EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LAS SOLUCIONES DE PROBLEMAS DIFERENCIALES. f se puede garantizar que el problema diferencial (1) tiene
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- Arturo Montoya Maldonado
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1 Scietia et Techica Año XIII, No 35, Agosto de 7 Uiversidad Tecológica de Pereira ISSN EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LAS SOLUCIONES DE PROBLEMAS DIFERENCIALES Eistece ad uiqueess of the solutios of differetial problems RESUMEN E este artículo cosideramos el problema de la eistecia uicidad del problema diferecial de valor iicial = f(,, ( =, dode f es ua fució cotiua que satisface ua codició de Lipschitz PALABRAS CLAVES: Ecuació diferecial, codició de Lipschitz ABSTRACT I this paper we discuss the eistece ad uiqueess theorem for first order iitial problem = f(,, ( =, where f is a cotiuous fuctio ad satisfies a Lipschitz coditio KEYWORDS: Differetial equatios, Lipschitz coditio ABEL E POSSO AGUDELO Matemático PhD Ciecias Matemáticas Profesor Titular Departameto de Matemáticas Facultad de Ciecias Básicas Uiversidad Tecológica de Pereira possoa@utpeduco JOSÉ R GONZALEZ Profesor Auiliar, PhD Matemático Departameto de Matemáticas Facultad de Ciecias Básicas Uiversidad Tecológica de Pereira jorodr@utpeduco CARLOS ESCOBAR Igeiero Civil Mg E Matemáticas Profesor Auiliar Departameto de Matemáticas Facultad de Ciecias Básicas Uiversidad Tecológica de Pereira ccescobar@utpeduco INTRODUCCIÓN Los problemas de valor iicial del tipo = f(,, ( =, ( aparece e muchas aplicacioes e física, biología ecoomía Aparte de casos particulares, estos problemas difereciales de primer orde o puede ser resueltos eplícitamete lo cual motiva la búsqueda de métodos aproimados Si embargo, ates de itetar hallar la solució eacta o aproimada del problema ( es coveiete determiar si tal solució eiste si ésta es úica E este artículo retomamos las ideas del método desarrollado por el matemático Fracés Emile Picard ( para determiar codicioes para la fució f bajo las cuales el problema de valor iicial ( tiee solució úica e algú itervalo que cotega a Auque el método de las iteradas de Picard es u método coocido, e la maoría de los libros de teto que se usa el los cursos de ecuacioes difereciales de uestra Uiversidad úicamete se eucia el teorema de eistecia uicidad de la solució de ( si aclarar el porque bajo ciertas codicioes impuestas a la fució Fecha de Recepció: 8 Mao de 7 Fecha de Aceptació: 4 de Agosto de 7 f se puede garatizar que el problema diferecial ( tiee solució úica E este artículo se usa técicas elemetales de cálculo para demostrar codicioes para la fució f que garatiza que las iteradas de Picard costitue ua sucesió de fucioes que coverge a la solució del problema ( Igualmete se demuestra que la fució límite de tales iteradas es la úica solució de ( EXISTENCIA Determiemos codicioes que garatice al meos ua solució de (: E primer lugar, si f (, es ua fució cotiua que depede úicamete podemos itegrar la ecuació e ( para obteer la solució del problema diferecial Por otra parte, si f (, es ua fució que depede úicamete de, podemos separar las variables, itegrar obteer ua solució del problema ( E geeral, f (, es ua fució que depede tato de de como de E este caso podemos tomar cualquier fució cotiua = ( que pase por el puto (,, puede ser la fució costate =, reemplazarla e el miembro derecho de la ecuació diferecial e ( para obteer la ecuació
2 48 Scietia et Techica Año XIII, No 35, Agosto de 7 Uiversidad Tecológica de Pereira = f(, ( ( Si f (, es ua fució cotiua e algú cojuto abierto coeo S del plao que cotiee al puto (,, etoces f (, ( será ua fució de cotiua e algú itervalo que cotega a Itegrado ( obteemos la fució ( f( t, ( t, (3 la cual pasa por el puto (, Reemplazado ( e el miembro derecho de la ecuació diferecial e ( obteemos = f(, ( Itegrado, obteemos ( f( t, ( t Utilizado ( podemos obteer ( 3, así sucesivamete Realizado el proceso veces obteemos la fució ( f( t, ( t (4 Las fucioes = (, para =,, 3, recibe el ombre de iteradas de Picard Demostremos que e u cierto itervalo que cotiee a, bajo codicioes especiales, la sucesió de fucioes defiida e (4 se aproima a ua fució límite = ϕ( que es solució del problema ( e algú itervalo que cotiee a Cosideremos que e la regió S la fució f (, es cotiua acotada Sea M ua costate positiva tal que f (, M para (, S (5 Sea L L las rectas que pasa por el puto (, tiee pediete M M respectivamete Sea K K dos rectas paralelas al eje tales que los dos triágulos determiados por las rectas L, L, K, K esté coteidos e S Cosideremos que las rectas K K corta al eje determiado el itervalo [, ] ab que cotiee a Sea R la regió ecerrada por estos triágulos, es decir, R = a b M (, :, Probemos que para cualquier etero positivo, si la gráfica de = ( esta coteida e S etoces la gráfica de la siguiete iterada = ( esta coteida e R : Sea [ ab, ] Etoces ( = f( t, ( t M (6 Etoces, para teemos que ( M, lo cual idica que la pediete de la recta que ue (, co (, ( esta etre M M, garatizado, por lo tato, que el puto (, ( esta e R Por lo aterior, si ( se toma de tal maera que su gráfico esta e S, etoces todas las fucioes = ( estará e R (para =,, 3, Además, cada ua de estas fucioes será cotiua ab, tedrá derivada cotiua e el itervalo [ ] Ahora, para cada teemos que ( = + ( ( ( (7 k+ k k = Si eiste ua costate A > satisface la codició tal que la fució f f (, f(, A, (8 para cada par de putos (, (, e R, etoces podemos asegurar que
3 Scietia et Techica Año XIII, No 35, Agosto de 7 Uiversidad Tecológica de Pereira 48 ( ( A ( t ( t,(9 k+ k k k para k =,3, 4, La codició dada e (8 recibe el ombre de codició de Lipschitz para f respecto a La costate A recibe el ombre de costate de Lipschitz Como ( ( so cotiuas e el itervalo [ a, b ] etoces eiste ua costate N > tal que ( ( N, para todo e [ a, b ] ( De (9 ( se obtiee 3 A N = AN ( ( A ( t ( t De igual modo, ( ( A ( t ( t AN t = AN Mediate u razoamieto iductivo podemos afirmar que k k k+ k A N k ( ( (! para cada atural k Tomado h má{ a, b} = teemos que, + ( ( ( k+ k = k coverge uiformemete a ua fució ϕ( implica que la sucesió de fucioes = ( =, lo cual defiidas e (7 coverge uiformemete a la fució = ϕ( Como cada = ( es ua fució cotiua la covergecia es uiforme etoces = ϕ( tambié es cotiua Por otra parte, ( ϕ ϕ( f( t, ( t + = ϕ( ( + [ f( t, ( t f( t, ϕ( t] Por (8 la desigualdad triagular teemos que ( ϕ ϕ( f( t, ( t + ϕ ϕ( ( + A ( t ( t Para cada ε > eiste u úmero atural tal que si > etoces ε ϕ( ( < ( ( ε t ϕ t <, Ah etoces ( ϕ( (, ϕ( f t t ε A ε + < + Ah ε ε = + < ε, h lo cual implica que ( ( h (! k k k+ k A N k Como la serie de térmios costates ( ϕ( f( t, ϕ( t Por el teorema fudametal del cálculo teemos que ϕ ( = f(, ϕ( k k h A N coverge a k = ( k! el criterio de Weierstrass, la serie Ah Ne etoces, por ϕ ( = Además, Por tato, ϕ( = es ua solució del problema (
4 48 Scietia et Techica Año XIII, No 35, Agosto de 7 Uiversidad Tecológica de Pereira 3 UNICIDAD Demostremos ahora que e el itervalo[ a, b] solo ha ua solució del problema diferecial ( Supogamos que ( itervalo[ a, b] coicide co la solució ϕ( =Ψ es solució de ( e el demostremos que esta solució = Iicialmete demostremos que (, Ψ ( está e R para b Sea cada e ( ], Ψ( Ψ( = > T [, b] : M Si T, eiste u úmero m que es el meor elemeto de T Dado que =Ψ( es cotiua derivable, por el teorema del valor medio podemos garatizar la eistecia de u úmero etre tal que Ψ( m Ψ( =Ψ m ( Etoces Ψ = Ψ Ψ( = Ψ( > m f (, ( ( M m luego el puto Ψ ( Ψ( Luego T = así (, Ψ( S por tato > M m (absurdo, a que < m Ψ( Ψ( < M para < b, lo cual garatiza que (, Ψ( R para < b De maera similar se demuestra que (, Ψ( R para a < Además, (, Ψ ( = (, R, Por tato (, Ψ( R para todo [ ab, ] Ahora, ( ( Ψ ϕ = [ f ( t, Ψ ( t f ( t, ϕ ( t A Ψ( t ϕ( t ( Sea C = má Ψ( t ϕ( t Etoces a t b Ψ( ϕ( AC (3 Reemplazado (3 e el itegrado de ( obteemos Ψ( ϕ( A AC t AC = (4 Reemplazado (4 e el itegrado de ( obteemos Ψ( ϕ( A A C t 3 3 AC = (5 3! Iductivamete llegamos a que AC ( (,,,3, Ψ ϕ =! Puesto que h etoces C( Ah Ψ( ϕ(, =,,3,! Como CAh ( cuado, etoces! Ψ( ϕ( = para todo [ ab, ] Lo aterior se resume e el siguiete teorema:
5 Scietia et Techica Año XIII, No 35, Agosto de 7 Uiversidad Tecológica de Pereira 483 Teorema (Eistecia uicidad Supogamos que f (, es ua fució cotiua e ua regió S del plao que eiste ua costate M > tal que f (, M para (, S Sea (, u elemeto de S [ ab, ] u itervalo tal que la regió S iclue a la regió R ecerrada por los triágulos formados por las rectas = a = b las dos rectas que pasa por el puto (, tiee pediete M M respectivamete Supogamos que eiste ua costate A > tal que f (, f(, A para cada par de putos (, (, de R Etoces eiste ua úica fució que pasa por el puto (, que satisface la ecuació diferecial = f(, e el itervalo [ ab, ] Nota La uicidad de la solució garatiza que cualquier fució que pase por el puto (, puede tomarse como primera aproimació Mediate el método de las quebradas de Euler se puede demostrar que la cotiuidad de la fució f e S garatiza la eistecia de solucioes del problema de valor iicial ( pero o garatiza la uicidad [] W Boce R DiPrima Elemetar differetial equatios ad boudar value problems J Wile, 99 [3] R Borrelli, C Colema Ecuacioes Difereciales, ua perpectiva de modelació Oford Uiversit Press, [4] C Edwards D Pee Ecuacioes Difereciales elemetales co aplicacioes Pretice Hall, 993 [5] L Elsgoltz Ecuacioes Difereciales cálculo variacioal MIR, 977 [6] M de Guzmá Ecuacioes Difereciales ordiarias Teoría de estabilidad cotrol Alambra, 98 [7] D Kreider, R Kuller D Ostberg Ecuacioes Difereciales Fodo Educativo Iteramericao, 973 [8] D Lome, D Lovelock Ecuacioes Difereciales a través de gráficas, modelos datos CECSA, 999 [9] R Palmer Agew Ecuacioes Difereciales UTEHA, 968 [] S L Ross Ecuacioes Difereciales Reverte, 979 [] R K Tagle, E Saff D Sider Ecuacioes Difereciales problemas co valores e la frotera Pearso Educació, [] D Zill Ecuacioes difereciales co aplicacioes de modelado Thomso, CONCLUSIONES El problema de eistecia uicidad demostrado puede ser geeralizado de maera directa, co ideas similares a las epuestas, a problemas difereciales de orde superior E la maoría de los casos el método de las iteradas de Picard o es u método efectivo porque las itegrales a calcular se complica a medida que aumetamos las iteracioes Sólo e casos mu simples podemos calcular las primeras iteradas de Picard e ituir la solució eacta del problema ( E alguos casos más complicados las itegrales puede ser calculadas uméricamete mediate algú programa computacioal 5 BIBLIOGRAFÍA [] P Blachard, R Devae G Hall Ecuacioes Difereciales Iteracioal Thomso Editores, 999
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