COMUNICACIÓN XI JORNADAS ASEPUMA Oviedo, 11 y 12 de Septiembre de 2003

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1 COMUNICACIÓN XI JORNADAS ASEPUMA Ovedo, y de Sepembre de 003 TITULO: "MODELOS DE SUPERVIVENCIA ADECUADOS PARA ANÁLISIS ACTUARIALES DE MORTALIDAD" SURVIVAL MODELS IN ACTUARIAL MORTALITY ANALYSIS AUTOR (ES): SÁNCHEZ LÓPEZ, JOSÉ MARÍA MEDINA LÓPEZ, ANA INSTITUCION: UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS FACULTAD DE CIENCIAS JURÍDICAS Y SOCIALES Paseo de los Arlleros s/; 803; Madrd TELEFONO Y DIRECCION DE CONTACTO : msl@fcsurces Teléfoos: // // ameda@fcsurces Teléfoos: // PALABRAS CLAVE: Moraldad acuaral, Fucoes de supervveca, Modelos abulares, Modelos paramércos, Muras; Graduacó, Rago edades, Ause; Proyeccoes moraldad KEY WORDS: Acuaral moraly esmao, Survval fucos, Tabular models, Paramerc models, Med models; Graduao, Age ra, F-esg; Moraly proecos AREA TEMATICA: 3 (Maemáca de las operacoes faceras y cálculo acuaral) RESUMEN E el seguro de vda, se desacará el erés de los deomados modelos o fucoes de supervveca como srumeos mprescdbles e dsas fases del aálss de moraldad El esudo se adapará a los meores daos reales dspobles e las aseguradoras respeco de la poblacó obevo (poblacó asegurable): daos de pólzas que eva sesgos dervados del uso de ablas de poblacó geeral Se aalzará la uldad de los modelos de supervveca acuaral a res veles E prmer lugar, se mosrará la ecesdad de ulzar hpóess de moraldad raervalo para esmar las probabldades auales de muere que perma obeer u modelo abular E segudo lugar, los modelos se empleará e la deomada graduacó paramérca para meorar las esmacoes cales corporado formacó sobre relacoes esees e el couo de esmacoes y sobre creecas prevas a las observacoes E ercer lugar, uevos modelos será los

2 srumeos que proyece el feómeo de la moraldad a fuuro segú la damcdad del colecvo esudado respeco a la moraldad Se preseará ua vsó acual de las posbldades esees, valorado las aleravas y rabaos empírcos ya realzados, y ofrecedo uevas posbldades ABSTRACT I he coe of lfe surace, survval models wll be hghlghed as esseal srumes for he developme of moraly aalyss o s varous sages The research wll be adaped o he mos relable daa obaed from surace compaes relao o he arge populao: daa from polces whch avod errors ha come ogeher by usg geeral populao ables Uly of acuaral survval models wll be aalysed hree sages: Frs of all, he use of bewee-he-egral-ages assumpos s ecessary order o mae a esmao of he aual moraly probables whch allow o oba a able model Secodly, models wll be used paramerc graduao o mprove al esmaos addg he formao avalable abou he belefs prevous o observaos O hrd place, ew models wll arse o proec he moraly pheomeo o he fuure by followg he moraly paer draw by he collecve dyamc prevously suded I wll be preseed a ew vso for possbles havg o do wh moraly The aalyss s based o emprcal wors ad offers ew ways of proecg moraly

3 - PLANTEAMIENTO La obecó de modelos paramércos a parr de los daos bruos (dao compleo) sumsrados por las compañías aseguradoras puede cosegurse desde dos plaeameos dsos: uo es dreco, el oro es dreco El plaeameo dreco pare de los daos co los que efecúa ua esmacó dreca del modelo de supervveca El plaeameo dreco se crca e cuao a su uldad e el seguro de vda y se basa e la dfculad de ecorar ua fucó para odo el rago de edades que eplque los daos sólo e base a ua úca varable (cluso dero de u grupo homogéeo prevamee elegdo) També se debe aeder a uas muesras co dferee amaño para las dsas edades Se obee resulados más deallados s se fa puos emporales para esmar Resula más secllo, prácco y formal realzar u aálss prevo de la suacó para ervalos auales de edad Todo eso, lleva a preferr los modelos o paramércos como puo de parda para poserores auses de modelos paramércos Tal como epoe Elad-Johso, Rega ad Johso Norma, L (980): desacamos los méodos de esmacó drgdos al ause de proporcoes de supervveca observada y defedemos eucar los méodos de acuerdo a como se realza eso El plaeameo dreco pare de los daos, obee a couacó las probabldades de muere aual para odos los años y, falmee, a ravés de las esmacoes auales llega al modelo de supervveca Esa úlma suacó se raa e el epígrafe referee a la graduacó o recfcacó de las esmacoes La secueca de valores revsados o graduados e esos méodos paramércos se epresará como ua fucó de argumeo, sedo v ua fucó que coee los parámeros que debe farse desde los daos que cofgura las esmacoes cales La usfcacó de ese po de graduacó se basa e la ecesdad de corregr las mprecsoes de la esmacó (debdas a daos mal ubcados e el empo y a la aleaoredad del muesreo) medae el ause de ua fucó maemáca que se supoe represea las verdaderas asas de moraldad La opó preva se mafesa e la deermacó de la forma fucoal elegda (e la eleccó de dcha fucó ambé parcpa la formacó que sumsra los daos) Las éccas que se ulza e el ause de las curvas para obeer los valores graduados (esmacoes corregdas) so las caraceríscas de auses de curvas y de regresó e casos geerales El paso sguee cosse e ulzar ua baería de pruebas o es para cofrmar s los valores cosegudos medae el ause so adecuados, eso es, so coherees co los daos y, a la vez, represeados por ua fucó maemáca razoablemee seclla (pocos parámeros) y suave (segú el valor de las dferecas fas) Esa apromacó covecoal gradúa la fuerza de moraldad ausado ua fórmula paramérca a las asas bruas de moraldad (esmacó preva) asumedo que el úmero real de mueres so varables aleaoras po Posso (codcoadas a la eposcó) Aleravamee se ulza la dsrbucó bomal o ormal Co esa suacó se puede llegar a ua verosmlud caracerísca que perme esmar los parámeros Tal como se ha dcado, para car ua graduacó por fórmula maemáca, se debe elegr el po de fucoes Se dsgue dsas posbldades segú el rago de edades e el cual se desea ulzar el méodo: rago o eeso, amplo rago y odo el rago Falmee, se muesra la ecesdad de los modelos maemácos para proyecar el feómeo de la moraldad a empo croológco fuuro

4 - MODELOS PARAMÉTRICOS El plaeameo dreco, como ya se do, pare de los daos y supoe ua fucó de supervveca adecuada Se debe esmar los parámeros de la mecoada fucó, se epoe el méodo de máma verosmlud supoedo dao compleo E prcpo u dvduo era a observacó e r y dea la observacó e por muere o falzacó del perodo programado de observacó Por ello, la probabldad de sobrevvr será S( r pr S( r) y la de morr f ( r qr r pr ( r p λ r S( Se puede cosrur la fucó de verosmlud como S ( ) λ( S ( ) f ( S ( ) L D Sr ( ) Sr ( ) D Sr ( ) Sr ( ) dsguedo la corbucó de los dvduos que muere y de los dvduos que sobrevve, o ulzar u dcador de la suacó del dvduo -ésmo: δ δ δ S ( ) [ λ( ] [ S ( ) ] [ f( ] L Sr ( ) Sr ( ) S se cosdera para los dvduos de la muesra las posbles reradas o programadas, omádolas aleaoras, hay que roducr modfcacoes e la fucó de verosmlud, además de admr el prcpo de depedeca ere muere y rerada La probabldad de sobrevvr ere r y será: ( τ ) ( d ) ( w) Sd( Sw( r pr r pr r p r Sd( r) Sw( r) Iervee ua fucó de supervveca respeco de la muere y ua fucó de supervveca respeco a la rerada Por ello, represeará el empo hasa la muere, hasa el f programado o hasa la rerada aleaora La fucó de verosmlud adopará la forma: γ Sd( Sw( [ λd( ] δ [ λw( ] L Sd( r) Sw( r) δ γ δ [ Sd( ] [ Sw( ] [ fd( ] [ fw( ] γ Sd( r) Sw( r) ulzado dcadores de la suacó del dvduo -ésmo respeco de la posble muere o rerada La esmacó se realzará ras la especfcacó de las fucoes de supervveca (y, por ao, de la asa de azar) Las fucoes depederá de valores muesrales (segú los daos que se ega) y de parámeros (raados como varables para mamzar la verosmlud de la muesra que se ega) La bodad del ause obedo puede aalzarse medae es cláscos esadíscos, recfcados debdo a los daos compleos que se ulza So de erés los rabaos de Sephes, MA (974, 977) dode aparece como más coveees el es de Kolmogorov-Smrov modfcado para dao compleo co sólo la famla de fucoes a ausar especfcada y, especalmee, el es de Aderso-Darlg modfcado

5 3- FUNCIONES DE SUPERVIVENCIA CLÁSICAS: RANGO NO EXTENSO S se aplca para u rago de edades o eeso ese múlples fucoes báscas que se puede ulzar La prcpal uldad de esas fucoes esá e permr esmar la moraldad aual medae su uso e las hpóess de moraldad raervalo Co las esmacoes para cada año de edad se obee el modelo abular o abla de moraldad que es la forma más raada e la leraura y más empleada e el rabao acuaral Resumedo, el modelo abular clásco ulza valores eeros de para los que se calcula su correspodee valor segú S() La fala de valores ermedos para valores o eeros de se resuelve esablecedo uas hpóess de moraldad o méodos de erpolacó ere valores eeros cosecuvos que perme cosderar el modelo compleamee especfcado (especfcado para odos los valores posvos de ) El modelo abular se da a coocer como "abla de moraldad", "abla de supervveca" o "abla de vda" A couacó se presea dsrbucoes de supervveca cláscas, alguas co aplcacó sólo durae ervalos muy coros y específcos de empo (para las erpolacoes e la abla de moraldad), coherees co la evdeca empírca Ley de Movre Supoe u comporameo leal, co la edad, de la fucó de supervveca segú ua progresó arméca o egava pero decrecee: l(0) l(0) l( ) a b co b > 0, a l(0), w, b b La fuerza de moraldad que correspode a la epresó aeror será: b µ ( ) l(0) b Se ee ua fuerza de moraldad sempre crecee co la edad, lo que resrge su uldad a los ramos alos de edad La probabldad de muere se obedrá como / q µ ( ), eso es, drecamee proporcoal al ao saáeo de moraldad o fuerza de moraldad Prmera ley de Dormoy Supoe ua deermada forma de varacó de la fucó de supervveca, lo que equvaldrá a ua fucó de supervveca epoecal o egava, decrecee y covea respeco de la varable edad: l( + ) b l( ) co 0 < b < l( ) a b co a l(0) y b 0 s w La fuerza de moraldad que correspode a la epresó aeror será: µ( ) l b Se ee ua fuerza de moraldad cosae respeco de la edad lo que resrge su uldad a ervalos coros (erpolacó ere dos edades eeras cosecuvas, por eemplo) Segú las epresoes aerores se llega a probabldades de muere y de supervveca de la forma / q b y p b, que sólo depede de la amplud del ervalo cosderado Seguda ley de Dormoy Se modfca la prmera ley para que aparezca la varable edad e la fuerza de moraldad

6 Se elge u polomo de prmer grado que coduce a ua fuerza de moraldad crecee co la edad (o aplcable a persoas óvees): µ ( ) a + b co b > 0 La fucó de supervveca que correspode a la epresó aeror será: b a l( ) l(0) e e Eso es, o egava, decrecee y cócava Segú las epresoes aerores se llega a probabldades de muere y de supervveca que depede de la amplud del ervalo y de la edad cosderada Tercera ley de Dormoy Se modfca la prmera ley para que aparezca la varable edad e la fuerza de moraldad Se elge u polomo de segudo grado: µ( ) a+ b + c La fucó de supervveca que correspode a la epresó aeror será: b c a l ( ) l( 0) e e 3 e 3 Las epresoes aerores perme más posbldades auque complca los cálculos de posbles esmacoes Ley de Sag Supoe u comporameo de la fucó de supervveca geomérco respeco de la edad uo co la eseca de oro facor dferee a la edad: w l(0) b l(0) l( ) a + b co 0 < b <, a, w w b b La fuerza de moraldad que correspode a la epresó aeror será: b l b l b µ ( ) w w b b b Se observa como la fucó de supervveca es decrecee y covea respeco de la edad E realdad, supoe ua modfcacó de la prmera ley de Dormoy que se cosgue añadedo u érmo cosae e la fucó de supervveca para recoger la flueca e la moraldad de u facor dso de la edad Ley de Gomperz Se fudamea e u deermado comporameo del cremeo de la fuerza de moraldad: µ ( ) µ ( ) + O( ) co ce, O( ) f s 0 Se llega a ua fuerza de moraldad de la forma: µ ( ) c e La fucó de supervveca que correspode a la epresó aeror será: c c e l( ) l(0) e e Las epresoes aerores cosdera la edad como la úca causa de muere (o cluye facores accdeales), sedo la fuerza de moraldad sempre crecee co la edad, aspeco más relevae a edades alas Prmera ley de Maeham

7 Se fudamea e u deermado comporameo del cremeo de la fuerza de moraldad que reflea la posble eseca de facores accdeales: µ ( ) µ ( ) + + O( ) Se llega a ua fuerza de moraldad uca decrecee, de la forma: µ ( ) + c e co c > 0, > 0 La fucó de supervveca que correspode a la epresó aeror será: c c g e ( ) (0) l l e e e co g Seguda ley de Maeham Se fudamea e la aeror, pero añadedo a la fuerza de moraldad oro sumado proporcoal a la edad: µ( ) b c e + + La fucó de supervveca que correspode a la epresó aeror será: c c g b e ( ) (0) l l e e e e co g Las epresoes aerores perme más posbldades auque complca los cálculos de posbles esmacoes Ley de Lazarus Se roduce oro érmo e la prmera ley de Maeham para amplar su uldad e edades o ecesaramee alas: d d µ ( ) + c e + d e co e < La fucó de supervveca que correspode a la epresó aeror será: c d c g d h + e e d d l( ) l(0) e e e e co g, h d Las epresoes aerores perme más posbldades auque complca los cálculos de posbles esmacoes Ley de Webull Se basa e la sguee forma que supoe sgue la fuerza de moraldad: µ ( ) co > 0, > 0 La fucó de supervveca que correspode a la epresó aeror será: l ( ) l( ) e GRADUACION PARAMETRICA: AMPLIO RANGO DE EDADES Ceras epresoes ofrece la posbldad de eederse a u amplo rago de edades, so epresoes coocdas como fórmulas Gomperz- Maeham de po (r,s), r + s r α r, s r + GM ( ) + e r α α, o como fórmulas Log Gomperz- Maeham de po (r,s), r, s r, s GM α ( ) LGM α ( ), r, s + GM ( ) α

8 que ofrece la veaa de ser u log co rago de valores posble ere cero y uo Esas fucoes so esudadas dero del marco de los modelos leales y o leales geeralzados de uldad e el ámbo acuaral por Reshaw, AE (99) Ora posbldad surge co u couo de polomos orogoales formado ua base Ae u couo de puos {(, y ),,, m} el problema de ausar ua curva, segú uas poderacoes posvas { w,, w m }, lleva a mmzar ua epresó, para ceras fucoes, del po: m w [ y f )] ( Las fucoes de la epresó so de la forma f ( ) α p ; ( ) sedo los polomos segú el grado marcado por el subídce y orogoales co la codcó m 0 s r s w pr ( ) ps ( ) er s r s co er R La epresó a mmzar queda ( ) m S w y α p y se mmza gualado odas las dervadas parcales (respeco de los dsos alfas) a cero El resulado de esas ecuacoes, udo a la codcó egda a los polomos, coduce a u valor de los parámeros que o depede del grado de la fucó polómca elegda: m w y p α para,, m w [ p ( )] ( ) 5- GRADUACION PARAMETRICA: TODO EL RANGO DE EDADES Eederse a odo el rago de edades, desde el prmer año de vda al úlmo posble, supoe cosderar fucoes más flebles No ese muchos eos e esa dreccó ya que la solucó más habual lleva a dvdr el rago de edades ulzado para cada rago ua adecuada fucó Ua epresó debda a Helgma, L ad Pollard, LH (980) es: q D B [ f C ] ( ) A e q Para ulzar esa fórmula hay que deermar el úmero de sumados, deermar la fucó y ausar los parámeros resulaes E la poblacó de Ausrala se ulzó la epresó: q C ( + B) E( l l F ) ( 0 ) A + De + GH q

9 Se raa de ua fucó coua y que oma valores ere cero y uo, se aplca a odo el rago de edades (auque o cluya muchos parámeros), y ee ua deseable erpreacó demográfca: el prmer sumado es ua epoecal de crecmeo rápdo que dca el desceso de moraldad e los prmeros años; el segudo sumado recoge medae ua fucó smlar a la logormal la moraldad por accdees; el ercer sumado mafesa la moraldad e edades avazadas co ua ley de Gomperz El sgfcado de los parámeros se dealla a couacó El parámero A ee u valor semeae al que oma la probabldad de fallecmeo durae el prmer año de vda El parámero B mde la localzacó de la moraldad e el prmer año de vda, eedo efeco sólo a la edad de cero años El parámero C valora la dsmucó de la probabldad de muere e la faca (edades superores al año) El parámero D mde la magud de la ípca oroba de accdees para dvduos óvees El parámero E es verso a la dspersó El parámero F localza el mámo de la mecoada oroba El parámero G reflea el vel base e la moraldad sel, eso es, la moraldad de po adula-sel que se cosdera ese al acer El parámero H dca el ao de aumeo de la moraldad aeror para edades adulas El parámero 0 especfca ua edad para la cual q 0' 5, muy próma a la máma cosderada (la edad que se suele represear como w) El modelo de Carrere, JF (99 y 994) se basa e ua mura de fucoes de supervveca: S( ) w S ( ) Cada fucó de la mura represearía u ramo de edad y sus poderacoes dcaría las posbldades de fallecmeo de cada ueva vda e esos ramos de edad Carrere sugere aplcar ua mura de res fucoes: para la ñez ua fucó de Webull, para la adolesceca ua versa Webull o u versa Gomperz, y para edades adulas ua fucó de Gomperz El modelo resula co ocho parámeros, gual que el modelo ya mecoado de Helgma y Pollard 6- SPLINES: AMPLIO O TODO EL RANGO DE EDADES Los sples supoe ua solucó para ausar fucoes secllas a u amplo rago o a odo el rago de edades Auque o es ua fucó úca para odo el rago de edades, sí se raa de u couo de fucoes polómcas co cera cohereca coua Esa cohereca se ee por la codcó egda e los udos o puos de uó ere fucoes: las fucoes polómcas debe ser dervables hasa u orde meos que el grado del polomo que se ega (sedo gual el resulado e cada udo) No hay reglas geeralmee admdas para deermar el úmero de udos y la facó del puo o lugar de cada udo Cuaos más udos haya, mayor apromacó esrá ere los valores cales y los graduados 7- AJUSTE Y EVALUACIÓN Para ausar las fucoes, e la graduacó por fórmula maemáca, se ulza varos creros, desaca: regresó leal smple por mímos cuadrados (más ulzado co sples), regresó o leal por apromacó co seres de Taylor, máma verosmlud y míma ch-cuadrado

10 Publcado por UNESPA, ua abla de moraldad para la poblacó española ha ulzado la forma fucoal de Maeham y fue ausada por regresó mímo cuadráca Se raa del rabao de Ferádez, MJ y Preo Pérez, E (994) També adecuado es el méodo de máma verosmlud E el rabao de Cha, LK ad Paer, HH (983) se recomeda y se epoe su uso para modelos de decremeo smple y de decremeo múlple, para muesras compleas e compleas, co daos agrupados y s agrupar Supoe ua veaa sus propedades asócas (sesgo, míma varaza, ormaldad) que facla la obecó de la marz de covarazas de los parámeros α subyacees e las fórmulas que se ulce: ( ) ( ) L α Cov α E α α La dsrbucó para el úmero de mueres será la bomal, Posso o, por apromacó, la ormal (comeadas e la esmacó de moraldad) lo que guía a la verosmlud Los parámeros se susuye por las fucoes a ausar que correspoda E caso de pólzas duplcadas, se rasforma los daos (aes de clurlos e el modelo) dvdedo úmero real de mueres y eposcoes al resgo de muere ere u facor de correccó coocdo como rao varaza, r f f, sedo f la proporcó de asegurados para la edad que ee pólzas, co lo que s o hay duplcacoes el rao es uo y s hay es mayor que uo La varaza queda eoces mulplcada por el rao varaza como forma de compesar el cremeo de dspersó que supoe la aparcó de pólzas duplcadas E la graduacó clásca, ua vez seleccoada la fórmula y omado, por eemplo, u ause por máma verosmlud, permaece el problema de deermar el úmero de parámeros que se desea ega la fucó elegda La solucó a ese problema se puede obeer aalzado graduacoes co la msma fórmula pero co úmero de parámeros dferees como s se raara de comparar dos graduacoes, co úmero gual de parámeros pero sedo cero varos parámeros de la graduacó basada e la fucó de meos parámeros El es rao verosmlud proporcoa u esadísco de uldad para ese caso Perme deermar s se ee ua meora sgfcava al añadr más parámeros S se supoe dos fucoes co + parámeros, co parámeros gual a cero e ua de ellas, se geera u esadísco que compara los valores mámos de las verosmludes: L( + ) D ( ) [ log L( + ) L( ) ] log L( ) El esadísco se compora como ua ch-cuadrado co grados de lberad Ua dscusó sobre su aplcacó e moraldad esá e Co ad Oaes (984) Ua eresae aplcacó de pruebas para acepar o rechazar ua deermada graduacó puede ecorarse e Navarro, Elseo (99) El aálss se dedca a eamar las desvacoes ere valores esmados y valores graduados a lo largo de oda la secueca Se cosdera que las desvacoes ee que esar dsrbudas de

11 forma aleaora (o hay errores ssemácos e oda la secueca de valores graduados) y su dsrbucó cocrea será coheree co las hpóess cales ulzadas (segú modelo bomal, Posso o ormal empleado) Aededo a esas drecrces geerales se elabora uas pruebas para las desvacoes absoluas y relavas ere esmacoes cales y corregdas, cosderádolas dvdualmee y dero de la secueca oal Los ess o pruebas que se mecoa so: es de ervalos de cofaza, es de desvacoes relavas, es de desvacoes acumuladas, es de sgos, es de cambo de sgo, es de la ch-cuadrado, es de Kolmogorov-Smrov 8- DINAMICIDAD DE LA MORTALIDAD Parece evdee la evolucó e el empo croológco del feómeo de la moraldad E el rabao de MacDoald, AS e al (998) se apora y aalza esudos empírcos para comparar la evolucó y las úlmas edecas aprecadas e la moraldad e dferees países Eso dca que u esudo de moraldad e base a daos presees debe complearse, cuado se busque cera valdez a lo largo del empo, co ua proyeccó haca fuuro A vel eórco presea erés el arículo de Jasse, J ad Sadas, CH (995) E ese rabao se desaca y se sgue a couacó, por su aplcacó e el campo acuaral, las vesgacoes de Beam, B ad Solma, AS (995) y de Felpe Checa, María de los Ágeles y Gullé Esay, Moserra (999) Ua vez realzadas las esmacoes defvas, para proceder a modelzar la moraldad cosderado el empo de caledaro se puede proceder de res formas: segú proyeccoes para cada valor de la abla de moraldad, segú proyeccoes del modelo esrucural omado e la abla de moraldad y segú ua proyeccó aededo a las causas del fallecmeo Los méodos basados e proyeccoes para cada valor de la abla de moraldad ulza modelos paramércos para cada edad e los que aparece la varable empo caledaro de forma eplíca So modelos del po: q ( ) f (, α, ), dode es la edad que se esuda, la varable empo caledaro y α u vecor de parámeros Ege u segumeo e el empo de los esudos de moraldad E las ablas de moraldad alemaas DAV994R se emplea el modelo: q ( ) ab Se lealza omado logarmos y se aplca el méodo de mímos cuadrados ordaros Los parámeros esmados deerma el modelo que proyeca la probabldad de muere segú se roduce valores a la varable E las ablas españolas, realzadas para UNESPA por Ferádez Plaseca, MJ y Preo Pérez, Eugeo (994) para proyecar la moraldad se ulza u modelo para la d esperaza de vda: e ( ) a + b [ e ], que perme obeer la probabldad de muere medae la relacó 0'5 e+ q e 0'5 E las ablas de moraldad suzas GRM/GRF995 se emplea el modelo: d ( 0 ) q ( ) q ( 0 ) e, sedo 0 el empo caledaro cal

12 De forma coua pero co u cambo de escala, se cosdera la edad y el empo e el rabao de Haberma, S; Hazopoulos P ad Reshaw, AE (996), medae ua epresó referda al ao saáeo de moraldad y que coee caorce parámeros: µ ( ) ep b0 + bl ( ') ep a + c L ( ') ' + a + c L ( ') ' Todos esos modelos supoe la auseca de cambos esrucurales e el empo e el que se oma las muesras y e el empo fuuro e que se proyeca E esos casos, sólo la smulacó de escearos ayudaría a aalzar el mpaco fuuro de cambos esrucurales Los méodos de esmacó que se ulza e la esmacó de los parámeros supoe perurbacoes aleaoras co comporameo ormal de meda cero Esa hpóess es dscuble debdo a las rasformacoes logarímcas que se realza e los modelos Además, se debería probar la o eseca de auocorrelacó Los méodos basados e proyeccoes del modelo esrucural ulzado e la abla de moraldad obee las probabldades de fallecmeo proyecadas medae cambos e los parámeros del modelo El modelo más empleado e ese po de proyeccoes es el ya mecoado modelo de Helgma-Pollard U eemplo se ecuera e Felpe Checa, María de los Ágeles y Gullé Esay, Moserra (999): se esma la probabldad de muere por mímos cuadrados o leales poderados (segú la versa de la probabldad de muere observada) para odo el rago de edades y cada uo de los años caledaro, después se aplca el aálss uvarae de seres emporales (ARIMA) para cada uo de los parámeros de la ley Helgma-Pollard co el f de obeer predccoes de odos ellos, ésas predccoes deerma las predccoes de las probabldades de muere (para cada edad e el caledaro fuuro) A pesar del erés de las proyeccoes del modelo esrucural, persse el problema de la valdez ae cambos poserores al perodo de observacó Esa suacó se debe al uso de seres emporales (los parámeros ee comporameo auorregresvo) E la prácca, avaces médcos relevaes o epdemas sgfcavas mpde la valdez de las proyeccoes efecuadas Los méodos basados e proyeccoes aededo a las causas del fallecmeo argumea que podría obeerse meores predccoes de moraldad fuura proyecado por separado la moraldad debda a ceros grupos de efermedades y la moraldad u resduo de fallecmeo por causas varas Falmee, se sumaría las dsas proyeccoes Beam, B ad Solma, AS (995) ulza la clasfcacó de efermedades de la OMS, las causas se cosdera ecluyees y se dea ua causa defda como reso de causas La relacó ere la probabldad geeral de muere y la probabldad segú las dferees causas de muere (I,II,VII,VIII,IX,XII,R) se supoe de la forma: l q l q( I) l q( II) l q( VII) l q( VIII) l q( IX ) l q( XII) l q( R) La evolucó e el empo caledaro se oma como: l q ( ) l a ( ) + l b ( ) co I, II, VII, VIII, IX, XII, R Evdeemee, se ecesa formacó deallada de la causa de muere para realzar ese aálss Presea los coveees mecoados e el méodo deomado de proyeccó para cada valor de la abla (sería ua varae realmee)

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