Expresiones Regulares y Derivadas Formales

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1 Motivación e Ideas y Derivadas Formales La Derivación como Operación. Universidad de Cantabria

2 Esquema Motivación e Ideas 1 Motivación e Ideas 2 3

3 Motivación Motivación e Ideas Sabemos como son los conjuntos regulares y parece que hay alguna relación entre las gramáticas regulares y las expresiones regulares. Como hallar una gramática a partir de una expresión regular?

4 Ideas Motivación e Ideas Sea la siguiente expresión a. Qué lenguaje genera?

5 Ideas Motivación e Ideas Tomemos la siguiente gramática regular G = ({S}, {a, b}, S, { S as λ }). Qué lenguaje genera?

6 Motivación e Ideas El Lenguaje de los Prefijos Si nuestro lenguaje esta generado por ba, entonces una posible gramática que genere el mismo lenguaje es: G = ({S, S }, {a, b}, S, {S bs, S as λ })

7 Motivación e Ideas El Lenguaje de los Prefijos El lenguaje L(a ) se relaciona con L(ba ) porque todas las palabras de L(a ) pertenecen a L(ba ) si se les añade el prefijo b.

8 Idea Motivación e Ideas Buscar estos lenguajes de prefijos y tratar de hallar una gramática a partir de ellos.

9 Pregunta Motivación e Ideas Como hallar para un lenguaje generado por una expresión regular las palabras que están en ese mismo lenguaje añadiéndole un prefijo?

10 Motivación e Ideas Derivación Formal Definición Sea Σ un alfabeto finito, a Σ un símbolo del alfabeto, y α una expresión regular sobre el alfabeto Σ. Llamaremos derivada de α con respecto al símbolo α a la expresión regular D a (α) con la siguiente propiedad: L(D a (α)) = {ω Σ : aω L(α)}.

11 Notación Motivación e Ideas Por la relación con las derivadas formales, utilizaremos la siguiente notación D a (α) = α a.

12 Motivación e Ideas La Derivación Calculemos varias derivaciones de expresiones regulares sencillas: a =, λ a =, b =, b Σ, b a. a a a = λ.

13 Motivación e Ideas Complejas Si α y β son dos expresiones regulares sobre Σ: (α + β) a = α a + β a.

14 Motivación e Ideas Complejas (α) a = (α) a α.

15 Motivación e Ideas Complejas Ahora un poco para la concatenación de expresiones regulares: Pues no es cierto. (α β) a = α a β.

16 Motivación e Ideas Complejas Ahora un poco para la concatenación de expresiones regulares: Pues no es cierto. (α β) a = α a β.

17 Motivación e Ideas Complejas (α β) a = α a β + t(α) β a, donde t(α) es la función dada por la identidad siguiente: { } λ si λ L(α), t(α) := en caso contrario.

18 Ejemplo Motivación e Ideas Veamos la derivación de la expresión regular a : (a) a = (a) a (a) = a.

19 Ejemplo Motivación e Ideas Las derivaciones de la expresión regular (aa + bb) : (aa + bb) a = (aa + bb) (aa + bb) = a(aa + bb). a

20 Motivación e Ideas No Funciona el Camino Fácil Las derivadas no vuelven las expresiones regulares más sencillas. Pero si que dan información sobre el lenguaje generado. L(a ) = al(a ) λ. Y esto se traduce a una gramática.

21 Motivación e Ideas Regla de Leibnitz Teorema (Regla de Leibnitz para ) Dada una expresión regular α sobre un alfabeto finito Σ, supongamos que Σ = {a 1,..., a n }. Entonces, α a 1 D a1 (α) + + a n D an (α) + t(α), donde t(α) es la función definida anteriormente.

22 Aplicación Motivación e Ideas Asignemos a cada expresión una variable, y cada expresión regular y a partir de la Regla de Leibnitz hallemos la gramática: L(a ) = al(a ) {λ.}

23 Aplicación Motivación e Ideas Demos a cada expresión una variable, y cada expresión regular y a partir de la Regla de Leibnitz hallemos la gramática: S as λ.

24 Aplicación Motivación e Ideas El mismo resultado se aplica para (a + b)a, (a + b). Pero, que ocurre cuando las derivaciones son expresiones regulares igual de complejas? Como aplicar lo mismo para una expresión más compleja?

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