CÁLCULO. Ingeniería Industrial. Curso Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 3. Curvas en polares.

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1 CÁLCULO Ingeniería Industrial. Curso Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 3. Curvas en polares. Resumen de la lección Gráficas en coordenadas polares. Sistema de coordenadas polares. El sistema de coordenadas polares en el plano se basa en la elección como sistema de referencia para R 2 el punto O (el origen de coordenadas) y el semieje polar, correspondiente a la parte positiva del eje OX cartesiano. Las coordenadas polares de un punto del plano P R 2 son (r, θ) donde: r es el radio polar, estoesladistanciadelpuntop al origen de coordenadas O;yθ es el ángulo polar, esto es el ángulo que forma el segmento OP con el semieje polar medido en sentido positivo (contrario al movimiento del reloj). Cada punto del plano distinto del origen puede representarse de manera única en coordenadas polares, con la salvedad de que el ángulo polar queda determinado salvo múltiplos enteros de 2π. Así, conocidas las coordenadas polares de un punto P =(r, θ) se calculan sus coordenadas cartesianas, P =(x, y) como x = r cos θ, y = r sen θ. Al contrario, si son conocidas las coordenadas cartesianas del punto P =(x, y) entonces sus coordenadas polares P =(r, θ) se calculan como: r = p x 2 + y 2, ³ y θ = arctan, x tomando en cada caso la rama de la arcotangente en [0, 2π] de forma que su coseno tenga el mismo signo que la coordenada x (o su seno el mismo signo que la coordenada y). Para el caso del origen O la representación del ángulo es cualquiera, luego bastará con que el radio sea cero para que quede determinado. Curva en coordenadas polares. Una curva en coordenadas polares es la gráfica de una función de la forma r = r (θ) con θ I (I un intervalo cualquiera), es decir donde se interpreta la variable independiente como el ángulo polar de los puntos y la variable dependiente como el radio polar de los mismos. Esto es, la curva es

2 el conjunto {(r (θ),θ):θ I} con (r (θ),θ) coordenadas polares de puntos del plano. Papel polar. La situación de los puntos en el plano polar depende del ángulo y el radio polar, por ello interesa el uso, como marcas de localización o mallado, de las curvas en coordenadas polares más sencillas. La curva de ecuación r = r 0 es la circunferencia de centro el origen O yradior 0. La curva de ecuación θ = θ 0 es la semirecta que parte del origen O formando un ángulo de θ 0 radianes con el semieje polar. Simetrías en coordenadas polares. El estudio de las simetrías respecto de los ejes cartesianos y respecto del origen cuando la curva viene descrita en coordenadas polares, r = r (θ), se realiza de la siguiente forma: 1. Simetría respecto del eje OX. La curva en polares definida por r = r (θ) es simétrica respecto del eje OX si se verifica para todo θ del dominio de la función que r ( θ) =r (θ). 2. Simetría respecto del eje OY. La curva en polares definida por r = r (θ) es simétrica respecto del eje OY si se verifica para todo θ del dominio de la función que r (π θ) =r (θ). 3. Simetría respecto del origen O. La curva en polares definida por r = r (θ) es simétrica respecto del origen O si se verifica para todo θ del dominio de la función que r (π + θ) =r (θ). Recta tangente en coordenadas polares. Sea una curva en coordenadas polares definida por la función r = r (θ) para θ (α, β). Si r es derivable en θ 0 (α, β) entonces la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (r (θ 0 ),θ 0 ) es m (θ 0 )= r0 (θ 0 )senθ 0 + r (θ 0 )cosθ 0. r 0 (θ 0 )cosθ 0 r (θ 0 )senθ 0 En particular, para calcular los puntos donde las rectas tangentes son horizontales se plantean las siguientes condiciones r 0 (θ)senθ + r (θ)cosθ = 0 r 0 (θ)cosθ r (θ)senθ 6= 0. O bien, para que las rectas tangentes sean verticales estas otras condiciones r 0 (θ)senθ + r (θ)cosθ 6= 0 r 0 (θ)cosθ r (θ)senθ = 0. 2

3 Lospuntosdonder 0 (θ)senθ + r (θ)cosθ = r 0 (θ)cosθ r (θ)senθ =0producen una indeterminación en la fórmula anterior de la pendiente y deben ser estudiados de forma particular. Esbozo de una curva en coordenadas polares. Para realizar un trazado elemental de una curva en polares r = r (θ) pueden seguirse las siguientes indicaciones. 1. Determinar el periodo de la función, si lo tuviese. 2. Encontrar los intervalos de existencia, su dominio. Debe tenerse en cuenta que, para interpretarse las variables como coordenadas polares, el radio r debe ser siempre no negativo. 3. Realizar un estudio de las posibles simetrías. 4. Hallar algunas rectas tangentes notables, por ejemplo las horizontales y las verticales. 5. Realizar una tabla de valores para aquellos ángulos significativos. 6. Estudio del comportamiento de r frente a θ Área y longitud en coordenadas polares. Región encerrada por la gráfica de una función en coordenadas polares. Sea la curva en coordenadas polares definida por la función r = r (θ) donde θ [α, β]. La región D encerrada por la curva cuando θ [α, β] es el área que queda encerrada entre las semirectas θ = α y θ = β, ylapropiacurva. Esto es, el conjunto de puntos en coordenadas polares D = {(r, θ) :θ [α, β], 0 r r (θ)}. y β ( ) r = r θ D α x Región encerrada en coordenadas polares 3

4 Área de la región encerrada por la gráfica de una función en coordenadas polares. Sea r = r (θ) la ecuación de una curva en coordenadas polares de forma que r (θ) sea una función continua en el intervalo [α, β]. El área de la región D encerrada por la curva en coordenadas polares es área (D) = 1 2 Z β α r 2 (θ) dθ. Longitud de un arco de curva en coordenadas polares. Sea r = r (θ) la ecuación de una curva en coordenadas polares de forma que r (θ) sea una función de clase C 1 en el intervalo [α, β]. La longitud del arco C de dicha curva encerrado en el intervalo [α, β] es Z β q long (C) = [r (θ)] 2 +[r 0 (θ)] 2 dθ. α 4

5 Ejercicios de la lección. Ejercicio 1. Esbozalassiguientescurvasencoordenadaspolarespara: 1. La espiral de arquímedes de ecuación r = aθ con θ [0, 4π] y a>0. 2. La cardioide de ecuación r = a (1 cos θ) con θ R y a>0. 3. La lemniscata de ecuación r = p cos (2θ) con θ R. 4. La rosa de cuatro hojas de ecuación r =4 cos (2θ) con θ R. 5. La curva de ecuación r =1+senθ con θ R. 6. (Septiembre 08-09) La curva de ecuación r =cosθ sen θ con θ R. 7. La curva de ecuación r = 2 cos θ con θ R. 3+sen 2 θ 8. (Primer Parcial 08-09) La curva de ecuación r =2senθ cos 2 θ con θ R. Ejercicio 2. Calcula las siguientes áreas: 1. El área encerrada por la cardioide r =1 cos θ. 2. El área encerrada por un lóbulo de la lemniscata r = p cos (2θ). 3. El área encerrada por la curva r =1+senθ. 4. El área encerrada por una de las hojas de la curva rosa de cuatro hojas r =4 cos (2θ). Ejercicio 3. Determina las longitudes de los siguientes arcos de curva: 1. La espiral de arquímedes r = θ con θ [0, 4π]. 2. La cardioide r =1 cos θ. 3. (Septiembre 08-09) La curva de ecuación r (θ) =senθ cos θ. Ejercicio 4. Se consideran las curvas en coordenadas polares de ecuaciones r = 2 2cosθ y r = 6cosθ. 1. Esboza ambas curvas en un mismo dibujo determinando los puntos de corte entre ellas. 2. Halla el área de la región encerrada por ambas curvas. 5

6 3. Determina la longitud del contorno que rodea al área del apartado anterior. Ejercicio 5. (Primer Parcial 03-04) Se considera la curva C a que en coordenadas polares tiene la ecuación r = a (3 cos (4θ)) con a>0, yelconod de ecuación x 2 + y 2 =16z EstudiasilacurvaC a es simétrica respecto al eje OX yalejeoy. 2. Encuentra, y descríbelos en coordenadas cartesianas, los puntos de corte de la curva C a con la circunferencia de centro el origen y radio 4a yconla circunferencia de centro el origen y radio 2a. 3. Calcula la ecuación de las rectas tangentes a la curva C a en los puntos obtenidos en el apartado anterior que se encuentran en el primer cuadrante. 4. Con los datos obtenidos en los apartados anteriores esboza la curva C a. 5. Sea H el sólido que tiene sección plana para z = a la región encerrada por C a. Halla el volumen del sólido interior al cono D yexteriorah con z [0, 1]. Ejercicio 6. (Junio 03-04) Sea la curva r =2+cos(2θ) con θ [0, 2π]. 1. Realiza un esbozo de la curva estudiando los siguientes elementos: simetrías respecto de los ejes cartesianos y los puntos donde las tangentes son paralelas a dichos ejes. 2. Halla el área encerrada por la curva en el primer cuadrante. Ejercicio 7. (Primer parcial 04-05) Sea C la curva en coordenadas polares dada por la ecuación r = p sen (2θ). 1. Estudia los valores de θ para los que dicha curva está definida y analiza las simetrías respecto de los ejes cartesianos y respecto del origen de la misma. 2. CalculalapendientedelarectatangentealacurvaC en función del ángulo θ. Determina los puntos de la curva C que tienen tangente horizontal o tangente vertical. 3. Esboza la gráfica de la curva C. 4. CalculaeláreadelaregiónencerradaporlacurvaC e interior a la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 2y =0. 6

7 Ejercicio 8. (Junio 04-05) Considera la curva en coordenadas polares de ecuación 1 h r =, θ 0, π i. 1+senθ cos θ 2 ³ π θ 1. Prueba que r (θ) =r 2. Qué interpretación geométrica se puede deducir de esta igualdad? 2. Halla las rectas tangentes a dicha curva para los ángulos θ =0,θ= π 2 y θ = π 4. Hazunesbozodelacurva. 3. Calcula el área de la región plana del primer cuadrante encerrada por la curva y los ejes coordenados. (Ten en cuenta para ello el ejercicio 24 de la relación anterior) Ejercicio 9. (Septiembre 04-05) Sea la curva C dada en coordenadas polares por la ecuación: h 1+cosθ, si θ 0, π i 5π 3 3, 2π r = π 2 cos θ, si θ 3, 5π Esboza la curva estudiando previamente simetrías respecto de los ejes cartesianos y respecto del origen, así como las tangentes horizontales y verticales. 2. Halla el área de la región del primer cuadrante interior a la curva C. Ejercicio 10. (Primer Parcial 05-06) Sea C la curva dada en coordenadas polares por la ecuación r =1+2cosθ. 1. Estudia los valores de θ para los que dicha curva está definida y analiza las simetrías respecto de los ejes cartesianos y respecto del origen de la misma. 2. Halla las rectas tangentes a dicha curva para los ángulos θ =0,θ= π 2 y θ = 2π 3. Hazunesbozodelacurva. 3. Calcula el área de la región encerrada por la curva C comprendida entre las rectas y =0e y = x. Ejercicio 11. (Primer parcial 06-07) Sea C la curva en polares dada por la ecuación r =cos(3θ). 1. Esboza la gráfica de la curva, estudiando al menos los siguientes elementos: dominio, simetrías y rectas tangentes en θ =0,π/6,π/2, 2π/3, 5π/6. 7

8 2. Halla el área de la región encerrada por la curva C. Ejercicio 12. (Junio 06-07) Consideralacurva s µ θ r = tan Representa la curva r (θ) estudiando previamente las siguientes cuestiones: dominio, rectas tangentes horizontales y recta tangente en θ = π 2 Qué ocurre cuando θ tiende a π? 2. Existe el área encerrada por r (θ) en el intervalo [0,π]? Justifica la respuesta usando algún criterio de convergencia para integrales impropias. 3. Si la respuesta del apartado anterior es afirmativa h calcula dicho área, en caso contrario halla el área encerrada para θ 0, π i. 2 8

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