Razones y Proporciones

Transcripción

1 Razones y Proporciones Razon: Una razón es el cuociente entre dos cantidades. Se escribe a b donde a se denomina antecedente y b se denomina consecuente. o a:b y se lee: a es a b en Proporción: Una proporción es la igualdad de dos razones. Se escribe x a = y b como y es a b; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios. Y se lee x es a a Teorema Fundamental: En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. (x : a = y : b) Observación: Si x : a = y : b, entonces existe una constante k, denominada constante de proporcionalidad, tal que: (x = ka,y = kb;k 0) Proporcionalidad directa: Dos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es constante. x 1 y 1 = x y = x 3 y 3 = = x n y n = k Observación: En una proporción directa, si una cantidad aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta (disminuye) el mismo número de veces. El gráfico de una proporcionalidad directa corresponde a una línea recta que pasa por el origen. Definición: Dos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores correspondientes es constante: (x 1 y 1 = x y = x 3 y 3 = = x n y n = k) Observacion: En una proporcionalidad inversa, si una cantidad aumenta (o disminuye) n veces, la otra disminuye (o aumenta) el mismo número de veces. El gráfico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hipérbola equilátera. Ejercicios 1. Dada la siguiente tabla: A B 3 x 1, 5 Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III I) A y B son directamente proporcionales. II) El valor de x es. III) La constante de proporcionalidad inversa es 30. e) I, II y III

2 . electricistas hacen un trabajo en 6 días, trabajando 8 horas diarias. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III I) 4 electricistas harán el trabajo en 3 días, trabajando 8 horas diarias II) Los electricistas y las horas son directamente proporcionales III) La constante de proporcionalidad es 3. e) I, II y III 3. En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos que suman en total 300 árboles. Si hay 10 naranjos y la razón entre los duraznos y manzanos es 7 : 3, entonces cuántos duraznos hay en la quinta? a) 54 b) 77 c) 84 d) 16 e) y es inversamente proporcional al cuadrado de x, cuando y = 16, x = 1. Si x = 8, entonces y = a) 1 b) 1 4 c) d) 4 e) 9 5. Se sabe que a es directamente proporcional al número 1 b de b es 4. Si a toma el valor 6, entonces el valor de b es: y cuando a toma el valor 15, el valor a) 10 b) 8 5 c) 5 8 d) 1 10 e) 15 4

3 6. En un mapa (a escala) se tiene que cm en él corresponden a 5 km en la realidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 5,4 cm, entonces la distancia real es: a) 50 km. b) 65 km. c) 67,5 km. d) 6,5 km. e) Ninguno de los valores anteriores. 7. Dos variables N y M son inversamente proporcionales entre sí. Para mantener el valor de la constante de proporcionalidad, si M aumenta al doble, entonces N a) Aumenta el doble. b) Disminuye a la mitad c) Aumenta en dos unidades. d) Disminuye en dos unidades. e) Se mantiene constante. 8. En la tabla adjunta z es directamente proporcional a 1 y, según los datos registrados, el valor de a c, es: a) 56 b) 16 c) 1 16 d) 64 e) 1 64 z y 8 a /4 b 9. Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si la razón entre los pesos de M y S es 3:4, entonces la razon S:K es a) 4:7 b) 4:3 c) 7:4 d) 3:7 e) 3:4

4 10. Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta de modo que sus volúmenes están en la razón 1::3. Si el volumen del segundo tipo es de 4 litros, cuántos litros tiene la mezcla total? a) 6 litros. b) 10 litros. c) 1 litros. d) 14 litros. e) 16 litros. 11. A un evento asistieron 56 personas. Si había 4 mujeres por cada 3 hombres, cuántas mujeres asistieron al evento? a) 8 b) 1 c) 4 d) 8 e) 3 1. Si h hombres pueden fabricar 50 artículos en un día, cuántos hombres se necesitan para fabricar x artículos en un día? a) hx 50 b) 50x h x c) 50h d) h 50x e) Ninguno de los valores anteriores. 13. Las variables x, w, u, v son tales que: x es directamente proporcional a u, con constante de proporcionalidad, y w es inversamente proporcional a v, con constante de proporcionalidad 8. Cuáles de las siguientes relaciones entre dichas variables representan este hecho? a) x u = y w v=8 b) x u = y w +v = 8 c) x u = y w v = 8 d) x+u = y w v = 8 e) x+w = 10

5 14. Un trabajador X, trabajando solo se demora t días en hacer un jardín, otro trabajador Y se demora t + 15 días en hacer el mismo jardín, y si ambos trabajan juntos se demoran 10 días. Cuántos días se demorará Y trabajando solo? a) 30 b) 8 c) 5 d) 0 e) Si el índice de crecimiento C de una población es inversamente proporcional al índice D de desempleo y en un instante en que C = 0,5 se tiene que D = 0,5, entonces entre ambos índices se cumple: a) D = 0,5 b) D = C c) D = 0,5 C d) D = 0,15C e) D = 0,15 C 16. Para hacer arreglos en un edificio se contratará un cierto número de electricistas. Si se contratara electricistas, ellos se demorarían 6 días, trabajando 8 horas diarias, cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? a) Sólo I I) Si se contrataran 4 electricistas, se demorarían 3 días, tr b) Sólo III bajando 8 horas diarias. c) Sólo I y II d) Solo II y III e) I, II y III II) El número de electricistas y el numero de días son variabl directamente proporcionales. III) La constante de proporcionalidad entre las variables es n y m son directamente proporcionales y su constante de proporcionalidad es 3. Cuál de las siguientes tablas representa dicha relación? m n 3 1 a) c) e) m n m n b) d) m n ,5 1 0, 5 m n

6 Porcentaje El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los términos de la proporción es 100: Q C = P 100 Q = P 100 C Q = P %C P: es el tanto por ciento. C: es la cantidad de referencia. Q: es el porcentaje. El tanto por ciento P de una cantidad C expresado en fracción es P % de C= P 100 C Observación: Dos o mas tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar. a% de C ±b% de C = (a±b)% de C El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de los tantos por cientos. a% del b% de C = a 100 b 100 C Definición de interés simple: Una cantidad C crece a una tasa del i% por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de tiempo es fijo. La cantidad final CF después de cumplido el periodo n está dada por la fórmula: [ C F = C 1+n i ] 100 Observación: Un capital está sometido a un régimen de interés simple cuando, al finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses son retirados. En este caso el capital permanece inalterable. Definición de interés compuesto: Una cantidad C crece a una tasa del i% por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad. La fórmula para calcular la cantidad final CF después de cumplido el periodo n es: [ C F = C 1+ i ] n 100 Observación: Un capital está sometido a un régimen de interés compuesto cuando, al finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses no se retiran y se añaden al capital para producir nuevos intereses.

7 Ejercicios 1. En un supermercado hay supervisores, cajeros y reponedores. Si el 60% de los trabajadores son reponedores, 18 son supervisores y éstos son un tercio de los cajeros, cuál es el total de trabajadores? a) 108 b) 7 c) 180 d) 90 e) 54. Una persona deposita $1.000 y en tres años gana $157, 5. Calcular el interés simple anual. a) 5% b) 5,5% c) 5.5% d) 5,75% e) 15,75% 3. Un par de zapatos más dos pantalones valen $ en una tienda. Se ofrece una oferta, al comprar dos o más pares de zapatos del mismo precio se descuenta un 10% en cada par y por tres o más pantalones del mismo precio un 15% en cada pantalón. Juan paga por tres pantalones $38.50 y luego, compra dos pares de zapatos. Cuánto pagó Juan por los dos pares de zapatos? a) $ b) $ c) $ d) $7.000 e) $ Un vendedor recibe de sueldo, al mes, más un 8% de las ventas por comisión. Cuánto debe vender para ganar en el mes? a) $54.65 b) $ c) $ d) $ e) $

8 5. En una tienda un televisor de 9 pulgadas se ofrece con un 40% de descuento, si el precio normal es de $ 50000, entonces el precio a pagar es: a) $ b) $ c) $ d) $ e) $ Si un grupo de 8 albañiles levantan una pared en 8 horas, entonces en cuánto tiempo levantarán la misma pared 4 albañiles? a) 4 horas b) Las mismas 8 horas c) 1 horas d) El doble de las horas que demoraron el grupo de 8 albañiles e) El cuádruplo de las horas que demoraron el grupo de 8 albañiles 7. El 30% de 30 centésimos es igual a: a) 900 b) 90 c) 9 d) 0,9 e) 0,09 8. Si el diámetro de un círculo es incrementado en un 100%, entonces su área se incrementa en un: a) 100% b) 00% c) 300% d) 400% e) Otro porcentaje

9 Raíces Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces n a es el único real b, no negativo, tal que b n = a n a = b b n = a, b 0 Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces n a es el único real b, tal que b n = a n a = b b n = a, b R Observaciones 1. Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces n a No es real.. La expresion n a k, con a real no negativo, se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario n a k = a k n 3. a = a, para todo numero real. Propiedades Si n a y n b estan definidas en R se cumplen las siguientes propiedades: Multiplicación de raíces de igual índice n a n b = n a b División de raíces de igual índice n a n b = n a b, b 0 Potencia de una raíz n am = ( n a) m, a > 0 Raíz de una raíz n m a = n m a Amplificación y simplificación del orden de una raíz n a = m n a m, m Z +, a R +

10 Producto de raíces de distinto índice n a m b = m n a m b n, a,b R + Factor de una raíz como factor subradical Racionalización b n a = n b n a, b R + Consiste en eliminar las raices del denominador de una fracción. Básicamente se distinguen tres casos: 1. Que el denominador sea una raíz cuadrada: en este caso se multiplica numerador y denominador por la misma raíz. Ejemplo: 5 = 5 = 5. Que el denominador no sea una raíz cuadrada: en este caso se multiplica numerador y denominador por una raíz del mismo índice que el denominador, pero con un radicando elevado a un exponente que pueda eliminar raíz del denominador. Ejemplo: 5 3 = = Que el denominador sea un binomio con raíces cuadradas: en este caso debemos de multiplicar numerador y denominador por el conjugado. Ejemplo: 5 3 = (5+ 3) (5 3) (5+ 3) = ( 3) = = 10+ 3

11 Ejercicios =. 3. a) 16 3 b) 4 3 c) 3 d) 3 3 e) No se puede determinar = a) 61 0 b) 7 c) d) e) Ninguno de los valores anteriores. 3 a x+ 3 a x+1 = a) a 3x+3 6 b) a 3x+3 c) a 3x d) a x+3 e) a x+1 4. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) cuando la variable x toma los tres valores 0, 1 y 1? a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y III I) x = x II) x = x III) x = x e) Ninguna de ellas. 5. ( ) 3 ( +) 4 +( ) 4 ( +) 3 es un número: a) Racional positivo. b) Racional negativo. c) Irracional positivo. d) Irracional negativo. e) No real.

12 6. 3 = a) b) c) d) e) Si = a, 3 = b y 5 = c, entonces cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) equivalentes a 60? a) Sólo I b) Sólo II I) bc c) Sólo III II) 4 a4 b c d) Sólo I y II III) a bc e) Sólo I y III 8. Al simplificar la expresión resulta: a) 3 b) + 14 c) + d) 7+ e) = a) 3+ b) 15 c) d) 0 5 e) Ninguno de los valores anteriores. 10. ( ) : = a) 10 b) 10 c) 8 5 d) 3 e) 40

13 = a) 5 b) c) 1 d) 5 3 e) Si = t, entonces el valor de t es: a) 3 b) 0 c) 3 d) e) 13. (0,5) 1 a = a) ( 1 b) ( 1 ) a ) 1 a c) ( 1 d) ( 1 e) ( 1 ) a )a ) a 14. Cuál(es) de los siguientes pares ordenados es(son) solución(es) de y = x +5+ x? a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I, II y III I) (,5) II) (, 5) III) (, 1) e) Ninguno de ellos. 15. Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)? a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y III I) 8 II) III) 4 e) Sólo II y III

14 = a) 0 3 b) c) 6 9 d) 6 9 e) Si 0 < x < 1 cuál de las siguientes opciones es verdadera? a) x > x b) 1 x < x c) 1 x > x d) x < 1 e) x < x x 7 3 = a) 7 x 7 9 b) 3 3x 3 9 c) 3 x+3 d) 9 x+3 e) 3 x Dados los números reales 3, 11 3, 7, 3, al ordenarlos de menor a mayor, el término que queda en el centro es: a) 3 b) 3 c) 7 d) 11 3 e) (5 3)( 3+5 ) = a) 5 5 b) 4 5 c) 7 d) 47 e) 0

15 1. El número 16 es igual a: a) 4 b) 3 c) ( ) 4 d) 14 e) Ninguno de los valores anteriores. ( ) 5 3. Si y = 3 + cuál es el valor de 15y +1? 5 a) 65 b) 64 c) d) e) Si p = 3 5 y q = 5+3, entonces p q = a) b) c) d) e) Ninguno de los valores anteriores a 6n 6 = a) a n 6 b) a n c) a 1 n d) a 1 n 6 e) a 6n 5. Para todo m > 0 la expresión 3 m 4 3 m m es igual a: a) m 8 b) m 7 c) m 5 5 d) m 7 6 e) m 7

16 6. Si p < 0, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? q a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y III e) Sólo II y III I) p + q = p + q II) p + q = p+q III) p + q > 0 7. a a = 4 a) a 4 b) a 3 c) a d) a a e) a 4 a 8. Para la expresión x 3 sea real, es necesario y suficiente que: a) x 3 b) x 3 c) x 3 d) x 3 e) x 3 9. De las afirmaciones siguientes, cuál(es) es(son) verdadera(s)? a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I, II y III I) a b = a b II) a +b = a+b III) a b = b a e) Ninguna de las anteriores ( + 3 8) = a) 3 6 b) 3+ 6 c) 3 6 d) 3+ 6 e) 3

17 31. Determina el valor de a) 3 1 b) 15 1 c) 3 d) e) Cuál es el resultado de ( 9)? a) 7 b) 5 c) 1 d) 1 e) Cuál es el valor de (ax +1), cuando a = 3 y x = 4 1? a) 37 b) 36 c) d) e) Al racionalizar se obtiene: 5 5 4, para que su deno- a) 5+1 b) 5 1 c) 4( 5+1) d) 4( 5 1) 5+1 e) Por cuál de los siguientes terminos se puede amplificar la fracción minador sea un número racional? a) b) c) d) e)

18 36. Si el volumen de un cubo se calcula como a 3 siendo a la arista, determine la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es 54 u 3. a) 3 3 u b) 3 u c) 54 u d) 9 u e) 18 u 37. El área de un circulo es π r, siendo r el radio y π una constante cuyo valor aproximaremos a 3, entonces cuál es el valor aproximado del área de un círculo si el radio es 3 3 cm? a) 3 4 cm b) 7 3 cm c) 9 3 cm d) 9 cm e) 54 cm 38. El valor de 0,0049 es: a) 0,007 b) 0,07 c) 0,0007 d) 0,00007 e) Ninguna de las anteriores. 39. La expresión ( ) 3 11 es igual a: 100 a) b) c) d) e) Ninguna de las anteriores. 40. Se puede determinar que el resultado de (a 1) 4 será un número par positivo si: (1) a es impar. () a 1 a) (1) por sí sola. b) () por sí sola. c) Ambas juntas (1) y (). d) Cada una por sí sola (1) ó (). e) Se requiere informacion adicional.