FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

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1 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS LA FUNCIÓN EXPONENCIAL. Introducción Siempre que hy un proceso que evolucione de modo que el umento (o disminución) en un pequeño intervlo de tiempo, se proporcionl lo que hbí l comienzo del mismo, ese proceso se describe medinte un eponencil. Por ejemplo: Crecimiento de bcteris y otrs poblciones nimles o vegetles Interés del dinero cumuldo Desintegrción rdictiv Descripción Se llmn funciones eponenciles ls funciones de l form f ( ) donde l bse de l potenci "" es constnte (un número) y el eponente l vrible. Un ejemplo rel Algunos tipos de bcteris se reproducen por "mitosis", dividiéndose l célul en dos cd espcios de tiempo muy pequeños, en lgunos csos cd 15 minutos. Cuánts bcteris se producen en estos csos, prtir de un, en un dí? Minutos NºBcteris siendo los intervlos de 15 minutos:..24 = 16 en un hor, 28 = 256 en dos hors, = 296 = 7, en un dí!. Esto nos d ide del llmdo crecimiento eponencil!, epresión que se utiliz cundo lgo crece muy depris. Un propiedd importnte que se d en culquier función eponencil es que el resultdo trs un umento de l vrible independiente no depende del clor inicil de l mism, es decir: f ( h) f ( ) h h h f ( h) est propiedd, sí formuld, no nos dice grn cos; pero llevándol un ejemplo práctico es de enorme importnci. Por ejemplo, si un bosque crece de form eponencil y en los últimos 134 se h duplicdo su ms vegetl, volverá duplicrse en los siguientes 134 ños. Es decir, si el bosque h umentdo en 10 ños es 5,31 % podremos segurr que cd diez ños tendrá el 5,31 % más que l comenzr los mismos. Dicho de otr form, cd 10 ños su ms se multiplicrá por 1,0531.

2 Gráfics En el siguiente enlce tenemos un progrm con el que podemos dibujr ls funciones eponenciles de bse y eponente que quermos: A continución dibujmos dos sencillos ejemplos de funciones eponenciles. L bse vle 2 en mbos csos, y el eponente que hemos tomdo es en el primer cso y en el segundo. f ( ) 2 f ( ) 2 Primers consecuencis trs observr ls gráfics: 1.- Observ que pr que l función teng sentido y se pued dibujr debe ser > 0 sbrís decir por qué?. Piens por ejemplo si = -2, cómo se definirí (-2)1/2?. Lo mismo psrí con otros vlores de, por lo que l función no tendrí sentido. Observ que si = 0, se trt de l función 0, sin interés. 2.-Observ que l función cundo > 1 es muy distint que cundo < 1, y demás que cundo = 1 se trt de un rect.

3 En el siguiente dibujo observmos l evolución de l gráfic de l función eponencil según crezc o disminuy l bse: Propieddes de ls funciones eponenciles 1.- Observ que l función eiste pr culquier vlor de (bst con que escribs culquier vlor de en l ventn inferior de l escen y ver que siempre se obtiene el correspondiente de y, unque pr vlores muy grndes de el progrm no presente el que tom "y" relmente por ser muy grnde y pr vlores negtivos grndes de tome como y=0 por vler csi 0). Decimos que l función eiste siempre o que el DOMINIO de l función es todo R. 2.-Observ que en todos los csos l función ps por un punto fijo: el (0,1) (bst que signes el vlor = 0) o se que CORTA AL EJE DE ORDENADAS en el punto (0,1). 3.-Observ que los vlores de y son siempre positivos (prueb cuntos vlores desees pr ), luego LA FUNCIÓN SIEMPRE TOMA VALORES POSITIVOS pr culquier vlor de. 4.- Observ que es siempre creciente o siempre decreciente (pr culquier vlor de ), dependiendo de los vlores de l bse "". Por tnto l función es creciente si >1 y si 0<<1 es decreciente 5.-Observ que se cerc l eje X tnto como se desee, sin llegr cortrlo, hci l derech en el cso en que <1 y hci l izquierd en cso de >1. Eso implic que El EJE X ES UNA ASÍNTOTA HORIZONTAL (Hcí l izquierd si >1 y hcí l derech si <1)

4 LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Ddo que l función eponencil es biyectiv, el teorem de l función invers nos segur que eiste un función g ( ) ( ) 1. Dich función es l FUNCIÓN LOGARÍTMICA. Descripción Se llmn funciones logrítmics ls funciones de l form f() = log () donde "" es constnte (un número) y se denomin l bse del logritmo. Además sbremos que l bse (b) de los logritmos debe ser un número positivo (l igul que l bse de l potenci de un función eponencil) y demás no debe ser 1 y que log1() en generl no eiste y que si no es 1,1n no puede ser. Sbemos tmbién que ls bses más frecuentes pr los logritmos son ls bse 10 (logritmos decimles) y l bse el número "e=2, " (logritmos neperinos). L función logrítmic que más se utiliz en mtemátics es l función "logritmo neperino" y se simboliz normlmente como ln (), (l función logritmo en bse 10 se simboliz normlmente como log()). Se trt de l invers de l eponencil en l que tom el vlor de l constnte de Euler: ln( ) ( e ) 1 Gráfics A continución representmos ls gráfics de uns cunts funciones logrítmics, pr un myor comprensión de su comportmiento f ( ) ln( )

5 f ( ) log( ) De ests observciones deducimos ls primers consecuencis pr ls funciones logrítmics: Pr que l función teng sentido y se pued dibujr debe ser > 0 y # 1. Es de recibo tmbién dvertir l diferenci que vmos encontrr cundo l bse del logrimo es myor o menor 1. Propieddes: Supondremos, prtir de hor, que 1y que 1. En est escen observremos ls propieddes. 1.- Observ que l función eiste sólo pr vlores de myores que 0, diferenci de l eponencil que eiste pr culquier vlor de. (puedes utilizr l definición de logrítmo pr ver que el logrítmo de un número negtivo o de 0 no eisten). El DOMINIO de l función logrítmic es o el intervlo 0,

6 2.- Demuestr numéricmente que log 0 (), log 2 (-3), log 1/2 (-4) y en generl log (b), siendo b un número negtivo, no eisten, utilizndo l definición de logritmo. Obsérvlo en ls escens gráfics. 3.- Observ que en todos los csos l función ps por un punto fijo: el (1,0) (pr verlo bst con que signes en l escen el vlor 1 y observes el de y. Por tnto l gráfic siempre: CORTA AL EJE DE ABSCISAS en el punto (1,0). 4.-Observ que se cerc l eje Y tnto como se desee, sin llegr cortrlo, hci bjo en el cso en que >1 y hci rrib en cso de <1 ("SIEMPRE POR LA DERECHA"), se dice por ello que:el EJE Y ES UNA ASÍNTOTA VERTICAL Relción entre el logritmo y l eponencil Ls funciones eponencil y logrítmic se dice que son un invers de l otr, unque quizás un no conocerás el concepto de función invers. Gráficmente se observ viendo que son simétrics respecto l rect y =, como se ve en l escen. EJERCICIOS 1.- Pedimos dinero en un bnco y nos comprometemos devolverlo todo los 5 ños. Nos dicen que debemos devolver ectmente el doble que lo que los dieron, qué interés nos están pidiendo? 2.- Eplic por qué tods ls funciones eponenciles psn por el punto (0,1)

7 SOLUCIONES 1. Suponemos que el dinero crece de form eponencil. Tomndo como unidd de tiempo 1 ño y como cpitl inicil C, l epresión f ( ) C nos drá el vlor del cpitl cundo hyn trnscurrido ños sbemos que cundo =5 el cpitl se h duplicdo, es decir, C 5 2 C, luego 5 2 por lo que 5 2 1, Eso quiere decir que nos están cobrndo un interés de 0,1487 por uno nul, o lo que es lo mismo, un 14,87 % 2. Porque culquier número elevdo 0 vle 1, sí que l función siempre verificrá ese punto

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