Análisis de la Varianza de dos factores con replicaciones: Caso Balanceado (Scheffé, 1959)

Transcripción

1 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 1 Análss de la Varanza de dos factores con replcacones: Caso Balanceado cheffé, 1959 En este eemplo nos nteresa el tempo de coagulacón en mnutos del plasma sanguíneo para 3 tratamentos y concentracones de adrenalna mezclada con el plasma Para cada combnacón de tratamento y concentracón de adrenalna, se tomaron 3 observacones ndependentes e obtuveron los sguentes datos: Concentracón Tratamento

2 Modelo Lneal 03 Ana M Banco En este caso tenemos dos factores: Factor A: Tratamento con tres nveles Factor B: Concentracón dos nveles y dentro de cada casllero tenemos la msma cantdad de replcacones K, en este caso K=3 Podemos pensar que nuestros datos se dsponen en una tabla de doble entrada como la anteror una entrada para el factor A y otra para B y en la que en cada caslla tendremos las replcacones de cada una de las combnacones de los factores A y B

3 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 3 Factor B Factor A 1 J Y 111 Y 11 Y 11 Y 1 Y 1J1 Y 1J 1 Y 11K Y 11 Y 1 Y 1K Y 1K Y 1 Y Y K Y 1JK Y J1 Y J Y JK Y l Y I11 Y I1 Y I1 Y I Y IJ1 Y IJ I Y I1K Y IK Y IJK

4 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 4 Cada observacón Y k puede escrbrse como: Y k = + k donde k representa el error, la meda que depende del cada nvel del Factor A Flas y de cada nvel del Factor B Columnas y el subíndce k dentfca la replcacón dentro de cada casllero Asumremos que k N0, ndependentes Cuando el número de observacones dentro de cada casllero es constante decmos que el dseño es balanceado Vamos a consderar el caso balanceado Para cada observacón, podríamos consderar un modelo que nvolucre una meda general, el efecto del tratamento y el efecto de la concentracón de adrenalna: Esto es lo que conocemos como Modelo Adtvo Y k = k Veamos que podría ocurrr con

5 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 5 n embargo, podría ocurrr que el efecto de certo tratamento no sea el msmo para los dstntos nveles de concentracón de adrenalna En este caso dríamos que hay nteraccón

6 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 6 Cómo representar esto en el modelo? Deberíamos pensar en un Modelo No Adtvo Escrbmos cada observacón Y k puede escrbrse como: Y k = + k

7 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 7 Podemos pensar que cada es una suma de 4 térmnos: Una meda general, Efecto del nvel del Factor A: Efecto del nvel del Factor B: Luego Notemos que Interaccones : Y k = k que es de la forma donde 0

8 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 8 Estmacón Tenemos que mnmzar, k Y k Obtenemos el estmador de mínmos cuadrados de resolvendo k Y k 0 con lo cual y queda Y Y Y, k k

9 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 9 Notemos que en este caso la matrz de dseño X es: Por lo tanto todas funcones paramétrcas son estmables, en partcular:,, y IJ p rgx : : 1 : : : 1 0 : : : : : : IJ

10 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 10 Luego, por el Teorema de Gauss-Markov, los estmadores de mínmos cuadrados de,, y los obtenemos reemplazando a por su estmador Así obtenemos: Resultando y y y y y y y y y

11 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 11 La hpótess de gualdad de los efectos de los I nveles del Factor A flas puede plantearse medante la hpótess nula: H A : 1 = = = I = 0, la hpótess de gualdad de los J nveles del Factor B columnas se plantea como: H B : 1 = = = J = 0, mentras que la ausenca de nteraccones, la testearíamos a través de la hpótess H AB : 11 = 1 = = IJ = 0 La ausenca de nteraccones mplca que la dferenca de medas de dos nveles de un factor es la msma para todos los nveles del otro factor

12 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 1 La suma de cuadrados puede ser reescrta como: k k k k k k Y Y Y,,, y usando las restrccones 0 queda K IK JK IJK, Esta expresón es muy útl pues bao H A, H B, o H AB permte ver que los estmadores son los msmos que bao

13 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 13 Por eemplo, bao H A : 1 = = = I = 0, tendríamos K IK JK IJK, Por lo tanto, se mnmza cuando ademas y, En este caso además tendríamos A JK Análogamente

14 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 14 B AB IK K, Para testear, por eemplo H A n - r q A n - IJ I -1 JK n - IJ I -1, JK k Y k Y En cuanto a los grados de lbertad de cada una, es decr q, es el número de condcones l estmables mpuestas por cada hpótess

15 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 15 Los grados de lbertad de cada una de estas sumas son: A : I-1 B : J-1 AB : I-1J-1 E: T: IJK-1 n-1=i*j*k-1 Por lo tanto la Tabla de Análss de la Varanza será:

16 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 16 Extraída de cheffé, 1959

17 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 17 EJEMPLO: factores con replcacones upongamos que nos nteresa estudar el efecto del porcentae de grasa corporal factor A, 3 nveles y del sexo factor B en la toleranca al eercco físco en personas de 5 a 35 años de edad Esta toleranca se mde en mnutos antes de que ocurra la fatga en suetos realzando bccleta fa Dos suetos fueron sometdos al test de toleranca para cada grupo de sexo-grasa A partr de los datos obtendos se calculó la sguente tabla de análss de la varanza para el modelo: Y k = k =1,, 3 =1,, k=1,

18 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 18 grasa<readtable"c:\\users\\ana\\modelolneal\\doctex\\grasatxt",header=t grasa attachgrasa namesgrasa plottolera~ EXO + GRAA, data=grasa

19 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 19 nteractonplotexo,graa,tolera,col=:3

20 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 0 nteractonplotexo,graa,tolera,col=:3

21 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 1 ANALYI OF VARIANCE TABLE FOR TOLERA g <- lmtolera~graa*exo, grasa anovag Analyss of Varance Table Response: Tolera Df um q Mean q F value Pr>F GRAA e-05 *** EXO GRAA:EXO Resduals gnf codes: 0 *** 0001 ** 001 * Comenzamos por testear la hpótess de ausenca de nteraccones H AB : 11 = 1 = = 0 Como el p-valor obtendo para el test de F correspondente es 03747, no podemos rechazar H AB,

22 Modelo Lneal 03 Ana M Banco Por qué testeamos prmero H AB? No tene tene sentdo testear los efectos prncpales cuando hay nteraccón, a menos que hubera un nterés específco Un p-valor bao en el test para H AB sugere que cada factor tene un efecto en la varable de respuesta, pero el tamaño de este efecto depende del nvel del otro factor Por esta razón testeamos en prmer térmno H AB el p-valor para testear H AB no es pequeño, testeamos H A y H B en cambo, el p-valor es pequeño, no podemos descartar la presenca de nteraccones y comparamos las medas entre los dstntos nveles de un factor, fado el nvel del otro factor Como en este eemplo p-valor es y no podemos rechazar H AB, estamos en condcones de testear H A y H B deseáramos verfcar s el sexo tene algún efecto sobre la toleranca al eercco físco deberíamos testear H B : 1 = = 0, y como el p-valor del test correspondente es 036, no podemos rechazar la hpótess de que el efecto del sexo sea nulo

23 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 3 Por otra parte, podría nteresarnos testear H A : 1 = = 3 = 0 El p-valor obtendo para el test de F correspondente es 00001, en consecuenca rechazamos la hpótess de que el efecto del porcentae de grasa es el msmo para los tres nveles nos nteresase realzar ntervalos de confanza smultáneos para las dferencas entre las medas de los nveles de porcentae de grasa podemos calcular los ntervalos medante el método de Tukey con un nvel global de 95%:

24 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 4 salda<-aovtolera~exo*graa toleratuk<-tukeyhdsalda,"graa",ordered=fale,conflevel=095 plottoleratuk

25 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 5 EJEMPLO: factores con replcacones plasma<readtable"c:\\users\\ana\\modelolneal\\doctex\\plasmatxt",header=t attachplasma namesplasma trat<- factortrata concentra<- factorconcentra plottempo~trat + concentra, data=plasma

26 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 6 Y k = k =1,, 3 =1,, k=1,,3 nteractonplottrat,concentra,tempo,col=:3

27 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 7 nteractonplotconcentra,trat,tempo,col=:4

28 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 8 g <- lmtempo~trat*concentra, plasma anovag Analyss of Varance Table Response: Tempo Df um q Mean q F value Pr>F trat e-06 *** concentra e-07 *** trat:concentra * Resduals gnf codes: 0 *** 0001 ** 001 * Como antes comenzamos por testear la hpótess nula H AB En este caso la hpótess nula es rechazada al 5% Compararemos las medas de todas las combnacones

29 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 9 tempotuk<-tukeyhdsalda,ordered=fale,conflevel=095 parcex=05 plottempotuk,cex= Tamben podra escrbrse: tempotuk<- TukeyHDsalda,"trat:concentra",ordered=FALE,conflevel=095

30 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 30

31 Modelo Lneal 03 Ana M Banco 31 Una forma de resumr esta nformacón es consderando: TRAT CONCENTRA MEAN GROUP I I I I I I I Donde se ve que hay cuatro grupos de medas que no dferen sgnfcatvamente unas de otras