IES Fco Ayala de Granada Junio de 2015 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2015 MODELO 4

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1 IES Fco Ayala de Graada Juio de 015 (Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 015 MODELO 4 OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) ( 5 putos) Co motivo de su iauguració, ua heladería quiere repartir dos tipos de tarrias de helados. El primer tipo de tarria está compuesto por 100 g de helado de chocolate, 00 g de helado de straciatella y 1 barquillo. El segudo tipo llevará 150 g de helado de chocolate, 150 g de helado de straciatella y barquillos. Sólo se dispoe de 8 kg de helado de chocolate, 10 kg de helado de straciatella y 100 barquillos. Cuátas tarrias de cada tipo se debe preparar para repartir el máximo úmero posible de tarrias? Co motivo de su iauguració, ua heladería quiere repartir dos tipos de tarrias de helados. El primer tipo de tarria está compuesto por 100 g de helado de chocolate, 00 g de helado de straciatella y 1 barquillo. El segudo tipo llevará 150 g de helado de chocolate, 150 g de helado de straciatella y barquillos. Sólo se dispoe de 8 kg de helado de chocolate, 10 kg de helado de straciatella y 100 barquillos. Cuátas tarrias de cada tipo se debe preparar para repartir el máximo úmero posible de tarrias? Es u problema de programació lieal, pero ates de poer las restriccioes y la fució objetivo os fijamos e que hay que poer las mismas uidades; todo e gramos o todo e kilogramos. 100 g y 150 g de helado de chocolate = 0 1 y 0 15 kg de helado de chocolate 00 g y 150 g de helado de straciatella = 0 kg y 0 15 kg de helado de straciatella Sea x = º de tarrias del primer tipo (A). Sea y = º de tarrias del segudo tipo (B).. Para determiar las iecuacioes y la fució objetivo F(x,y), poemos u cuadro de doble etrada que os lo simplificará. Helado Helado Barquillos chocolate straciatella Tarria A (x) Tarria B (y) Total Teiedo e cueta lo aterior teemos las siguietes iecuacioes, y la fució beeficio: De se dispoe de 8 kg de helado de chocolate 0 1x y 8. De se dispoe de 10 kg de helado de straciatella 0 x y 10. De se dispoe de 100 barquillos x + y 100. De se fabrica algua tarria del tipo A y del tipo B x 0, y 0. De Cuátas tarrias de cada tipo se debe preparar para repartir el máximo úmero posible de tarrias, teemos la fució a optimizar es F(x,y) = x + y. Resumiedo: Fució a optimizar es F(x,y) = x + y. Restriccioes: 0 1x y 8; 0 x y 10; x + y 100; x 0; y 0 Las desigualdades 0 1x y 8; 0 x y 10; x + y 100; x 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y sus gráficas ya so rectas, 0 1x y = 8; 0 x y = 10; x + y = 100; x = 0; y = 0 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -x/ /3; y = -4x/3 + 00/3; y = -x/ + 50; x = 0; y = 0 Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = 0, teemos el vértice A(0,0). De y = 0 e y = -4x/3+00/3, teemos 0 = -4x/3+00/3 4x = 00 x = 50, y el vértice es B(50,0). De y = -4x/3+00/3 e y = -x/+50, teemos -4x/3+00/3 = -x/ x+400 = -3x = 5x, de dode x = 0, co lo cual y = -(0)/+50= = 40, y el vértice es C(0,40). De x = 0 e y = -x/ + 50, teemos y = 50, y el vértice es D(0,50). Vemos que la regió factible es el polígoo coexo limitado por los vértices del recito, que so: A(0,0), B(50,0), C(0,40) y D(0,50). Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, que es el polígoo coexo limitado germa.jss@gmail.com 1

2 IES Fco Ayala de Graada Juio de 015 (Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua por los vértices A, B, C, y D de los cortes de dichas rectas, cuyos lados so los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Veamos la solució óptima de la fució F(x,y) = x + y e el recito aterior, así como los putos e los que se alcaza. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos f e los putos ateriores A(0,0), B(50,0), C(0,40 y D(0,50). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,0) = (0) + (0) = 0; F(50,0) = (50) + (0) = 50; F(0,40) = (0) + (40) = 60; F(0,50) = (0) + (50) = 50. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 60 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(0,40), por tato para repartir el máximo úmero posible de tarrias hay que fabricar 0 del primer tipo y 40 del segudo tipo. EJERCICIO (A) (1 5 putos) Calcule la derivada de cada ua de las siguietes fucioes: 3 l(x) 1 f(x) =, g(x) = (1 x ) (x 3 1), h(x) = 3x + 3 x x e (1 puto) Halle las asítotas de la fució p(x) = 3x - 1 (1 5 putos) Calcule la derivada de cada ua de las siguietes fucioes: 3 3 l(x) (3/x) x - 3 l(x) 3x 3x - 9x l(x) 3x (1-3 l(x)) f(x) =, f (x) = = =, x (x ) x x g(x) = (1 x ) (x 3 1), g (x) = -x (x 3 1) + (1 x ) (x 3 1) 3x = -x (x 3-1) [ (x 3-1) - 3x (1 - x )] = = -x (x 3-1) (4x 3-3x - 1) = -8x 7 + 6x x 4-6x - x. 1 h(x) = 3x + = 3x - + e -x ; h (x) = 6x e -x = 6x x x e e Halle las asítotas de la fució p(x) = 3x - 1 La recta x = a es ua asítota vertical de f si. x 4 + asítota vertical de p(x). x a lim x 4 + 3x - 1 = (8/0+ ) = +, la recta x = 4 (º que aula el deomiador de p(x) ) es ua germa.jss@gmail.com

3 IES Fco Ayala de Graada Juio de 015 (Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Para la posició relativa lim p(x) = x 4 lim x 4 3x - 1 = (8/0- ) = -. Sabemos que los cocietes de fucioes poliómicas de igual grado umerador y deomiador, tiee ua asítota horizotal, y es la misma e ±. La recta y = b es ua asítota horizotal (A.H.) de f si de p(x). lim p(x) = x lim ( p(x) 7/3 ) = x lim ( p(x) 7/3 ) = x 3x - 1 = 3x = f(x) = b. 7 = 7/3 33, la recta y = 7/3 es ua asítota horizotal 3 7 3x = 0+, p(x) está por ecima de la A.H. y = 7/3 e x = 0-, p(x) está por debajo de la A.H. y = 7/3 e -. EJERCICIO 3 (A) De los 700 alumos matriculados e ua asigatura, 10 so hombres y 490 mujeres. Se sabe que el 60% de los hombres y el 70% de las mujeres aprueba dicha asigatura. Se elige ua persoa al azar. (1 5 putos) Cuál es la probabilidad de que apruebe la asigatura? (1 puto) Sabiedo que ha aprobado la asigatura, cuál es la probabilidad de que sea ua mujer? De los 700 alumos matriculados e ua asigatura, 10 so hombres y 490 mujeres. Se sabe que el 60% de los hombres y el 70% de las mujeres aprueba dicha asigatura. Se elige ua persoa al azar. Llamemos H, M, A y A C, a los sucesos siguietes, ser hombre, "ser mujer", "aprobar " y "suspeder ", respectivamete. Datos del problema p(h) = 10/700; p(m) = 490/700; p(a/h) = 60% = 0 6; p(a/m) = 70% = 0 7,. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). Cuál es la probabilidad de que apruebe la asigatura? Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que la bola extraída sea roja (R) es: p(aprobar) = p(a) = p(h).p(a/h) + p(m).p(a/m) = (1/70) (0 6) + (49/70) (0 7) = 67/100 = Sabiedo que ha aprobado la asigatura, cuál es la probabilidad de que sea ua mujer? Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( M A ) p( M).p(A/M ) (49/70) (0'7) p(m/a) = = = = (49/67) p(a) p(a) 0'67 EJERCICIO 4 (A) La calificació e Matemáticas de los alumos de u cetro docete es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal de desviació típica 1. Ua muestra de 10 alumos ha dado las siguietes calificacioes: (1 75 putos) Se tiee la creecia de que la calificació media de los alumos del cetro e Matemáticas es a lo sumo 5 putos. Co u ivel de sigificació del 5%, platee el cotraste uilateral correspodiete (Ho : µ 5), determie la regió crítica y razoe si la creecia es fudada o o. (0 75 putos) Obtedría la misma respuesta si el ivel de sigificació fuese del 15%? La calificació e Matemáticas de los alumos de u cetro docete es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal de desviació típica 1. Ua muestra de 10 alumos ha dado las siguietes calificacioes: germa.jss@gmail.com 3

4 IES Fco Ayala de Graada Juio de 015 (Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua (1 75 putos) Se tiee la creecia de que la calificació media de los alumos del cetro e Matemáticas es a lo sumo 5 putos. Co u ivel de sigificació del 5%, platee el cotraste uilateral correspodiete (Ho : µ 5), determie la regió crítica y razoe si la creecia es fudada o o. (0 75 putos) Obtedría la misma respuesta si el ivel de sigificació fuese del 15%? Del problema teemos desviació típica poblacioal = σ = 1, tamaño de la muestra = 10, media = µ = x = ( )/10 = 55/10 = 5 5, luego X N(µ,1 ), y la distribució muestral de medias X σ 1' sigue tambié ua distribució ormal: N( x, ) = N(5 5, 10 ) Trabajaremos co lo ormal N(0,1), tipificada de la ormal muestral. Tambié os dice que H0 : µ0 5, co u ivel de sigificació de α = 5% = Tambié se puede hacer co la distribució ormal muestral y es parecido a los itervalos de cofiaza. El problema la dividimos e cico etapas Etapa 1: Formulamos la hipótesis ula y la alterativa. Las hipótesis ula y alterativa so: H0 : µ0 5 (la calificació media es a lo sumo 5 putos) y H1 : µ0 > 5, lo cual os idica la direcció del cotraste, es u cotraste uilateral por la derecha, por tato la regió crítica esta a la derecha del puto crítico z 1-α. Etapa : Calculamos el puto o putos críticos que os dará las regioes críticas y de aceptació. Para el ivel de sigificació es α = 0 05, luego teemos u ivel de cofiaza o probabilidad = 1 - α = 0,95. De p(z z1-α) = 1 - α = = 0 95, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que dicha probabilidad o viee e la tabla, y los valores más próximos es y que correspode a 1 64 y 1 65, por tato el valor crítico es la media de ambos z 1-α = ( )/ = 1 645, que separa las zoas de aceptació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: Etapas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. X - µ 0 E este caso el estadístico de prueba de este cotraste es Z =, que sigue ua ley ormal N(0,1), y σ / x - µ 0 5'5-5 el valor observado del estadístico de prueba será el úmero z 0 = = σ / 1'/ 10 Etapa 5: Comparamos el valor observado co el puto crítico para tomar la decisió adecuada. el valor observado del estadístico de prueba z0 = está a la izquierda del puto crítico z 1-α = 1 645, estamos e la zoa de aceptació. Resumiedo aceptamos la hipótesis ula H 0: µ 0 5, para u ivel de sigificació α = Co lo cual, co ua probabilidad de equivocaros del 5%, afirmamos que la calificació media de los alumos del cetro e Matemáticas es a lo sumo 5 putos. Obtedría la misma respuesta si el ivel de sigificació fuese del 15%? Lo úico que tedríamos que hacer es calcular el puto crítico z 1-α, y ver si el observado z 0 está a la derecha o a la izquierda del puto crítico z 1-α. Para el ivel de sigificació es α = 15% = 0 15, luego teemos u ivel de cofiaza o probabilidad = 1 - α = 0,85. germa.jss@gmail.com 4

5 IES Fco Ayala de Graada Juio de 015 (Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua De p(z z1-α) = 1 - α = = 0 85, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que dicha probabilidad o viee e la tabla, y el valor más próximo es que correspode al tato el valor crítico z 1-α = 1 04, que separa las zoas de aceptació y rechazo. el valor observado z está a la derecha del puto crítico z 1-α = 1 04, rechazamos la hipótesis ula H 0: µ 0 5, y aceptaríamos la alterativa H 1: µ 0 > 5, es decir co ua probabilidad de equivocaros del 15%, afirmamos que la calificació media de los alumos del cetro e Matemáticas es superior a 5 putos. OPCION B EJERCICIO 1 (B) 0 3 Sea las matrices A = -1 1, B = , C = (1 7 putos) Calcule las matrices X e Y si X + Y = A y X + B = Y. (0 8 putos) Aalice cuáles de las siguietes operacioes co matices se puede realizar, idicado e los casos afirmativos las dimesioes de la matriz D: A + D = C A D = C t D A = C D A = C t 0 3 Sea las matrices A = -1 1, B = , C3x = 0. C t x3 3 0 Calcule las matrices X e Y si X + Y = A y X + B = Y. 3 si X + Y = -1 1 = 4 6 -, de dode Y = X. -3 De X + B = Y, teemos X = ( X ) = X, luego 3X = = 6 15 = -9 3, por tato X = (1/3) = 5-3 1, e Y = X = = Aalice cuáles de las siguietes operacioes co matices se puede realizar, idicado e los casos afirmativos las dimesioes de la matriz D: A x + D = C 3x, o se puede realizar porque para sumar matrices tiee que teer el mismo orde y la suma es tambié del mismo orde. A x Dx3 = C t x3, si se puede realizar porque para multiplicar matrices las columas de la 1ª debe coicidir co las filas de la ª, y el resultado es filas de la 1ª y columas de la ª. D 3x A x = C 3x, si se puede realizar porque para multiplicar matrices las columas de la 1ª debe coicidir co las filas de la ª, y el resultado es filas de la 1ª y columas de la ª. D Ax = C t x3, o se puede realizar porque para multiplicar matrices las columas de la 1ª debe coicidir co las filas de la ª, y el resultado es filas de la 1ª y columas de la ª. EJERCICIO (B) x + si 0 x Se cosidera la fució f(x) = 8x + a si x > x - 1 (1 puto) Determie el valor de a para que la fució sea cotiua. (0 75 putos) Para a = -10, es creciete la fució e x = 3? c) (0 75 putos) Halle sus asítotas para a = -10. germa.jss@gmail.com 5

6 IES Fco Ayala de Graada Juio de 015 (Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua x + si 0 x Se cosidera la fució f(x) = 8x + a si x > x - 1 Determie el valor de a para que la fució sea cotiua. La fució x + es ua fució poliómica, por tato cotiua y derivable e todo R, e particular lo es e el itervalo (0,). 8x + a La fució x - 1 es ua fució racioal, por tato cotiua y derivable e todo R {1} (úmero que aula el deomiador), e particular lo es e el itervalo (,+ ). Veamos la cotiuidad de f e x =. f(x) es cotiua e x = si f() = f() = x + x lim x + x x lim (x + ) = () + = 6; lim f(x). x + 8x + a x - 1 = (16 + /1 = 16 + a, como tiee que ser iguales teemos 6 = 16 + a, de dode a = -10 para que f sea cotiua. Para a = -10, es creciete la fució e x = 3? x + si 0 x 8x - 10 Par a = -10, f(x) = 8x x = 3 está e la rama x >, luego f(x) = x - 1. si x > x - 1 Sabemos que ua fució es creciete e x = 3 si f (3) > 0. 8x (x - 1) - (8x - 10) 1 f(x) = x - 1 (x - 1) ; f (x) =. 8 (3-1) - (8(3) - 10) = (3-1) 4 f (3) = = /4 = 1/ > 0, f(x) es creciete e x = 3, e realidad es estrictamete creciete. c) Halle sus asítotas para a = -10. x + si 0 x Para a = -10, f(x) = 8x si x > x - 1 E 0 x, f(x) = x +, es u trozo de fució poliómica que sabemos o tiee asítotas. 8x - 10 Veamos las asítotas para x >, dode f(x) = x - 1 La recta x = a es ua asítota vertical de f si. x a 8x - 10 lim x - 1 = (-/0 + ) = -, la recta x = 1 (º que aula el deomiador de p(x) ) x 1 + x 1 + NO es ua asítota vertical de f(x) porque x = 1 o está e x >. Sabemos que los cocietes de fucioes poliómicas de igual grado umerador y deomiador, tiee ua asítota horizotal, y es la misma e ±, e uestro caso sólo la estudiamos e +. La recta y = b es ua asítota horizotal (A.H.) de f si x lim ( f(x) 8 ) = x 8x - 10 x - 1 = 8x x - 1 f(x) = b. 8x x = lim 8 = 8, la recta y = 8 es ua asítota horizotal de f(x). x = 0-, f(x) está por debajo de la A.H. y = 8 e +. germa.jss@gmail.com 6

7 IES Fco Ayala de Graada Juio de 015 (Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO 3 (B) La proporció de persoas de ua població que tiee ua determiada efermedad es de 1 por cada 500 persoas. Se dispoe de ua prueba para detectar dicha efermedad. La prueba detecta la efermedad e el 90% de los casos e que la persoa está eferma, pero tambié da como efermas al 5% de las persoas saas. (1 5 putos) Se elige ai azar ua persoa y se le hace la prueba. Cuál es la probabilidad de que haya sido diagosticada correctamete? (1 5 putos) Si la prueba ha diagosticado que la persoa está eferma, cuál es la probabilidad de que realmete lo esté? Y de que esté saa? La proporció de persoas de ua població que tiee ua determiada efermedad es de 1 por cada 500 persoas. Se dispoe de ua prueba para detectar dicha efermedad. La prueba detecta la efermedad e el 90% de los casos e que la persoa está eferma, pero tambié da como efermas al 5% de las persoas saas. Se elige ai azar ua persoa y se le hace la prueba. Cuál es la probabilidad de que haya sido diagosticada correctamete? Llamemos E, S, D y D C, a los sucesos siguietes, estar efermo, "estar sao", "ser detectado" y "o ser detectado", respectivamete. Datos del problema p(e) = 1/500; p(s) = 499/500; p(d/e) = 90% = 0 9 ; p(d/s) = 5% = 0 05,... Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale 1). p(ser diagosticado correctamete) = = p(ser detectado estado efermo ó o ser detectado estado sao) = = p(e).p(d/e) + p(s).p(d C /S) = (1/500) (0 9) + (499/500) (0 95) = 9499/10000 = Si la prueba ha diagosticado que la persoa está eferma, cuál es la probabilidad de que realmete lo esté? Y de que esté saa? Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de ser diagosticado como efermo, estado o o efermo es: p(d) = p(e).p(d/e) + p(s).p(d/s) = (1/500) (0 9) + (499/500) (0 05) = 517/10000 = Me pide p(e/d) y p(s/d). Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( E D ) p( E).p(D/E ) (1/500) (0'9) p(e/d) = = = = (18/517) p(d) p(d) 0'0517 p(s/d) = ( ) ( ) p S D p S).p(D/S (499/500) (0'05) = = = (499/517) p(d) p(d) 0'0517 EJERCICIO 4 (B) U fabricate de tuberías de PVC sabe que la distribució de los diámetros iteriores, de tubos de coducció de agua que produce sigue ua ley Normal co variaza σ = 0 5 mm. Para estimar el diámetro medio de esas tuberías, toma ua muestra aleatoria de 64 tubos y comprueba que el diámetro medio de esa muestra es de 0 mm. (1 5 putos) Calcule u itervalo de cofiaza, co u ivel del 98%, para la media de los diámetros de los tubos que fabrica. (1 puto) Halle el tamaño míimo que debe teer ua muestra de esa distribució para que la amplitud de u itervalo de cofiaza, co ese mismo ivel de cofiaza, sea iferior a mm. germa.jss@gmail.com 7

8 IES Fco Ayala de Graada Juio de 015 (Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α /,x + z1 α / = (a, dode z1-α/ y zα/ = - z1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z1-α/) = 1 - α/ σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α / = (b - /, para el itervalo de la z 1- α/. σ media, de dode el tamaño míimo de la muestra es = E. U fabricate de tuberías de PVC sabe que la distribució de los diámetros iteriores, de tubos de coducció de agua que produce sigue ua ley Normal co variaza σ = 0 5 mm. Para estimar el diámetro medio de esas tuberías, toma ua muestra aleatoria de 64 tubos y comprueba que el diámetro medio de esa muestra es de 0 mm. Calcule u itervalo de cofiaza, co u ivel del 98%, para la media de los diámetros de los tubos que fabrica. Datos del problema: = 64; x = 0; σ = 0 5, luego σ = 0 5; ivel de cofiaza = 98% = 0 98 = 1 - α, de dode α = = 0 0, co la cual α/ = 0 0/ = De p(z z1-α/) = 1 - α/ = = 0 99, mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad 0 99 vemos que o viee, y la mas próxima es que correspode a z1-α/ = 33, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C.(µ) = x z 1 α /,x + z1 α / = 0'5 0'5 0 ' 33,0 + ' = ( , ) Halle el tamaño míimo que debe teer ua muestra de esa distribució para que la amplitud de u itervalo de cofiaza, co ese mismo ivel de cofiaza, sea iferior a mm. Datos del problema: Amplitud = b a = ; Error = E = Amplitud/ = (b - / = / = 1, σ = 0 5, igual ivel de cofiaza = 98% os da z1-α/ = 33. σ z 1- α/. σ De error = E z1 α / = (b - / = 1, teemos que el tamaño míimo de la muestra es E = '33 0'5 1 = , es decir el tamaño míimo es de = tubos. = germa.jss@gmail.com 8

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