UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA ESCUELA SUPERIOR DE COMERCIO MANUEL BELGRANO ANALISTA DE SISTEMAS DE INFORMÁTICA TÉCNICO SUPERIOR EN COMERCIALIZACIÓN

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA ESCUELA SUPERIOR DE COMERCIO MANUEL BELGRANO ANALISTA DE SISTEMAS DE INFORMÁTICA TÉCNICO SUPERIOR EN COMERCIALIZACIÓN CURSO DE NIVELACIÓN 01

2 CRONOGRAMA DEL CURSO DE NIVELACIÓN 011 DICTADO DEL CURSO: DEL 9 DE FEBRERO AL 5 DE MARZO DE 01 Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Horario: 18:0 a 0 horas. EXAMEN DE NIVELACIÓN OBLIGATORIO: 7 DE MARZO DE 01 Para rendir el Examen de Nivelación: verificar con anticipación el lugar y horario asignado. presentarse a las 18:0 horas. asistir al examen llevando: bolígrafo azul o negro. documento de Identidad (en caso de extravío la exposición policial y foto, o credencial que acredite su identidad). calculadora. PUBLICACIÓN DE LOS RESULTADOS DEL EXAMEN: LUNES 1 de MARZO de 01. De 18:0 a 0 horas, únicamente se mostrarán los exámenes, a aquellos aspirantes que no ingresaron de acuerdo al orden de mérito.

3 OBJETIVOS Integración de conceptos matemáticos a través de la formulación de modelos para la resolución de situaciones problemáticas. Reconocimiento de la importancia del lenguaje gráfico y simbólico como herramienta de comunicación. Valoración del rigor del lenguaje matemático en el tratamiento gráfico y numérico de la información. CONTENIDOS Unidad 1 Expresiones algebraicas. Polinomio: grado de un polinomio, valor numérico. Ecuaciones: ecuación de primer grado con una incógnita, ecuación de segundo grado con una incógnita.resolución de situaciones problemáticas. Unidad Concepto de función. Función lineal. Expresión analítica y representación gráfica de una función lineal (recta). Determinación de los puntos de intersección de la gráfica de una función lineal con los ejes coordenados cartesianos. Concepto de pendiente y de ordenada al origen. Obtención de la ecuación de una función lineal a partir de la gráfica. Determinación de la ecuación de una recta conociendo dos puntos de la misma. Función cuadrática. Expresión analítica y representación gráfica de una función cuadrática: parábola. Determinación de los puntos de intersección de la gráfica de una función cuadrática con los ejes coordenados cartesianos. Coordenadas del vértice de una parábola. Resolución gráfica y analítica de situaciones problemáticas. Bibliografía utilizada: Guzmán, M.; Colera, J. (1994). Matemáticas, bachillerato 1, España, Edit. Anaya. Martínez-Mediano, J.; Cuadra López, R. Heras Redondo, A. (007). Matemáticas aplicadas a las ciencia sociales, España, Edit. Mc Graw Hill. Stewart, J; Redlin, L.; Watson, S. (000). Precálculo, México, Edit. Thompson Bibliografía sugerida: Los textos mencionados anteriormente o los utilizados durante el cursado de los tres últimos años de la escuela secundaria (ciclo de especialización).

4 INTRODUCCIÓN La modelización de diversos fenómenos mediante un ordenador, han dado en las últimas décadas un lugar privilegiado a la matemática en ciencias como biología, econom ía, ciencias de la organización, etc. Ya desde hace unos años se cuenta con calculadoras capaces de hacer operaciones altamente complejas en unos pocos segundos, por lo tanto la enseñanza de la matemática hoy, hace hincapié en la transmisión de procesos del pensamiento propios de esta ciencia. Tras los años de escuela secundaria se puede percibir con mayor profundidad la inmensa potencia de la matemática, tanto en sus valores intrínsecos como modelo de ciencia y fuente de belleza intelectual, como en su vertiente instrumental, es decir, como herramienta absolutamente indispensable, hoy, en el intento de explorar los fenómenos que aparecen tanto en el mundo de la ciencias y de la naturaleza como en el mundo de las ciencias sociales y humanas. Se trabajarán en este curso dos bloques: Álgebra y Funciones. El álgebra que facilita el tratamiento de ecuaciones las cuales frecuentemente aparecen en multitud de situaciones. Muchas veces las situaciones que se plantean permite expresar la relación de algunas magnitudes con otras, y las funciones permiten expresar cuantitativamente estas relaciones. Es una tendencia bastante generalizada de la didáctica actual de la matemática, la de conceder una importancia fundamental a los procesos típicos del pensamiento matemático en la resolución de los problemas con que se enfrenta. Estos procesos, por otra parte, son de gran utilidad en el enfrentamiento con problemas de todas clases. Lo que en el fondo se persigue es transmitir en lo posible, de una manera sistemática, los procesos del pensamiento eficaces en la resolución de verdaderos problemas. Se intenta que los estudiantes hagan transferencias a otros aspectos de su trabajo mental y se preparen así, para otros problemas de la ciencia y posiblemente de su vida cotidiana. Esta actividad contribuye al desarrollo autónomo para resolver sus propios problemas, y muchos de los hábitos que se consolidan tienen un valor universal, no limitado al mundo de las matemáticas.. 4

5 UNIDAD 1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES 1. Expresiones Algebraicas y Polinomios Consideremos el siguiente ejemplo: Ejemplo 1 Concurrimos a un negocio de venta de lanas de diferentes tipos en el que se lee en una pizarra la siguiente lista de precios: Lanas Precio por kg ( $ ) A 7 B 5 C 4,50 y necesitamos comprar los productos A, B y C. El gasto dependerá de la cantidad de kg que compremos de cada tipo de lana. El gasto depende de las cantidades compradas ("variables independientes"). Si llamamos x : cantidad de kg de lana tipo A y: cantidad de kg de lana tipo B z: cantidad de kg de lana tipo C el gasto realizado estará representado por: 7 x + 5 y + 4,50 z Si analizamos las características de la expresión obtenida se puede observar que los precios 7, 5 y 4,50 son constantes y que las cantidades representadas por las letras x, y, z, constituyen las indeterminadas o variables. Dichas constantes se llaman coeficientes de las variables. Si identificamos a los coeficientes con las letras a, b y c, adoptará la forma: a x + b y + c z Nota: a, b y c pueden variar también pero, para cada caso particular los precios a, b y c serán fijos y variarán las cantidades compradas x, y, z. La expresión matemática que representa el gasto en el ejemplo 1 es un modelo matemático que recibe el nombre de expresión algebraica entera. En general Una expresión algebraica está representada por una combinación de números expresados por letras o por letra y cifras y vinculados entre sí mediante las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y /o radicación. Ejemplo Expresiones algebraicas son las siguientes: a) x x + 5 b) 5 x 9 c) x - 1 Las expresiones algebraicas de los ejemplos anteriores son enteras ya que los exponentes de las indeterminadas son números enteros no negativos. 5

6 Polinomio La expresión general de un polinomio P, en una indeterminada x es: P(x) = a 0 + a 1 x + a x + a x +...+a n-1 x n-1 + a n x n x es la variable o indeterminada. n es un número entero no negativo e indica el grado del polinomio. Los coeficientes a 0, a 1, a...a n son números reales. a n se llama coeficiente principal y es el coeficiente del término de mayor grado del polinomio. Ejemplo Para el polinomio P(x) = 50 x x a 0 = 0 a 1 = 50 a = El grado del polinomio es Ejemplo 4 Para el polinomio C(x) = ,0 x a 0 =4000 a 1 = 1,0 El grado del polinomio es 1. Valor numérico de un polinomio El valor numérico de un polinomio P, para x=a, es el número P(a) que se obtiene reemplazando en el polinomio, la indeterminada x por a y resolviendo las operaciones indicadas. Ejemplo 5 Dado el polinomio P(x) =50 x x P()= P()= 88 el valor numérico de P para x = será: 1.1 Realice las siguientes actividades a) Dado el polinomio P(x) =4x 6 x + x, determine el valor numérico de P para x = 0, x =, x =1 y x =. b) Dados los polinomios: C(x) = 4 x x E(x) = - x + F(x) = x 1 Justifique la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: 1) El coeficiente principal de E es. ) El grado de F es cero. ) C ( 0) = E ( 1 ) 1 1 4) F = - 4 6

7 . Ecuación de primer grado Analicemos la siguiente situación: Una persona realiza en un negocio de ramos generales una compra de un sombrero y un adorno, pagando en total $6. El adorno costó $5 más que el sombrero. Cuánto costó cada artículo? Para resolver este problema a través del planteo de una ecuación: si llamamos x al precio del sombrero entonces precio del adorno: x + 5 La ecuación que se plantea es: x+x+5 = 6 Asociando términos queda: x +5=6 o bien x - 8 = 0 La igualdad anterior recibe el nombre de ecuación de primer grado con una incógnita. La expresión general de una ecuación de primer grado con una incógnita "x" es: a x + b = 0 siendo a y b constantes y a 0 Una ecuación de primer grado tiene una solución única y recibe el nombre de raíz o solución de dicha ecuación. Si en la ecuación planteada despejamos x queda: x = 19 El precio del sombrero es $ 19 y el del adorno es $44 (Compruebe si la solución es correcta).1 Resuelva los siguientes problemas, a través del planteo y solución de una ecuación de primer grado con una incógnita. a) Determine las dimensiones de un terreno rectangular, sabiendo que el largo es cuatro veces el ancho y que su perímetro es 10 metros. b) Una empresa se dedica a la producción de un artículo. Tiene gastos fijos por un valor de 400 pesos y por cada artículo gasta 1 pesos por la materia prima y mano de obra. b-1) Si produce "x" artículos determine la expresión matemática que representa el Costo de Producción para "x" artículos. b-) Cuántos artículos puede producir si se invierten $ 15000? 7

8 . Resuelva las siguientes ecuaciones. a) x - 9x + 5 = x + b) 1 4 x 1 x 1 c) (10 - x + 0,5x) 0, = 1 - x d) 4 (x +1) -=0 1 1 e) x x x Resuelva los siguientes problemas. En todos los casos: lea detenidamente el enunciado identifique datos e incógnitas, asigne letras a las incógnitas y, si es posible, realice un esquema, un gráfico o una figura. plantee un modelo matemático que refleje las relaciones existentes. resuelva lo planteado. compruebe que la solución es acorde con los datos, y que satisface las condiciones del problema. a) Dos personas reúnen $95000 para comenzar un micro emprendimiento. Si la primera persona aporta de lo que aporta la segunda, a cuánto asciende la contribución de 5 cada uno de ellos? b) Federico tiene $66 en billetes de $ y de $5. Si en total tiene 18 billetes, cuántos billetes de cada valor tiene Federico? c) Un comerciante vende cierto número de cajas de lápices en la siguiente forma: dos tercios del total a $6 la caja; y el resto a $ 60 la caja. Recibe en total $7440. Cuántas cajas de lápices ha vendido? d) En un quiosco se venden hamburguesas a $,50 cada una y gaseosas a $ 4 cada una. Si durante una tarde el número de gaseosas vendidas fue el triple que el de hamburguesas y se recaudaron $10, cuántas hamburguesas y cuántas gaseosas se vendieron esa tarde? 8

9 . Ecuación de segundo grado Analicemos la siguiente situación: La superficie de un campo rectangular es de 50 metros cuadrados. Si el ancho supera en 5 metros al largo. Cuáles son las dimensiones del campo? x+5 x x (x+5) = 50 x + 5x = 50 x + 5x - 50 = 0 La ecuación planteada es una ecuación de segundo grado, con una incógnita. Para resolver una ecuación de segundo grado ax + b x + c = 0, con a, b y c reales y a 0, se aplica la siguiente fórmula: x b b a 4ac Con la fórmula anterior se obtienen dos soluciones. En el problema planteado la ecuación que hay que resolver es: x + 5x - 50 = 0 a = 1 b = 5 c = -50 x ( 50).1 x 1 = - 10 ( no es solución) x = 5. Las dimensiones del campo son 5 m y 10 m 1..1 Si al cuadrado de un número se le resta 54, se obtiene el triple del número. Cuál es el número? Cuántas soluciones tiene este problema? 9

10 . Resuelva las siguientes ecuaciones a) x -5x + 6 = 0 b) x - 5 = 0 c) x - 10x = -5 d) x + 4x - 5 = 0 e) (x +1)(x-) = - f) (x +5)(x-8) = 0 g) x - 5 = 0. Resuelva los siguientes problemas En todos los casos: lea detenidamente el enunciado. identifique datos e incógnitas, asigne letras a las incógnitas y si es posible, realice un esquema, un gráfico o una figura. plantee un modelo matemático que refleje las relaciones existentes. resuelva lo planteado. compruebe que la solución es acorde con los datos, y que satisface las condiciones del problema. a) El cuadrado de un número positivo más el doble de su opuesto es 960. Cuál es el número? b) En un triángulo la base mide 15 cm más que el doble de la altura. Calcule la base y la altura del triángulo, sabiendo que el área del triángulo es 01 cm. c) En una empresa la cantidad de conexiones telefónicas que se pueden hacer con un conmutador, al que están conectados aparatos, está dada por la ecuación. Si el operador puede realizar 496 conexiones, cuántos aparatos están conectados? 10

11 UNIDAD FUNCIONES Las magnitudes que intervienen en diversos fenómenos sociales, pueden medirse con mayor o menor exactitud, lo que proporciona una cuantificación del fenómeno. En cada fenómeno las magnitudes involucradas dependen unas de otras. Estas dependencias, cuando se quiere cuantificar, muchas veces conducen al concepto de función ya que una función expresa en términos cuantitativos la dependencia de una magnitud respecto de otra, o de otras. Al observar la variedad de circunstancias en las que aparecen las funciones, se pone en evidencia la necesidad de las mismas para cualquiera que intente explorar cuantitativamente el mundo que nos rodea, a fin de ser capaz de prever y en lo posible conducir la marcha de un proceso de la forma más adecuada. La dependencia de una sola variable, conduce al concepto de función de una variable que es la que aquí consideraremos. Definición: Se llama función, de un conjunto A en un conjunto B a toda relación de A en B, tal que a cada elemento del conjunto A le hace corresponder un único elemento del conjunto B. Simbólicamente: f: A --> B ( la función " f " está definida de A en B) El dominio de la función es el conjunto A. El codominio o imagen de la función es un subconjunto del conjunto B. Dom (f) = A lm(f) B Funciones polinómicas La expresión general de una función polinómica en una indeterminada " x" es: f(x) = a o + a 1 x + a x + a x a n-1 x n-1 + a n x n los coeficientes a o, a 1, a,... a n son números reales. x es la variable o indeterminada. n es un número entero no negativo. a n el coeficiente principal Las funciones polinómicas de primer grado se llaman lineales y las de segundo grado cuadráticas. Dichas funcione se abordarán en este curso. 1. Función lineal Una función lineal es una función polinómica de primer grado y está definida a través de la expresión: f(x) = a x + b donde a, b Si llamamos " y" a los valores que adopta la función para cada x (y = f(x)), la expresión anterior se puede escribir: y =a x +b En una terminología más estricta se llaman lineales sólo a las funciones definidas por la expresión y = a x. Aquí utilizaremos la primera terminología llamando: "lineal" a la función y = a x + b, y "proporcionalidad directa" a la función y = a x. Los valores de "y" (variable dependiente) dependen de los valores de "x", que es la variable independiente. 11

12 La representación gráfica de esta función en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, es una recta. y a : se llama pendiente o coeficiente angular y es igual a la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de las abscisas. a = tg b 0 x b : se llama ordenada al origen y el par ordenado (0;b) representa el punto de intersección de la recta con el eje de las ordenadas. 1.1 Resuelva los siguientes ejercicios. a) Determine la ecuación de la recta cuya ordenada al origen es y pasa por el punto (5; 1). Represéntela gráficamente. b) Escriba la ecuación de la recta cuya pendiente es y pasa por el punto (-1 ;) 1. Represente gráficamente las siguientes funciones. a) f(x) x 1 b) g(x) = -x+ 4 c) f(x) = 5 d) f(x) = x 1. Escriba las ecuaciones de las rectas cuyas gráficas se dan a continuación: 0 (a) ( b) ( c ) ( d) 1

13 1.4 Resuelva los siguientes problemas En todos los casos: lea detenidamente el enunciado. identifique datos e incógnitas, asigne letras a las incógnitas y, si es posible, realice un esquema, un gráfico o una figura. plantee un modelo matemático que refleje las relaciones existentes. resuelva lo planteado. compruebe que la solución es acorde con los datos, y que satisface las condiciones del problema. Ejemplo Para la elaboración de un producto, un empresario tiene gastos fijos por un monto de $ 100 y el costo de producción de cada producto es de $5 a) Si durante un mes el costo ascendió a la suma de $5, qué cantidad de productos se elaboraron ese mes? b) Cuál fue el costo de producción durante el mes que se elaboraron 10 productos? c) Si se represente gráficamente el costo en función de la cantidad producida, qué representa la pendiente de la recta y qué representa la ordenada al origen en este problema? Para resolver este problema, asignemos C al costo y x a la cantidad de productos. La función que relaciona estas dos incógnitas es una función lineal: C(x) = x Con este modelo y la representación gráfica correspondiente se pueden responder las preguntas planteadas. (Resuelva) I) Un pequeño agricultor quiere vender su producción de granos y considera tres alternativas: opción 1: venderla a la cooperativa local que paga $ 400 cada tonelada opción: alquilar un puesto en el mercado donde puede poner un precio por tonelada más elevado, $800 cada tonelada, pero debe pagar alquiler. opción : vender toda la producción a una empresa alimentaria en una cantidad fija antes de la siembra. Los beneficios en función de las toneladas producidas están indicados en las siguientes gráficas: y (Beneficio en pesos) a) Qué gráfica corresponde a cada opción? Justifique A B C b) Determine: b-1) cuál es la mejor opción según el número de toneladas cosechadas. b-) cuál es precio del alquiler del puesto en el mercado x (toneladas) b-) la función lineal que representa cada opción. b-4) para qué opción se cumple que si se produce el doble se gana el doble 1

14 II) Unos amigos se encuentran de vacaciones. Alquilan un auto en una agencia que cobra 0 dólares por día, más 0,4 dólares por km recorrido. Si piensan quedarse de vacaciones durante 8 días: a) Escriba la función que representa el gasto total para x kilómetros recorridos y represéntelas gráficamente. b) Recorriendo 400 kilómetros, cuánto deberán pagar? c) Si se quedan 10 días: es válida la función del ítem a? Justifique su respuesta y en caso negativo determine la función que representa el gasto en este caso. III) Un determinado producto se vende a $4,50. El costo de mano de obra por unidad producida es de $8,15; el costo de materiales es de $6,5 por unidad siendo el costo fijo mensual estimado de $800. a) Escriba la función que representa el beneficio para x productos vendidos. b) Cuántos productos deberán venderse para que el ingreso total sea igual al costo?. Función cuadrática Una función cuadrática (función polinómica de do grado) está definida a través de la expresión: f(x)== a x + b x + c donde a, b y c y a 0 La representación gráfica de esta función en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, es una parábola. La curva de la figura representa una función cuadrática. Esta curva tiene como eje de simetría la recta : b x a El vértice de la parábola es un punto que tiene coordenadas ( x v ; y v ) siendo b x v y v ax v bx v c a Los valores de x que anulan la función, (raíces del polinomio) se calculan resolviendo la ecuación de segundo grado a x + bx + c = 0 c y Eje de simetría x 1 x x Estos valores se calculan utilizando la fórmula: x b b a 4ac Vértice y representan las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con el eje de las abscisas. El punto de intersección de la parábola con el eje de ordenadas es (0;c) 14

15 Ejemplo Se quiere representar gráficamente la función f(x) = 4 x 16 x + 1 Para esto se determina: el vértice de la parábola. x v b a x v ( 16) x v =. 4 y v ax v bx v c y v Vértice = ( ;-4) 4 y v los puntos de intersección con los ejes coordenados. Intersección con el eje de las abscisas: 4 x 16 x + 1 = 0 x 1 = 1 x = los puntos son: (1;0) y (;0) Intersección con el eje de las ordenadas f(0) = f(0) = 1 el punto de intersección es ( 0;1) La gráfica es: y 1.1 Represente gráficamente las siguientes funciones: a) f(x) = b) f(x) = x x + c) f(x) = x + 6 x x. Resuelva los siguientes problemas En todos los casos: lea detenidamente el enunciado. identifique datos e incógnitas, asigne letras a las incógnitas y,si es posible, realice un esquema, un gráfico o una figura. plantee un modelo matemático que refleje las relaciones existentes. resuelva lo planteado. compruebe que la solución es acorde con los datos, y que satisface las condiciones del problema. 15

16 I) El beneficio (en millones de pesos), obtenido en una empresa por la venta de x productos (expresado en miles de unidades producidas y vendidas) está dado por la función cuya gráfica se representa en la figura. A partir de la gráfica determine: Beneficio (en millones de pesos) a) qué valores puede adoptar x para que no haya pérdida. b) qué producción no representa ni ganancia ni pérdida para la empresa. c) cuál es la cantidad que más beneficio le aporta a la empresa. d) qué representa la ordenada del punto de intersección de la parábola con el eje de ordenadas, en este problema. Cant. producida (en miles) II) Teniendo en cuenta que la demanda de un producto es aquella cantidad que los consumidores están dispuestos a comprar a un precio "x" y la oferta es la cantidad que los fabricantes están dispuestos a producir a un precio de venta "x", un analista determina que para un determinado producto la demanda está dada por la función: g(x) = x y la oferta está dada por f(x) = 4 1 x 00. Determine: a) qué cantidad producirá un fabricante, si se fija el precio de venta en 50 pesos, y qué cantidad se demandará a dicho precio. Analice su resultado. b) a qué precio se debe vender si se pretende que la cantidad que el fabricante produzca sea vendida en su totalidad. III) Una fábrica determina que el costo " y " de producción (en miles de pesos), de x ( en miles de unidades) está dado por una función de la forma y = x 8x a) Cuántas unidades se deben producir para que el costo sea mínimo, y cual es dicho costo? Justifique su respuesta. b) Cuántas unidades originan un costo de 0 (mil pesos)? c) Represente gráficamente d) Qué representa el valor de c de la función, en este problema? 16

17 Respuestas Unidad a) P ( 0 )= 0 P ( ) = 60 P ( 1 ) = 0 P ( ) = b) 1) falso, el coeficiente principal es ) falso, el grado de F es 1 ) verdadero C(0) = E ( 1 ) = 0 4) falso 1 F = a) ancho 1 m y largo 48 m b 1 ) x b ) 900 artículos. a) 5 1 b) c)10 d) 1 e) 0. a) la primera aporta $565 y la segunda $ 5975 b) 8 billetes de $ y 10 billetes de $ 5 c) 10 d) Se vendieron 0 hamburguesas y 60 gaseosas..1 El problema tiene dos soluciones. El número puede ser 9 o - 6. a) x 1 = x = b) x 1 = 5 x = -5 c) x = 5 d) x 1 = - 5 x = 1 e) x 1 = x = 0 f) x 1 = -5 x = 8 g) x 1 = 5 x = - 5. a) b) base: 4 cm altura: 14 cm c) Unidad 1.1 a) y x 5 b) y = x + 5 y x 17

18 1. a) b) 4 8 c) d) x 1.. a) 1 y x b) y = -1 c) y x d) y = - x 1.4) I) a) opción 1 recta C; opción recta B ; opción recta A b-1) Si vende menos de 10 toneladas la mejor es la opción. Si vende más de 10 toneladas le conviene la opción. b-) $400 b-) las funciones que corresponden a cada opción son: C(x) = 400 x (opción 1) B(x) = 800 x 400 (opción ) A(x) = 5600 (opción ) b-4) para la opción Gasto (dólares) II) a) y = ,4 x b) 400 dólares. c) No. Se modifica la ordenada al origen. En este caso la función es. y = ,4 x x (km) III) a) Llamando B al beneficio, B(x) = 8 x 800 b) x = 100 productos 18

19 ,1 a) b) c) y y x x. I) a),05 x 8, ( en miles de unidades) V b) Si produce,05 miles de productos o bien 8, miles de productos el beneficio es cero, es decir lo que ingresa por venta es igual al gasto de producción. c) 565 unidades generan el beneficio máximo. d) 100( millones de pesos) representa la pérdida, si no se produce nada. II) a) se demandarán 0 unidades y la oferta será de 45 unidades, no es un precio conveniente. b) 40 pesos III) a) 000 unidades producen un costo de 000 pesos b) 5000 unidades d) Representa el costo cuando no se produce nada. 19

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