INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 21 RECTA. 1) abscisa (del latín, abscissa = cortada, que corta. Se refiere a que corta a la vertical): Es

Transcripción

1 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página LA RECTA. DEFINICIONES Y CONCEPTOS PRELIMINARES ) abscisa (el latín, abscissa cortaa, que corta. Se refiere a que corta a la vertical): Es el valor nuérico e la coorenaa en el plano cartesiano. ) orenaa (el latín, lineae orinatae líneas paralelas. Se refiere a paralelas a la vertical): Es el valor nuérico e la coorenaa en el plano cartesiano. ) recta: Es el conjunto e puntos que siguen la isa irección. 4) segento e recta: Es un peazo eterinao e toa una recta perfectaente eterinao su inicio su final. Es u iportante istinguir entre una recta lo que es un segento e recta. La recta no tiene principio ni fin, aunque en el papel aparezca un peacito naa ás. Una cosa es que se ibuje solaente una parte e la recta otra cosa es que la recta sea naa ás ese peacito ibujao. Lo que sucee es que coo no tiene principio ni fin, es iposible ibujarla así, sin principio ni fin. Si e toa esa recta infinita en longitu, se selecciona un peacito eterinao, señalano claraente en óne epieza en óne terina, lo que se tiene es un segento e esa recta. 5) peniente: La peniente e una recta, representaa con la letra, es la inclinación e icha recta. Una peniente puee ser positiva o negativa. Es positiva si traslaaa la recta al origen atraviesa el priero tercer cuarantes; es negativa si traslaaa al origen, atraviesa el seguno cuarto cuarantes. Para eir la peniente e una recta, o sea su inclinación, se ie cuánto subió verticalente en qué istribución horizontal. Por ejeplo, se construe una rapa coo lo uestra la figura.; la inclinación que tiene es e uniaes hacia arriba istribuios en figura.

2 Página LA RECTA uniaes horizontales, lo cual se inica con la fracción peniente es.. Se ice entonces que su Pero esa fora e eir la inclinación coincie con la función trigonoétrica tangente el ángulo con la horizontal (cateto opuesto entre el cateto aacente ), por lo que la peniente es lo iso que la tangente e ese ángulo, o sea que tanθ Por ejeplo, si una recta r fora un ángulo con la horizontal e 45 o, coo tan 45 ás, se ice que esa recta tiene una peniente e. ae tan45 tanθ tanθ Si una recta tiene una peniente e, coo, significa que, e θ arc tan one, es ecir, fora un ángulo, respecto e la horizontal, e 6.4 o.. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Sean os puntos A B, cuas coorenaas son conocias. Un nobre genérico para esas coorenaas es (,) para el punto A, ientras que (,) para el punto B. Lo anterior se escribe A (, ) ; B (, ) está represen- tao en la figura.. La istancia que eiste entre esos os puntos se puee eucir e la siguiente anera: Trazano una línea horizontal que pase por el punto A una línea vertical que pase por el punto B se fora el figura. triángulo ABC (ver figura.). Obsérvese que la istancia horizontal AC es la iferencia e enos, ientras que la istancia vertical BC es la iferencia e enos. Entonces, por el teorea e pitágoras aplicao sobre el triángulo ABC, se obtiene que la istancia buscaa AB es: Y A istancia - B C - X

3 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página La istancia entre los puntos A(, ) B(, ) es ( ) ( ) + en one es u iportante aclarar que cualquiera e los os puntos conocios puee toar el nobre e A cualquiera el e B, sin que se oifique el valor e su istancia calculao con la fórula anterior. Ejeplo: Un punto tiene por coorenaas (9, 6) otro punto se localiza en (, 4). Hallar la istancia entre ellos. Llaano A al punto e coorenaas (9, 6) B al otro, se tiene que 9 ; 6 ; 4 utilizano la fórula e istancia entre os puntos, se tiene que ( ) ( ) + ( 9) 6 ( 4 6) + ( 6) ( 8) COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA: Sean los puntos A B cuas coorenaas son conocias, los que eterinan el inicio el final e un segento e recta. Un nobre genérico para esas coorenaas conocias es, para el punto A,, para el punto B. Lo anterior se escribe A, ; B,. ( ) ( )

4 Página 4 LA RECTA Las coorenaas el punto eio P e icho segento se eucen fácilente a partir e la figura.: Es obvio que la abscisa e P (la eia horizontal a partir el origen e coorenaas) está a la ita e los puntos A B; coo la istancia horizontal entre esos os puntos es (ver figura.), entonces a la ita está la abscisa e P, o sea en Pero no perer e vista que esa eia está aa a partir el punto A coo tiene que estar aa a partir el eje e las Y, entonces le hace falta suarle la istancia, con lo que se obtiene: Y A - P - B C X figura. Ésta es la abscisa el punto eio P. Eactaente igual se euce la orenaa e icho punto eio. En conclusión: Las coorenaas (, ) el punto eio P el segento e recta coprenio entre los puntos A(, ) B(, ), son + +

5 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 5 en one es u iportante aclarar que cualquiera e los os puntos conocios puee toar el nobre e A cualquiera el e B, sin que se oifiquen los valores e las coorenaas el punto eio. Ejeplo: Hallar las coorenaas el punto eio el segento e recta que está eliitao por los puntos (9, 4) (7, 4). Llaano A al punto e coorenaas (9, 4) B al otro, se tiene que 9 ; 4 7 ; 4 utilizano la fórula e las coorenaas el punto eio, se tiene que Las coorenaas e ese punto eio son: P (8, 9). EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Y COORDENA- DAS DEL PUNTO MEDIO Ejeplo : Las coorenaas e un triángulo son: A, 4 ; B 8 4 C 8, ( ) (, ) ( ) (ver figura.4). Investigar analíticaente si se trata e un triángulo equilátero, isósceles o escaleno. C Cuano se pie una investigación analítica quiere ecir que se haga analizao a través e cuentas, no a lo que la vista icta, es ecir, no se vale ninguna afiración basaa en que es que ahí se ve en la figura. Si se calcula la istancia entre los puntos A B lo que realente se A figura.4 B

6 Página 6 LA RECTA está obtenieno es la eia el lao AB. Lo iso sucee entre A C entre los puntos B C. Entonces calculano la istancia entre los puntos A B con la fórula e istancia entre os puntos: AB ( ) ( ) + ( ) ( ) AB AB AB 0 La istancia entre los puntos A C con la fórula e istancia entre os puntos: AC ( ) ( ) + ( ) ( ) AC AC ( ) AC 0 La istancia entre los puntos B C con la fórula e istancia entre os puntos: BC ( ) ( ) + BC ( 8 8) ( 4) + BC BC Coo las eias e los laos el triángulo son AB 0; AC 0 BC 7.88, se trata e un triángulo isósceles. C B Ejeplo : Las coorenaas e un heágono regular son: ; B 4. 6 ; 7. 5 ; A( 7 ). ; ( ) (.. ) ( ) C 0 6 ; 7 5 ; D. ; ; (.. ) ( ) E 0 6 ; 5 ; F 4. 6 ;. 5. D E figura.5 F A

7 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 7 Coprobar que las iagonales AE CE son iguales (ver figura.5). La istancia entre los os puntos A E es la longitu e la iagonal AE, e anera que epleano la fórula e istancia entre os puntos: AE ( ) ( ) + AE ( 06 7) ( 5 ).. +. AE ( ) AE 900. AE 7 45 La istancia entre los os puntos C E es la longitu e la iagonal CE, e anera que epleano la fórula e istancia entre os puntos: CE ( ) ( ) + ( ) ( ) CE CE 900. CE ( ) 0 9 Coparano los resultaos obtenios se ve que AE CE. Ejeplo : Hallar las coorenaas el centro el heágono el ejeplo anterior. El punto eio e la iagonal AD es el centro el heágono (ver figura.6). Utilizano la fórula e punto eio: D C B A + ( ) E figura.6 F

8 Página 8 LA RECTA Las coorenaas el punto eio e la iagonal AD son heágono regular. (, ) P. Allí está el centro el Ejeplo 4: Las coorenaas e un cuarilátero son: ; B, 9 ; A( ), ( ) C0 ( ), ( ) D 9,. Coprobar que las iagonales AC BD se bisecan 4 utuaente. B C Si las iagonales se bisecan utuaente, es ecir que se cortan entre sí por su punto eio una a la otra, entonces el punto eio e la iagonal BD ebe coinciir con el punto eio e la iagonal AC. A figura.7 D Las coorenaas el punto eio e AC son: Dichas coorenaas son (6, 6). Las coorenaas el punto eio e BD son: Bisecar viene el latín, bi os veces, oble; secare cortar. Significa cortar en os partes iguales.

9 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 9 Dichas coorenaas son (6, 6). Coo efectivaente es el iso punto, eso euestra que se bisecan utuaente. Ejeplo 5: Las coorenaas e un triángulo son: ; B4 C 9, 9. A( ), (, ) ( ) Hallar la longitu e la eiana al lao AB (ver figura.8). C Lo priero que ebe hacerse es recorar que una eiana es la recta que va el punto eio e un lao hasta el vértice opuesto. Por lo tanto, se requieren calcular las coorenaas el punto eio el lao AC. Una vez conocias estas coorenaas, la longitu e la eiana C se obtiene calculano la istancia entre los puntos C. A figura.8 eiana B Las coorenaas el punto eio entre A B se obtienen epleano las respectivas fórulas e punto eio: Dichas coorenaas son: (8, ). La istancia entre los puntos C os puntos: se obtiene utilizano la fórula e istancia entre C ( ) ( ) + C ( 8 9) ( 9) + C ( ) ( 6) +

10 Página 0 LA RECTA + 6 C 608. C La longitu e la eiana al lao AB es Ejeplo 6: Las coorenaas e un cuarilátero son: ; B 0 ; C8 D 9, A ( ), (, ) (, ) ( ) Investigar analíticaente si se trata e un cuarao, un rectángulo, un robo, un roboie, un trapecio o un trapezoie (ver figura.9). B C La longitu e los laos ará la priera pista para saber e qué tipo e cuarilátero se trata, pero cuiao!, será una pista, pero no la efinitiva. Porque, por ejeplo, si tiene los cuatro laos iguales puee ser un cuarao, pero tabién poría ser un robo; si tiene por pares los laos opuestos iguales esiguales los contiguos, puee ser un rectángulo, pero tabién poría ser un roboie. A figura.9 D Calculano las longitues e caa uno e sus laos con la fórula e istancia entre os puntos ( ) ( ) + : AB ( ) ( 0 ) AB AB AB BC ( ) ( 8 0) + + BC BC ( ) BC

11 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página CD ( 9) ( 8 ) CD CD CD DA ( 9 ) ( ) + + DA DA ( ) DA Priera conclusión: Coo por una parte por otra, puee ser un AB CD BC DA rectángulo o un roboie solaente. Las eás figuras quean escartaas. Para saber cuál e éstas os figuras es, ha que recurrir a las propieaes e caa figura. Recorar que el rectángulo tiene las iagonales iguales el roboie no. Entonces analizano las longitues e sus iagonales se porá saber si es rectángulo o roboie: ( ) + ( 8 ) ( 9 ) + ( 0) AC BD AC ( 9) BD AC AC BD BD Las iagonales son iferentes. Por lo tanto se trata e un roboie. Este ejeplo uestra claraente que no se vale hacer eucciones basaos en que ahí se ve. En el papel, la figura.9 parece un rectángulo o un cuarao siple vista jaás se hubiera sospechao que no son ni uno ni otro, sino un roboie.

12 Página LA RECTA EJERCICIO Resolver los siguientes probleas, confore a las efiniciones reglas establecias en las páginas a. ) Una recta tiene una peniente e.5; eucir el ángulo que fora con la horizontal. ) Una recta tiene una peniente e 0.5; eucir el ángulo que fora con la horizontal. ) Las coorenaas e un trapecio son: A(- 5, ); B(7, ); C(5, 8) D(-, 8). Hallar las penientes e sus laos no paralelos AD BC. 4) En el trapecio el problea anterior, hallar la peniente e la iagonal BD. 5) Una circunferencia tiene su centro en C(, 4). Cuál es la peniente el raio CP, sabieno que las coorenaas el punto P son (6, ). Ver figura.0. 6) En la circunferencia el problea anterior, Cuánto ie el raio e icha circunferencia? 7) Cuáles son las coorenaas el punto eio Q el raio CP e la circunferencia e la figura.0? C Q P 8) Cuál es la peniente e la recta trazaa en la figura.0 ese el origen e coorenaas hasta el punto eio Q? 9) Una recta fora un ángulo e 7 o con la horizontal; Cuál es su peniente? figura.0 0) Una recta fora un ángulo e 5 o con la horizontal; Cuál es su peniente? ) Una recta fora un ángulo e 9 o con la vertical; Cuál es su peniente? ) Una recta fora un ángulo e 65 o con la vertical; Cuál es su peniente? ) Una recta fora un ángulo e o con la vertical; Cuál es su peniente? 4) Las coorenaas e un punto son (, -) las e otro son (0, 8); hallar la istancia entre abos puntos. 5) Las coorenaas e un punto son (-6, -7) las e otro son (, -); hallar la istancia entre abos puntos. 6) Las coorenaas e un punto son (, 0) las e otro son (0, 0); hallar la istancia entre abos puntos. 7) Las coorenaas e un punto son (5, 5) las e otro son (9, 9); hallar la istancia entre abos puntos. 8) Las coorenaas el etreo e un segento e recta son (, -4) las el otro etreo son (, 6); hallar las coorenaas e su punto eio. 9) Las coorenaas el etreo e un segento e recta son (, -) las el otro etreo son (-, ); hallar las coorenaas e su punto eio. 0) Un segento e recta está eliitao por los puntos A C. Las coorenaas el etreo A son (-, )

13 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página las coorenaas el punto eio e icho segento son o C el segento. (, ) P 5. Hallar las coorenaas el otro etre- ) Un segento e recta e longitu coienza en el punto A(- 4, ) terina en el punto B, ( ). Hallar el valor e la orenaa e icho punto B. ) Las coorenaas e los vértices e un triángulo son: A(4, 5) ; B(-, ) C(, - ) ; investigar si se trata e un triángulo equilátero, isósceles o escaleno. ) Las coorenaas e los vértices e un triángulo son: A(5, 8) ; B(-, ) C(, -6) ; Hallar las coorenaas e los punto eios e caa una e sus eianas. 4) Las coorenaas e los vértices e un triángulo son: A(, ) ; B(8, 9) C(-4, -) ; Hallar las coorenaas e los punto eios e caa una e sus eianas. 5) Las coorenaas e los vértices e un triángulo son: A(, ) ; B(-8, 0) C(-6, -0) ; Hallar las coorenaas e los punto eios e caa una e sus eianas. 6) Las coorenaas e los vértices e un cuarilátero son: A(, ) ; B(6, ) ; C(, -) D(6, -) ; investigar analíticaente el tipo e cuarilátero e que se trata. SUGERENCIA: Recorar las propieaes e los cuariláteros encionaas en la página 8, para que, en base en ellas, hacer la eucción peia. 7) Las coorenaas e los vértices e un paralelograo son: A(, ) ; B(4, 7) ; C(4, -) D(7, ) ; investigar analíticaente el tipo e paralelograo e que se trata. SUGERENCIA: Recorar las propieaes e los cuariláteros encionaas en la página 8, para que, en base en ellas, hacer la eucción peia. 8) Las coorenaas e los vértices e un paralelograo son: A(, ) ; B(7, 5) ; C(, ) D(7, -) ; investigar analíticaente el tipo e paralelograo e que se trata. SUGERENCIA: Recorar las propieaes e los cuariláteros encionaas en la página 8, para que, en base en ellas, hacer la eucción peia. 9) Las coorenaas e los vértices e un triángulo son: A(, ) ; B(8, 6) C(, ). Hallar la longitu e caa una e las eianas. 0) Las coorenaas e los vértices e un paralelograo son: A(, ) ; B(7, 5) ; C(, ) D(7, -). Hallar analíticaente las coorenaas el punto e intersección e sus iagonales. ) Coprobar que las iagonales el paralelograo el problea anterior se bisecan utuaente.

14 Página 4 LA RECTA.4 ECUACIÓN EN FORMA GENERAL Y EN FORMA PARTICULAR La ecuación e la recta en fora general es la que se obtiene e la ecuación general e las cónicas, eliinano "los cuaraos", coo se encionó en la posibilia el análisis e la ecuación general, en la página 5, la cual es la siguiente: La ecuación en fora general e la recta es D + E + F 0 A esta ecuación se le llaa ecuación en fora general o sipleente fora general e la recta. Pero, coo a se eplicó anteriorente, la ecuación en fora general proporciona una inforación bastante liitaa acerca e la gráfica que le correspone, en este caso, al e la recta. Para saber ás e ella, es necesario pasar esa ecuación e la fora general a la fora particular, a que la ecuación en fora particular es la que proporciona toa la inforación e las características e la figura. Coo la ecuación particular es la que a la inforación copleta e la figura corresponiente, en el caso particular e la recta se tiene la siguiente regla: La ecuación particular e la recta es + b en one: * es la peniente e la recta; * b es la orenaa al origen. Peniente significa la inclinación e la recta, confore a la efinición aa en la página. Una peniente puee ser positiva o negativa. Es positiva si traslaaa la recta al origen atraviesa el priero tercer cuarantes; es negativa si traslaaa al origen, atraviesa el seguno cuarto cuarantes. Orenaa al origen significa la istancia sobre el eje e las Y en que la recta corta a icho eje, coo se uestra en la figura.. orenaa al origen figura.

15 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 5 Por ejeplo, si se tiene la ecuación particular e una recta +, en este caso, coo b, entonces por el significao que tienen estos núeros, la peniente es la recta corta al eje e las Y a tres uniaes a partir el origen (ver figura.). peniente b.5 TRANSFORMACIONES Debe quear claro que tanto la ecuación general coo la particular son realente la isa ecuación, solaente que escritas e iferente anera, por lo que es posible hacer transforaciones e una fora a la otra. figura. ) Para transforar la ecuación e una recta e la fora general a la fora particular: * Se espeja la variable Y; * El lao erecho se parte en os fracciones, en caso e que resulte con enoinaor, hasta obtener los os térinos b. ) Para transforar la ecuación e una recta e la fora particular a la fora general: * Se quitan los enoinaores, ultiplicano toa la iguala por el coún enoinaor e toos los enoinaores que aparezcan; * se escriben toos los térinos el lao izquiero para que quee igualao a cero. * si resulta negativo el prier térino D, se le cabia e signo a toa la iguala. Ejeplo : Transforar la ecuación , e la fora general a la particular eucir los valores e b e. Coo para pasar e la fora general a la particular, sipleente ebe espejarse la variable, entonces, espejánola se obtiene: + 7 0

16 Página 6 LA RECTA + 7 que es eactaente lo iso que escribirlo al revés: e one, 4 b. Ejeplo : Transforar la ecuación 7 +, e la fora particular a la fora general e- 5 ucir los valores que corresponen a D, E F. El prier paso es quitar los enoinaores que aparezcan. El enoinaor 5 puee eliinarse ultiplicano por cinco la fracción en la que aparece, pero coo es una iguala, ebe aplicarse la propiea e las igualaes: Lo que se haga e un lao ebe hacerse el otro lao tabién para que la iguala se conserve, e lo que resulta: 5( ) El seguno paso es escribir el lao izquiero toos los térinos, ejano la epresión igualaa a cero: e one: D 5 ; E 5 ; F -

17 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 7 EJERCICIO Encontrar la peniente la orenaa al origen b e caa una e las siguientes rectas: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) + 0 6) ) + 0 7) - 0 4) Encontrar los valores e las constantes D, E F en las siguientes rectas: 5) + 8 6) 7 + 7) 5 8) ) 0) 7 + ) ) ) 4) 5 5) + 6) ) 8)

18 Página 8 LA RECTA.6 OBTENCIÓN RÁPIDA DE LA GRÁFICA Dao que la ecuación particular proporciona toos los etalles para efinir perfectaente la gráfica corresponiente, se pueen obtener las gráficas e las rectas con los atos e e b. Sipleente se localiza priero la orenaa al origen luego, a partir e ese punto, se hace una especie e escalón que arcará la peniente, en one ha que recorar que el nueraor es la elevación vertical (sobre el eje e las Y) el enoinaor su istribución horizontal (sobre el eje e las X ), poner atención en el signo e la peniente. Ejeplo : Obtener la gráfica e Pasano la ecuación e la fora general a la fora particular, para lo cual basta espejar la variable : que es eactaente lo iso que escribirla al revés: iviieno abos laos entre 5 para espejar : b 4 siplificano: + 4 e aquí se obtiene que la peniente es b 4. que PRIMER PASO: Se localiza la orenaa al origen b 4, que es la istancia sobre el eje e las Y a partir el origen, coo se uestra en el prier paso e la figura.. SEGUNDO PASO: A partir e ese punto, se pone el escalón que a la peniente. En este caso, coo, el nueraor inica que ebe tener una ele- figura. vación vertical e una unia; el enoinaor señala que esa elevación ebe estar istribuia en uniaes horizontales. Haciénolo se obtiene el seguno paso e la figura..

19 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 9 Finalente se traza la recta, haciénola que pase por el punto señalao en el prier paso que se apoe en la parte final el escalón, queano la recta coo la tercera parte e la figura.. Ejeplo : Obtener la gráfica e Pasano la ecuación a su fora particular para eucir los valores e e b, se obtiene: e se ve que ; b. +, e on- PRIMER PASO: Se localiza la orenaa al origen b, que es la istancia sobre el eje e las Y a partir el origen por one pasa la recta, coo se uestra en el prier paso e la figura.4. SEGUNDO PASO: A partir e ese punto, se "pone el escalón" que a la peniente. En este caso, coo, el signo negativo inica que va el seguno al cuarto cuarante, el nueraor inica que ebe tener una elevación vertical e tres uniaes el enoinaor señala que esa elevación ebe estar istribuia en os uniaes horizontales. Haciénolo se obtiene el paso e la figura.4. Finalente se traza la recta, haciénola que pase por el punto señalao que "se apoe en el escalón" que le ará la peniente /, queano coo en la tercera parte e la figura.4. b b figura.4 EJERCICIO 4 Obtener la gráfica con el proceiiento el ejeplo anterior e las ecuaciones # al #4 el ejercicio.