TRABAJO: Sobre triángulos de lados enteros

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1 Premios del Deprtmeto de Mtemátics de l Uiversidd Autóom de Mdrid pr Estudites de Secudri Segud Edició, 007/008 TRABAJO: Sore triágulos de ldos eteros GANADOR EN LA CATEGORÍA DE BACHILLERATO AUTORES: o Héctor Ros Álvrez o Adriá Tmyo Domíguez TUTORES: o Dvid Miguel del Río o Ágel Corrl Cedeñ CENTRO: IES Europ (Móstoles, Mdrid)

2 SOBRE TRIÁNGULOS DE LADOS ENTEROS Autores: Mtemáticos trigulres

3 Sore triágulos de ldos eteros ÍNDICE 1.- INTRODUCCIÓN Y ANTECEDENTES....- OBJETIVOS DESARROLLO Nuestrs fórmuls iiciles Nuestrs fórmuls geerles L primer fil suryd 1, 1 y c L segud fil suryd, y c Geerlizdo ls expresioes pr ls series i, i y ci Cmido de estrtegi Serie cero (0, 0 y c0) Serie 1 (1, 1 y c1) Serie (, y c1) Geerlizdo pr l Serie i (i, i y ci) RESULTADOS CONCLUSIONES Y CONSIDERACIONES SOBRE NUESTRO PROBLEMA Relció de triágulos eteros co áre igul l perímetro Comproció de l expresió de ls solucioes Comprodo que o hy otrs solucioes BIBLIOGRAFÍA Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 1

4 Sore triágulos de ldos eteros Resume.- A prtir de ls fórmuls pr ecotrr tods ls ters pitgórics desrrollremos uestrs propis expresioes pr ello y ls plicremos l resolució del prolem pltedo. Este proceso os llevrá ecotrr tods ls solucioes posiles. 1.- INTRODUCCIÓN Y ANTECEDENTES Se os plte el siguiete prolem: Hllr todos los triágulos existetes cuy áre se uméricmete igul su perímetro y sus ldos se eteros? Segú el eucido teemos que resolver l siguiete ecució, ceptdo úicmete ls solucioes eters: Áre c [1] Perímetro Como se trt de triágulos rectágulos, sus ldos v ser ters pitgórics. Por ello teemos que ecotrr fórmuls que geere tods ls ters..- OBJETIVOS El pricipl ojetivo del presete trjo es el de preder desrrollr estrtegis que permit ordr prolems cuy solució o se, e pricipio, fácil. Pr ello utilizremos el método cietífico, l oservció y l geerlizció de quells regulriddes que ecotremos. Trtremos de resolver l ecució plted, sore l que hemos de impoer u fuerte restricció: o vle culquier solució. Ést dee ser eter y cumplir l relció pitgóric. 3.- DESARROLLO Nuestrs fórmuls iiciles Cómo hllmos ls fórmuls iiciles (ls llmmos sí porque os drá pso ls fórmuls geerles)? Oservdo ters clculds prtir de ls fórmuls oteids e Iteret (ver Biliogrfí) vmos trtr de ecotrr uestrs propis expresioes pr oteer Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres

5 ters pitgórics. Ls fórmuls de Iteret er: p - q Ctetos pq Dode: p y q so úmeros eteros [] Hipoteus c p q Ls 10 primers ters prtir de ls fórmuls [] so: (3,,5); (6,8,10)1; (5,1,13); (7,,5); (9,0,1); (11,60,61); (13,8,85); (15,11,113); (17,1,15); (19,180,181); (1,0,1);... Vmos trtr de ecotrr regulriddes: 1) De mometo el primer úmero de cd u de ls ters de l serie es: 3, 6 *, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 1,... Oservmos que todos excepto el 6 so impres cosecutivos y como l expresió pr ecotrr los úmeros impres es: 1; oteemos: 1 [3] ) El segudo úmero de cd u de ls ters de l serie es:, 8*, 1,, 0, 60, 8, 11, 1, 180, 0,... Oservmos que so todos pres y demás múltiplos de : 1, 1 3, 6, 0 10, 60 15, 8 1, 11 8, 1 36, 180 5, 0 55,... Por lo que hicimos u tl pr oteer u fórmul que determir cd úmero que multiplic l cutro: Térmio S Nº que multiplic S 13 Tl 1.- Fctores multiplictivos de l serie de los segudos úmeros de ls ters Oservmos que el fctor multiplicdor es u sucesió ritmétic, sí que uscmos e los cuderos de mtemátics de los ños teriores y ecotrmos l fórmul de l sum de u sucesió ritmétic: S Dode: 1 es el primer térmio de l sucesió, es el último térmio y es el úmero de térmios. 1 1 Est ter es múltiplo de otr sí que l vmos igorr de mometo * Ter múltiplo de otr Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 3

6 1 S Por lo tto, volviedo uestro cso: De est form l fórmul fil es pr oteer los segudos úmeros de cd u de ls ters pitgórics serí multiplicr por l expresió de l sum:, es decir: [] 3) El tercer úmero de cd ter pitgóric es: 5, 10*, 13, 5, 1, 61, 85, 113, 15, 181, 1,... Oservmos que todos so i 1 (siedo i de 1 ) Por lo tto l fórmul es: c 1 1 [5] E resume, hemos oteido ls siguietes expresioes: 1 [3] ; [] ; c 1 [5] Ahor que y teemos us fórmuls propis pr oteer los compoetes de ls ters pitgórics procederemos sustituirls e l ecució [1] que se os plte: c c Áre Perímetro qued: ( 1)( ) ( 1) ( ) ( 1 ) Trjdo co est expresió oteemos: fctorizdo por el método de Ruffii: ( 1) ( 3 ) 0 cuys solucioes so: -1/ que o es ceptle -1 que o es ceptle Estos dos últimos resultdos o so válidos, y que os drí resultdos egtivos y uestros resultdos dee ser eteros y positivos. Segú esto, sólo tiee el áre y el perímetro igules quell ter pitgóric oteid co: que es: c 1 13 De est form, oteemos l ter (5, 1, 13) como u primer solució de uestro prolem. Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres

7 A cotiució, os dimos cuet de que existí más ters posiles, múltiplos de ls y oteids, y e ls que tmié podrí existir solució uestro prolem. Seguimos el siguiete procedimieto, sustituyedo e l ecució [1], e el que k será u úmero etero que multiplique ls ters teriormete oteids e ls expresioes [3], [] y [5]: k k k ( c ) k ( 1) ( ) k (( 1) ( ) ( 1)) 3 k ( 6 ) 3 k ( 6 ) ; k ( 3 ) k ( 6 ) k 3 3 ( 3 ) 6 ; k( 3 ) 6 ; k 6 ( 3 1) k ; k 3 3 ( 3 1) De dode: k k Pr est expresió de k existe dos posiles solucioes eters: 1.- k 1, (5, 1, 13), solució que y coocímos.- k, 1 (6, 8, 10), uev solució COMPROBACIÓN: (5, 1, 13): Áre 30 ; Perímetro c (6, 8, 10): Áre ; Perímetro c Nuestrs fórmuls geerles Nuestro profesor os dvirtió que existí ters pitgórics (oteids de ls fórmuls de Iteret) que o se clcul co uestrs fórmuls [3], [] y [5], y que, e los cudros siguietes, sólo clcul l primer fil, es decir, ls fils e egrit. E cmio pr clculr ls fils suryds hrí que utilizr otrs expresioes. Ls fils e cursiv so meros múltiplos de ls que está e egrit. Por tto, cómo hllmos el resto de ters pitgórics (ls suryds)? Vmos geerr tls de ters utilizdo ls fórmuls hllds e Iteret (fórmuls[]) hciedo vrir el vlor de los prámetros p y q (úmeros eteros positivos). Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 5

8 c c p q p -q pq p q p q p -q pq p q (1) () c c (3) c c () c c (5) c c (6) c c (7) c Tl.- Ters pitgórics pr q1 y q c c p q p -q pq p q p q p -q pq p q c c c c c c c c c c c c6 305 Tl 3.- Ters pitgórics pr q3 y q c p q p -q pq p q c c c c c c Tl.- Ters pitgórics pr q5 Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 6

9 L primer fil suryd 1, 1 y c1 Pr clculr l primer fil suryd e cd tl, esto es: (15, 8, 17); (1, 0, 9); (7, 36, 5); (33, 56, 65); (39, 80, 89);... (será l serie 1, 1, 1 y c1 ) utilizremos fórmuls oteids de l mism mer que tes, es decir oservdo regulriddes: 1) El primer úmero de cd ter de l serie 1 es 1 : 15, 1, 7, 33, 39,... Oservmos que so todos múltiplos de 3: , 1 3 7, 7 3 9, , por lo que hrí que ecotrr u expresió pr clculr los fctores multiplictivos 5, 7, 9, 11, 13 Es fórmul serí: (-1)5; pues, (-1) ecuetr todos los úmeros impres ecesrios pr uestrs ters l sumrle el primer úmero de l serie, es decir 5. Simplificd, est fórmul serí (os iteres l fórmul si simplificr, pues os yudrá ecotrr regulriddes l hor de oteer ls fórmuls geerles). Simplificd quedrí: 1 3 [6] ) El segudo úmero de cd ter de l serie 1 es 1 : 8, 0, 36, 56, 80,... Oservmos que so todos múltiplos de e hicimos u tl pr lizr mejor estos dtos: Térmios de l serie, , 1 0, , 1 56, Difereci etre los térmios, d Tl 5.- Oteció de los segudos térmios de ls ters pitgórics de l serie 1 Al hcer esto ecotrmos l siguiete fórmul pr hllr los térmios de l sucesió de ls diferecis d (1) De est form podemos expresr cd térmio como el resultdo de l sum de los térmios d i desde i1 hst. Así, utilizdo l sum de l progresió ritmétic: 1 d i 1 i d1 d dode: d 1 8 y d (1). Oteemos: Desrrolldo qued: ( 1) [7] Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 7

10 3) El tercer úmero de cd ter de l serie 1 es c1 : 17, 9, 5, 65, 89,... Procedemos de form similr l cso terior pr uscr regulriddes: cocordci Térmios de l serie, c1 Difereci etre los térmios, d c1 1 17, c1 9, c1 3 5, c1 69, c Tl 6.- Oteció de los terceros térmios de ls ters pitgórics Al hcer esto ecotrmos l siguiete fórmul pr hllr los térmios de l sucesió de ls diferecis d (), similr lo que ocurrí e el cso terior. De est form: c 1 17 d i i 1 y, utilizdo l sum de l progresió ritmétic, oteemos: Operdo qued: ( ) 1 c1 17 c Si clculmos, veremos que sólo podemos clculr el primer térmio, 17, si sustituimos por 0, pero como se trt del primer térmio, os iteres que se 1. Pr ello, cmimos l de l fórmul oteid por -1 y clculmos (este pso os será de gr importci más delte): c1 ( 1) 10( 1) 17 Filmete oteemos l siguiete fórmul: c1 6 9 [8] E resume, hemos oteido ls siguietes expresioes pr ls ters de l serie 1 (primer fil suryd): 1 3 [6] ; 1 6 [7]; c1 6 9 [8] L segud fil suryd, y c Pr clculr l segud fil suryd, es decir: (35, 1, 37); (5, 8, 53); (55, 8, 73); (65, 7, 97),... utilizremos fórmuls oteids de l mism mer que tes. 1) El primer úmero de cd ter de l serie es : 35, 5, 55, Oservmos que v de 10 e 10 prtir de 35; por lo tto, su fórmul es: 10(-1) 35 L expresió simplificd es: 10 5 [9] Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 8

11 ) Actudo de form similr pr el segudo úmero de l ter de l serie, ecotrmos: 10 [10] 3) Actudo de form similr pr el tercer úmero de l ter de l serie 3, c ecotrmos: c 10 5 [11] E resume, hemos oteido ls siguietes expresioes pr ls ters de l serie (segud fil suryd): 10 5 [9]; 10 [10]; c 10 5 [11] Geerlizdo ls expresioes pr ls series i, i y ci Vmos recoger los resultdos oteidos e u tl. A l serie de l primer fil (e egrit) l llmremos serie 0 (0, 0 y c0 ). Oservdo ls expresioes ecotrremos us fórmuls geerles pr tods ls series de ls tls, 3 y : 1ª fil (e egrit). 0 1 ( 1) 1 0 ( 1) c Serie 0: ª fil (1ª 1 69 ( 3) ( 3) c suryd). Serie 1 3ª fil (ª 105( 5)5 10 ( 5) c suryd). Serie q-ésim fil. Serie i q [(q-1)](q-1) q [(q-1)] cq [(q-1)](q-1) Tl 7.- Oteció de los terceros térmios geerles de ls ters pitgórics Oservdo ests últims expresioes os dmos cuet de que tods ls fórmuls coseguids teí u relció. Operdo e ls expresioes q, q y cq de l tl 7 oteemos: q q - q q 1 q q c q - q q 1 dode q es el úmero de l serie de ls ters (tls, 3 y ) y es l ter pitgóric - ésim de l serie q-ésim. Filmete multiplicremos por k, úmero etero positivo, pr oteer tmié todos los múltiplos y sí, tods ls ters posiles: q k ( q - q q 1)... [1] q k ( q - ) [13] cq k ( q - q q 1) [1] U vez teemos ls fórmuls geerles [1], [13] y [1], ls sustituiremos e [1], codició del prolem, co ide de oteer tods ls solucioes posiles. Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 9

12 Si emrgo, medid que ímos vzdo e uestr ivestigció co ests expresioes ([1,13,1]), os dimos cuet de que o llegámos igú poliomio secillo, y que el que otuvimos o os permití trjr por su complejidd Cmido de estrtegi Ddo que mejr ls expresioes [1,13,1] result demsido complejo, decidimos tomr otr ltertiv pr ecotrr l solució. E lugr de ls fórmuls geerles [1,13,1], utilizrímos ls fórmuls prticulres de cd serie, que prece e l tl Serie cero (0, 0 y c0 ) Est serie se resolvió e el prtdo. Ls solucioes prece e el cudro Serie 1 (1, 1 y c1 ) Hímos oteido ls relcioes: 1 k(69) 1 k( 6) c1 k( 69) dode k es u úmero etero positivo y es térmio -ésimo de l serie 1. Sustituyedo e l codició [1]: c1 desrrolldo: k ( 6 9)( 6) k( 6 9) k( 6) k( 6 9) k 3 ( 1 5 5) k( 18 18) qued: k 3 ( 6 7 7) k 3 ( 9 9) ( 9 9) k 3 [15] Segú esto, k /3, por lo que pr que k ó se eteros, uo de los dos dee ser frcciorio, y que el úmero etero será 1 ó y el úmero frcciorio será /3 ó 1/3 respectivmete. De est mer, llegmos l coclusió de que e l segud fil o existe u solució eter Serie (, y c1 ) Hímos oteido ls relcioes: k(105) k( 10) c k( 105) dode k es u úmero etero positivo y es térmio -ésimo de l serie. Sustituyedo e l codició [1]: Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 10

13 desrrolldo: c k ( 10 5)( 10) k( 10 5) k( 10) k( 10 5) 3 k ( ) k( 30 50) qued k 3 ( ) k 5 ( 15 5) ( 15 5) k 5 [16] Oservdo ls expresioes [15] y [16] vemos que podemos geerlizr los resultdos pr tods ls series de ls tls 3, y Geerlizdo pr l Serie i (i, i y ci ) Vmos recoger e u tl ls expresioes hllds. Pr ls fils ver ls tls 3, y 5. Expresió resultte Solucioes ceptles 1ª fil de ters. Serie 0 k k 1, (5, 1, 13) k, 1 (6, 8, 10) ª fil de ters. Serie 1 k 3 Nigu 3ª fil de ters. Serie k 5 Nigu q-ésim fil de ters. Serie q-1 k(q 1) Tl 8.- Geerlizció de ls expresioes resulttes pr cd serie Oservmos que d cmi excepto los úmeros que multiplic l, que so impres cosecutivos. De est mer cocluimos que: k ( q 1) qued: k [17] q 1 E l expresió [17], pr que k se u úmero etero q 1 tiee que ser igul 1 ó, por lo que: ) q 1 1 q 1 ) q 1 q 3/, lo que o tiee setido porque q es u úmero etero positivo. 1 Si q 1, etoces k ; por ello, los vlores de k y será: k 1; ó k ; Filmete, sustituyedo k, q y e ls fórmuls geerles [1], [13] y [1], otuvimos como resultdo uestro prolem sólo 3 solucioes: Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 11

14 - si q 1: k 1, Ter pitgóric: 5; 1; c 13 Áre 30; Perímetro 30 k, 1 Ter pitgóric: 6; 8; c 10 Áre ; Perímetro Como se puede oservr sólo existe dos solucioes, que so: Triágulo de ldos: 5, 1, 13 Triágulo de ldos: 6, 8, 10 Solucioes que y hímos oteido teriormete e el prtdo..- RESULTADOS A prtir de expresioes desrrollds por osotros pr geerr tods ls ters pitgórics hemos ecotrdo ls siguietes solucioes pr uestro prolem: Triágulo de ldos: 5, 1, 13 Triágulo de ldos: 6, 8, 10 Estos dos triágulos rectágulos cumple l codició de que, uméricmete, su áre vle lo mismo que su perímetro. Más delte demostrremos que so ls úics solucioes posiles. 5.- CONCLUSIONES Y CONSIDERACIONES SOBRE NUESTRO PROBLEMA Relció de triágulos eteros co áre igul l perímetro Vmos trtr de oteer u relció que de cumplir los triágulos rectágulos de ldos eteros cuy áre vlg, uméricmete, lo mismo que su perímetro. Pr ello sustituimos co yud del teorem de Pitágors: c c c c ) ( ; ) ( ) ( 8 8 Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 1

15 8 0 ( 8) ( c) 0 c 0 c 0 c 0 Oteemos l siguiete relció: c [18] Vmos compror si ls solucioes hllds cumple l relció [18]: 1) Solució 1: 5, 1, c 13 de dode: - c y , como querímos compror. ) Solució : 6, 8, c 10 de dode: - c y , como querímos compror. Si emrgo, hy ifiitos csos e los que est iguldd se cumple, pero o so solucioes uestro prolem, por ello est fórmul o os permite uscr más solucioes, y que, segú uestrs ivestigcioes, o ls hy. Est fórmul sólo os permitirí compror que uestrs solucioes so válids, pues e ms se cumple que c. Coclusió1: Así podemos cocluir que si c es u triágulo rectágulo de ctetos y eteros e hipoteus c eter, y uméricmete su áre vle lo mismo que su perímetro, etoces cumplirá que c, lo que o es cierto e setido cotrrio. Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 13

16 5..- Comproció de l expresió de ls solucioes A prtir de l fórmul [18] sustituimos, y c por ls fórmuls geerles [1], [13] y [1]. Co esto espermos llegr l expresió [17] que os llevó ls solucioes del prolem: c k(q - q - q 1) k ( q - ) c k( q - q - q 1) Sustituyedo y operdo: k(q q q 1) k( q - ) - k( q q q 1) k(q q q 1 q - - q q q 1) k(q - ) k(q - 1) ; qued: k q 1 que es l ecució [17], como querímos compror Comprodo que o hy otrs solucioes A cotiució, djutremos us gráfics relizds utilizdo ls fórmuls [], oteids e Iteret, y que semos que so válids, ls que plicremos l restricció de uestro prolem, ddo de est form solidez uestrs solucioes: p - q Ctetos pq Dode: p y q so úmeros eteros [] Hipoteus c p q Utilizdo ests expresioes clculmos l fórmul del áre y del perímetro del triágulo e fució de los prámetros p y q de ls expresioes []: A p q pq [19] ( ) ( ) 3 3 p, q p q pq ( p q ) ( pq) ( p q ) p pq P( p, q) [0] Vmos relizr diferetes represetcioes, fijdo el vlor de q, de A(p,q) vs p y de P(p,q) vs p, de form que si ms curvs se cort e u vlor excto hremos ecotrdo u solució uestro prolem. Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 1

17 Are Perímetro Gráfic de áre y perímetro pr q 1 frete p 1) Si q 1, etoces A(p,1) p 3 p P(p,1) p p Ams gráfics se cort e el mismo vlor: puto de corte (3,), es decir, pr p 3 (y q 1 que est fijo) el áre y el perímetro coicide e vlor. Se trt, por lo tto, de l ter (6,8,10), solució y coocid por osotros. A medid que crece ls gráfics (u cúic y u práol) oservmos como ms diverge, por lo que o se volverá cruzr Are Perímetro Gráfic de áre y perímetro pr q frete p ) Si q, etoces A(p,) p 3 8p P(p,) p p Ams gráfics se cort e el mismo vlor: puto de corte (3,30), es decir, pr p 3 (y q que est fijo) el áre y el perímetro coicide e vlor. Se trt, por lo tto, de l ter (5,1,13), solució y coocid por osotros. A medid que crece ls gráfics (u cúic y u práol) oservmos como ms diverge, por lo que o se volverá cruzr. Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 15

18 Are Perímetro ) Si q 3, etoces A(p,3) 3p 3 7p P(p,3) p 6p Ams gráfics se cort e u vlor o etero, por lo que o es u solució válid uestro prolem. A medid que crece ls gráfics (u cúic y u práol) oservmos como ms diverge, por lo que o se volverá cruzr. Gráfic de áre y perímetro pr q 3 frete p ) Si q : Gráfic de áre y perímetro pr q frete p Are Perímetro U vez que el áre empiez ser positiv el cruce etre ms gráfics y se h producido, por lo que y o se volverá cruzr, pues los vlores de áre y perímetro diverge. Esto se puede ver, tmié, e ls siguietes represetcioes pr otros vlores de q. 5) Si q 5: Gráfic de áre y perímetro pr q 5 frete p Are Perímetro Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 16

19 6) Si q 6: Gráfic de áre y perímetro pr q 6 frete p Are Perímetro ) q 7: Gráfic de áre y perímetro pr q 7 frete p Are Perímetro Al lizr ls tls de vlores de l gráfics podemos ver que: 1) el áre es ul cudo p q ) el áre empiez ser positiv cudo p q 1 3) oservmos que e ls últims 5 gráfics ls curvs se cort e vlores o exctos será y siempre sí? Pr cotestr esto podemos trjr e l fórmul del áre y del perímetro. Resumimos lo relizdo e l siguiete tl: Si p q Si p q 1 A(p,q) p 3 q pq 3 A(q,q) 0 A(q1,q) q(q 3q 1) P(p,q) p pq P(q,q) q P(q1,q) (q 3q 1) Luego, si p q, A(q,q)<P(q,q) Luego A(q1,q)>P(q1,q) si q> Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 17

20 Por lo tto etre pq y pq1 se h producido el corte de ls curvs si q>. Esto sigific que se h cortdo e u vlor o etero. Coclusió Est últim demostrció permite cofirmr que los úicos putos de cruce exctos se correspode co q, es decir, co q1 y q, o siedo posile u cruce excto pr q>. Por ello o es posile ecotrr otrs solucioes distits ls hllds por osotros. 6.- BIBLIOGRAFÍA 1) Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 18