4. Áreas y. Volúmenes

Transcripción

1 4. Áreas y Volúmenes

2 Matemáticas º ESO. Áreas de figuras planas. Figuras circulares. Áreas de poliedros 4. Área y volumen de sólidos 5. Cilindros y conos 6. Área y volumen de esferas 7. La Tierra 6

3 Áreas y volúmenes. Áreas de figuras planas CÁLCULO DE ÁREAS Recuerda de cursos anteriores que: Área del rectángulo = Base Altura El cuadrado es un caso particular de rectángulo en el que la base y la altura son iguales. En consecuencia: Área del cuadrado = Lado Lado a) Cuál sería el área del rectángulo en el supuesto de que la base mida 7 cm y la altura 4 5 cm?. b) Toma un folio y comprueba que cortándolo por una de sus diagonales obtienes dos triángulos iguales. Relaciona el área de uno de ellos con la del rectángulo. c) Toma otro folio y córtalo tal como observas en la figura adjunta. Se obtienen tres triángulos, el mayor de los cuales resulta ser T. Recubre a modo de Tangram dicho triángulo T con los dos restantes; ello permite asegurar que el área del rectángulo es doble que la del triángulo. De este apartado y del anterior podemos deducir: Base Altura Area deltriangulo= 7

4 Matemáticas º ESO d) Haz un corte en un folio, tal como indica la figura adjunta, y traslada al lado opuesto el triángulo obtenido en dicho corte, con lo cual obtendrás un romboide. El romboide está compuesto de las mismas piezas que el rectángulo. Deduce a partir de este hecho que el área del romboide es: Área del romboide = Base Altura e) Los vértices del rombo punteado en el folio de la figura se encuentran en los puntos medios de los lados de éste. Recorta dicho rombo y dibuja sus diagonales. Observa que las diagonales son la base y la altura del folio. Superponiendo a modo de tangram las cuatro esquinas sobrantes, sobre el rombo, se puede deducir la relación existente entre el área del rectángulo y la del rombo. Comprueba que: Diagonalmayor Diagonalmenor Area delrombo = f) Corta un folio como muestra la figura y obtendrás dos trapecios iguales. Esto permite deducir que el área del trapecio es la mitad de la del rectángulo. Puedes concluir a partir de este hecho que: Base mayor+ Base menor Area deltrapecio= Altura 8

5 Áreas y volúmenes El resultado obtenido para trapecios rectángulos es generalizable a cualquier tipo de trapecio. Para ello bastaría cortar el folio convenientemente como indica la figura. ZONAS COLOREADAS En la siguiente figura, calcula: a) La superficie de la zona coloreada de rojo. b) La superficie de la zona coloreada de amarillo. c) La superficie de la zona coloreada de azul. ROMBOIDE Los lados desiguales de un romboide miden 5 cm y 4 cm. La diagonal menor es perpendicular al lado menor. Calcula: a) La diagonal menor. b) El área del romboide. c) La distancia entre sus dos lados mayores. TRAPECIOS ) Las diagonales de un trapecio rectángulo miden 6 cm y 0 cm respectivamente, y su altura 4 cm. Calcula el área. ) En un trapecio isósceles la diferencia de las bases es de 0 cm, la altura de cm y el perímetro 7 cm. Determina su área. 9

6 Matemáticas º ESO ÁREAS DE POLÍGONOS CUALESQUIERA En polígonos irregulares, basta triangular el polígono, tal como se observa en la figura adjunta.el área de un polígono irregular se obtiene sumando las áreas de los triángulos que lo componen. En otros casos, sin embargo, puede ser más conveniente descomponer el polígono en otras figuras elementales, como se indica en la figura adjunta. En polígonos regulares, puede utilizarse el método anterior, pero es más operativo triangular desde el centro del polígono ya que en tal caso todos los triángulos que resultan son iguales, lo que permite establecer la expresión del área de forma sistemática. Del hexágono regular de la figura se deduce que su área es seis veces la del triángulo básico. La apotema de un polígono regular es la distancia del centro del polígono a cada uno de sus lados y, puesto que la altura de los triángulos básicos coincide con la apotema, observa que: Lado Apotema Perimetro Apotema Area delhexagono= 6 Area deltriangulo= 6 Este resultado se puede comprobar no sólo para el hexágono sino para todo polígono regular. Por lo tanto, en general, se cumple que: Perimetro Apotema Area deunpoligonoregular= ) El perímetro de un pentágono regular es de 50 cm. Calcula su área. ) Calcula el área de un decágono regular de 4 cm de lado. HEXÁGONO REGULAR Calcula el área de un hexágono regular de 8 cm de lado. OCTÓGONO REGULAR El lado de un octógono regular mide 6 cm y el radio de su circunferencia circunscrita 78 4 mm. Halla la longitud de la apotema y su área. 0

7 Áreas y volúmenes COMETAS Calcula el área de la siguiente cometa: ÁREA DE UN CÍRCULO Si un polígono regular aumenta su número de lados indefinidamente, su perímetro tiende a confundirse con el de una circunferencia. Por lo tanto, podemos imaginar la circunferencia como un polígono regular con una infinidad de lados. Como tal polígono, el área que se encierra en su interior, será el área del círculo. Por tanto: Area delcirculo= Perimetro Apotema RR R de donde Area delcirculo= R ) Calcula el área de la parte sombreada de las siguientes figuras: ) Dibuja dos circunferencias tangentes tales que una de ellas pase por el centro de la otra, y calcula el área del recinto limitado por éstas, sabiendo que el área del círculo menor es 4 cm.

8 Matemáticas º ESO. Figuras circulares UNA CUERDA En una circunferencia una cuerda de 48 cm de longitud dista 8 cm del centro. Calcula la longitud de la circunferencia y el área del círculo. ÁREAS DE FIGURAS CIRCULARES ) Dibuja una circunferencia de 8 cm de radio y recórtala. Cuál es el área del círculo que encierra?. Dibuja sobre el recortable anterior y con el mismo centro, otra circunferencia de radio 5 cm. Recórtala y di cuál es el área de su círculo. La figura sobrante se llama corona circular. Sabrías decir cuál es su área a partir de las áreas de los círculos anteriores?. Suponiendo R el radio de la circunferencia mayor y r el de la circunferencia menor, justifica que: Área de la corona circular = ( R r ) ) El parlamento de un determinado país está compuesto por 60 miembros. Su distribución por partidos políticos responde al diagrama circular adjunto (recuerda que la circunferencia abarca 60º ). Si el radio del diagrama circular es R, cuál es el área del diagrama que representa la composición global del parlamento?. Cuál es el área correspondiente al partido político representado por un solo miembro?. Cuál es el área correspondiente al partido político con 8 representantes en el parlamento?. Para el caso de un partido con n representantes en el parlamento, justifica que el área de su sector circular correspondiente es: Área del sector circular = R n 60º

9 Áreas y volúmenes ) La parte coloreada de la figura adjunta representa un segmento circular. Justifica que su área es la diferencia entre el sector circular que abarca y el triángulo formado por los extremos de la cuerda y el centro de la circunferencia. Utiliza este hecho para obtener la expresión de su área. Utiliza el teorema de Pitágoras al considerar que la altura del triángulo isósceles divide a la base en dos partes iguales. 4) La siguiente figura nos muestra un trapecio circular. Expresa su área en función del área de algunas figuras circulares estudiadas anteriormente. 5) A modo de resumen completa la siguiente tabla de áreas:

10 Matemáticas º ESO PARTES SOMBREADAS Determina el área de la parte sombreada de las siguientes figuras: FIGURAS COLOREADAS Halla el área de la parte coloreada en las siguientes figuras: 4

11 Áreas y volúmenes FLORES DE TRES Y CUATRO PÉTALOS a) Halla el área de la parte coloreada de la figura adjunta, sabiendo que el diámetro mide 0 dm, siendo A, B y C los centros de los arcos de circunferencia MN, MP y PN, respectivamente. b) Averigua si el área de la zona coloreada en azul es igual o no a la de la zona coloreada en rojo. 5

12 Matemáticas º ESO. Áreas de poliedros ORTOEDRO Y CUBO ) Halla el área total y la longitud de la diagonal de un ortoedro de dimensiones 6 cm, cm y cm. ) Halla el área total y la longitud de la diagonal de un cubo de cm de arista. UNA CAJA Calcula la altura de una caja ortoédrica cuya base tiene de dimensiones 40 4 cm, sabiendo que se han utilizado en su construcción 5 cm de cartón. ÁREAS DE POLIEDROS REGULARES Vamos a calcular las áreas de los cinco poliedros regulares: Cubo: Como el cubo tiene seis caras cuadradas, y el área de cada cara es S = que el área total del cubo es igual a: A = 6 S = 6a. a, resulta Tetraedro: Aplicando el teorema de Pitágoras podemos hallar la altura de una cara del tetraedro: a h = a a Luego el área de una cara es S = ha = aa = 4 Por tanto, como el tetraedro tiene cuatro caras triángulos equiláteros, su área es: a 4 A = 4S = 4 a a 4 6

13 Áreas y volúmenes Octaedro: Como el octaedro tiene ocho caras triángulos equiláteros y el área de cada cara es, según hemos visto, S = ha = a, resulta que el área del octaedro es igual a: 4 A = 8S = 8 a a 4 Icosaedro: Como el icosaedro tiene veinte caras triángulos equiláteros y el área de cada cara es, según hemos visto, S = ha = a, el área del icosaedro es igual a: 4 A = 0S = 0 a 5 a 4 Dodecaedro: Se puede demostrar, aunque es difícil, que el área total del dodecaedro es igual a: A = a ) Halla el área total de un cubo de 0 cm de diagonal. ) Halla el área de un tetraedro regular de 7 cm de arista. ) Halla el área de un octaedro y de un icosaedro regulares de 8 cm de arista. 4) Halla el área de un dodecaedro regular de cm de arista. 7

14 Matemáticas º ESO PRISMA OBLICUO Averigua el área lateral y total del prisma oblicuo de la siguiente figura: 4. Área y volumen de sólidos ÁREA LATERAL Y TOTAL DE UNA PIRÁMIDE En una pirámide recta de base regular, sus caras laterales con triángulos isósceles todos ellos iguales, y como el área de un triángulo es A = b a triángulos es fácil deducir que:, contando el número de A L P a AT Pa' AL P a+a' donde P representa el perímetro de la base, a la apotema de la pirámide y a la apotema del polígono de la base. ) Halla el área lateral y total de una pirámide cuadrangular regular, sabiendo que la diagonal de la base mide 8 cm y la arista lateral 5 cm. ) La base de una pirámide regular es un hexágono de 6 cm de lado. Calcula la altura de la pirámide sabiendo que su superficie lateral es doble que la de la base. 8

15 Áreas y volúmenes ÁREA LATERAL Y TOTAL DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE Si cortamos una pirámide por un plano paralelo a la base se obtiene un tronco de pirámide, que es el sólido comprendido entre la base y el plano de corte. En un tronco de pirámide recto y regular, sus caras son trapecios isósceles y como el área del trapecio es A = b+b' a, contando el número de trapecios es fácil deducir que: A L P+P' a AT AL Ab Ab' donde P y P representan los perímetros de las bases, y A b y A b sus áreas respectivas. ) Halla las áreas lateral y total de un tronco de pirámide regular cuadrangular sabiendo que su altura es 0 cm, la base mayor está inscrita en una circunferencia de 4 cm de radio y el área de la base menor es la mitad del área de la mayor. ) El área de la superficie total de un tronco de pirámide regular de bases cuadradas es 666 cm. Las áreas de las bases son 44 cm y 4 cm respectivamente. Halla la apotema del tronco. VOLÚMENES DE CUBOS Y CUBOIDES Recuerda de cursos anteriores que el volumen de un cubo es: V = a, siendo a la arista del cubo. El volumen de un cuboide, también llamado ortoedro o paralelepípedo, es igual a: V = a bc, siendo a, b y c las dimensiones de dicho cuboide. ) Qué volumen tiene un cubo de superficie total m?. ) Qué volumen tiene un cuboide cuya base tiene un área de 00 m y una altura de 5 metros?. Puedes determinar con estos datos su área total?. 9

16 Matemáticas º ESO VOLÚMENES DE PRISMAS Principio de Cavalieri Cavalieri (profesor de matemáticas en la Universidad de Bolonia durante la primera mitad del siglo XVII) observó que tres pilas de igual número de cartulinas iguales tienen el mismo volumen. Sin embargo, no es necesario que las cartulinas tengan la misma forma, basta con que las secciones tengan igual área. Así enunció el llamado Principio de Cavalieri: Si en dos cuerpos de igual altura las áreas de las secciones producidas por planos paralelos a la base son iguales, los cuerpos tienen el mismo volumen. Volumen del prisma Según el principio de Cavalieri, el volumen de un prisma es igual al de un cuboide de igual altura y cuya sección tenga la misma área que la base del prisma. Por lo tanto: VPRISMA Ab h siendo A b el área de la base y h la altura del prisma. Un prisma tiene una sección recta que es un triángulo rectángulo isósceles de 0 cm de hipotenusa. La arista del prisma mide 0 5 m. Cuál es el volumen de este prisma?. Cuál es su área total?. 0

17 Áreas y volúmenes VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE Sobre cada una de las seis caras de un cubo, podemos construir un pirámide con el vértice en el centro del cubo. Esto significa que el volumen de la pirámide será la sexta parte del volumen del cubo, es decir: V = l l l 6 6 y como l = h, se cumple que: V = Ab h = Ab h 6 El cálculo anterior se refiere a una pirámide cuadrangular, pero por el principio de Cavalieri, sigue siendo válida para pirámides de cualquier otro tipo. Por tanto, en general, se cumple: VPIRAMIDE Ab h Si cogemos dos recipientes, uno con forma de prisma y otro con forma de pirámide, que tengan la misma base y la misma altura, al llenar la pirámide de agua o de arena y vaciarla dentro del prisma, se observa que hay que vaciar tres veces el contenido de la pirámide para llenar el prisma. Podemos concluir que el volumen del prisma es el triple del volumen de la pirámide, o que el volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen del prisma. V pirámide V prisma A base h ) El volumen de una pirámide hexagonal regular es de 60 m, y la arista de la base es de 4 m. Halla su altura y el área lateral y total. ) Halla el volumen de una pirámide cuadrangular de arista básica 7 cm y arista lateral 0 cm. Halla también su área lateral y total.

18 Matemáticas º ESO PIRÁMIDE DE KEOPS La pirámide de Keops fue construida unos 600 años antes de nuestra era. Es una pirámide de base cuadrada con unas dimensiones impresionantes: 0 metros de arista de la base y 46 metros de altura. Está formada por millones de bloques de piedra. Calcula el volumen de la pirámide de Keops. Cuál es el volumen aproximado de cada uno de los bloques de piedra que la componen?. UN MONOLITO La figura muestra el croquis de un monolito construido en piedra, así como las dimensiones de éste expresadas en dm. Averigua: a) el volumen de piedra que encierra este monolito; b) su peso, sabiendo que la densidad de la piedra usada es de 7 kg/dm. Recuerda que la magnitud densidad se define como: DENSIDAD = MASA VOLUMEN

19 Áreas y volúmenes 5. Cilindros y conos ÁREA LATERAL Y TOTAL DE UN CILINDRO El cilindro puede considerarse como un prisma regular con una infinidad de caras laterales. Esto permite considerar los conceptos de altura, base, área lateral y total de forma análoga a como vimos para los prismas. Para hallar el área lateral y total basta cortar el cilindro a lo largo de la generatriz y desplegarlo en el plano. Su desarrollo lo componen un rectángulo de altura h y base r, y dos círculos de radio r. Por lo tanto, las áreas lateral y total del cilindro son: A L r h AT AL r Haciendo girar un rectángulo de dimensiones 5 cm cm alrededor de cada uno de sus lados, se obtienen dos cilindros rectos. Halla el área total de cada uno de ellos. Halla también el área lateral de dichos cilindros y compáralas. VOLUMEN DEL CILINDRO Considerando el cilindro como un prisma con una infinidad de caras laterales, su volumen, al igual que en cualquier prisma, será igual a V = Ab h, siendo A b el área de la base y h su altura. Por tanto, el volumen del cilindro es igual a: VCILINDRO r h

20 Matemáticas º ESO a) Partiendo de un folio en forma apaisada, enróllalo hasta grapar los bordes laterales para obtener un cilindro sin tapas. Haz lo mismo con otro folio dispuesto en forma vertical y observa que ambos tienen la misma área lateral. Se puede asegurar lo mismo de sus volumenes?. Compruébalo rellenando ambos cilindros con granos de arroz u otro producto análogo. b) Repite la experiencia anterior después de cortar el folio verticalmente por la mitad y grapar longitudinalmente ambas mitades. Constata al igual que antes si el volumen depende o no del área total. UN TÚNEL Un túnel de sección semicircular de 40 m de diámetro tiene 5 km de longitud. Cuántos metros cúbicos de tierra y roca se han extraído para su construcción?. 4

21 Áreas y volúmenes ÁREA LATERAL Y TOTAL DE UN CONO El cono puede considerarse como una pirámide regular con infinitas caras laterales, lo que permite estudiar los conceptos de vértice, altura, base, área lateral y total de forma análoga a como hemos visto para las pirámides. Haciendo un corte al cono recto a lo largo de una generatriz y desplegando sobre el plano, observamos que su desarrollo plano lo componen un sector circular de radio la generatriz del cono y longitud de arco πr, junto con un círculo básico de radio r. Teniendo en cuenta que el área lateral de una pirámide es A L pa donde p es el perímetro de la base y a es la apotema y como en el caso límite del cono resulta ser: p = πr y a = g, podemos concluir que el área lateral y el área total del cono valen, respectivamente: A L πr g = πr g A A πr πr g+r T L ) Qué ángulo tiene el sector circular que se ha de cortar para construir en cartulina un cono de 4 cm de radio de la base y 9 cm de altura?. Cuál es la superficie lateral y total de dicho cono?. ) Haciendo girar un triángulo rectángulo cuyos catetos miden cm y 4 cm alrededor de cada uno de ellos, se obtienen dos conos. Dibújalos y halla el área total de cada uno de ellos. 5

22 Matemáticas º ESO VOLUMEN DEL CONO Podemos considerar un cono como una pirámide con infinitas caras laterales. Por tanto, su volumen se puede hallar como el volumen de una pirámide, cuya fórmula es V = Ab h, siendo A b el área de la base y h la altura. Como Ab πr, resulta que el volumen del cono viene dado por la fórmula: V π r CONO h Si cogemos dos recipientes, uno con forma de cilindro y otro con forma de cono, que tengan la misma base y la misma altura, al llenar el cono de agua o de arena y vaciarlo dentro del cilindro, observamos que hay que vaciar tres veces el contenido del cono para llenar el cilindro. Podemos concluir que el volumen del cilindro es el triple del volumen del cono, o que el volumen del cono es la tercera parte del volumen del cilindro. V cono V cilindro A base h Calcula el volumen engendrado por un triángulo equilátero de dm de altura al girar alrededor de ésta 6

23 Áreas y volúmenes CALCULA VOLÚMENES Calcula el volumen de los siguientes cuerpos: 6. Área y volumen de esferas VOLUMEN DE LA ESFERA El matemático griego Arquímedes descubrió experimentalmente que el volumen de la esfera 4 de radio R se puede determinar por la fórmula: V = R En efecto, si cogemos dos recipientes, uno con forma de semiesfera y otro con forma de cilindro, de manera que el radio del cilindro sea igual al de la semiesfera y que la altura del cilindro sea igual al diámetro de la semiesfera, al llenar la semiesfera de agua o de arena y vaciarla dentro del cilindro, observamos que hay que vaciar tres veces el contenido de la semiesfera para llenar el cilindro. Podemos concluir que el volumen del cilindro es el triple del volumen de la semiesfera, o que el volumen de la semiesfera es la tercera parte del volumen del cilindro. V semiesf era V cilindro A base h cilindro π r r π r 4 V esf era V semiesf era π r π r 7

24 Matemáticas º ESO ) En un recipiente cilíndrico transparente conteniendo agua, coloca un cuerpo esférico de tamaño proporcional al recipiente. Observa la diferencia de nivel del agua debido al cuerpo introducido; dicha diferencia de nivel, junto con el radio del recipiente, permite calcular el volumen del agua desplazada. Comprueba que dicho volumen obtenido experimentalmente coincide con el volumen del cuerpo esférico obtenido al aplicar la expresión V = 4 descubierta por Arquímedes. R ) Calcula el volumen de una esfera de 40 cm de diámetro. Halla el radio de la circunferencia que se obtiene al cortar dicha esfera por un plano que pasa a 0 cm del centro. ÁREA DE LA ESFERA Un balón de fútbol ayuda a intuir un método para calcular la superficie de la esfera. En el caso del balón, basta sumar las áreas de las caras de los polígonos que lo componen para hallar su superficie. Cuanto mayor sea el número de caras del balón, su superficie más se ajustará a la superficie de la esfera. 8

25 Áreas y volúmenes Podemos imaginar la esfera como un balón compuesto por finísimas pirámides con vértice en el centro de la esfera y bases las caras de la superficie del balón. El volumen de todas estas pirámides juntas coincide con el volumen de la esfera, y la altura de cada pirámide es igual al radio de la esfera. Por lo tanto: V ESFERA SUMA DE LOS VOLUMENESDETODASLASPIRAMIDES= SR, donde S es la superficie total de las bases y, por tanto, coincide con la superficie de la esfera. Como el volumen de las pirámides es igual al volumen de la esfera, tenemos: 4 SR = π R por lo tanto: SESFERA 4πR Observa que el área de la esfera equivale a cuatro veces el área de uno de sus círculos máximos. ) Halla la superficie de una esfera de 40 cm de diámetro. ) Averigua el volumen de una esfera que tiene 56 cm de superficie. CALCULA ÁREAS Calcula la superficie total de cada cuerpo: 9

26 Matemáticas º ESO LAPICERO Calcula el área de este lapicero: 7. La Tierra DIMENSIONES TERRESTRES El metro, como unidad de longitud del Sistema Métrico Decimal, fue definido por primera vez en 79 por la Asamblea Nacional de Francia como: la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre. a) Averigua la superficie de la Tierra a partir de esta definición, suponiéndola perfectamente esférica. b) Cuál es la extensión de las partes sólida y líquida de la superficie terrestre sabiendo que están en razón de 5 /?. c) Determina el volumen de la Tierra. d) Cuál es la masa de la Tierra si su densidad media es de 5 5 g/cm?. EL AVIÓN Averigua la superficie del casquete esférico terrestre que divisa un piloto que vuela a una altura de 5000 metros. 40

27 Áreas y volúmenes Para determinar la superficie de un casquete esférico basta plantear una proporcionalidad. Una semiesfera es un casquete esférico de altura igual al radio R. Su superficie es igual a la 4R de media esfera, es decir, R. Si un casquete esférico de altura R tiene una superficie R, entonces un casquete esférico de altura h tiene un área S dada por: R R R h S Rh h S R S Rh HUSOS HORARIOS Considera la Tierra dividida en 4 husos esféricos, cada uno de los cuales recibe el nombre de huso horario. a) Justifica que la amplitud de cada huso horario es de 5º. b) Calcula la superficie de uno de ellos. c) Qué volumen encierra la cuña esférica correspondiente a un huso horario?. VOLUMEN DEL ELIPSOIDE Supongamos una esfera de radio R inscrita en un cubo de arista R. Si deformamos estas figuras, el cubo se transforma en un cuboide de dimensiones a, b y c, mientras que la esfera se transforma en un elipsoide de dimensiones a, b y c, como puedes observar en la siguiente figura: 4

28 Matemáticas º ESO Esta deformación permite plantear la siguiente proporción entre los volúmenes: VELIPSOIDE V CUBOIDE y por lo tanto: VESFERA VCUBO VELIPSOIDE a b c 4 R R 4 R 8abc 4 de donde: VELIPSOIDE abc 8R Por lo tanto, el volumen del elipsoide viene dado por la fórmula: 4 V ELIPSOIDE a b c Un balón de rugby mide cm de longitud y 0 cm de ancho. Averigua el volumen que encierra suponiéndolo con forma perfectamente elipsoidal. VOLUMEN DE LA TIERRA En una primera aproximación se admite que la Tierra tiene la forma de una esfera de 67 km de radio; y en una segunda aproximación, un elipsoide de revolución para el que la Asamblea de la Unión Astronómica Internacional celebrada en 967 fijó las siguientes dimensiones: km para el radio ecuatorial, mientras que para el radio polar fue km. A partir de estos datos determina el volumen de la Tierra bajo su forma elipsoidal y compara el resultado con el obtenido suponiendo que la Tierra fuese esférica. 4