Incertidumbres. Tipos de instrumentos. Algunas formas de expresar las incertidumbres

Transcripción

1 Inertidumres Es posile otener el valor real (exato) de una magnitud a través de mediiones? Aunque pareza sorprende, la respuesta a esta pregunta es NO. El proeso de mediión involura neesariamente el uso de instrumentos y estos siempre tienen asoiada una inertidumre, que a su vez se relaiona on la resoluión de diho instrumento. A lo más que podemos aspirar a proponer un rango de valores dentro del ual dee enontrarse el valor real. Las dos formas más omunes de expresar este rango es mediante un intervalo determinado un valor mínimo límite y un valor máximo límite: [x min -x max ] o omo un valor entral ± una inertidumre. Lógiamente omo amas representaiones orresponden al mismo intervalo la relaión entre estas representaiones tiene que orresponder a: ( xmax + xmin ) valor entral = Eq 1 ( xmax xmin ) inertidumre = Eq Tipos de instrumentos Los instrumentos pueden lasifiarse de auerdo a su tipo de esala omo instrumentos disretos o ontinuos. En el aso de los instrumentos disretos no es posile haer apreiaiones intermedias dentro de la mínima división de su esala, un ejemplo laro lo onstituyen los instrumentos on esala digital. Es por ello que a este tipo de instrumentos se les asoia una inertidumre igual a su resoluión (resoluión del instrumento = división más pequeña de su esala). En el aso de los instrumentos ontinuos, por el ontrario, si es posile haer estimaiones intermedias dentro de la mínima división de la esala. Un ejemplo de este tipo de instrumentos es la regla milimétria, en este aso aun uando la división mínima de la esala es de 1mm, si oservamos uidadosamente podríamos estimar si una longitud es intermedia entre 1.3 y 1.4 m, por ejemplo. Es por ello que a este tipo de instrumentos se le asoia una inertidumre igual a al mitad de su resoluión. Algunas formas de expresar las inertidumres Inertidumre asoluta: En general se representa on una letra delta mayúsula () inmediatamente antes del símolo que represente a la variale de interés. No es más que el valor asoluto de la diferenia entre el valor real y el valor medido. Sin emargo omo el valor real es por definiión desonoido, se utilizan las reglas prátias expliadas anteriormente para asoiar una inertidumre a ada mediión. La inertidumre asoluta tiene las mismas unidades que la variale a la que está asoiada y no depende de la magnitud de esta sino solamente de la resoluión del instrumento utilizado. Así por ejemplo si utilizamos un flexómetro (instrumento ontinuo, de resoluión=1mm) para medir tanto la longitud de un lápiz omo la altura de una puerta, las inertidumres asolutas de amas mediiones serán idéntias. Por ejemplo: Largo del lápiz: l l C ± l = (8.00±0.05) m Alto de la puerta: a a C ± a = (10.40±0.05) m

2 donde el suíndie india valor entral Inertidumre relativa: epresenta que proporión del valor reportado es dudosa. En estas notas utilizaremos el símolo inmediatamente antes del símolo que represente a la variale de interés para representar la inertidumre relativa. Para ilustrar más laramente este onepto utilizaremos de nuevo los ejemplos del largo del lápiz y el alto de la puerta. l 0.05m Largo del lápiz: l = = = lc 8.00m a 0.05m Alto de la puerta: a = = = ac 10.40m Como puede apreiarse las inertidumres relativas son adimensionales (no tienen unidades) y dependen de la magnitud de la variale medida. Mientras mayor sea el valor entral menor será la inertidumre relativa (para inertidumres asolutas iguales) Inertidumre porentual: Tamién representa que proporión del valor reportado es dudosa, pero en este aso en tanto poriento. En estas notas utilizaremos el símolo % inmediatamente antes del símolo que represente a la variale de interés para representar la inertidumre porentual. Utiliemos una vez más los ejemplos del largo del lápiz y el alto de la puerta para ilustrar este onepto. l 0.05m Largo del lápiz: % l = 100% = 100% = 6.5% lc 8.00m a 0.05m Alto de la puerta: % a = 100% = 100% = 0.038% ac 10.40m Al igual que las inertidumres relativas, las inertidumres porentuales son adimensionales) y dependen de la magnitud de la variale medida. Mientras menor sea el valor entral mayor será el error porentual ometido (para inertidumres asolutas iguales) Tipos de Mediiones Mediiones diretas Se die que una mediión es direta uando se otiene el valor de una magnitud de interés diretamente de la letura de un instrumento, sin neesidad de involurar ninguna operaión matemátia. Por ejemplo si queremos medir la longitud de una mesa y utilizamos para ello un flexómetro. En este aso la inertidumre asoiada a diha mediión depende solamente del tipo y de la resoluión del instrumento, según las reglas expliadas anteriormente. Mediiones indiretas Se die que una mediión es indireta uando no es posile otener el valor de la magnitud de interés diretamente de la letura de un instrumento, y es neesario haer álulos matemátios para otenerlo. Por ejemplo si queremos onoer el área de una superfiie uadrada, tendremos que medir la longitud del lado on un instrumento adeuado, digamos que un flexómetro, pero luego tendremos que elevar el resultado de esa mediión al uadrado para otener el área. En este aso la mediión del área es

3 indireta. Para otener las inertidumres asoiadas on mediiones indiretas es neesario realizar un proedimiento matemátio onoido omo propagaión de inertidumres, que se explia a ontinuaión. Propagaión de Inertidumres El valor de las inertidumres asoiadas a mediiones indiretas, oviamente dependerá de las inertidumres orrespondientes a las mediiones diretas utilizadas para otenerlas los valores indiretos. En el ejemplo del área de una superfiie uadrada, la inertidumre asoiada al área lógiamente dependerá de la inertidumre on que se estimó la longitud del lado, la pregunta es: ómo?. A ontinuaión veremos omo se alulan las inertidumres asoiadas a mediiones indiretas, que involuran algunas operaiones algeraias omunes y luego veremos una expresión general. Sumas y restas Imaginemos dos variales independientes, a y, de las que onoemos que: a= a ± a Eq 3 = ± Eq 4 Si queremos otener el valor de otra variale (s) que se otiene omo la suma de las dos anteriores: s = a+ Eq 5 y la queremos expresar omo: s= s ± s Eq 6 Sustituyendo las euaiones 3 y 4 en la euaión 5 otenemos: s = a ± a + ± Eq 7 Y reagrupando: s = a + ± a+ Eq 8 Comparando ahora las euaiones 6 y 8 es evidente que: s = a + Eq 9 s = a+ Eq 10 Si onsideramos ahora la variale r que se otiene omo la resta de a menos : r = a Eq 11 y la queremos expresar omo: r = r ± r Eq 1 Sustituyendo las euaiones 3 y 4 en la euaión 11 otenemos: r = a ±a ± Eq 13 Y reagrupando: r = a + ±a Eq 14 que tamien podemos esriir omo r = a ± a+ Eq 15 Y omparando ahora las euaiones 11 y 15 es evidente que: r = a Eq 16

4 r = a+ Eq 17 Según lo que hemos visto tanto para las sumas omo para las restas la inertidumre asoluta se otiene omo la suma de las inertidumres asolutas de los sumandos. eordemos que la resta no es más que un aso partiular de la suma, donde uno de los sumandos es un número negativo. Multipliaiones y potenias Utiliemos un proedimiento similar para otener la expresión de la inertidumre de la variale p, definida omo el produto de a por : p = a Eq 18 Sustituyendo las euaiones 3 y 4 en la euaión 18 otenemos: p = a ± a ± Eq 19 ( )( ) Desarrollando el produto: p = a± a ± a±a Eq 0 que tamien podemos esriir omo p = a ± a + a+a Eq 1 Y omparando ahora las euaiones 11 y 15 es evidente que: p a = Eq p = a + a+a Eq 3 Pero omo el último término de la dereha es un produto de inertidumres, es muy pequeño en omparaión on los demás y lo podemos despreiar, de modo que la euaión 3 quedaría simplifiada a: p = a + a Eq 4 Esta expresión permite alular la inertidumre asoluta de un produto de dos fatores, siguiendo el mismo razonamiento puede demostrarse que para un produto de tres fatores: p = a Eq 5 3 p3 = a + a + a Eq 6 Y así suesivamente, de modo que la inertidumre asoluta del produto será una suma de tantos términos omo fatores tenga el produto, y ada uno de ellos orresponde a la inertidumre de uno de los fatores multipliada por los valores entrales de los otros fatores. etomemos ahora el produto de dos fatores y enontremos la expresión algeraia orrespondiente a su inertidumre relativa. Utilizando la euaión 4 y la definiión de la inertidumre relativa se llega a: p a + a a a p = = = + pc a a a Y simpliando esta expresión llegamos a: p a = + Eq 7 pc a O sea que: p = a+ Eq 8 De modo que en el aso de los produtos la inertidumre relativa del produto es igual a la suma de las inertidumres relativas de los fatores. En el aso del produto de dos fatores esta nueva expresión no paree muho mas simple que la euaión 4, pero en

5 la medida en que el número de los fatores se inrementa el proedimiento matemátio para propagar las inertidumres se hae más senillo si se utiliza el proedimiento de las inertidumres relativas en lugar del de las asolutas. eordemos que estas dos formas de expresar las inertidumres son fáilmente interonvertiles para una variale ualquiera v, a partir de su definiión: v v = Eq 9 v Siguiendo la misma lógia apliada ahora para la potenia (que no es más que un produto donde se multiplia n vees el mismo fator), si: n P= a Eq 30 Se puede demostrar que las expresiones orrespondientes a sus inertidumres asoluta y relativa son, respetivamente: P = na a Eq 31 P= n a Eq 3 Expresión general En asos más ompliados que los que se han tratado hasta ahora, es más onveniente onsiderar una expresión general para poder estimar la propagaión de las inertidumres. Esta expresión se presenta a ontinuaión sin demostraión para una funión y de varias variales (x 1, x,..., x n ), donde las variales x 1, x,..., x n son variales independientes de las que onoemos su valor entral y su inertidumre, entones la inertidumre asoluta de y puede otenerse omo: y y y y y = x + x + + xi + + xn Eq 33 x x x x 1 1 i Veamos un ejemplo. Para la variale D, definida omo: a D = Eq 34 3 Entones, de auerdo on la euaión 33, la inertidumre asoluta de D se podrá otener según: D D D= a+ Eq 35 a a 3a D = a Eq 36 Y omo onoemos tanto los valores entrales, omo las inertidumres asolutas de a y de, podemos otener la de D a partir de estos valores: a 3a D = a Eq 37 n