ACTIVIDAD INICIAL. 12.I. Encuentra la función que mide el área de las regiones limitadas por el eje horizontal y las rectas:

Transcripción

1 Solucionrio Ingrción ACTIVIDAD INICIAL.I. Encunr l función qu mid l ár d ls rgions limids por l j horizonl y ls rcs: ) y ; ; l rc vricl rzd por l puno d bscis con >. b) y si ; y 6 si > ; l rc vricl rzd por l puno d bscis. Disinguir nr y < 6. En mbos csos, clcul mbién l drivd d ls funcions ár obnids. ) Ár F() ( )( ) ( ), F(). b) Si, Ár F() Si, Ár F() 9 6 ( ) 9 (9 )( ) 9 (9 7 ) 6 9 Así pus, F() si 6 9 si 6 si F() 6 si Pr obnr F(), s dcir, lim h F( h ) F(), obnmos lim h F( h ) F() ( h) 9 lim h h h h lim 6h h h y h lim F( h ) F() h h ( h) 6( h) 9 9 lim lim. h h h h h h si sí qu F() 6 si. Clcul l ár d ls rgions sombrds. f () = g() = sn ) F() Ár F() F() () π b) G() cos Ár G() G() cos (cos ). Hll l ár dl rcino sombrdo. h() = H() Ár H() H() 6 () 6. Clcul l ár d l zon limid por l gráfic d y, l j y ls rcs y. Ár G() G() con G(), sí qu G() y l ár pdid s. Solucionrio

2 . Clcul l ár ncrrd por l prábol y y l j horizonl. Ár G() G(), sindo G() ( ), o s, G(). Así pus, G() G(). Clcul l ár d l figur. π y = cos y = sn T() G() F(), n dond G() sn F() cos T() sn cos Ár T T() y.6 Clcul l ár d l rgión limid por l j vricl, l rc y y l curv y. Ls líns y, y s corn cundo, sí qu l ár pdid s (F G) () (F G) (), sindo F() G(), s dcir, (F G) (), por lo qu (F G) () (F G) ()..7 Clcul l ár ncrrd nr ls curvs f() ( )( ) y g() ( ). Ls curvs f () ( )( ) y g () ( ) s corn cundo ( ) [ ], s dcir,,,. Un sbozo d ls gráfics d f y g nos conduc : Por lo qu n [, ] s f () g () y n [, ] s g () f (), y l ár pdid s: (F G) () (F G) () (G F) () (G F) () (F G) () (F G) () (F G) (), dond F() f () y G() g (). Así pus, F(), con lo qu F() y G(), s dcir, G(), por lo qu (F G)() y l ár pdid s 7.. Clcul l ár dl rcino limido por l curv y, ls rcs y, y l j horizonl. Un sbozo d l rgión s s: P T Q R Hllmos l puno d cor d ls líns n cusión, qu son P (, ) y Q,, y l ár dl rcino s: Ár riángulo PT Ár rgión TPQR dcir, G(), y l ár s:. G() G(), sindo G(), s Solucionrio 9

3 Solucionrio.9 Clcul ls siguins ingrls indfinids. ) ( ) d c) b) d d) 7 d d ) ( )d C b) ( )d ( )d C c) d) 7 d d ln C d 7 6 d 6 6 C. Hll ls primiivs d ls funcions siguins. ) f () c) f () sn b) f () d) f () cos ) d C c) sn b) d In In C d) ( cos )d d cos rccos C sn C. Clcul ls siguins ingrls indfinids. ) d b) s ds c) ( ) d s d) cos (In) d ) s ds f) d s ) d ( ) ( ) d C C b) s ds s s s ds In ( s ) C c) ( ) d ( ) d ( ) ( ) C d) cos (In ) d cos (In ) d sn (In ) C ) s ds s ( s ) s ds rcg s C ( ) f) d d rcsn C. Hll ls primiivs d ls siguins funcions. ) f() (sn )(cos ) b)g ( ) d ) (sn )(cos ) d (cos )(sn ) ( ) d cos cos c b) g ( ) d s n ( ) d cos( ) sn ( ) d cos ( ) Incos ( ) C Solucionrio

4 . Clcul ls drivds d f() = g y g() = simplifícls l máimo y plic qué obsrvs. co s Si f() g, f() g \cos sn. cos Si g(), g() co s ( co s cos sn ) ) s co s n Como s v, ls dos funcions inn l mism drivd. No podí sr d or form, pus g() f() s n s co s cos cos n c os c, s dcir, difirn n un consn, por lo qu sus drivds dbn sr os iguls. Ár bjo un curv EJERCICIS. bén l función F(): [, ], l qu F() mid l ár d l rgión limid por l gráfic d f() si, l j horizonl y l vricl qu ps por l puno d bscis. si Dbs disinguir nr y. Clcul mbién l drivd d l función F(). Si, l form más cómod d clculr l vlor F() s rsr árs d riángulos, s dcir, F() ( )( ) ( ). Si, bsrá con sumr árs d riángulos, s dcir, F() ( )( ) ( ). ( ) Así pus, F(), por lo qu F() si ( ) si si ( ) si y pr vr si is F() y obnrl bsrá clculr lim F( h ) F() y lim h h F( h ) F() y comprobr h h si qu mbos son iguls, por lo qu F() y F(), s dcir, F() f(). si Torm fundmnl dl cálculo. Clcul l ár d ls siguins rgions. ) b) c) y = y = + y = ( ) ) F() b) G() rcg c) H() Ár F() F() Ár G() G() Ár H() H() 6.6 L curv y sá simpr por ncim dl j horizonl. Si nos pidirn clculr l ár d l rgión limid por l gráfic d f, l j horizonl y ls vricls y, procdrímos sí: Ár F() F(), sindo F() un primiiv d f, y qu F(), y obndrímos qu l ár vl: F() F(), qu, l sr ngivo, s un númro qu vidnmn no pud mdir un ár. Qué hy d rróno n nusro rzonmino? Como f() no s coninu n [, ], pus no lo s n, no s válido nusro rzonmino. Solucionrio

5 Solucionrio Ár nr dos curvs.7 Hll l númro pr l qu l rc divid n dos prs d igul ár l rgión limid por l j horizonl, l curv y y ls vricls,. Nos pidn hllr pr qu G() G() G() G(), o s, G() G() G(), sindo G(), s dcir, G(). Así pus,, por lo qu.. Hll l númro b pr l qu l rc y b divid n dos prs d igul ár l rgión dl problm nrior. El ár n cusión s G() G(), sindo G(), s dcir, dich ár vl, y nos pidn hllr b pr qu l ár d l rgión PQR s. Ls coordnds dl puno R vinn dds por l solución dl sism y, y b, s dcir, su bscis s. b b Así pus, G G() Ár rcángulo sombrdo, o s: b b b b, por lo qu b b ( b) b b b, d dond s 6 obinn dos solucions, b 6, d ls qu solmn in snido b 6,. b.9 En cd cso, clcul l ár limid por ls curvs dds. ) y c) y y y y b) y d) f) y y y y sn y ( ); y ; y y ) Punos d cor: ;, Ár (F G) () (F G) () con F(), G(), sí qu (F G)() y T() (F G) (), por lo qu l ár pdid s: T () T () 6. b) Punos d cor: Si,,. Por l simrí d l figur bsrá clculr l ár dl rcino d l drch y muliplicr por. Así pus, Ár [(F - G)() - (F - G)()] con F(), G(), sí qu (F G)() y T() (F G)(), por lo qu l ár pdid s (T() T()) 7. c) Punos d cor: Ár (F G)( ) (F G)( ) con F(), G() Así qu (F G)() (F G) y T() F (F G)(), por lo qu l ár pdid s: T( ) T( ). Solucionrio

6 d) Hllmos l puno T como inrscción d y, y y obnmos T(, ) y summos l ár d los rcinos TQ y TQNM, sindo M l puno,. Así pus, Ár (TQ) F() F() con F(), s dcir, F(), T M Q N por lo qu Ár (TQ). Ár (TQNM) G() G() con G(), o s, G() ln, por lo qu Ár (TQNM) ln y l ár pdid srá ln. ) Como s obsrv n l figur, ls curvs limin dos rcinos. En l primro, los punos d cor son A(, ) y B(, ). En l sgundo son B(, ) y C(, ). Uilizndo l noción d l ingrl dfinid y l rgl d Brrow, l ár dl rcino s clcul sí: S (sn ) d ( sn ) d = cos cos ( ) () f) Como s obsrv n l figur, ls curvs dlimin vrios rcinos, pro solmn uno d llos sá limido por l gráfic d ls rs funcions; s l riángulo miilíno ABC, qu su vz s divid n dos rcinos: l riángulo ADC y l riángulo miilíno DBC. S hlln ls coordnds d sos punos. A: y El puno buscdo s A, 9 y y 9 D A C B y y, y, y 7 B: El puno buscdo s B(, 7). El ár dl rcino buscdo srá: [( ) ()]d ( ) ( ) d ( ) 7 7,7 Solucionrio

7 Solucionrio Primiivs. Ingrl indfinid. Clcul l función qu in por drivd f() y cor l biscriz dl primr cudrn n l puno d bscis. f() C, y como nos dicn qu f (), nmos qu C, s dcir, C y l función pdid s f().. L drivd dl produco dic qu si F() f() g(), noncs F() f()g() f()g(). Bsándonos n so, podmos clculr l siguin ingrl: ( cos sn )d cos C y qu, n s cso, f() y g() cos, y l ingrl s l produco F() f() g(). Idnific ls funcions f() y g() n los siguins csos y clcul ss ingrls. ) ( )d d) ( sn cos )d b) sn (In ) cos d ) ( In )d c) ( sn cos )d f) In d ) f() y g(), sí qu ( )d ( ) d C b) f() ln y g() sn, por lo qu l ingrl dd s (In sn ) d ln sn C. c) f(), g() sn, y l ingrl pdid vl sn C. d) f(), g() cos, y l ingrl pdid, ( sn - cos )d f() ( (cos ) sn ))d (fg fg)d f() g() cos C ) ( In )d In d (f g f g)d con f(), g() In, rsulndo noncs f g ln C. f) In d (fg fg)d con f() y g() ln, rsulndo noncs f() g() ln C.. Clcul un función f qu ps por l orign y cuy drivd s f(). f(), por lo qu f() C, y como ps por l orign, C, sindo noncs f().. Un sudin, unqu no sb obnr l drivd dl cocin, dic qu ls funcions f() y g() inn l mism drivd, y l profsor dic qu sá n lo corrco. Cómo h rzondo l lumno? El sudin h obsrvdo qu g() f(), por lo qu g() f(). Solucionrio

8 Primiivs inmdis. Idnific cd un d ls primiivs siguins con un d l bl dd n l o y, coninución, rsuélvls. ) d i) d b) g d j) sn cos d c) ( ) d k) sn ( ) cos d d) d l) d cos ) d m) d sn f) sn d n) d sn g) d ñ) sn d g h) c d o) os 7 ) d ln C d b) g d s n cos d (Tipo ) sn c d ln cos C os c) ( ) d (Tipo ) ( ) d ( ) C 9 ( ) C ( -) C d) d 7 d (Tipo ) C C C ) d d (Tipo 9) ( ) d ( ) rcg C f) sn d (Tipo 6) snd (cos ) C g) d (Tipo ) d C g h) c d os g d (Tipo ) co s g C i) d d d d ln C k) sn ( ) cos d (sn ) cos d (sn ) C j) sn cos d cos rcg sn C l) ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d, sindo s úlim ingrl dl ipo, rsulndo, pus, ( ) C ) ( - C. cos m) d (Tipo 9) rcg (sn ) C sn n) d ( ) d (Tipo ) ( ) d ( ) C sn sn cos ñ) d sn d (Tipo ) In ( sn sn ) C o) 7 7 d ( ) d (Tipo ) ( ) d ( ) 7 C 7 7 C ( ) C Solucionrio

9 Solucionrio Ingrl dfinid. Rgl d Brrow. Si l gráfic d f() s l d l figur, cuál d los siguins 6 númros s l mjor proimción pr f() d? ) b) 9 c) 6 d) Cd cudrio d l cudrícul d l gráfic rprsn unidds cudrds. Como hy nros y vrios rozos más, l ár supr ls 6 unidds, por lo qu l rspus s d). f.6 Si f s coninu y f(), cuál s l vlor d f(7) sbindo qu f() d? 7 Al sr f() d f(7) f(), s f(7), por lo qu f(7). 7.7 Clcul ls siguins ingrls dfinids. ) d b) u du c) sc g d d) ( ) d ) d (6 ) ( ) b) u du [ u ] c) sc g d s c d) ( ) d. (PAU) Clcul sn d. n d os co s 6 6 ( ) ( ) sn d sn d [cos ] 6.9 Son vrddrs o flss ss firmcions? ) Si f s coninu y pr, noncs f() d f() d. b) Si f s coninu, noncs f() d f(7) f(). c) sn d d) ( b c) d ( c) d ) ( ) ( ) d mid l ár d l rgión ncrrd por l curv f() ( ) ( ) y l j horizonl f) El ár ncrrd por l curv f() =, l j d bsciss y ls rcs y s 6. ) Vrddr. Si f s pr: f() d f() d, por lo qu f() d f() d f() d f() d b) Vrddr. Al sr f coninu, plicmos l rgl d Brrow y f() d f(7) f(). c) Fls, pus sn d s un númro. 7 6 Solucionrio

10 d) Vrddr. ( b c) d ( c) d b d. Al sr l función y c un función pr, l primr sumndo s ( c) d, y l sr y b un función impr, l sgundo sumndo s. ) Fls, y qu l curv y ( ) ( ) cmbi d signo n [, ]. f) ( ) d 6, pro l ár pdid no s s ingrl, pus l función y cmbi d signo n [, ]. En concro, l ár pdid s: ( ( ) d ( ) d 6.. Solo un d ls siguins ingrls no vl cro. Cuál y por qué? ) sn d c) sn d ) cos d b) cos d d) sn d f) g d L ingrl dl prdo no s cro, pus l función y cos s posiiv o cro n R, por lo qu cos d mid l ár d l rgión ncrrd por dich curv y l j horizonl nr y.. Clcul l ár d ls rgions numrds d 6 n l siguin dibujo. Clculrmos ls árs por rozos. ) A ) ) ) A A A 9 y = ) 6) A A 6 y = ) A ( ) d 6) A ) ) ) A A A ( ) d y = + ) A d ( ) d A 9 A A A A A Solucionrio 7

11 Solucionrio Sínsis. Considr ls rs gráfics d l figur. Si l gráfic A s l d cir función f, cuál d ls ors dos s l gráfic d un primiiv d f? I A B C L C, porqu cundo s función dcrc, f s ngiv, y cundo crc, s posiiv.. PAU Ls gráfics I, II y III corrspondn, no ncsrimn por s ordn, ls d un función f drivbl, su función drivd f y un primiiv F d f. Idnific cd gráfic jusificndo u lcción. I II III F s l III, f s l II y f s l I, porqu cundo F crc, f s posiiv, y cundo F dcrc, f s ngiv. Lo mismo ocurr con f y f.. PAU L figur siguin rprsn l gráfic d un función f: [, 7] R. S F: [, 7] R l función dfinid por F() f() d. ) Clcul F() y F(7). b) Dibuj l gráfic d F() plicndo cómo lo hcs. f F() rprsn l ár comprndid nr l función y los js d coordnds, lugo F() 7. Tmbién s podrí hcr como: F() f() d d ( ) d [] F(7) rprsn l sum lgbric d ls árs qu dlimi l función y l j n l inrvlo [, 7], pro nindo n cun qu un d lls s posiiv y l or ngiv. 7 F(7) f() d f() d 7. S f un función coninu n l inrvlo [, ] y g() f(). Si f() d 7, cuál h d sr l vlor d g(u) du 7? g(u) du (f(u) ) du f(u) du du 7 Solucionrio

12 .6 Supón qu f s un función coninu y qu f() d, f() d y f() d 7. ) Clcul f() d, f() d y f() d. b) Eplic por qué f db sr ngiv n lgún puno dl inrvlo [, ]. c) Eplic por qué f(), pr l mnos un vlor dl inrvlo [, ]. ) f() d f() d f() d. Así pus, f() d 7 f() d f() d f() d. Así pus, f() d f() d f() d f() d f() d f() d. Así pus, f() d f() d f() d 6 b) f() d f() d f() d. Así pus, f() d, por lo qu f() d, d dond dducimos qu f db sr ngiv n lgunos punos d [, ], pus, n cso conrrio, f() d. c) Si f(), pr odos los númros d [, ], noncs f() d, 7, lo qu conrdic l hcho d qu f() d 7..7 Si f y g son funcions qu dmin drivd sgund y f() g() pr odo, cuáls d ls siguins firmcions inn qu sr vrddrs? i) f() g () pr odo ii) f() g() pr odo iii) f() d g() d Ls firmcions i ii son flss como musr l siguin digrm: f() g(),pro f() g() y f() y g(), con lo qu f() g() iii s vrddr, pus (f g)() pr odo, con lo qu (f g)() d, s dcir, f() d g() d. g f. Si c k y d kb, qué númro s myor, A o B? b A d In b In In b y = d B d In d In c In d c In k b A c k Son iguls. A b c B d.9 PAU D un función f: [, ] R s sb qu pr cd d dicho inrvlo s cumpl qu f(). D los númros,,,, y,7, cuáls pudn sr l vlor d l ingrl f() d? Nos dicn qu ( ) f() ( ), s dcir, qu l gráfic d f() prsn un siución como l d l figur. Como ( ) d y ( ) d, nusr ingrl f() d db sr un númro comprndido nr sos dos, sí qu los númros qu pudn sr l vlor d s ingrl son,,,. Solucionrio 9

13 Solucionrio PRBLEMAS. L vlocidd d un uomóvil h vrido d curdo lo rcogido n l siguin gráfic. v () ) Clcul l clrción dl uomóvil n cd uno d los rs rmos dl rcorrido. b) Clcul l spcio ol rcorrido por dicho uomóvil Como l clrción s l drivd d l vlocidd, su vlor n cd puno vin rprsndo por l pndin d l gráfic d l función vlocidd. ) En l primr rmo, En l sgundo rmo, d hs 6, l vlocidd s consn, lugo l clrción s nul. En l rcr rmo, dsd 6 hs, b) Como l vlocidd s l drivd d l función d posición, s srá un primiiv d l función vlocidd, y l spcio ol rcorrido vin rprsndo por l ár dl rcino qu dlimi l función vlocidd. v() d. L innsidd d l lluvi cíd n un obsrvorio, n liros por minuo, durn un ormn s pud rprsnr mdin l función: f() (, ) < < 6 min Clcul l cnidd d gu rcogid por mro cudrdo n dicho obsrvorio n l hor qu duró l ormn. [Ingr l función f() n l inrvlo d impo pdido.] Pluviógrfo: pro qu prmi rgisrr l innsidd d prcipición. 6 (, ) d [(, )] 6 ((6 6 )) ( ) 6 liros por m. Conocid l clrción con l qu s muv un objo, s fácil drminr l cución d movimino, so s, l rlción nr l posición dl móvil y l impo, uilizndo l cálculo ingrl. En l cso dl movimino rcilíno bs con uilizr ls siguins rlcions. v() v (u) du; () v(u) du Dond y v son, rspcivmn, l posición y l vlocidd inicil dl móvil pr. A prir d ss prsions, clcul l prsión d l vlocidd n función dl impo y l cución d movimino pr l cso d qu l clrción s consn indpndin dl impo (movimino uniformmn clrdo). Si () k, noncs v() v kdu v k () (v ku) du v u k u v k PRFUNDIZACIÓN. Clcul l vlor d pr qu d d. Nos dicn qu [ ] [ ], s dcir:, Solucionrio

14 . (PAU) Dos hrmnos hrdn un prcl qu in l form d l rgión limid por l prábol y y l rc y. Dcidn dividirl n dos rgions d igul ár mdin l rc horizonl y. Clcul l vlor d. sí pus,,,, L siución s como indic l figur y, puso qu l ár d l prcl s ( ) d, nos pidn l vlor d pr qu ( ) d. Drminmos n primr lugr los númros,. y, y,. Así pus, ( ) d, s dcir, ( ) d, o s,, con lo qu ;. Encunr l inrvlo [, b] pr l qu ( ) d lcnz l máimo vlor. b Como f(), vrific f() si, f() si y f() si [, ]. Rsulrá qu l inrvlo buscdo [, b] s [, ]..6 Curo sudins no s ponn d curdo sobr l vlor d sn d. Albro dic qu vl ; Briz, qu s igul ; Crolin, qu vl, y Dvid, qu vl. Uno d los curo sá n lo ciro, quién? 9 Si sbozmos l gráfic d f() sn n [, ], dcidimos rápidmn quién in rzón. A sn d mid l ár d l rgión ryd, qu s mnor qu, pus B l ár dl rcángulo s, y ls rcs A y AB, unqu comn un poco d l rgión, clrmn djn grn pr d ll n l inrior dl riángulo AB d ár. Así pus, Albro, qu dijo, no pud nr rzón. Crolin dio un rsuldo ngivo. Dvid dijo, y mpoco in rzón, porqu sbmos qu s mnor. Lugo Briz, qu dic qu dich ingrl s, s quin in rzón..7 Clcul ls siguins primiivs. rcg ) d c) sn g d ) co s c d os b) d d) d f) d rcg rcg ) d s dl ipo f() f() d, por lo qu d rcg C. b) In f( ) d d ( ) In ( d, qu s dl ipo ) d, por lo qu vldrá rcg f () In C. c) g d co s ( g ) d, qu s dl ipo co s f() r f() d, con r, con lo qu 6 vldrá ( g ) 6 C 6 ( g ) 6 C. d) d In In d In C sn ) c d cos os (sn ) d co s C co s f) d d () d () rcg C Solucionrio

15 Solucionrio A B. Clcul los númros A y B pr qu. ( ) ( ) A B A( ) B( ). ( ) ( ) ( ) ( ) Como ls dos frccions iguls y mbién iguls los dnomindors, l polinomio p() A( ) B( ) db sr consnmn, por lo qu p(), p() ; s dcir, B, A; lugo A, B..9 Clcul d. Como ( ) ( ), sgún l jrcicio 9,, por lo qu d (In In ) C.. Si b s un númro posiivo, clcul d. En [, b], b,, por lo qu d d b b b b b. S l función cuy gráfic s l d l figur, qu consis n sgmnos y curos d circunfrnci. Clcul f() d, f() d y f() d. f f() f() f() d f() d f() d f() d f() d 9 9 d f() d f() d 9 d f() d f() d Dic l princi qu l ár d un sgmno prbólico s d l longiud d l bs muliplicd por l lur. Uiliz l cálculo ingrl pr confirmr s firmción. Tommos un sism d js n l qu l j vricl s l d l prábol, como indic l figur, por lo qu l cución d l prábol srá y c, sindo noncs l lur dl sgmno prbólico c, y l bs, l longiud dl sgmno d rmos los cors d dich prábol con l j horizonl, s dcir, c y c, por lo qu dbmos confirmr qu l ár d dicho sgmno s c c. c Vámoslo: Ár ( c) d como qurímos probr. c c c c c c c c c c, Solucionrio

16 . S f() : ) Encunr rs númros A, B y C ls qu f() A B C. b) Esboz l gráfic d f pr >. c) Encunr l ár d l rgión limid por l gráfic d f, l j horizonl y ls rcs y. ) Nos dicn qu A B C A( ) (B C). Como sbmos qu ss dos frccions son iguls y los dnomindors mbién lo son, dbrín sr iguls los numrdors, sí qu los polinomios y A( ) (B C) son l mismo, por lo qu omrán l mismo vlor n, s dcir, A. Por jmplo, omndo y, nmos A (C B) y A C B. Así pus,, d dond C, B, por lo qu f() C B. C B b) En (, ), f s coninu y prsn un síno horizonl n y. f() ( ) ( ) ( ) pr odo, ( ( ) ) por lo qu l gráfic d f s lgo sí: c) Ár d In In ( ) In ( ) In In. Uiliz rgumnos goméricos pr probr qu: ) n d \n d, sindo n culquir nro posiivo. b) In d d ) bsrvndo qu f() n y g() n son un l invrs d l or, sus gráfics son simérics rspco d l biscriz dl. r cudrn, por lo qu l númro pdido, n d n d, mid l sum d ls árs sombrds, y como, por ls considr cions hchs, l ár ryd n vricl coincid con l ár limid por l curv y n, l j y y l rc y, l sum pdid s l ár dl cudrdo d ldo, s dcir,. b) Al sr y ln, y simérics rspco d l biscriz dl. r cudrn, l númro In d mid l ár d l rgión limid por l j y, l curv y y l rc y, por lo qu l sum pdid s l ár dl rcángulo d bs y lur, o s,. Solucionrio