sguete forma S todos los tervalos tee la msma ampltud, etoces se busca el de mayor frecueca (tervalo modal) y la moda será uo de los valores cotedos e el msmo La forma apromada de determar ese valor, supoedo de uevo equdstrbucó de la frecueca detro del tervalo, será la sguete: Mo L + a ( 8) Ejemplo 0 Obteer la moda para los datos del Ejemplo 9: otas ( ) Alumos ( )

31 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable Para determar el valor de la moda e este caso habría que proceder a su cálculo apromado medate la epresó dada más arrba: Mo L a + + 5,76 Como puede observarse, y al gual que ocurría e el caso de la medaa, este valor o cocde co el obtedo prevamete Ello se debe al error de agrupameto motvado por la falta de formacó que colleva o teer los datos desagregados, lo que os mpde coocer la frecueca de cada uo de los valores de la varable S la ampltud de los tervalos es dstta, etoces, e lugar de buscar el tervalo de mayor frecueca, se busca el tervalo de mayor altura y se procede de gual forma que e la stuacó ateror: Mo L + h a + h + h+ ( 9) Ejemplo Obteer el salaro mesual más frecuete, epresado e euros, para la sguete dstrbucó: Salaros ( ) Asalarados ( ) a h / a Meos de , De 500 a ,75 De 900 a ,4 De 00 a ,666 De 800 a ,0555 De 700 a ,0087 E este caso la moda será: 3

32 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable Mo L h 0, ,75 + 0, a h + h+ 046,34 Este promedo perde terés cuado la dstrbucó tee más de u mámo, es decr, cuado la dstrbucó es bmodal o multmodal, pues, como ya se ha señalado co aterordad, la faldad de los promedos es resumr toda la formacó de la dstrbucó e u solo dato La moda tampoco tee gra terés cuado la dstrbucó o es campaforme E dstrbucoes campaformes smétrcas se cumple que la meda, la medaa y la moda toma el msmo valor ( Mo Me ) Pero s o so smétrcas etoces los valores so dsttos, y la relacó etre los msmos es la que aparece e la Fgura Fgura Relacó etre la meda artmétca, la medaa y la moda e dstrbucoes campaformes asmétrcas Mo Me Meda 3

33 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable Meda Me Mo Las propedades de la moda so muy smlares a las de la medaa, e el setdo de que se ve afectada por cambos de orge y de escala, o camba cuado las frecuecas se multplca o dvde por ua costate y o se ve afectada por los valores etremos de la dstrbucó Como coveete hay que señalar que o hace uso de toda la formacó de la tabla y que e dstrbucoes multmodales perde setdo 6 Las cuatlas Prevamete se ha defdo la medaa como aquel valor de la varable que dvde a la dstrbucó e dos partes guales Sguedo co esta dea podríamos platearos buscar valores de la varable que dvda la dstrbucó e u determado úmero de partes guales Todos tedría la propedad de que etre ellos sempre queda el msmo úmero de observacoes Esta forma de proceder os lleva al cocepto de cuatlas Estas so valores de la dstrbucó que la dvde e partes guales, es decr, e tervalos co gual úmero de observacoes A todas ellas se les cooce geércamete como meddas de poscó o cetrales Las cuatlas de uso más frecuete so las cuartlas, las declas y las cetlas 33

34 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable E cosoaca co la dea de cuatlas que se ha dado prevamete, las defcoes cocretas de cada ua de ellas sería las sguetes: Cuartlas (Q): so los tres valores de la varable que dvde la dstrbucó e cuatro partes guales, es decr, e cuatro tervalos detro de cada cual está cludos la cuarta parte de los valores u observacoes de la varable Declas (D ): so los ueve valores de la varable que dvde la dstrbucó e dez partes guales, es decr, e dez tervalos detro de cada cual está cludos la décma parte de los valores u observacoes de la varable Cetlas (C ): so los oveta y ueve valores de la varable que dvde la dstrbucó e ce partes guales, es decr, e ce tervalos detro de cada cual está cludos la cetésma parte de los valores u observacoes de la varable Para obteer los valores de estas meddas se procederá de forma dstta segú que la dstrbucó esté agregada o o E el caso de dstrbucoes dscretas co valores o agregados se tedrá que: Q es el valor correspodete a la frecueca acumulada mayor o gual que ()/4, para,,3 D es el valor correspodete a la frecueca acumulada mayor o gual que ()/0, para,,3,9 C es el valor correspodete a la frecueca acumulada mayor o gual que ()/00, para,,3,,98,99 S la dstrbucó está agrupada e tervalos etoces la epresó geeral para determar estas meddas, que es smlar a la de la medaa, vee dada por: Q L r + r / a ( 0 ) 34

35 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable e dode: para 4 y r,,3, tedremos las cuartlas para 0 y r,,3,,9, tedremos las declas para 00 y r,,3,,99 tedremos la cetlas Ejemplo Co los datos del Ejemplo obteer: a) el salaro mímo del 5% de los asalarados que más gaa; b) el salaro mámo del 40% de los que meos gaa; c) el porcetaje de asalarados co salaros compreddos etre la cetla 5 y la decla 9 Salaros ( ) Asalarados ( ) Meos de De 500 a De 900 a De 00 a De 800 a De 700 a a) E este caso lo que os pde es que se obtega la cetla 75 o la tercera cuartla, pues ambos valores so guales Para determar ese valor hay que determar r 75 3 prevamete , 5 La prmera frecueca acumulada mayor 00 4 que este valor se correspode co la del tervalo De 00 a 800, por lo que el valor buscado es: r 307, r / L + a C75 Q3 Q 605 b) Ahora el valor peddo se correspode co la cetla 40 o la cuarta decla Al gual que r 40 4 ates, hay que determar prevamete La prmera

36 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable frecueca acumulada mayor que 64 es la correspodete a la del tervalo De 900 a 00, así que el valor peddo es: c) Segú la defcó de cuatlas que se ha dado, el porcetaje peddo es el 65%, que es la dfereca etre el 90% que hay por debajo de la decla 9 y el 5% que deja a su zquerda la cetla 5 r r / L + a C40 D4 Q 0 7 Dspersó El proceso de reduccó estadístca os ha llevado a stetzar todos los datos de ua tabla e u solo úmero, al que hemos llamado promedo y co el que se pretede represetar a la formacó que hay detrás de él Pero para que esa medda de sítess tega esa valdez ha de ser represetatva de todos los datos cotedos e ella La mayor o meor represetatvdad de esas meddas de sítess o promedos depederá, fudametalmete, del grado de cocetracó de todos los valores de la dstrbucó e toro a ese promedo, cuya represetatvdad estamos estudado E el caso etremo de que todos los valores fuera guales, la meda, por ejemplo, cocdría co uo de ellos y ésta represetaría perfectamete a todos Pero esta stuacó etrema uca se da, (s se dera o tedríamos varable) Lo ormal es que ua varable tome más de u valor Es e estos casos dode hay que estudar s los promedos utlzados so represetatvos del cojuto de valores a los que represeta E geeral, el promedo más utlzado es la meda artmétca Por esta razó os vamos a deteer e defr meddas que cuatfque el grado de represetatvdad de la meda Así, dremos que la meda es represetatva de ua dstrbucó s los valores de la msma está muy prómos a ella Por el cotraro, s esos valores estuvera muy dspersos o alejados, dríamos que la meda o es muy represetatva 36

37 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable Cuado se habla de la represetatvdad de u promedo es más frecuete utlzar el térmo dspersó que el de cocetracó, razó por al cual e adelate usaremos esta epresó Para medr la dspersó de u promedo os basaremos e el cocepto de dstaca o desvacoes estetes etre los valores de la dstrbucó y el promedo que estamos utlzado Cuato mayores sea estas dstacas o desvacoes mayor será la dspersó y meor será esta s las dstacas so pequeñas Las meddas de dspersó se puede clasfcar e dos categorías segú que sea meddas absolutas o relatvas Detro de las prmeras las más smples so las que se basa e el recorrdo de la varable (recorrdo y recorrdos tercuartílcos) Las más elaboradas so las que se defe e térmos de dstacas o desvacoes de los valores de la varable respecto de algú promedo cocreto (desvacó estádar, varaca, desvacó meda) A su vez la meddas de dspersó relatvas más utlzadas so el coefcete de apertura o dspardad y el coefcete de varacó 8 Meddas de dspersó absoluta 8 Varaca y desvacó estádar La varaca (S ) es la medda de dspersó más coocda y utlzada de todas cuatas pueda defrse La msma se basa e la dea de promedar las desvacoes respecto de la meda artmétca Pero el promedo que se utlza para obteer esa medda de dspersó o es la meda artmétca de las desvacoes, pues ésta sería sempre ula, por la prmera propedad de la meda artmétca, que os habla de que la suma de las desvacoes respecto de la meda es sempre cero Este coveete se resuelve calculado o la meda artmétca de las desvacoes so la meda cuadrátca, que o es otra cosa que la meda de las desvacoes respecto de la meda al cuadrado A este promedo de las desvacoes se le cooce como varaca 37

38 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable La varaca se defe como: S ( ) Cuato mayor sea la varaca mayor será la dspersó de la varable y meos represetatva será la meda como promedo de todos los valores y vceversa Los valores que puede tomar la varaca, dada la forma e que está defda (meda cuadrátca), será sempre mayores o guales que cero El caso etremo se dará cuado todos los valores de la varable sea guales, pues e tal caso todas las desvacoes será ulas Salvo esta stuacó etrema, y carete de terés para la Estadístca, las desvacoes será sempre mayores que cero y, e cosecueca, la varaca també lo será Falmete hay que señalar que la varaca vee epresada e las udades de medda de la varable al cuadrado, lo que lmta su terpretacó Para salvar este últmo coveete se defe la desvacó estádar (S) o desvacó típca, que o es más que la raíz cuadrada de la varaca tomada co sgo postvo Esta forma de defrla hace que su udad de medda sea la msma que la de la varable 8 Propedades de la varaca ª La varaca sempre será mayor o gual que cero Esta propedad es evdete dada la defcó de la varaca como meda de sumas de desvacoes al cuadrado ª La meda cuadrátca de las desvacoes de ua varable respecto de ua costate cualquera se hace míma cuado esa costate es la meda artmétca, es decr, cuado se trabaja co la varaca (Teorema de Kög) La varaca se ha defdo como ua meda cuadrátca y, e cosecueca, el deomador de la msma es el tamaño de la poblacó S embargo, resulta habtual que e los paquetes estadístcos, tales como el SPSS y otros, calcule la varaca dvdedo por (-) A ese cocete, para dferecarlo del que se obtee cuado el deomador es, se le llama habtualmete como cuasvaraca La eplcacó por la cual se utlza como deomador - e lugar de hay que buscarla e el campo de la Ifereca Estadístca, metras que el cotedo de este lbro está dedcado a la Estadístca Descrptva 38

39 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable 39 La demostracó de esta propedad es medata a partr de la propedad 3ª de la meda artmétca 3ª La varaca o camba s a los valores de la varable se les suma o resta ua costate (cambos de orge) Para demostrar esta propedad arracaremos de la varaca de ua varable X a la que llamaremos S y a partr de ella defmos otra varable Y e la forma Y X + C, dode C es ua costate Co esta otacó vamos a obteer la varaca de Y ( ) X Y S C C y y S + + 4ª S los valores de la varable los multplcamos por ua costate, la varaca queda multplcada por el cuadrado de esa costate (Cambo de escala) Al gual que para la propedad ateror, sea X ua varable co varaca S Defamos ahora Y XC, dode C es ua costate cualquera Etoces: ( ) X Y S C C C C y y S Aterormete hemos defdo la varaca medate la epresó () S embargo, para calcularla se suele recurrr al sguete desarrollo de la msma: S

40 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable el cual faclta 3 cosderablemete su obtecó Esta epresó es válda tato para dstrbucoes o agrupadas como para las agrupadas, co la dfereca que para el prmer caso da u valor eacto de la varaca de la dstrbucó, metras que para el segudo solo da u valor apromado debdo a los errores de agrupameto que se comete e este tpo de dstrbucoes, como ya se ha señalado e otras ocasoes Para este segudo tpo de dstrbucoes es la marca de clase o valor cetral del tervalo y se supoe, como se ha hecho e otras crcustacas, que la frecueca del tervalo se dstrbuye de maera uforme etre todos los valores del msmo, pues el agrupameto de valores e tervalos os mpde saber cual es la frecueca verdadera de cada uo de esos valores, co la cosguete pérdda de formacó Ejemplo 3 Obteer la varaca de la dstrbucó de salaros del Ejemplo Salaros ( ) Asalarados ( ) Marca de clase ( ) Meos de De 500 a De 900 a De 00 a De 800 a De 700 a Total E prmer lugar calcularemos la meda como paso prevo para obteer la varaca , E este caso, como e otros, se está hablado de facltar el cálculo de certas meddas estadístcas, cuado, e realdad, hoy e día la accesbldad y dspobldad de paquetes estadístcos o de hojas de cálculo hace que esas preocupacoes resulte cas ua cuestó del pasado 40

41 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable A cotuacó obtedremos la varaca de esta varable: S ( 85,4) 65005,4 Para dstrbucoes campaformes y o fuertemete asmétrcas se cumple que el tervalo defdo por : X ± S cotee apromadamete el 95% de las observacoes y el defdo como: X ± 3S cotee apromadamete el 99% de las observacoes Estos tervalos puede utlzarse a su vez como medas de dspersó Para el ejemplo ateror, el prmer tervalo cotee el 95,5% metras que el segudo cotee el 97,5% 8 Desvacó meda Cuado se trodujo el cocepto de varaca se señaló que la meda artmétca de la desvacoes o servía como dcador de dspersó porque sempre era cero Ate tal stuacó se utlzó la meda cuadrátca para evtar que las desvacoes, postvas y egatvas, se compesara y su suma fuera ula Otra forma de evtar esa compesacó es sumar el valor absoluto de las desvacoes y dvdrlo por el úmero de sumados A esta meda artmétca se le cooce como desvacó meda La desvacó se puede defr respecto de la meda, la medaa o la moda Segú el promedo que se utlce se tedría: 4

42 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable D ( ) DMe ( 3) Me D Mo Mo ( 4) 83 Otras meddas absolutas de dspersó Además de las medadas de dspersó señaladas co aterordad, també se puede utlzar el recorrdo, defdo como R e, y el recorrdo tercuartílco que se defe como R I Q 3 Q Estas meddas, como cualquer otro tpo de recorrdo, tee meor utldad para medr la dspersó que las vstas co aterordad Además, s lo que se busca so meddas de dspersó que dque la represetatvdad de los promedos, éstas o os srve pues e su defcó o está mplcados Ejemplo 4- La otas de u eame realzado por 00 alumos so las se da e la tabla sguete: Putuacó ( ) Alumos ( )

43 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable Obtega la meddas de dspersó absoluta más habtuales para esta dstrbucó Para la obtecó de estas meddas lo prmero que debe hacerse es amplar el cotedo de la tabla ateror e la forma que se dca a cotuacó: Putuacó () Alumos () Me Mo , , , ,5 4, , ,8 7, ,5 8, , , ,7, ,5, ,3 7, , ,75 9,8 9 0, , ,5 84,3 49, 47,5 50,5 Co toda esta formacó se tee que: 44,5 6, 00 Mo 6 Me 6,5 S 84,3 ( 6,) 00,49 D 49,,46 00 D Me Me 47,5,

44 Itroduccó a la Estadístca Empresaral Capítulo - Aálss de ua varable D Mo Mo 50,5 00,53 9 Meddas relatvas de dspersó Todas las meddas de dspersó defdas aterormete tee u coveete e comú Todas ellas vee epresadas e la msma udad de medda que la varable (o al cuadrado, caso de la varaca) y todas ellas so sesbles a los cambos de escala Esto hace que o sea posble realzar comparacoes etre la dspersó de dos dstrbucoes dsttas Pero, cluso auque las udades fuera las msmas, bastaría co que los promedos sea muy dsttos para que esa comparacó tampoco fuera posble Ua forma de elmar esos problemas es hacedo que las msmas sea admesoales El resultado es u cojuto de meddas de dspersó relatvas Detro de esta categoría se egloba el coefcete de dspardad o apertura y el coefcete de varacó de Pearso El prmero se defe como A / Tee a su favor que es muy fácl de calcular Por el cotraro, preseta el grave coveete de que e su defcó o recoge gú promedo y que, además, está fuertemete fludo por los valores etremos de la dstrbucó, s teer e cueta cual es la dspersó de los demás valores El segudo se defe como el cocete de la desvacó estádar etre la meda artmétca S CV ( 5) 44

5.3 Estadísticas de una distribución frecuencial

5.3 Estadísticas de una distribución frecuencial 5.3 Estadístcas de ua dstrbucó frecuecal 5.3. Meddas de tedeca cetral Meddas de tedeca cetral Las meddas de tedeca cetral so descrptores umércos que proporcoa ua dea de los valores de la varable, alrededor

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Probabldad y Estadístca Meddas de tedeca Cetral MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL E la udad ateror se ha agrupado la ormacó y además se ha dado ua descrpcó de la terpretacó de la ormacó, s embargo e ocasoes

Más detalles

TEMA 3. Medidas de variabilidad y asimetría. - X mín. X máx

TEMA 3. Medidas de variabilidad y asimetría. - X mín. X máx TEMA 3 Meddas de varabldad y asmetría 1. MEDIDAS DE VARIABILIDAD La varabldad o dspersó hace refereca al grado de varacó que hay e u cojuto de putuacoes. Por ejemplo: etre dos dstrbucoes que preseta la

Más detalles

ESTADÍSTICA poblaciones

ESTADÍSTICA poblaciones ESTADÍSTICA Es la parte de las Matemátcas que estuda el comportameto de las poblacoes utlzado datos umércos obtedos medate epermetos o ecuestas. ESTADÍSTICA La Estadístca tee dos ramas: La Estadístca descrptva:

Más detalles

MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temático: Estadística y Probabilidades

MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temático: Estadística y Probabilidades MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temátco: Estadístca y Probabldades Empezaremos este breve estudo de estadístca correspodete al cuarto año de Eseñaza Meda revsado los dferetes tpos de gráfcos.. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

Más detalles

VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES.

VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES. CONTENIDOS. VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES. Itroduccó a la Estadístca descrptva. Termología básca: poblacó, muestra, dvduo, carácter. Varable estadístca: dscretas y cotuas. Orgazacó de datos.

Más detalles

Aproximación a la distribución normal: el Teorema del Límite Central

Aproximación a la distribución normal: el Teorema del Límite Central Aproxmacó a la dstrbucó ormal: el Teorema del Límte Cetral El teorema del límte cetral establece que s se tee varables aleatoras, X, X,..., X, depedetes y co détca dstrbucó de meda µ y varaza σ, a medda

Más detalles

NOTAS SOBRE ESTADÍSTICA APLICADA A LA CALIDAD

NOTAS SOBRE ESTADÍSTICA APLICADA A LA CALIDAD NOTAS SOBRE ESTADÍSTICA APLICADA A LA CALIDAD 1. CONCEPTO DE ESTADÍSTICA : Es la ceca que estuda la terpretacó de datos umércos. a) Proceso estadístco : Es aquél que a partr de uos datos umércos, obteemos

Más detalles

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS ... N

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS ... N el blog de mate de ada: ESTADÍSTICA pág. 6 PARÁMETROS ESTADÍSTICOS MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Las tablas estadístcas y las represetacoes grácas da ua dea del comportameto de ua dstrbucó, pero ese cojuto

Más detalles

I. ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE UN CONJUNTO DE DATOS

I. ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE UN CONJUNTO DE DATOS Estadístca Tema. Seres Estadístcas. Dstrbucoes de frecuecas. Pág. I. ANÁLISIS DESCIPTIVO DE UN CONJUNTO DE DATOS Seres Estadístcas. Dstrbucoes de frecuecas.. Defcó de Estadístca... Coceptos geerales...2

Más detalles

Estadística Contenidos NM 4

Estadística Contenidos NM 4 Cetro Educacoal Sa Carlos de Aragó. Sector: Matemátca. Prof.: Xmea Gallegos H. 1 Estadístca Cotedos NM 4 Udad: Estadístca y Probabldades. Apredzajes Esperados: * Recooce dferetes formas de orgazar formacó:

Más detalles

Estadística Descriptiva

Estadística Descriptiva Estadístca Descrptva Poblacoes y muestras Varables. Tablas de frecuecas Meddas de: tedeca cetral-dspersó ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: Tee por objetvo recoplar, orgazar y aalzar formacó referda a datos de u

Más detalles

Estadística. Tema 2: Medidas de Tendencia Central.. Estadística. UNITEC Tema 2: Medidas de Tendencia Central Prof. L. Lugo

Estadística. Tema 2: Medidas de Tendencia Central.. Estadística. UNITEC Tema 2: Medidas de Tendencia Central Prof. L. Lugo Estadístca Tema : Meddas de Tedeca Cetral. Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 1 Parámetros y Estadístcos Parámetro: Es ua catdad umérca calculada sobre ua poblacó La altura meda de los dvduos

Más detalles

Cálculo y EstadísTICa. Primer Semestre.

Cálculo y EstadísTICa. Primer Semestre. Cálculo y EstadísTICa. Prmer Semestre. EstadísTICa Curso Prmero Graduado e Geomátca y Topografía Escuela Técca Superor de Igeeros e Topografía, Geodesa y Cartografía. Uversdad Poltécca de Madrd Capítulo

Más detalles

4. SEGUNDO MÓDULO. 4.1 Resumen de Datos

4. SEGUNDO MÓDULO. 4.1 Resumen de Datos 4. SEGUNDO MÓDULO 4. Resume de Datos E estadístca descrptva, a partr de u cojuto de datos, se busca ecotrar resumes secllos, que permta vsualzar las característcas esecales de éstos. E ua expereca, u dato

Más detalles

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Educagua.com MEDIDAS DE CETRALIZACIÓ Las meddas de cetralzacó so estadístcos que releja algú valor global de la sere estadístca. Las prcpales meddas de cetralzacó so: Meda artmétca smple. Meda artmétca

Más detalles

4º MEDIO: MEDIDAS DE POSICIÓN

4º MEDIO: MEDIDAS DE POSICIÓN 4º MEDIO: MEDIDAS DE POSICIÓN També llamadas de cetralzacó o de tedeca cetral. Srve para estudar las característcas de los valores cetrales de la dstrbucó atededo a dsttos crteros. Veamos su sgfcado co

Más detalles

Objetivos. Introducción n a las medidas de posición n (tendencia central o tipismo): Moda y Mediana Media aritmética

Objetivos. Introducción n a las medidas de posición n (tendencia central o tipismo): Moda y Mediana Media aritmética Objetvos Itroduccó a las meddas de poscó (tedeca cetral o tpsmo): Moda y Medaa Meda artmétca tca Cuartles,, decles y percetles Meddas de poscó Defcó: : refereca a u lugar específco de ua dstrbucó, epresado

Más detalles

Curso de Estadística Unidad de Medidas Descriptivas. Lección 2: Medidas de Tendencia Central para Datos Agrupados por Valor Simple

Curso de Estadística Unidad de Medidas Descriptivas. Lección 2: Medidas de Tendencia Central para Datos Agrupados por Valor Simple 1 Curso de Estadístca Udad de Meddas Descrptvas Leccó 2: Meddas de Tedeca Cetral para Datos Agrupados por Valor Smple Creado por: Dra. Noemí L. Ruz Lmardo, EdD 2010 Derechos de Autor 2 Objetvos 1. Calcular

Más detalles

TEMA 2: PARÁMETROS ESTADÍSTICOS. CÁLCULO, SIGNIFICADO Y PROPIEDADES.

TEMA 2: PARÁMETROS ESTADÍSTICOS. CÁLCULO, SIGNIFICADO Y PROPIEDADES. TEMA : PARÁMETROS ESTADÍSTICOS. CÁLCULO, SIGNIFICADO Y PROPIEDADES.. INTRODUCCIÓN Hasta ahora hemos vsto cómo se puede resumr los datos obtedos del estudo de ua muestra (o ua poblacó) e ua tabla estadístca

Más detalles

MEDIA ARITMÉTICA. Normalmente se suele distinguir entre media aritmética simple y media aritmética ponderada.

MEDIA ARITMÉTICA. Normalmente se suele distinguir entre media aritmética simple y media aritmética ponderada. MEDIDAS DE POSICIÓN També llamadas de cetralzacó o de tedeca cetral. Srve para estudar las característcas de los valores cetrales de la dstrbucó atededo a dsttos crteros. Veamos su sgfcado co u ejemplo:

Más detalles

Estadística Descriptiva

Estadística Descriptiva Estadístca Descrptva Poblacó: Es u cojuto de elemetos co ua determada característca. Muestra: Es u subcojuto de la poblacó. Muestreo: Es el proceso para elegr ua muestra que sea represetatva de la poblacó.

Más detalles

C URVA DE L ORENZ C OEFICIENTE DE D ESIGUALDAD DE G INI

C URVA DE L ORENZ C OEFICIENTE DE D ESIGUALDAD DE G INI TESIS DESARROLLO REIONAL C URVA DE L ORENZ C OEFICIENTE DE D ESIUALDAD DE INI D OCUMENTO A UXILIAR N DANIEL CAUAS - 5 JUN 203 LA CURVA DE LORENZ La curva de Lorez (Corado Lorez 905), es u recurso gráfco

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 3.

EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 3. INTRODUCCIÓN AL ANÁLII DE DATO EJERCICIO REUELTO TEMA 3. 3.1. La ampltud total de la dstrbucó de frecuecas de la tabla 1. es: A) 11; B) 1; C). Tabla 1. Estatura e cetímetros de ños de 1 meses de edad.

Más detalles

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Inferencia Estadística de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Inferencia Estadística de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Solucoes de los ejerccos de Selectvdad sobre Ifereca Estadístca de Matemátcas Aplcadas a las Cecas Socales II Atoo Fracsco Roldá López de Herro * Covocatora de 006 Las sguetes págas cotee las solucoes

Más detalles

Nociones de Estadística

Nociones de Estadística Químca Aalítca Prof. Aa Galao Jméez Nocoes de Estadístca Las medcoes tee sempre asocadas u error expermetal (herete a la resolucó del equpameto empleado, a errores aleatoros y/o a errores sstemátcos).

Más detalles

CONTENIDO MEDIDAS DE POSICIÓN MEDIDAS DE DISPERSIÓN OTRAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS INTRODUCCIÓN

CONTENIDO MEDIDAS DE POSICIÓN MEDIDAS DE DISPERSIÓN OTRAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN CONTENIDO DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA CONCEPTOS BÁSICOS POBLACIÓN VARIABLE: Cualtatvas o Categórcas y Cuattatvas (Dscretas y Cotuas) MUESTRA TAMAÑO MUESTRAL DATO DISTRIBUCIONES

Más detalles

1. El valor central o típico de los datos 2. La dispersión de los datos 3. La forma de la distribución de los datos

1. El valor central o típico de los datos 2. La dispersión de los datos 3. La forma de la distribución de los datos Aputes de Métodos Estadístcos I Prof. Gudberto J. Leó R. I- 47 Meddas Descrptvas Numércas Frecuetemete ua coleccó de datos se puede reducr a ua o uas cuatas meddas umércas secllas que resume al cojuto

Más detalles

DIAGRAMA DE EQUILIBRIO EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE 1 - ELEMENTOS DEL DIAGRAMA DE EQUILIBRIO EN CONDICIONES DE CERTEZA

DIAGRAMA DE EQUILIBRIO EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE 1 - ELEMENTOS DEL DIAGRAMA DE EQUILIBRIO EN CONDICIONES DE CERTEZA DIAGRAMA DE EQUILIBRIO EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE - INTRODUCCION Es tecó aalzar e este trabajo las coocdas relacoes costo-volume-utldad para el caso e que sus compoetes sea: w : costo varable utaro

Más detalles

Actividad: Elabora un resumen de la información que se muestra a continuación y analiza los procedimientos que se muestran.

Actividad: Elabora un resumen de la información que se muestra a continuación y analiza los procedimientos que se muestran. Actvdad: Elabora u resume de la formacó que se muestra a cotuacó y aalza los procedmetos que se muestra. Fudametos matemátcos de la electróca dgtal Sstemas de umeracó poscoales E u sstema de esta clase,

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Estadístca Estadístca Descrptva. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. Itroduccó.. Coceptos geerales. 3. Frecuecas y tablas. 4. Grácos estadístcos. 4. Dagrama de barras. 4. Hstograma. 4.3 Polgoal de recuecas. 4.4 Dagrama

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1 Pága 09 PRACTICA Meda y desvacó típca 1 El úmero de faltas de ortografía que cometero u grupo de estudates e u dctado fue: 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 a) D cuál es la varable y de

Más detalles

ESTADÍSTICA I UNIDAD I ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

ESTADÍSTICA I UNIDAD I ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ESTADÍSTICA I UNIDAD I ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 3.5 Ojvas Este tpo de represetacó gráfca se costruye a partr de las frecuecas acumuladas (absolutas o relatvas) para varables cotuas o dscretas, co muchos

Más detalles

LOS NÚMEROS COMPLEJOS

LOS NÚMEROS COMPLEJOS LOS NÚMEROS COMPLEJOS por Jorge José Osés Reco Departameto de Matemátcas - Uversdad de los Ades Bogotá Colomba - 00 Cuado se estudó la solucó de la ecuacó de segudo grado ax + bx + c = 0 se aalzó el sgo

Más detalles

Estadística Descriptiva

Estadística Descriptiva Estadístca Descrptva Parcalmete facado a través del PIE-04 (UMA). Promedos y meddas de poscó. Meddas de dspersó. Meddas de asmetría. Valores atípcos..4 Meddas de desgualdad..5 Valores atípcos: Dagrama

Más detalles

APROXIMACIÓN NUMÉRICA AL CÁLCULO DEL ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN MEDIANTE RECTÁNGULOS INSCRITOS

APROXIMACIÓN NUMÉRICA AL CÁLCULO DEL ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN MEDIANTE RECTÁNGULOS INSCRITOS APROXIMACIÓN NUMÉRICA AL CÁLCULO DEL ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN MEDIANTE RECTÁNGULOS INSCRITOS Sugerecas para que mparte el curso Ha llegado el mometo e que es coveete resolver ejerccos aplcado

Más detalles

Curso de Estadística Unidad de Medidas Descriptivas. Lección 3: Medidas de Tendencia Central para Datos Agrupados por Clases

Curso de Estadística Unidad de Medidas Descriptivas. Lección 3: Medidas de Tendencia Central para Datos Agrupados por Clases Curso de Estadístca Udad de Meddas Descrptvas Leccó 3: Meddas de Tedeca Cetral para Datos Agrupados por Clases Creado por: Dra. Noemí L. Ruz Lmardo, EdD 2010 Derechos de Autor Objetvos 1. Der el cocepto

Más detalles

TEMA 4: VALORACIÓN DE RENTAS

TEMA 4: VALORACIÓN DE RENTAS TEMA 4: ALORACIÓN DE RENTAS 1. Cocepto y valor facero de ua reta 2. Clasfcacó de las retas. 3. aloracó de Retas dscretas. Temporales. 4. aloracó de Retas dscretas. Perpetuas. 5. Ejerccos tema 4. 1. Cocepto

Más detalles

Modelos de Regresión análisis de regresión diagrama de dispersión coeficientes de regresión

Modelos de Regresión análisis de regresión diagrama de dispersión coeficientes de regresión Modelos de Regresó E muchos problemas este ua relacó herete etre dos o más varables, resulta ecesaro eplorar la aturaleza de esta relacó. El aálss de regresó es ua técca estadístca para el modelado la

Más detalles

Intensificación en Estadística

Intensificación en Estadística GRADO EN VETERINARIA DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E IO 0-0 IV Curso Cero Itesfcacó e Estadístca Itroduccó a la fucó Sumatoro Itroduccó Cocepto de fucó sumatoro Aplcacoes Itroduccó Cocepto de fucó sumatoro

Más detalles

TEMA 2: LOS NÚMEROS COMPLEJOS

TEMA 2: LOS NÚMEROS COMPLEJOS Matemátcas º Bachllerato. Profesora: María José Sáche Quevedo TEMA : LOS NÚMEROS COMPLEJOS. LOS NÚMEROS COMPLEJOS Relacó etre los úmeros complejos y los putos del plao. Afjo de u úmero complejo. Cojugado

Más detalles

TEMA 4: NÚMEROS COMPLEJOS

TEMA 4: NÚMEROS COMPLEJOS TEMA : COMPLEJOS 1 EN FOMA BINÓMICA 1.1 DEFINICIONES Sabemos que la resolucó de alguas ecuacoes de º grado coduce a ua raíz cuadrada de u º egatvo. Dcha raíz o tee setdo e el cojuto de los úmeros reales.

Más detalles

MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU

MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU APLICACIÓN EN PROBLEMAS DE INGENIERÍA Clauda Maard Facultad de Igeería. Uversdad Nacoal de Lomas de Zamora Uversdad CAECE Bueos Ares. Argeta. maard@uolsects.com.ar

Más detalles

( ) = 0 entonces ˆ i i. xy x Y Y xy Y x ˆ. β = = β =.(1) Propiedades Estadísticas de los estimadores MICO. Linealidad.

( ) = 0 entonces ˆ i i. xy x Y Y xy Y x ˆ. β = = β =.(1) Propiedades Estadísticas de los estimadores MICO. Linealidad. Propedades Estadístcas de los estmadores MICO Lealdad ) y Y Y Y Y = = = β Y Dado que la = 0 etoces β =.) S defmos el poderador k =, co las propedades sguetes: a) No estocástco b) k = 0 c) k = k d) = kx

Más detalles

1. Conceptos fundamentales de la estadística. Estadística descriptiva.

1. Conceptos fundamentales de la estadística. Estadística descriptiva. BLOQUE. VALORACÓ MOBLARA. SSTEMAS DE LA FORMACÓ. GESTÓ PATRMOAL. T E M A 9 Estadístca y valoracó urbaa (): Coceptos fudametales de la Estadístca. La Estadístca descrptva. Represetacoes gráfcas. Meddas

Más detalles

Práctica 11. Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo:

Práctica 11. Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo: PRÁCTICA SUMAS DE RIEMAN Práctcas Matlab Práctca Objetvos Calcular tegrales defdas de forma aproxmada, utlzado sumas de Rema. Profudzar e la compresó del cocepto de tegracó. Comados de Matlab t Calcula

Más detalles

LOS NÚMEROS COMPLEJOS

LOS NÚMEROS COMPLEJOS LOS NÚMEROS COMPLEJOS por Jorge José Osés Reco Departameto de Matemátcas - Uversdad de los Ades Bogotá Colomba - 00 Cuado se estudó la solucó de la ecuacó de segudo grado ax bx c 0 se aaló el sgo del dscrmate

Más detalles

CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA. El objetivo del capítulo 3 es conocer la metodología, por lo cual nos apoyaremos en el

CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA. El objetivo del capítulo 3 es conocer la metodología, por lo cual nos apoyaremos en el CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA El objetvo del capítulo 3 es coocer la metodología, por lo cual os apoyaremos e el lbro de Smulato modelg ad Aalyss (Law, 000), para estudar alguas pruebas de bodad de ajuste. També

Más detalles

CURSO PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS FMS175 PROFESOR RODOLFO TORO DEPARTAMENTO DE FISICA Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD NACIONAL ANDRES BELLO

CURSO PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS FMS175 PROFESOR RODOLFO TORO DEPARTAMENTO DE FISICA Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD NACIONAL ANDRES BELLO CURO PROBABILIDAD Y ETADITICA FM75 PROFEOR RODOLFO TORO DEPARTAMETO DE FIICA Y MATEMATICA UIVERIDAD ACIOAL ADRE BELLO EL MÉTODO CIETÍFICO La Estadístca, costtuye así, ua dscpla cetífca extremadamete ampla

Más detalles

2 Representación gráfica de las series de frecuencias.

2 Representación gráfica de las series de frecuencias. Estadístca Tema. Geeracó de valores de ua varable aleatora. Pág. Represetacó gráfca de las seres de frecuecas.. Represetacó gráfca de caracteres cualtatvos... Dagramas dferecales... Dagramas tegrales..

Más detalles

Apuntes preparados por el profesor Sr. Rosamel Sáez Espinoza con fines de docencia

Apuntes preparados por el profesor Sr. Rosamel Sáez Espinoza con fines de docencia Aputes preparados por el profesor Sr. Rosamel Sáez Espoza co fes de doceca La meda Sea u cojuto de observacoes x 1,..., x, o agrupados. Se defe la meda o promedo, medate: x 1 La meda utlza todas las observacoes,

Más detalles

CÁLCULO Y COMENTARIOS SOBRE ALGUNAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS. de una variable X, la denotaremos por x y la calcularemos mediante la fórmula:

CÁLCULO Y COMENTARIOS SOBRE ALGUNAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS. de una variable X, la denotaremos por x y la calcularemos mediante la fórmula: CÁLCULO Y COMENTARIOS SOBRE ALGUNAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS I Meddas de localzacó Auque ua dstrbucó de frecuecas es certamete muy útl para teer ua dea global del comportameto de los datos, es geeralmete ecesaro

Más detalles

Tema 2: Distribuciones bidimensionales

Tema 2: Distribuciones bidimensionales Tema : Dstrbucoes bdmesoales Varable Bdmesoal (X,Y) Sobre ua poblacó se observa smultáeamete dos varables X e Y. La dstrbucó de frecuecas bdmesoal de (X,Y) es el cojuto de valores {(x, y j ); j } 1,, p;

Más detalles

V II Muestreo por Conglomerados

V II Muestreo por Conglomerados V II Muestreo por Coglomerados Dr. Jesús Mellado 31 Por alguas razoes aturales, los elemetos muestrales se ecuetra formado grupos, como por ejemlo, las persoas que vve e coloas de ua cudad, lo elemetos

Más detalles

Qué es la estadística? presentación, análisis e interpretación de datos numéricos con e fin de realizar una toma de decisión más efectiva.

Qué es la estadística? presentación, análisis e interpretación de datos numéricos con e fin de realizar una toma de decisión más efectiva. Estadístca Alguos Coceptos Itroduccó Qué es la estadístca? La estadístca, e geeral, es la ceca que trata de la recoplacó, orgazacó presetacó, aálss e terpretacó de datos umércos co e f de realzar ua toma

Más detalles

Apuntes de Estadística para profesores

Apuntes de Estadística para profesores Aputes de Estadístca para profesores Curso 006/007 Cocepcó Bueo García Tomás Escudero Escorza Isttuto de Cecas de la Educacó Uversdad de Zaragoza Capítulo. Coceptos geerales.- Itroduccó Las dos grades

Más detalles

VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN - INTRODUCCIÓN E este tema se tratará de formalzar umércamete los resultados de u feómeo aleatoro Por tato, ua varable aleatora es u valor umérco que correspode

Más detalles

PRÁCTICA 13: PRUEBA DE HIPÓTESIS DE BONDAD DE AJUSTE E INDEPENDENCIA

PRÁCTICA 13: PRUEBA DE HIPÓTESIS DE BONDAD DE AJUSTE E INDEPENDENCIA PRÁCTICA 3: PRUEBA DE HIPÓTESIS DE BONDAD DE AJUSTE E INDEPENDENCIA E ocasoes ocurre que el ecargado de hacer u trabajo estadístco o está seguro de la dstrbucó de ua determada varable aleatora. Para solucoar

Más detalles

Estadística Espacial. José Antonio Rivera Colmenero

Estadística Espacial. José Antonio Rivera Colmenero Estadístca Espacal José Atoo Rvera Colmeero 1 Descrptores del patró putual Tedeca cetral 1. Meda cetral (Meda espacal). Meda cetral poderada 3. Medaa cetral (medaa espacal) o se utlza amplamete por su

Más detalles

MÓDULO 1 LEYES DE DISTRIBUCIÓN DE PROCESOS HIDROLÓGICOS

MÓDULO 1 LEYES DE DISTRIBUCIÓN DE PROCESOS HIDROLÓGICOS MÓDULO 1 LEYES DE DISTRIBUCIÓN DE PROCESOS HIDROLÓGICOS Autores: Dr. Ig. Roberto Pzarro T. Ig. Jua Pablo Flores V. Ig. Clauda Sagüesa P. Ig. Ezo Martíez A. 1. INTRODUCCIÓN El presete documeto fue extraído

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL B. MEDIDAS DE VARIABILIDAD C. MEDIDAS DE FORMA RESUMEN: A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL So estadígrafos de poscó que so terpretados como valores

Más detalles

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA Lus Fraco Martí {lfraco@us.es} Elea Olmedo Ferádez {olmedo@us.es} Jua Mauel Valderas Jaramllo {valderas@us.es}

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadístcos Aplcados a las Audtorías Socolaborales Fracsco Álvarez Gozález fracsco.alvarez@uca.es Bajo el térmo Estadístca Descrptva se egloba las téccas que os permtrá

Más detalles

MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA EL CONTROL DE CALIDAD

MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA EL CONTROL DE CALIDAD UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MÉRIDA ESTADO MÉRIDA Admstracó de la Produccó y las Operacoes II Prof. Mguel Olveros MÉTODOS

Más detalles

1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA. LA BINOMIAL

1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA. LA BINOMIAL Estadístca y probabldad 1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA. LA BINOMIAL 1.1 DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS Se usa dagramas de barras, dode la altura de éstas represeta la recueca de cada

Más detalles

CONTRASTES NO PARAMÉTRICOS: BONDAD DEL AJUSTE Y TABLAS DE CONTINGENCIA

CONTRASTES NO PARAMÉTRICOS: BONDAD DEL AJUSTE Y TABLAS DE CONTINGENCIA CONTRASTES NO PARAMÉTRICOS: BONDAD DEL AJUSTE Y TABLAS DE CONTINGENCIA Atoo Morllas A. Morllas: C. o paramétrcos (I 1 CONTRASTES NO PARAMÉTRICOS: BONDAD DE AJUSTE Y TABLAS DE CONTINGENCIA Ifereca realzada

Más detalles

Si los cerdos de otro granjero tienen los siguientes pesos: 165, 182, 185, 168, 170, 173, 180, 177. Entonces el diagrama de puntos está dado por:

Si los cerdos de otro granjero tienen los siguientes pesos: 165, 182, 185, 168, 170, 173, 180, 177. Entonces el diagrama de puntos está dado por: Aputes de Métodos Estadístcos I Prof. Gudberto J. Leó R. I- 65 Uversdad de los Ades Escuela de Estadístca. Mérda -Veezuela Meddas de Dspersó Además de obteer la formacó que reúe las meddas de tedeca cetral

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Capítulo 9 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Ua medda de tedeca cetral, es u resume estadístco que muestra el cetro de ua dstrbucó; es decr, por lo geeral, busca el cetro de esa dstrbucó. Exste dferetes tpos

Más detalles

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE RGRIÓN LINAL IMPL l aálss de regresó es ua técca estadístca para vestgar la relacó fucoal etre dos o más varables, ajustado algú modelo matemátco. La regresó leal smple utlza ua sola varable de regresó

Más detalles

Tema 9 Estadística Matemáticas B 4º E.S.O. 1 TABLAS DE FRECUENCIAS Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS EN VARIABLES DISCRETAS

Tema 9 Estadística Matemáticas B 4º E.S.O. 1 TABLAS DE FRECUENCIAS Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS EN VARIABLES DISCRETAS Tema 9 Estadístca Matemátcas B º E.S.O. TEM 9 ESTDÍSTIC TBLS DE FRECUENCIS Y REPRESENTCIONES GRÁFICS EN VRIBLES DISCRETS EJERCICIO : l pregutar a 0 dvduos sobre el úmero de lbros que ha leído e el últmo

Más detalles

Cuándo empezó la Estadística? 1.1. El concepto de Estadística. Qué es y para qué sirve?

Cuándo empezó la Estadística? 1.1. El concepto de Estadística. Qué es y para qué sirve? 1.1. El cocepto de Estadístca. Qué es y para qué srve? La Estadístca se ocupa de la recoleccó, agrupacó, presetacó, aálss e terpretacó de datos. A meudo se llama estadístcas a las lstas de estos datos,

Más detalles

Medidas de Tendencia Central

Medidas de Tendencia Central Meddas de Tedeca Cetral Ua edda de tedeca cetral es u valor que se calcula a partr de u cojuto de datos y que se utlza para descrbr los datos e algua fora. Geeralete quereos que el valor sea represetatvo

Más detalles

2. CARACTERES Y VARIABLES ESTADÍSTICAS. Carácter estadístico: Propiedad o característica de la población que se desea estudiar.

2. CARACTERES Y VARIABLES ESTADÍSTICAS. Carácter estadístico: Propiedad o característica de la población que se desea estudiar. IES adre oveda (Guad) Matemátcas Aplcadas a las CCSS I UIA VARIABLES ESTAÍSTICAS UIIMESIOALES. ITROUCCIÓ A LA ESTAÍSTICA ESCRITIVA. La estadístca es la parte de las matemátcas que se ocupa de recoger,

Más detalles

El valor en el que se estabilizan las proporciones se le conceptualiza como la probabilidad

El valor en el que se estabilizan las proporciones se le conceptualiza como la probabilidad Regulardad estadístca. E vrtud de la gra varabldad de muchos procesos, se recurre al estudo del comportameto e grades cojutos de elemetos. Se busca captar los aspectos sstemátcos o los aleatoros. Se pretede

Más detalles

3 = =. Pero si queremos calcular P (B) 2, ya que si A ocurrió, entonces en la urna

3 = =. Pero si queremos calcular P (B) 2, ya que si A ocurrió, entonces en la urna arte robabldad codcoal rof. María. tarell - robabldad codcoal.- Defcó Supogamos el expermeto aleatoro de extraer al azar s reemplazo dos bolllas de ua ura que cotee 7 bolllas rojas y blacas. summos que

Más detalles

ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN

ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN Agel Fracsco Arvelo Lujá es u Profesor Uverstaro Veezolao e el área de Probabldad y Estadístca, co más de 0 años de expereca e las más recoocdas uversdades del área metropoltaa

Más detalles

Una Propuesta de Presentación del Tema de Correlación Simple

Una Propuesta de Presentación del Tema de Correlación Simple Ua Propuesta de Presetacó del Tema de Correlacó Smple Itroduccó Ua Coceptualzacó de la Correlacó Estadístca La Correlacó o Implca Relacó Causa-Efecto Vsualzacó Gráfca de la Correlacó U Idcador de Asocacó:

Más detalles

CAPITULO TRES MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

CAPITULO TRES MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CAPITULO TRES MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 3. CARACTERISTICAS NUMERICAS DE UNA VARIABLE S tratamos de represetar uestras edades medate u polígoo de frecuecas, y os ubcamos e el tempo: hace 0 años, hoy

Más detalles

6. ESTIMACIÓN PUNTUAL

6. ESTIMACIÓN PUNTUAL Defcoes 6 ESTIMACIÓN PUNTUAL E la práctca, los parámetros de ua dstrbucó de probabldad se estma a partr de la muestra La fereca estadístca cosste e estmar los parámetros de ua dstrbucó; y e evaluar ua

Más detalles

Guía práctica para la realización de medidas y el cálculo de errores

Guía práctica para la realización de medidas y el cálculo de errores Laboratoro de Físca Prmer curso de Químca Guía práctca para la realzacó de meddas y el cálculo de errores Medda y Error Aquellas propedades de la matera que so susceptbles de ser meddas se llama magtudes;

Más detalles

ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN

ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN Agel Fracsco Arvelo Lujá es u Profesor Uverstaro Veezolao e el área de Probabldad y Estadístca, co más de 40 años de expereca e las más recoocdas uversdades del área metropoltaa

Más detalles

TEMA 12 INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA 12.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL. REPASO DE TÉCNICAS BÁSICAS

TEMA 12 INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA 12.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL. REPASO DE TÉCNICAS BÁSICAS Tema 1 Ifereca estadístca. Estmacó de la meda Matemátcas CCSSII º Bachllerato 1 TEMA 1 INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA 1.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL. REPASO DE TÉCNICAS BÁSICAS UTILIZACIÓN DE

Más detalles

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS www.matesroda.et José Atoo Jméez eto PARÁMETROS ESTADÍSTICOS. PARÁMETROS DE CETRALIZACIÓ La formacó recogda e ua tabla o gráfca estadístca suele resumrse e uos pocos valores que os forma del comportameto

Más detalles

CAPÍTULO III TÉCNICAS DE SIMULACIÓN ESTADÍSTICA. Los datos sintéticos son elementos de suma importancia en los sistemas de diseño en

CAPÍTULO III TÉCNICAS DE SIMULACIÓN ESTADÍSTICA. Los datos sintéticos son elementos de suma importancia en los sistemas de diseño en CAPÍTULO III TÉCNICAS DE SIMULACIÓN ESTADÍSTICA 3. Itroduccó Los datos stétcos so elemetos de suma mportaca e los sstemas de dseño e presas de almaceameto, ya que se evalúa el propósto del sstema co sumo

Más detalles

Objetivos. El alumno conocerá y aplicará el concepto de arreglos unidimensionales para resolver problemas que requieren algoritmos de tipo numérico.

Objetivos. El alumno conocerá y aplicará el concepto de arreglos unidimensionales para resolver problemas que requieren algoritmos de tipo numérico. Objetvos El alumo coocerá y aplcará el cocepto de arreglos udmesoales para resolver problemas que requere algortmos de tpo umérco. Al fal de esta práctca el alumo podrá:. Maejar arreglos udmesoales.. Realzar

Más detalles

FACTOR DE COBERTURA EN MEDIDA DE RADIOACTIVIDAD

FACTOR DE COBERTURA EN MEDIDA DE RADIOACTIVIDAD FACTOR DE COBERTURA EN MEDIDA DE RADIOACTIVIDAD Blázquez J. Dvsó de Fsó Nuclear CIEMAT, Madrd INTRODUCCIÓN Co frecueca, las meddas de recueto radoactvo está sujetas a Garatía de Caldad (). Etre otras cosas,

Más detalles

Regla de Bayes. Pedro J. Rodríguez Esquerdo

Regla de Bayes. Pedro J. Rodríguez Esquerdo Regla de Bayes Pedro J. Rodríguez Esquerdo Isttuto de Estadístca y Sstemas Computadorzados de Iformacó Facultad de Admstracó de Empresas y Departameto de Matemátcas Facultad de Cecas Naturales Recto de

Más detalles

CURSO BÁSICO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

CURSO BÁSICO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA CURSO BÁSICO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA - 1 - ÍNDICE CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA Tema 1: Itroduccó a la estadístca - 1.1. Itroducc ó a la estadístca descrptva - 1.2. Nocoes báscas o 1.2.1.

Más detalles

División de Estadísticas y Proyecciones Económicas (DEPE) Centro de Proyecciones Económicas (CPE)

División de Estadísticas y Proyecciones Económicas (DEPE) Centro de Proyecciones Económicas (CPE) Comsó Ecoómca para Amérca Lata y el Carbe (CEPAL Dvsó de Estadístcas y Proyeccoes Ecoómcas (DEPE Cetro de Proyeccoes Ecoómcas (CPE Estmacó Putual de Parámetros Chrsta A. Hurtado Navarro Mayo, 006 Estmacó

Más detalles

Estadística I. Carmen Trueba Salas Lorena Remuzgo Pérez Vanesa Jordá Gil José María Sarabia Alegría. Capítulo 2. Medidas de posición y dispersión

Estadística I. Carmen Trueba Salas Lorena Remuzgo Pérez Vanesa Jordá Gil José María Sarabia Alegría. Capítulo 2. Medidas de posición y dispersión Estadístca I Capítulo. Meddas de poscó y dspersó Carme Trueba Salas Lorea Remuzgo Pérez Vaesa Jordá Gl José María Saraba Alegría DPTO. DE ECOOMÍA Este tema se publca bajo Lceca: Creatve Commos BY-C-SA

Más detalles

n 2 fi donde: n es el número de individuos

n 2 fi donde: n es el número de individuos ESTADÍSTICA. INTRODUCCIÓN La ecesdad de poseer datos cfrados sobre la poblacó y sus codcoes materales de exsteca ha debdo hacerse setr desde que se establecero socedades humaas orgazadas. Desde los comezos

Más detalles

ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES CONTINUOS EN EL ESPACIO DE ESTADO

ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES CONTINUOS EN EL ESPACIO DE ESTADO U N E X P O UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA ANTONIO JOSE DE SUCRE VICE RECTORADO BARQUISIMETO DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRONICA ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES CONTINUOS EN EL ESPACIO

Más detalles

CURSO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS CON LA HOJA DE CÁLCULO EXCEL

CURSO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS CON LA HOJA DE CÁLCULO EXCEL CURSO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS CON LA HOJA DE CÁLCULO ECEL D. Fracsco Parra Rodríguez. Jefe de Servco de Estadístcas Ecoómcas y Socodemográfcas. Isttuto Cátabro de Estadístca. Dª.

Más detalles

Fórmulas de de Derivación Numérica: Aproximación de de la la derivada primera de de una función

Fórmulas de de Derivación Numérica: Aproximación de de la la derivada primera de de una función Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de Dervacó Numérca: Aproxmacó de de la la dervada prmera de de ua fucó Prof. Alfredo López L Beto Prof. Carlos Code LázaroL Prof. Arturo dalgo LópezL

Más detalles

4 METODOLOGIA ADAPTADA AL PROBLEMA

4 METODOLOGIA ADAPTADA AL PROBLEMA 4 MEODOLOGA ADAPADA AL PROBLEMA 4.1 troduccó Báscamete el problema que se quere resolver es ecotrar la actuacó óptma sobre las tesoes de los geeradores, la relacó de tomas de los trasformadores y el valor

Más detalles

NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICA UTILIZADAS EN EDUCACIÓN

NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICA UTILIZADAS EN EDUCACIÓN UNIVERSIDAD DE CHILE VICERRECTORÍA DE ASUNTOS ACADÉMICOS DEPARTAMENTO DE EVALUACIÓN, MEDICIÓN Y REGISTRO EDUCACIONAL NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICA UTILIZADAS EN EDUCACIÓN SANTIAGO, septembre de 2008

Más detalles

Análisis amortizado. Técnicas Avanzadas de Programación - Javier Campos 205

Análisis amortizado. Técnicas Avanzadas de Programación - Javier Campos 205 Aálss amortzado Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 205 Aálss amortzado El pla: Coceptos báscos: Método agregado Método cotable Método potecal Prmer ejemplo: aálss de tablas hash dámcas Motículos

Más detalles

I n t r o d u c i ó n A l a E s t a d í s t i c a 1

I n t r o d u c i ó n A l a E s t a d í s t i c a 1 Estadístca I t r o d u c ó A l a E s t a d í s t c a INTRODUCCIÓN: La Estadístca descrptva es ua parte de la Estadístca cuyo objetvo es examar a todos los dvduos de u cojuto para luego descrbr e terpretar

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PARA ECONOMISTAS

INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PARA ECONOMISTAS Uverstat de les Illes Balears Col.leccó Materals Ddàctcs INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PARA ECONOMISTAS Joaquí Alegre Martí Magdalea Cladera Muar Palma, 00 ÍNDICE INTRODUCCIÓN: Qué es...? Qué

Más detalles

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA APLICADA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA APLICADA UNIVERSIDAD ORT Uruguay Facultad de Igeería Berard Wad - Polak PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA APLICADA NOTAS DE CLASE DEL CURSO DE LA Lcecatura e Sstemas FASCÍCULO Prof. Orual Ada Cátedra de Matemátcas Año

Más detalles