E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios Tema 2 Aproximación e interpolación

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1 E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios Tema 2 Aproximación e interpolación Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Curso 2006/07 Septiembre 2006, Versión 1.3 Ejercicio 1 Queremos aproximar el valor 1 de sin(0.1). (a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 4 y calcula p 4 (0.1). (b) Calcula una cota superior de error absoluto y relativo que se produce cuando aproximamos sin(0.1) mediante p 4 (0.1). (c) Verifica el resultado comparando con el valor de sin(0.1) que proporciona la calculadora o Maple. Realiza los cálculos con 10 decimales. Ejercicio 2 Consideramos la función sin(x). (a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 4 usando Maple. (b) Representa conjuntamente la función seno y el polinomio en el intervalo [ 2, 2]. (c) Construye la expresión del valor absoluto del error absoluto e 4 (x) = R 4 (x) = sin(x) p 4 (x) y represéntala en[ 2, 2]. A partir del gráfico, determina una cota superior de error absoluto. (d) Construye la función del valor absoluto del error relativo r 4 (x) = sin(x) p 4 (x) sin(x) represéntala en [ 1, 1]. A partir del gráfico, determina una cota superior de error relativo. Ejercicio 3 Consideramos la función cos(x). 1 En los sucesivo, los ángulos están en radianes 1

2 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 2 (a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 6. (b) Determina una cota superior del error absoluto que se comente cuando aproximamos cos(x) mediante el p 6 (x) en el intervalo [0, π 4 ]. Ejercicio 4 Queremos aproximar e 0.5. (a) Calcula el polinomio de McLaurin de orden 5. (b) Calcula un cota superior del error absoluto y del error relativo que se produce cuando aproximamos e 0.5 mediante p 5 (0.5). Verifica los resultados comparando los valores que se obtienen con la calculadora oconmaple. Ejercicio 5 Consideramos la función e x. (a) Construye los polinomios de McLaurin de orden 3,4 y 5 usando Maple. (b) Representa conjuntamente la función e x y los polinomios obtenidos en el intervalo [0, 1]. (c) Construye las funciones de error absoluto e j (x) = R j (x) = exp(x) p j (x), j =3, 4, 5 y represéntalas en [0, 1]. A partir del gráfico determina, para cada caso, una cota superior de error absoluto. (d) Construye las funciones de error relativo r j (x) = exp(x) p j exp(x), j =3, 4, 5 represéntalas en [0, 1]. A partir del gráfico determina, para cada caso, una cota superior de error relativo. (e) Amplía el cálculo de cotas de error al intervalo [ 2, 2] Sigue siendo bueno el comportamiento de los polinomios como aproximantes de e x? Ejercicio 6 Consideramos la siguiente tabla de datos x y (a) Plantea el sistema de ecuaciones que permite determinar el polinomio interpolador de la tabla. (b) Resuelve el sistema y determina el polinomio interpolador.

3 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 3 (c) Verifica los resultados con Maple. Ejercicio 7 Consideremos la tabla de datos x x 0 x 1 x 2 y y 0 y 1 y 2. Puede demostrarse que el polinomio interpolador de la tabla p(x) queda determinado por la siguiente expresión 1 x x 2 p(x) 1 x 0 x 2 0 y 0 1 x 1 x 2 =0. 1 y 1 1 x 2 x 2 2 y 2 (a) Usando la fórmula anterior, determina el interpolador de la tabla x y (b) Resuelve el apartado (a) con Maple. Ejercicio 8 Consideramos la siguiente tabla de datos x y (a) Determina un polinomio p(x) de grado menor o igual que 3 que interpole los valores de la tabla. (b) Hay algún polinomio de grado 3 que pase por los puntos de la tabla? Y de grado 4? (c) Calcula el polinomio interpolador de la tabla con Maple. Ejercicio 9 Calcula los polinomios de grado 2 que para x =1y x = 1 toman el valor 1. Ejercicio 10 Aproxima 2 log(4). 1. Mediante interpolación lineal a partir de los valores log(3) = , log(5) = log(x) representa el logaritmo decimal. Recuerda que d dx log(x) = 1 x ln(10) donde ln(x) representa el logaritmo neperiano.

4 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 4 2. Mediante interpolación parabólica usando los valores del apartado anterior y, además, log(4.5) = Determina cotas superiores para el error absoluto y relativo. 4. Compara los valores obtenidos con el valor de log(4) que proporciona la calculadora. Calcula el error absoluto y relativo correspondientes a cada caso y verifica la corrección de las cotas superiores de error. Ejercicio 11 Consideramos la siguiente tabla de datos x y a. (a) Calcula el polinomio p(x) que interpola los cuatro primeros puntos de la tabla. (b) Qué valor debe tener a para que el polinomio que interpola los cinco puntos coincida con el del apartado anterior? (c) Determina con Maple el polinomio que interpola los 4 primeros puntos de la tabla. (d) Determina con Maple todos los polinomios de grado 4 que interpolan los valores de la tabla. Ejercicio 12 Consideramos las siguientes tablas de datos x y x y (a) Calcula los polinomios que interpolan las tablas. (b) Qué relación hay entre ellos? A qué se debe esta relación? (c) Calcula los polinomios con Maple. Ejercicio 13 Consideramos la siguiente tabla de datos x y Calcula valores aproximados para f(3.5) usando polinomios de Newton de orden 1,2,3,4, escogiendo, en cada caso, los puntos más adecuados. Ejercicio 14 Para una función f(x), conocemos los siguientes valores x f(x)

5 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 5 (a) Cual es la mejor elección de nodos para aproximar f(3.5) mediante interpolación cuadrática? (b) Aproxima f(3) mediante interpolación cuadrática usando una elección de nodos distinta a la del apartado anterior. (c) Aproxima f(3) usando el polinomio interpolador de grado máximo. Ejercicio 15 Consideramos la integral v = Z 1 0 e x2 dx Es bien sabido que la función f(x) =e x2 no tiene primitivas que puedan expresarse como combinación sencilla de funciones elementales. Para aproximar el valor de la integral, podemos construir un polinomio interpolador y calcular su integral. (a) Calcula el polinomio p 2 (x) que interpola a f(x) en los nodos x 0 =0,x 1 =0.5, x 2 =1. (b) Construye con Maple una representación conjunta de f(x) y p 2 (x). (c) Calcula el valor v = Z 1 0 p 2 (x) dx. (d) Calcula con Maple un valor aproximado de v. Determina el error absoluto que se produce cuando aproximamos v mediante la integral del polinomio interpolador. (e) Repite todo el ejercicio tomando ahora 5 puntos igualmente repartidos en el intervalo y un polinomio de grado 4. Para obtener 5 nodos igualmente espaciados en [a,b], hacemos x j = a + jh, j =0, 1, 2, 3, 4. h = b a 4. Ennuestrocasoes,h =0.25 y resulta x 0 =0,x 1 =0.25, x 2 =0.50, x 3 =0.75, x 4 =1. Ejercicio 16 Consideramos los valores x 0 1 y 1 2 y 0 1 1

6 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 6 (a) Plantea un sistema de ecuaciones que permita determinar el polinomio de grado 3 que interpola los valores de la tabla. (b) Resuelve el sistema y verifica que, efectivamente, el polinomio cumple las condiciones exigidas. Ejercicio 17 Calcula el interpolador de Hermite de la tabla x 0 1 y 1 3 y usando diferencias divididas. Verifica que el polinomio obtenido toma los valores adecuados. Ejercicio 18 Consideramos los valores x x 0 x 1 y y 0 y 1 y 0 y0 0 y1 0 puede demostrarse que el polinomio de Hermite que interpola la tabla anterior queda determinado por la expresión 1 x x 2 x 3 p(x) 1 x 0 x 2 0 x 3 0 y x 0 3x 2 0 y0 0 =0 1 x 1 x 2 1 x 3 1 y x 1 3x 2 1 y1 0 Usando la expresión anterior, determina el interpolador de Hermite para la tabla x 0 1 y 1 2 y Ejercicio 19 Para un objeto móvil, conocemos la posición (en metros) y la velocidad (en m/s) en los instantes t =4s y t =5s. Estima el valor de la posición y la velocidad para t =4.5 s. t e(t) v(t) 1 1 Ejercicio 20 Demuestra que el máximo absoluto de la función h(x) =(x x 0 ) 2 (x x 1 ) 2

7 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 7 sobre el intervalo [x 0,x 1 ] se produce en y que el valor del máximo es x M = x 0 + x 1 2 M = max h(x) =(x 1 x 0 ) 4. x [x 0,x 1 ] 16 Ejercicio 21 Consideramos la función f(x) =sinx. (a) Construye el polinomio de Hermite que interpola f(x) en los nodos x 0 =0y x 1 = π/4. (b) Usando el polinomio del apartado anterior, aproxima el valor de sin(0.5). Calcula una cota superior de error absoluto. (c) Calcula una cota superior de error absoluto válida para todo x [0, π/4]. Ejercicio 22 Consideramos la función f(x) =e x. (a) Construye el polinomio de Hermite que interpola f(x) en los nodos x 0 =0y x 1 =0.5. (b) Usando el polinomio obtenido, aproxima el valor de e Calcula una cota superior de error absoluto. (c) Determina cotas superiores para el error absoluto válidas para cualquier x [0, 0.5]. Ejercicio 23 Para un objeto móvil, conocemos los siguientes datos Tiempo (s) Posición (m) Velocidad (m/s) (a) Construye un función a trozos que modelice la distancia recorrida en la forma p 1 (t) 0 t<2 x(t) = p 2 (t) 2 t<4 p 3 (t) 4 t 6 donde p j (t) es el polinomio de Hermite que interpola la tabla en los extremos del intervalo correspondiente. (b) Calcula el error absoluto y relativo que se produce cuando aproximamos la posición y la velocidad en t =3y t =5usando x(t)..