APTITUDES NUMÉRICAS. Daniel López

Transcripción

1 APTITUDES NUMÉRICAS Daniel López

2 INTRODUCCIÓN QUÉ ES LA APTITUD NUMÉRICA? La habilidad para manejar conceptos y operaciones numéricas, ya sea en cálculo directo o en la resolución de problemas

3 TIPOS DE APTITUD NUMÉRICA OPERACIONES MATEMÁTICAS (realizar cálculos matemáticos de distinta complejidad) Operaciones de cálculo: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones (tanto con números enteros como con decimales), fracciones y potencias, ecuaciones de primer grado, sistemas de ecuaciones, porcentajes, raíces y proporciones Ej = x = 5; x= = 13 ⅘ + ⅕ = 1 Operaciones encadenadas: basadas en las cuatro operaciones elementales, se presentan enlazadas con un posible resultado Ej. (10-(3 2-8:2)) * ((2*3+4)-11)= (10-5)*(10-11) = -5 Matrices numéricas: con distintos formatos; el usual suele ser presentando grupos de nueve números, dispuestos en tres filas y tres columnas, que se han de sumar horiz. y vert. Ej X= x 4 Y= -1 y Z= 10 2 Z 5 Agilidad numérica: ejercicios para comprobar la capacidad de cálculo y la rapidez al operar Ej. 6+7 =13 Cuál es un número primo: 54, 71, 39 = 71! MCM (72, 50) = 2 3 *3 2 *5 2 = 1800

4 TIPOS DE APTITUD NUMÉRICA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (resolver enunciados a través de operaciones matemáticas): Con distintas formulaciones, valoran la capacidad para entender la cuestión que se plantea y la fluidez para operar con números Ej.Una familia gasta 300 euros a la semana Cuántos euros gastará en tres semanas? = 900

5 CÓMO MEJORAR LA APTITUD NUMÉRICA Prescindir de elementos automáticos de cálculo (calculadoras, etc.) Repasar las tablas de multiplicar y dividir y los conocimientos matemáticos que aprendimos de niños (operar con decimales, fracciones, etc.) Practicar el cálculo mental, comenzando por operaciones sencillas (sumas y restas de números redondos, para ir progresivamente aumentando la dificultad) Aprovechar las situaciones que nos pueden permitir realizar operaciones matemáticas mentalmente (calcular el cambio al pagar, sumar matrículas o números de teléfono, etc.)

6 CONSEJOS PARA REALIZAR LOS TEST DE APTITUD NUMÉRICA ES FUNDAMENTAL LEER BIEN Y COMPRENDER LOS ENUNCIADOS REALIZAR LAS OPERACIONES EN EL ORDEN CORRECTO HASTA LLEGAR A LA SOLUCIÓN Y LUEGO COMPARAR NUESTRO RESULTADO CON LAS OPCIONES QUE NOS PLANTEAN COMO RESPUESTAS (Y NO AL REVÉS) COMENZAR POR LAS PREGUNTAS MÁS SENCILLAS Y A LAS QUE APENAS DEBEMOS DEDICARLES TIEMPO, PARA SEGUIR MÁS TARDE CON LAS QUE REQUIEREN OPERACIONES MÁS COMPLEJAS LA VELOCIDAD ES ESENCIAL, PERO NO PODEMOS SACRIFICAR LA EXACTITUD POR LA NECESIDAD DE IR RÁPIDO

7 NÚMEROS ROMANOS 1 = I 70 = LXX 2 = II 80 = LXXX 3 = III 90 = XC 4 = IV 99 = XCIX 5 = V 100 = C 6 = VI 500 = D 7 = VII 999 = CMXCIX 8 = VIII 1000 = M 9 = IX 1999 = MCMXCIX 10 = X 20 = XX 30 = XXX 40 = XL 45 = XLV 50 = L 60 = LX

8 0 NO EXISTE 17 XVII 33 XXXIII 68 LXVIII 321 CCCXXI 400 CD 1009 MIX 2014 MMXIV 5000 V

9 PARA EMPEZAR DOCENAS Y DECENAS Docena: 12 unidades Decena: 10 unidades NÚMEROS PRIMOS es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. NÚMEROS OPUESTOS Números de igual valor y distinto signo: 8 y (-8) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97 COMPARATIVOS < el número a la izquierda de este signo es menor que el de la derecha > el número a la izquierda de este signo es menor que el de la derecha ATENCIÓN CON LOS NÚMERO NEGATIVOS: el -5 es menor que el -3

10 NÚMEROS PRIMOS Se dice que un número es primo cuando sus únicos divisores son él mismo y la unidad. Por ejemplo 5, 7 y 23 son primos. El número 18, en cambio, es compuesto, ya que tiene más divisores (1, 2, 3, 6, 9 y 18). Para saber si un número es primo, lo vamos dividiendo por 2, 3, 5... hasta que encontremos una división exacta, en cuyo caso el número sería compuesto, o bien hasta que el cociente de la división sea menor que el divisor. Si hemos llegado a este punto sin encontrar ninguna división exacta, el número dado es primo. Ejemplos: El numero 49: Dividimos por 2 y no es exacta. Dividimos por 3 y tampoco. Por 5 tampoco. Por 7 sí es exacta, luego el número 49 no es primo, es divisible por 7. El numero 53: Dividimos por 2 y no es exacta, Por 3 tampoco, ni por 5 ni por 7. Dividimos entre 11 y tampoco es exacta, pero hemos llegado a que el cociente, 4, es menor que el divisor, 11, por lo que el número 53 es primo.

11 NÚMEROS PRIMOS TRUCOS SOBRE NÚMEROS PRIMOS. - Todo número par NO es primo, excepto el 2. - Para probar habría que dividir entre 2 y (n-1) si nos da con decimales sería primo. - Para acortar ese truco, basta con hacerlo entre 2 y la raíz de n (ya que los factores se repiten) Ejemplo. Factores de = 1 100, 2 50, 4 25, 5 20, 10 10, 20 5, 25 4, 50 2, Ejemplo. N=37 habría que probar del 2-36, pero la raiz de 37 = no es divisible entre 3, 4, 5, 6 y 7, por lo que podemos determinar con certeza que es primo. - Para acortarlo mas, con dividirlo entre los números primos, bastaría. Ejemplo. N=103 La raíz cuadrada de 103 redondeada es 11. Los números primos entre 2 y 11 son 3, 5, 7 y 11. No es divisible entre ninguno así que es primo.

12 NÚMEROS PRIMOS DIVISIVILIDADES Toda cifra que termine con un número par, un cinco o cero, es un número compuesto. Todo número cuyos dígitos sumen un número divisible entre tres también es divisible entre tres = = 18 = 9 Si la diferencia entre los números alternativos de una cifra es divisible entre 11, entones el número también lo es = ( ) (2+4) = 17-6 = 11

13 SUMAS Y RESTAS sustraendo SUMAS Y RESTAS CON NÚMEROS DECIMALES minuendo 23,8 Colocar los números en columna, haciendo coincidir las 6,14 unidades con las unidades, las decenas con las decenas, etc. 39,85 + 0,385 - Realizar la suma o resta 15,96 145,007 Colocar la coma en el resultado, separando la parte entera de la parte decimal 23,89 175,332 SUMAS Y RESTAS CON FRACCIONES Multiplicar los denominadores de todas las fracciones y dejar el número obtenido como denominador común Multiplicar cada uno de los numeradores por los otros denominadores (que no son el propio) Sumar o restar los numeradores y reducirla si es necesario x2x5 4x3x5 6x3x x2x5 2x3x5 5x2x = = 23 15

14 SUMAS Y RESTAS ESTRATEGIAS DE CALCULO MENTAL Suma de dos números, uno de ellos termina en 8 o 9 Vamos a sumar Como 9 es próximo a 10, podemos sustituir el 9 por (10 1). De esta manera, nos queda Ahora sumamos = 36, y nos queda 1 por restar: 36 1 = 35. Por lo tanto, nos queda que = 35. Suma de dos números, uno de ellos termina en 1 o 2: Vamos a sumar Como 11 es próximo a 10, podemos sustituir el 11 por De esta manera queda Ahora sumamos = 34. Por último sumamos el 1 que quedaba: = 35. Por lo tanto, = 35.

15 MATRICES MATRICES Un conjunto de elementos (casi siempre números) debidamente colocados en filas y columnas. Sirven para otras cosas también, especialmente, para resolver ecuaciones de primer grado con muchas incógnitas. Hay muchas clases de matrices: nulas, cuadradas, rectangulares, simétricas, etc

16 MATRICES OPERACIONES CON MATRICES Para sumar y restar matrices tienen que tener el mismo número de filas y columnas.

17 MATRICES EJEMPLOS.

18 MATRICES Para multiplicar una matriz por un escalar, multiplicamos cada elemento por el escalar. Multiplicar dos matrices es preciso que la 1ª tenga tantas columnas como filas la 2ª matriz. El resultado será una matriz que tiene el mismo número de filas como tiene la 1ª y tantas columnas como tiene la 2ª

19 MATRICES Multiplicar dos matrices de varias columnas y filas en el multiplicando y en el multiplicador. n todo producto, el número de columnas del multiplicando debe ser igual al número de filas del multiplicador y el resultado debe tener tantas filas como el multiplicando y columnas como el multiplicador.

20 MATRICES Ejemplos.

21 MATRICES CÁLCULO DE MATRICES El procedimiento se basa en la SUMA. Hay que sumar las filas y columnas y comprobar si los resultados son correctos

22 MATRICES PROBLEMAS CON MATRICES Por qué matriz tengo que sumar a la matriz para obtener la matriz

23 MATRICES PROBLEMAS CON MATRICES Por qué matriz tengo que multiplicar a la matriz para obtener la matriz PASO 1 PASO 2 PASO 3 PASO 4 a = 0,5 b = 0 c = 1,5 d = 2

24 MATRICES PROBLEMAS CON MATRICES Resuelve la matriz dada a 19 b c A= = 10 = = A B= =0 = = B C= = 36= = C

25 MULTIPLICACIONES TABLAS DE MULTIPLICAR MULTIPLICAR SIGNOS

26 MULTIPLICACIONES I MULTIPLICACIONES CON NÚMEROS DECIMALES Colocar los números en columna, situando abajo el número más sencillo, y realizar la multiplicación. Los ceros al final de los decimales se añadirán a la derecha del resultado final Cuando tengamos el resultado de la multiplicación, contar cuántas cifras decimales tenemos en total y colocar la coma + 15,13 X 10, ,3260 MULTIPLICACIONES CON FRACCIONES Multiplicar los numeradores y los denominadores en línea (atención a los signos) Reducir la fracción resultantes si es necesario x x = -168 =

27 MULTIPLICACIONES II MÚLTIPLOS Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando ese número por varios números (ejemplo: múltiplos de 6 son el 6, 12, 18, 24, 30, 36, 60, 66, 138, 144, ) Algunas de las propiedades de los múltiplos son: * Todo número es múltiplo de sí mismo * Todo número es múltiplo del 1 * El cero es múltiplo de cualquier número * Todos los números pares son múltiplos de 2 * Los números cuyas cifras entre sí sumen 3, son múltiplos de 3 * Los números que se pueden dividir por 2 y también por 3 (tienen que poder dividirse por ambos números) son múltiples de 6 * Un número es múltiplo de 5 si termina en el número cero ó 5 * Los números que terminan en cero son múltiplos de 10 * Hay tantos múltiplos de un número como números naturales * Para conocer si un número es múltiplo de otro, tendremos que ejecutar una división entre los dos y que el resto sea 0 (o que el cociente sea un número entero)

28 TRUCOS DE MULTIPLICAR Cada respuesta tiene un gemelo, que puede ser más fácil de recordar. Por ejemplo si te olvidas de 8 5, puedes acordarte de 5 8. Así sólo tienes que aprenderte la mitad de las tablas. Recordar los cuadrados puede ayudar (cuando multiplicas un número por sí mismo) 1 1=1 2 2=4 3 3=9 4 4=16 5 5=25 6 6=36 7 7=49 8 8=64 9 9= = = =144 Y esto vale para otro truco. Si los números que multiplicas se diferencian en 2 (por ejemplo 7 y 5), sólo tienes que multiplicar el número del medio por sí mismo y restar uno. 5 5 = 25 es sólo uno más que 6 4 = = 36 es sólo uno más que 7 5 = = 49 es sólo uno más que 8 6 = = 64 es sólo uno más que 9 7 = 63

29 TRUCOS DE MULTIPLICAR Para multiplicar por: 2 suma el número a sí mismo (ejemplo 2 9 = 9+9) 5 Las últimas cifras son siempre 5,0,5,0,.., es siempre la mitad de 10 (ejemplo: 5x6 = mitad de 10x6 = mitad de 60 = 30) es la mitad del número multiplicado por 10 (ejemplo: 5x6 = 10x3 = 30) 6 si multiplicas 6 por un número par, acaba en la misma cifra. Ejemplo: 6 2=12, 6 4=24, 6 6=36, etc. 9 es 10 el número menos el número. Ejemplo: 9 6 = = 60-6 = 54 La última cifra va así: 9,8,7,6,.. si sumas las cifras de la respuesta, sale 9. Ejemplo: 9 5=45 y 4+5=9. (Pero no con 9 11=99) 10 pon un cero después del número 11 hasta 9x11: sólo repite la cifra (ejemplo: 4x11 = 44) de 10x11 a 18x11: escribe la suma de las cifras en medio del número ejemplo: 15x11 = 1(1+5)5 = 165 Nota: esto funciona para todos los números de dos cifras, pero si la suma es más de 9, tendrás que llevarte el uno ejemplo: 75x11 = 7(7+5)5 = 7(12)5 = es 10 más 2

30 TRUCOS DE MULTIPLICAR Multiplicación de Números grandes. 123 x 321 =

31 DIVISIONES DIVIDIR es repartir en partes iguales. La división en la operación contraria a la multiplicación. DIVIDENDO. Es el número que vamos a dividir. DIVISOR es el número entre el que vamos a dividir. El COCIENTE es el resultado de la operación. El RESTO es la cantidad que sobra al dividir un número entre otro

32 DIVISIONES PASOS: 1. Buscar en la tabla de multiplicar del divisor un número que sea el dividendo o se aproxime sin pasarse. 2. Ese número será el cociente. 3. El resto es lo que falta para llegar al dividendo.

33 TRUCO AL DIVIDIR Dividir es restar de forma abreviada. Por ejemplo, si tienes que hacer 130 dividido 23, procedes así: = = = = = 15 Cuantas veces restamos 23? 5. Entonces el cociente (resultado) el 5. Cuanto quedo? 15. entonces el resto es 15 Obviamente esta forma de dividir no sirve cuando buscamos dividir con decimales, pero se puede solucionar escribiendo: 130 dividido 23 = /23

34 TRUCO AL DIVIDIR II Para dividir entre 5. Multiplicamos numerador y denominador por 2. Así es mucho mas fácil hacer la división, ya que una división entre 10 es muchísimo mas sencilla. ejemplo. 345/5 = 345/5 * 2/2 = (345 * 2) / (5 * 2) = 690 / 10 = / 5 = ( * 2) / (5 *2) = /10 = ,2 477 / 5 = / 5 =

35 TRUCO AL DIVIDIR III Para dividir entre 9. La manera mecánica de resolverlo es mediante sumas / calculamos el resto 8+1 =9 9/9 = 1 resultado: resto = 0

36 TRUCO AL DIVIDIR III / calculamos el resto 9+3 =12 > 9 12/9 = 1 resto= 3 resultado: 3570 resto = 3

37 TRUCO AL DIVIDIR III / calculamos el resto (+1) (+1)(+1) 18+9 =27 > 9 27/9 = 3 resto= 0 resultado: 5351 resto = 0

38 DIVISIONES I 28,350 4,50 DIVISIONES CON NÚMEROS DECIMALES Si el denominador tiene decimales, debemos eliminarlos multiplicando por 10, 100, 1000 (lo que corresponda). Multiplicaremos el numerador por el mismo número y realizaremos la división Cuando debamos bajar un cero, añadiremos la coma decimal dividendo ATENCIÓN: Dividir un número por 0,5 equivale a multiplicarlo por 2 resto DIVISIONES CON FRACCIONES Si la división está en forma de fracción de fracciones, colocar las fracciones no verticalmente sino horizontalmente Multiplicar los numeradores y los denominadores en cruz y colocar el resultado también en cruz Reducir la fracción resultantes si es necesario 7 X -4 3 : 6 28, , ,3 cociente divisor = = 7-2

39 OPERACIONES ENCADENADAS ORDEN DE LAS OPERACIONES Primero hay que calcular las operaciones que están dentro de paréntesis, corchetes o llaves. Calcular las potencias y raíces. Efectuar los productos (multiplicaciones) y cocientes (divisiones). Finalmente, realizar las sumas y las restas x (3 + 3) - 6 = x 6-6 = = x 0 +1 =

40 FRACCIONES numerador 9 denominador 5 Una fracción es una parte de un total. Ejemplo: Corta una pizza en trozos, y tendrás fracciones: El número de arriba te dice cuántas porciones tienes y el de abajo te dice en cuántos trozos se ha cortado la pizza. Al número de arriba lo llamamos Numerador, es el número de partes que tienes. Al de abajo lo llamamos Denominador, es el número de partes en que se ha dividido el total. Sólo tienes que recordar esos nombres! (Si los confundes, recuerda que denominador es con "D" de dividir)

41 FRACCIONES EQUIVALENTES lgunas fracciones parecen diferentes pero en realidad son la misma, a esto se le llama fracciones equivalentes (Las fracciones equivalentes se obtienen multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número), por ejemplo: ormalmente lo mejor es dar la respuesta usando la fracción más simple (1/2 en este caso). so se llama Simplificar o Reducir la fracción.

42 FRACCIONES I ALGUNAS INDICACIONES Una fracción es el cociente de dos números, es decir, una división que no se ha efectuado Una fracción es una forma de expresar una cantidad, en la que el objeto del que hablamos está dividido en partes iguales y hemos cogido x partes Cuanto más grande es el numerador con respecto al denominador, mayor es el valor de la fracción Cuanto más grande es el denominador con respecto al numerador, menor es el valor de la fracción Si el numerador es menor que el denominador, la fracción tendrá un valor inferior a 1 Si el numerador y el denominador son iguales, la fracción tendrá un valor = 1 Si el numerador es mayor que el denominador, la fracción tendrá un valor superior a 1

43 FRACCIONES II Puedes sumar fracciones fácilmente si el número de abajo (el denominador) es el mismo: Si los denominadores no son iguales, deberías hacer que los denominadores fueran iguales de alguna manera. (MCM ó Denominador común). Para sumar o restar fracciones hay que hallar un denominador común y sumar o restar los numeradores que previamente han sido multiplicados por los denominadores que no son el propio. 7x2x5 4x3x5 6x3x x2x5 2x3x5 5x2x3

44 FRACCIONES II ntes de poder sumar o restar fracciones, las fracciones deben tener un denominador común (es decir, los denominadores deben ser iguales). i los denominadores no son iguales, puedes usar el método del MCD para hacerlos iguales, o puedes: Multiplicar cada fracción por el denominador de la otra jemplo: "a" es 2, "b" es 3, "c" es 4 y "d" es 5. cuánto vale 2/3 + 4/5?

45 FRACCIONES II Para multiplicar fracciones lo hacemos en línea Hay 3 simples pasos para multiplicar fracciones 1. Multiplica los números de arriba (los numeradores). 2. Multiplica los números de abajo (los denominadores). 3. Simplifica la fracción x x = -168 = Para dividir fracciones lo hacemos en cruz Hay 3 simples pasos para dividir fracciones: 1. Dale la vuelta a la segunda fracción (por la que quieres dividir) (ahora es la reciproca). 2. Multiplica la primera fracción por la recíproca de la segunda. 3. Simplifica la fracción (si hace falta). 7 X -4 3 : 6 = 42 =

46 REGLAS BÁSICAS B DE QUEBRADOS l multiplicar o dividir el numerador y denominador por el mismo número (distinto de cero) no cambiar el valor del quebrado. Los quebrados complicados se pueden reducir a fracciones más simples. Ejemplo: 700 = ,04 = 4 0,07 7 Hemos dividido numerador y denominador por 100. El quebrado sigue siendo el mismo. Hemos multiplicado numerador y denominador por 100. El quebrado sigue siendo el mismo.

47 REGLAS BÁSICAS B DE QUEBRADOS l sumar o restar un número mas unas fracción, se puede resolver en un sencillo paso común. Ejemplo: = = Se deja el mismo denominador. Se multiplica el denominador por el número. Se le suma o resta el numerador de la fracción.

48 POTENCIAS I POTENCIAS Una potencia es un producto de factores iguales. El resultado de una potencia se obtiene mediante sucesivas multiplicaciones de un número. El número que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente. base 4 3 = 4 x 4 x = -4 x -4 x -4 exponente = = -64 Una potencia con base positiva siempre es positiva. Una potencia con base negativa es positiva si el exponente es par y negativa si el exponente es impar Regla de los signos. RECORDAD!!!

49 POTENCIAS I Elementos: La base nos indica el número tenemos que multiplicar por sí mismo y el exponente nos indica el número de veces que tenemos que multiplicarlo. Ejemplo: 3 4 ( Base = 3 ; Exponente = 4 ) Para calcular entonces una potencia tendremos que operar y la potencia tendrá el siguiente valor : anterior 3 4 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81.

50 POTENCIAS II OPERACIONES CON POTENCIAS Para multiplicar potencias que tienen la misma base, el resultado es la base elevada a la suma de exponentes 4 3 x 4 2 = = x3 6 = 3 ( 4+6 ) = 3 10 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = x4 2 = 4 ( ) = 4 7 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4x 4 x 4 = x10 2 = 10 (2 + 3 ) = 10 5 = 10 x10 x 10 x10 x 10 = Para dividir potencias que tienen la misma base, hay que mirar dónde se encuentra el exponente más grande: Si está en el numerador, el resultado será la base elevada a la resta de los exponentes. Si el exponente más grande está en el denominador, el resultado será 1 dividido por la base elevada a la resta de los exponentes = = = 5 3 = 1 5 3

51 POTENCIAS III MULTIPLICACIONES CON POTENCIAS Si tenemos dos números distintos multiplicándose o dividiéndose con el mismo exponente, se separan los números en dos bases con dicho exponente o bien se multiplican o dividen los números y se deja el mismo exponente Para resolver una potencia de una potencia hay que multiplicar los exponentes Todas las potencias de base 0 siempre valen 0, es decir, cero elevado a cualquier número es cero. Cualquier número, positivo o negativo, que tenga como exponente 0 valdrá 1, es decir, todo número elevado a cero tendrá como resultado uno. Toda potencia de exponente negativo es igual a la unidad dividida por la misma potencia con exponente positivo 3 2 x 5 3 = 2 x 5 3 o bien = 3 3 o bien = 4 2x3 4 6 = 0 0 = = = =

52 TRUCOS DE POTENCIAS Para calcular por ejemplo 46 2 hacer lo siguiente: 1. Calcular la potencia de cada numero por separado: 4x4=16 6x6=36 2. Escribir los dos resultados juntos: Multiplicar los dos dígitos y multiplicar ese resultado por 2: 4x6=24 24x2=48 4. Añadir un cero al resultado y sumarlo a 1636: =2116 Calcular 23 2

53 TRUCOS DE POTENCIAS alcular 23 2 Vemos que al juntar los resultados da 49, así que hay que colocar un 0 a la izquierda de cada resultado y después se sigue normalmente: 2x2=4 3x3= (ceros a la izquierda) 2x3=6 6x2=12 (añadimos cero a la derecha) =529