Tema 5. Derivación Matricial.

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1 Tema 5. Derivación Matricial. Análisis Matemático I 1º Estadística Universidad de Granada Noviembre / 24

2 Producto de Kronecker Definición Dadas dos matrices A M m n y B M p q, el producto de Kronecker de A y B, que notaremos por A B, es la matriz de orden mp nq dada por a 11 B a 12 B a 1n B a 21 B a 22 B a 2n B A B :=.... a m1 B a m2 B a mn B Universidad de Granada Noviembre / 24

3 Producto de Kronecker Observación Para cualquier matriz B se verifica B B 0 I n B = B Por tanto, I n I m = I nm, n, m N. Universidad de Granada Noviembre / 24

4 Producto de Kronecker Ejemplo Si las matrices A y B vienen dadas por A = entonces tenemos A B = = ( ( ) ) ( ( ( ) ) ) y B = ( ( ( ) ) ) Universidad de Granada Noviembre / 24

5 Producto de Kronecker Propiedades del producto de Kronecker Es una aplicación bilineal. Es decir, si A 1, A 2 M m n, B 1, B 2 M p q, entonces (A 1 + A 2 ) B 1 = (A 1 B 1 ) + (A 2 B 1 ), A 1 (B 1 + B 2 ) = (A 1 B 1 ) + (A 1 B 2 ), (αa 1 B 1 ) = (A 1 αb 1 ) = α(a 1 B 1 ), α R Para cualesquiera matrices A, B y C se verifica que No es conmutativo en general. (A B) C = A (B C) Universidad de Granada Noviembre / 24

6 Producto de Kronecker Propiedades del producto de Kronecker Si A 1 M m n, A 2 M n p, B 1 M q r, B 2 M r s, entonces se verifica (A 1 B 1 )(A 2 B 2 ) = A 1 A 2 B 1 B 2 Si A y B son matrices cuadradas invertibles, entonces A B también es invertible y (A B) 1 = A 1 B 1 Para matrices A y B cualesquiera se verifica que (A B) t = A t B t Si A y B son matrices cuadradas, se tiene que tr (A B) = tr (A)tr (B) Universidad de Granada Noviembre / 24

7 Producto de Kronecker Propiedades del producto de Kronecker Si A y B son matrices cuadradas de órdenes m y n, respectivamente, entonces det(a B) = det(a) n det(b) m Para matrices A y B cualesquiera se verifica que rg (A B) = rg (A)rg (B) Si A ( es una matriz) particionada en bloques de la forma A11 A A = 12 y B es otra matriz, entonces A 21 A 22 ( ) A11 B A A B = 12 B A 21 B A 22 B Universidad de Granada Noviembre / 24

8 Vectorización de una matriz Definición Si A es una matriz de orden m n, definimos la vectorización de A, que notaremos por A, como la matriz columna dada por a 1 a 1j a 2 A :=., donde a a 2j j :=, j {1,..., n}.. a n a mj (Nótese que a j es simplemente la columna j-ésima de la matriz A) Universidad de Granada Noviembre / 24

9 Ejemplo ( ) Si A = 4 5 6, entonces A = Universidad de Granada Noviembre / 24

10 Vectorización de una matriz Propiedades de la vectorización Es una aplicación lineal Si A M m n y B M n p se verifica Si A M m n, se tiene AB = (B t I m ) A = (I p A) B = (B t A) I n A = (In A) I n = (A t I m ) I m Si A M m n, B M n p y C M p q, se verifica ABC = (C t A) B = (I q AB) C = (C t B t I m ) A. Universidad de Granada Noviembre / 24

11 Vectorización de una matriz Propiedades de la vectorización Usando las propiedades segunda y primera de la vectorización se deduce que si A, B M m n y C, D M n p, entonces (A + B)(C + D) = [(I p A) + (I p B)][ C + D ] Si A M m n y B M n m, entonces = [(C t I m ) + (D t I m )][ A + B ] tr (AB) = ( A t ) t B = ( B t ) t A, en particular, si n = m y B = I n, entonces tr (A) = ( A t ) t I n = ( I n ) t A, Universidad de Granada Noviembre / 24

12 Derivadas matriciales Introducción En cursos anteriores se ha estudiado el concepto de diferenciabilidad para funciones de R n en R m. Como los espacios de matrices con coeficientes reales son, salvo identificación, R n para conveniente natural n, la diferenciabilidad de funciones de variable matricial y con valores en otro espacio de matrices es la ya conocida. Adoptaremos algún convenio sobre el orden en que escribiremos las derivadas parciales de las funciones reales involucradas. A continuación recordamos (en los casos ya conocidos) el orden en que se suelen escribir las derivadas parciales; estos serán casos particulares de la derivada matricial que definiremos más adelante. Universidad de Granada Noviembre / 24

13 Derivadas matriciales Casos conocidos de derivadas matriciales Función con valores escalares (y : R n ( R) ) y = y(x 1, x 2,..., x n ) tiene derivada y x 1,..., y x n (el gradiente de y). Función de variable real con valores vectoriales (y : R R m ) y 1 (x) dy 1(x) y 2 (x) dx y = y(x) = tiene derivada.... dy m(x) y m (x) dx Universidad de Granada Noviembre / 24

14 Derivadas matriciales Casos conocidos de derivadas matriciales Función de variable vectorial con valores vectoriales (y : R n R m ) y 1 (x 1,..., x n ) y = y(x) =. y m (x 1,..., x n ) tiene derivada y 1(x) x y m(x) x 1... y 1(x) x n. y m(x) x n (el jacobiano de y). Universidad de Granada Noviembre / 24

15 Derivadas matriciales Derivada matricial de una función real de variable matricial Sea y = y(x) una función real de variable matricial, esto es, y : M p n (R) R. La derivada de y (con respecto a la matriz X) es la función matricial que se suele notar por y X (X) y que viene dada por y x y X :=. y x p1... y x 1n. y x pn = ( y x ij )i=1,...,p j=1,...,n Nótese que la derivada matricial de una función real definida en M p n (R) es una función definida en M p n (R) y con valores en el mismo espacio de matrices. Observación Nótese que si p = 1, M 1 n (R) se identifica de forma natural con R n, y y X es más que el gradiente de y. no Universidad de Granada Noviembre / 24

16 Derivadas matriciales Ejemplo Se considera la función matricial F : M 2 2 (R) R dada por ( ) x11 x F 12 = e x11 x x 21 x x Entonces la derivada matricial de F viene dada por F X := F x 11 y x 21 F x 12 y x 22 e x11 x 21 5 = e x11 0 Universidad de Granada Noviembre / 24

17 Derivadas matriciales Derivada de una función matricial de variable matricial Sea Y = Y (X) una función matricial de variable matricial; supongamos que Y : M p n M m q. La derivada de Y (con respecto a la matriz X) es la función matricial (que notaremos Y X ) definida en M p n y con valores en M pm nq dada por Y X := y 11 X.... y m1 X... y 1q X. y mq X. Nótese que como cada y ij es una función escalar de variable matricial, para calcular yij X hay que aplicar la fórmula dada en la definición previa, esto es, y ij y x y ij X := ij x 1n.., 1 i m, 1 j q. y ij x p1... y ij x pn Universidad de Granada Noviembre / 24

18 Derivadas matriciales Ejemplo Se considera la función matricial Y : M 1 2 R 2 M 2 1 dada por y 1 (x 1, x 2 ) x1 2 + x 2 3 Y (x 1, x 2 ) = =. y 2 (x 1, x 2 ) 2x 1 x 2 Entonces la derivada matricial de Y viene dada por Y X := y 1 X y 2 X = y 1 x 1 y 1 x 2 y 2 x 1 y 2 x 2 = 2x 1 3x 2 2 2x 2 2x 1 Universidad de Granada Noviembre / 24

19 Derivadas matriciales Reglas de derivación Sea C una matriz de orden p n (C será la variable independiente). Linealidad Si A, B : M p n M m q, entonces (A + tb) C = A C + t B C, t R Derivada del producto Sean A : M p n M m q y B : M p n M q r, entonces se verifica que (AB) C = A C (B I n) + (A I p ) B C Universidad de Granada Noviembre / 24

20 Matrices de permutación Definición Una matriz de permutación de orden mn, que notaremos por P m,n, es una matriz cuadrada de orden mn dividida en mn bloques de orden m n. El bloque (i, j) tiene todos sus elementos nulos, salvo el que está situado en el lugar (j, i) que vale 1. Ejemplos La matriz de permutación P 2,3 es cuadrada, tiene orden 3 2 = 6 y está formada por 6 bloques de orden 2 3. En este caso tenemos que: B 11 B P 2,3 = B 21 B 22 = B 31 B Universidad de Granada Noviembre / 24

21 Matrices de permutación Ejemplos La matriz de permutación P 3,2 es cuadrada, tiene orden 3 2 = 6 y está formada por 6 bloques de orden 3 2: ( ) B11 B P 3,2 = 12 B 13 = B 21 B 22 B De forma análoga tenemos P 2,2 = ( ) B11 B 12 = B 21 B Universidad de Granada Noviembre / 24

22 Matrices de permutación Proposición Si n, m N, se verifica: P m,1 = P 1,m = I m P t m,n = P n,m P m,n es una matriz ortogonal P m,n P n,m = I nm Universidad de Granada Noviembre / 24

23 Derivadas matriciales Reglas de derivación La variable independiente C es una matriz de orden p n. Derivada del producto de Kronecker Sean A : M p n M m q y B : M p n M s r, entonces se verifica que donde (A B) C (A I r ) C ( = A B C ( = (P r,m I p ) ) + ( I m B I p ) (A I r ) C I r A C ) (P q,r I n ). Universidad de Granada Noviembre / 24

24 Derivadas matriciales Reglas de derivación La variable independiente C es una matriz de orden p n. Regla de la cadena Sean A : M p n M s r e Y : M s r M m q, entonces se verifica que ( Y (A) Y (A) C = A I p También se verifica que Y (A) C = [ ( ( I s ) t ] Y (A) I p A ) t ( A ). C A ) ( ) Ir I n. C Universidad de Granada Noviembre / 24